Một số tính chất của phủ chính quy

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KHOA TỐN *** KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA PHỦ CHÍNH QUY Giáo viên hƣớng dẫn : TS Lƣơng Quốc Tuyển Sinh viên thực : Trƣơng Thị Kim Chi Ngành : Toán ứng dụng ĐÀ NẴNG – Năm 2016 MỤC LỤC MỞ ĐẦU……………………………………………………………………… Lí chọn đề tài…………… ………………………………………… 2 Mục đích nghiên cứu……… …………………………………………… Đối tƣợng nghiên cứu….………………………………………………….2 Phạm vi nghiên cứu……….……………………………………………….2 Phƣơng pháp nghiên cứu…….…………………………………………….2 Ý nghĩa khoa học thực tiễn…………………………………………….3 Cấu trúc đề tài……………….…………………………………………….3 LỜI CẢM ƠN…………………………………………………………………… CHƢƠNG I : CƠ SỞ LÝ THUYẾT………………………………………………5 1.1 Một số khái niệm tính chất không gian tôpô……….….…5 1.2 Cơ sở lân cận không gian tôpô……… …….……………… 13 1.3 Các tiên đề tách………….………………………….…….…….………16 1.4 Không gian con……….…………………………….……….………….19 1.5 Không gian com pắc, không gian Lindel ̈ f không gian khả li… ….20 1.6 Ánh xạ liên tục…………………………………… …… …………….22 CHƢƠNG II : MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA PHỦ CHÍNH QUY……………….26 2.1 Mạng phủ……………………………………………………………27 2.2 Tính chất phủ quy………………………………………32 KẾT LUẬN……………………………………………………………………… 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………………………………42 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Các vấn đề liên quan đến không gian đƣợc xác định phủ đƣợc nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu từ năm 70 kỷ XX Từ đến nhà tơpơ đƣa nhiều tính chất, nhiều kết quan trọng không gian tôpô khác mối quan hệ số tính chất chúng Năm 1960, A Archangielskii giới thiệu khái niệm phủ quy chứng minh không gian với sở quy khả mêtric Sau năm 1976, H W Martin chứng minh không gian với sở yếu quy khả mêtric, kết mở rộng thực có kết A Archangielskii Đến năm 1987, J Jiang suy rộng khái niệm phủ quy, đƣa khái niệm phủ cs-chính quy thu đƣợc số kết tính mêtric hóa khơng gian tơpơ Ngồi ra, tốn “Khơng gian thõa mãn tiên đề đếm thứ quy với k-mạng cs-chính quy có không gian khả mêtric hay không?” đƣợc nhiều nhà toán học giới quan tâm Mãi đến năm 1998, M Sakai, K Tomano Y Yajima đƣa câu trả lời riêng cho toán trƣờng hợp khơng gian quy Gần đây, S Lin thu đƣợc câu trả lời khẳng định cho tốn chứng minh khơng gian dãy với cs*-mạng, cs-chính quy khả mêtric nhƣ cho tốn lớp khơng gian dãy Với mong muốn trình bày chứng minh chi tiết lại số kết liên quan đến mạng tính chất phủ quy nên tác giả chọn đề tài: “Một số tính chất phủ quy” Mục đích nghiên cứu Hệ thống lại số kiến thức tơpơ đại cƣơng Tìm hiểu số tính chất phủ quy chứng minh tính chất liên quan Đối tƣợng nghiên cứu Cơ sở yếu, sn-mạng, cs-mạng phủ quy Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu, báo liên quan đến phủ quy Phƣơng pháp nhiên cứu Sử dụng phƣơng pháp nghiên cứu lí thuyết q trình nghiên cứu luận văn thực theo quy trình nhƣ sau: (1) Tham khảo tài liệu hệ thống hóa kiến thức (2) Thu thập tài liệu có liên quan đến mạng phủ quy khơng gian tôpô (3) Thể tƣờng minh kết nghiên cứu luận văn (4) Trao đổi thảo luận với giáo viên hƣớng dẫn Ý nghĩa khoa học thực tiễn luận văn Luận văn có ý nghĩa mặt lí thuyết, sử dụng nhƣ tài liệu cho quan tâm nghiên cứu tốn mạng, phủ quy khơng gian tôpô Cấu trúc luận văn Luận văn đƣợc trình bày làm hai chƣơng : Chương I: Chƣơng hệ thống lại khái niệm, kiến thức không gian tôpô chứng minh chi tiết tính chất, định lí liên quan nhằm thuân tiện cho việc chứng minh kết Chƣơng Chương II: Trong chƣơng này, tác giả trình bày khái niệm sở yếu, sn-mạng, cs-mạng, cs*-mạng, cs-phủ, cs*-phủ Trình bày chứng minh tính chất liên quan tới chúng Tiếp theo, khái niệm, tính chất phủ quy chứng minh chi tiết bổ đề liên quan LỜI CẢM ƠN Trong suốt trình làm luận văn tốt nghiệp, tác giả nhận đƣợc hƣớng dẫn giúp đỡ thầy giáo TS Lƣơng Quốc Tuyển Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Tác giả xin cảm ơn quý thầy cô giảng dạy tác giả suốt thời gian qua, mang cho tác giả nhiều kiến thức bổ ích khoa học sống Mặc dù cố gắng song luận văn tránh khỏi hạn chế thiếu sót Tác giả mong nhận đƣợc ý kiến đóng góp q báu q thầy bạn để luận văn tác giả đƣợc hoàn chỉnh Tác giả xin trân trọng cảm ơn! Đà Nẵng, Ngày 10 tháng 04 năm 2016 CHƢƠNG I CƠ SỞ LÝ THUYẾT Trong chƣơng tác giả trình bày số khái niệm tính chất không gian tôpô nhằm phục vụ cho việc chứng minh Chƣơng 1.1 Một số khái niệm tính chất khơng gian tơpơ 1.1.1 Định nghĩa Giả sử X tập hợp τ họ gồm tập X thõa mãn điều kiện sau (a) , X τ; (b) Nếu U,V τ, U V (c) Nếu { } τ,  U τ; U τ Khi đó, (1) đƣợc gọi tôpô X (2) Cặp (X, τ) đƣợc gọi không gian tôpô (3) Mỗi phần tử τ đƣợc gọi tập hợp mở (4) Mỗi phần tử X đƣợc gọi điểm 1.1.2 Nhận xét Đối với khơng gian tôpô (X, τ), khẳng định sau (1) tập hợp mở (2) Giao hữu hạn tập hợp mở tập hợp mở (3) Hợp tùy ý tập hợp mở tập hợp mở 1.1.3 Định nghĩa Giả sử A tập khơng gian tơpơ (X, τ) Khi đó, tập U X đƣợc gọi lân cận tập A tồn V τ cho A V U Ngồi ra, U τ, ta nói U lân cận mở A Đặc biệt, A = {x}, ta nói U lân cận x 1.1.4 Nhận xét U tập mở X U lân cận điểm thuộc Chứng minh (1) Giả sử U tập mở X Khi đó, với x U, ta chứng minh U lân cận x Thật vậy, ta lấy V = U U Điều , x V dẫn đến U lân cận x (2) Giả sử U lân cận điểm thuộc Khi đó, ta chứng minh U tập mở Thật vậy, với x U, U lân cận x nên tồn Vx x Vx cho U Do đó, U= U Vx {x} xU xU Bởi hợp tùy ý tập mở mở nên U = Vx Do vậy, U tập mở xU 1.1.5 Định nghĩa Tập A không gian tôpô (X, τ) đƣợc gọi tập đóng X X\A 1.1.6 Nhận xét Đối với không gian tôpô (X, τ), khẳng định sau (1) , X tập hợp đóng (2) Hợp hữu hạn tập hợp đóng tập hợp đóng (3) Giao tùy ý tập hợp đóng tập hợp đóng Chứng minh (1) Ta có hợp đóng hay = X\X Bởi X nên X tập mở, kéo theo X\X tập tập hợp đóng Tƣơng tự, ta có X = X\ Mặt khác, nên tập mở Suy X\ tập hợp đóng hay X tập đóng (2) Giả sử F1, F2, …, Fn tập hợp đóng Khi đó, ta chứng minh n Fi i1 tập hợp đóng Thật vậy, ta có n X\ n X Fi = i  Fi  i1 Bởi F1, F2, …, Fn tập hợp đóng nên với i = ̅̅̅̅̅ , X\Fi tập mở, kéo n theo X Fi  tập mở Do đó, X\ i1 (3) Giả sử có {  A n n Fi i  } tập mở hay Fi tập đóng i  họ tùy ý tập hợp đóng Khi đó, ta chứng minh F tập hợp đóng Thật vậy, ta có X\  A Mặt khác, { } 𝛼  A X Fα  họ tùy ý tập hợp đóng nên suy X\ X A kéo theo  A  A F = Fα  tập hợp mở hay X\  A tập mở với Nhƣ vậy, F F tập đóng Định nghĩa Giả sử A tập không gian tôpô (X, τ) x 1.1.7 X Khi đó, (1) x đƣợc gọi điểm A tồn U cho x U A (2) x đƣợc gọi điểm A tồn U cho x U X\A (3) x đƣợc gọi điểm biên A X đồng thời khơng điểm khơng điểm ngồi A, nghĩa với lân cận mở U x ta có U A ,U X\A (4) x đƣợc gọi điểm tụ A với lân cận U x ta có U A\{x}) (5) x đƣợc gọi điểm cô lập A khơng điểm tụ A hay với lân cận U x ta có U A= 1.1.8 Định nghĩa Giả sử A tập khơng gian tơpơ (X, τ) Khi đó, (1) Tập tất điểm A gọi phần A kí hiệu IntA (2) Tập tất điểm A gọi phần ngồi A kí hiệu ExtA (3) Tập tất điểm biên A gọi biên A kí hiệu A (4) Tập tất điểm tụ A gọi dẫn xuất A kí hiệu Ad 1.1.9 Định lí Giả sử A tập không gian tôpô (X, τ) Khi đó, (1) IntA = {V X : V mở V A} (2) ExtA = {V X: V mở V X\A} Chứng minh (1) Với x V0 cho x V0 IntA, X điểm A nên suy tồn A Do đó, V0 {V X: V mở V A}, dẫn đến V0 Mặt khác, x {V X: V mở V A} V0 nên x {V X: V mở V A} Nhƣ vậy, Int A Tiếp theo, giả sử x cho x {V {V X: V mở V X: V mở V {V X: V mở V Từ (1.1) (1.2) suy IntA = {V (1.1) A} Khi đó, dấn đến tồn V0 A Suy x điểm A nên x V0 A} IntA Do đó, A} X : V mở V IntA (1.2) A} (2) Tƣơng tự (1) 1.1.10 Định lí Giả sử A, B tập không gian tôpô (X, τ) Khi đó, khẳng định sau (1) X = IntA A ExtA (2) ExtA = Int (X\A) (3) Các tập hợp IntA ExtA tập mở, tập hợp A tập đóng (4) IntA tập mở lớn A (5) A mở A = IntA (6) Nếu A (7) Int(A B, IntA B) = IntA IntB, ExtB ExtA IntB (8) A = (X\A) Chứng minh (1) Ta có IntA A Mặt khác, với x IntA x X x x ExtA IntA X (1.3) A x A ExtA, kéo theo ExtA Nhƣ vậy, X Từ (1.3) (1.4) suy X = IntA IntA A A ExtA ExtA (1.4) (2) Với x ExtA, tồn U X\A, dẫn đến x Hơn nữa, với x Int(X\A) Suy ExtA Int(X\A), tồn U điểm A hay x X\A, kéo theo x điểm cho x Int(X\A) cho x ExtA Suy Int(X\A) (1.5) X\A, kéo theo x ExtA (1.6) Từ (1.5) (1.6) suy ExtA = Int(X\A) (3) Theo Định lí 1.1.9 ta có Int A = {V X: V mở V A} Hay IntA hợp tất tập mở A Hơn nữa, hợp tùy ý tập mở tập mở nên IntA tập hợp mở Tƣơng tự, theo Định lí 1.1.9, ta có ExtA = {V X: V mở V X\A} Hay ExtA hợp tất tập mở X\A Hơn nữa, hợp tùy ý tập mở tập mở nên ExtA tập hợp mở Ta có, X = IntA A = X\(IntA A ExtA) Mặt khác, IntA, ExtA tập hợp mở nên IntA Do vậy, X\(IntA ExtA, kéo theo ExtA tập hợp mở ExtA) tập hợp đóng hay A tập hợp đóng (4) Giả sử B tập mở lớn A Khi đó, ta chứng minh B IntA Thật vậy, ta có B {V: V mở V A}, điều suy B Do vậy, B {V X: V mở V A} = IntA IntA (5) (5.1) Giả sử A tập hợp mở Ta chứng minh A = IntA Thật vậy, ta có IntA A Hơn nữa, với x V A, A tập mở, kéo theo tồn V A, dẫn đến x điểm A hay x A = IntA IntA Do đó, A cho x IntA Nhƣ vậy, (5) 𝒫 đƣợc gọi cs-mạng (cs-network) X với dãy L hội tụ đến x 𝒫 cho L từ lúc nằm U với U mở X, tồn P P U 2.1.4 Định nghĩa Giả sử A tập X Khi đó, X đƣợc gọi khơng X, A tập đóng X khơng gian dãy (sequential) với tập A có dãy A hội tụ đến điểm A 2.1.5 Bổ đề Giả sử 𝒫 cs*-mạng X Khi đó, ta giả thiết 𝒫 khép kính với phép giao hữu hạn Chứng minh Ta đặt 𝒬 = { ℋ: ℋ họ hữu hạn 𝒫} Khi đó, (1) 𝒫 𝒬 Thật vậy, giả sử P 𝒫 Khi đó, ta đặt ℋ = {P} ℋ họ hữu hạn 𝒫 Hơn nữa, P= nên ta suy 𝒫 ℋ 𝒬 𝒬 (2) Giả sử 𝒫 cs*-mạng X Khi đó, với dãy L hội tụ đến x mở X, tồn P 𝒫 𝒬 nên P 𝒫 cho L thƣờng xuyên gặp P U, với U U Mặt khác, 𝒬 Vậy 𝒬 cs*-mạng X Nhƣ vậy, 𝒬 cs*-mạng X nên ta giả thiết 𝒫 khép kính với phép giao hữu hạn 2.1.6 Định nghĩa Giả sử 𝒫 = {𝒫x: x kiện (a) (b) sau với x X} phủ X thõa mãn điều X (a) 𝒫x mạng x (b) Nếu P1, P2 𝒫x tồn P 𝒫x cho P 28 P1 P2 Khi đó, (1) 𝒫 đƣợc gọi sở yếu (Weak base) X, với tập G mở X với x G, tồn P X, G 𝒫x cho P G Lúc này, ta nói 𝒫x sở lân cận yếu x phần tử 𝒫x đƣợc gọi lân cận yếu x (2) 𝒫 đƣợc gọi sn-mạng (sn-network) X, phần tử 𝒫x lân cận dãy x với x X Lúc đó, ta nói 𝒫x sn-mạng x 2.1.7 Bổ đề Giả sử 𝒫 họ gồm tập X Khi đó, khẳng định sau (1) Nếu 𝒫 sở, sở yếu (2) Nếu 𝒫 sở yếu, sn-mạng (3) Nếu 𝒫 sn-mạng, cs-mạng (4) Nếu 𝒫 cs-mạng, cs*-mạng (5) Trong không gian dãy, 𝒫 sở yếu sn-mạng Chứng minh (1) Giả sử 𝒫 sở X Khi đó, với x 𝒫x = {P 𝒫 = {𝒫x : x 𝒫: x P}, X} Hơn nữa, (1.1) 𝒫x mạng x Thật vậy, giả sử x U với U mở X Khi đó, 𝒫 𝒫 cho sở X nên theo Nhận xét 1.2.2 tồn P x Điều chứng tỏ P (1.2) Giả sử P1, P2 dẫn đến P1 X, ta đặt P U 𝒫x 𝒫x mạng x 𝒫x Khi đó, 𝒫 sở X nên P1, P2 tập mở X, P2 tập mở X Mặt khác, x P1 P2 nên P1 P2 lân cận mở x Hơn nữa, 𝒫 sở X nên dựa vào Định lí 1.2.3 ta suy tồn P 𝒫 cho x Do vậy, tồn P 𝒫x cho P P1 P P1 P2 P2 29 (1.3) Giả sử U tập X Khi đó, x (a) Nếu U tập mở x U, 𝒫 sở X nên tồn P P 𝒫x cho P U Bởi thế, tồn P (b) Giả sử với x U 𝒫x cho x U, tồn P X nên P tập mở X Do vậy, với x x P 𝒫 cho U Bởi 𝒫 sở P U, tồn P cho U Suy U tập mở X Từ chứng minh trên, ta suy đƣợc 𝒫 sở yếu X (2) Giả sử 𝒫 sở yếu X Ta chứng minh rằng, 𝒫 sn-mạng X Thật vậy, giả sử 𝒫 = {𝒫x: x X} sn-mạng X Nhờ Định nghĩa 2.1.6 ta suy rằng, để chứng minh 𝒫 sn-mạng ta cần chứng minh phần tử 𝒫x lân cận dãy x với x X Giả sử ngƣợc lại tồn x X Px 𝒫x cho Px không lân cận dãy x Suy tồn dãy S = {xn} hội tụ đến x X cho tồn dãy L={ Px = Khi đó, ta có khẳng định sau } S thõa mãn L (2.1) Bởi L (2.2) x Px = nên x L ̅ Thật vậy, giả sử V lân cận x Lúc này, L = { dãy hội tụ đến x nên tồn m0 cho V với i Suy V x L } m0 Dựa vào Định lí 1.1.12 ta suy đƣợc x ̅ Điều chứng tỏ ̅ (2.3) Giả sử y X\L Khi đó, ta xét trƣờng hợp sau Trƣờng hợp 1: Nếu y = x, Px Trƣờng hợp 2: Nếu y nên tồn Py X\L x, {x} L tập hợp đóng 𝒫 sở yếu X 𝒫y cho y Py X\ { } 30 X\L Từ hai trƣờng hợp ta suy với y y F X\L, tồn F 𝒫y cho X\L Bởi 𝒫 sở yếu X nên X\L tập mở X Kéo theo L tập đóng X Dựa vào Định lí 1.1.12 suy L = ̅ Kết hợp với khẳng định (2.2) suy ̅ = L x Điều mâu thuẫn với khẳng định (2.1) x (3) Giả sử 𝒫 sn-mạng X, x L X, {xn} dãy hội tụ đến x U lân cận x Khi đó, theo tính chất sn-mạng ta suy 𝒫x mạng x hay x P 𝒫x U với P Mặt khác, phần tử 𝒫 lân cận dãy x {xn} dãy hội tụ đến x nên tồn m cho {x} {xn : n m} P U Điều chứng tỏ 𝒫 cs-mạng X (4) Giả sử 𝒫 cs-mạng X, {xn} dãy X hội tụ đến x cận mở x X U lân X Khi đó, 𝒫 cs-mạng X nên tồn m {x} {xn : n m} P U Bây giờ, ta đặt = xi+m với i { , } dãy {xn} Hơn nữa, {x} { nên {xn} thƣờng xuyên gặp P :i } = {x} U Do vậy, ta suy 𝒫 cs*-mạng X 31 { :n m} P U, cho (5) Giả sử X không gian dãy, sử dụng khẳng định (2) ta cần chứng minh sn-mạng sơ sở yếu Thật vậy, giả sử 𝒫 = X Ta chứng minh với tập G x G, tồn P 𝒫x cho P G G suy G lân cận x, 𝒫x mạng x (do 𝒫 sn-mạng x) nên tồn P x cho x Px X} sn-mạng X, G mở X với (5.1) Giả sử G mở X, với x (5.2) Ta chứng minh G {𝒫x: x P 𝒫x cho G X thõa mãn với x G, tồn Px 𝒫x G, G tập mở X Thật vậy, giả sử ngƣợc lại G không mở X, kéo theo X\G khơng đóng X Khi đó, X khơng gian dãy nên tồn dãy {xn} X\G hội tụ đến x ta suy tồn Px X\G Mặt khác, x G nên theo giả thiết 𝒫x cho x Px G Hơn nữa, Px lân cận dãy x nên tồn m {x} Điều mâu thuẫn với xn {xn: n m} cho Px G Do vậy, sử dụng Định nghĩa 2.1.6 ta G với n suy 𝒫 sở yếu X 2.2 Tính chất phủ quy 2.2.1 Định nghĩa Giả sử 𝒫 phủ X Khi đó, (1) 𝒫 đƣợc gọi phủ quy X với x X với lân cận mở U x, tồn lân cận mở V x cho tập hợp sau hữu hạn {P 𝒫: P V ,P U} (2) 𝒫 đƣợc gọi phủ điểm-chính quy X với x cận mở U x, tập hợp sau hữu hạn {P 𝒫: x P, P 32 U} X với lân (3) 𝒫 đƣợc gọi phủ cs-chính quy X với x X, với T(x) dãy hội tụ đến x với lân cận mở U x, tồn m cho tập hợp sau hữu hạn 𝒫: P {P T(x,m) ,P 2.2.2 Nhận xét Giả sử 𝒫 phủ X 𝒬 U} 𝒫 phủ 𝒫 Khi đó, 𝒫 phủ quy cs-chính quy điểm-chính quy X, 𝒬 Chứng minh (1) Giả sử 𝒫 phủ quy X, x X U lân cận mở x X Khi đó, 𝒫 phủ quy X nên tồn lân cận mở V x cho tập sau hữu hạn 𝒫: P {P Hơn nữa, 𝒬 V ,P U} 𝒫 nên suy {P 𝒬: P V ,P U} 𝒫: P {P V ,P U} Do đó, tập hợp sau hữu hạn 𝒬: P {P V ,P U} Nhƣ vậy, 𝒬 phủ quy X (1) Giả sử 𝒫 phủ cs-chính quy X, x X, U lân cận mở x T(x) dãy hội tụ đến x X Khi đó, tồn m cho tập hợp sau hữu hạn 𝒫: P {P Mặt khác, 𝒬 {P 𝒬: P T(x,m) ,P U} 𝒫 nên ta suy T(x,m) ,P U} {P 𝒫: P T(x,m) Do vậy, tập hợp sau hữu hạn {P 𝒬: P T(x,m) 𝒬 phủ cs-chính quy X 33 ,P U}, ,P U} (2) Giả sử 𝒫 phủ điểm-chính quy X, x X U lân cận mở x X Khi đó, tập hợp sau hữu hạn Lại 𝒬 {P 𝒫: x P, P 𝒬: x P, P U} 𝒬: x P, P U} 𝒫 nên ta suy {P 𝒫: x {P P, P U} Điều kéo theo tập hợp {P U} hữu hạn 𝒬 phủ điểm-chính quy X 2.2.3 Bổ đề Giả sử 𝒫 phủ khơng gian X Khi đó, tính chất “ quy”, “cs-chính quy”, “điểm-chính quy” khép kín phép giao hữu hạn Chứng minh Ta đặt 𝒬 = { ℋ: ℋ họ hữu hạn 𝒫} (1) Giả sử 𝒫 phủ quy X Ta chứng minh 𝒬 phủ quy X Thật vậy, giả sử x X U lân cận mở x X Khi đó, 𝒫 phủ quy nên tồn lân cận mở V x cho tập hợp sau hữu hạn ℱ = {P 𝒫: P V ,P U} Mặt khác, {P 𝒬: P V ,P U} = { ℋ: ℋ hữu hạn, ℋ ℱ} Nên ta suy tập hợp {P 𝒬: P V ,P U} hữu hạn 𝒬 phủ quy X (2) Giả sử 𝒫 phủ cs-chính quy X Ta chứng minh 𝒬 phủ cs-chính quy X Thật vậy, giả sử x X, T(x) dãy hội tụ đến x U lân cận mở x X Khi đó, 𝒫 phủ cs-chính quy nên tồn m cho tập hợp sau hữu hạn 34 ℱ = {P 𝒫: P T(x,m) ,P U} Hơn nữa, {P 𝒬: P T(x,m) ,P U} = { ℋ: ℋ hữu hạn, ℋ ℱ} nên ta suy tập hợp {P 𝒬: P T(x,m) ,P U} hữu hạn 𝒬 phủ cs-chính quy X (3) Giả sử 𝒫 phủ điểm-chính quy X Ta chứng minh 𝒬 phủ điểm-chính quy X Thật vậy, giả sử x X U lân cận mở x X Khi đó, 𝒫 phủ điểm-chính quy X nên tập hợp sau hữu hạn ℱ = {P 𝒫: x P, P U} Cuối cùng, {P 𝒬: x P, P U} = { ℋ: ℋ hữu hạn, ℋ ℱ}, nên ta suy tập hợp {P 𝒬: x P, P U} hữu hạn 𝒬 phủ điểm-chính quy X 2.2.4 Bổ đề Giả sử 𝒫 phủ X Khi đó, (1) Nếu 𝒫 phủ quy, 𝒫 phủ cs-chính quy (2) Nếu 𝒫 phủ cs-chính quy, 𝒫 phủ điểm-chính quy Chứng minh (1) Giả sử 𝒫 phủ quy X, x X, T(x) dãy hội tụ đến x X U lân cận mở x X Khi đó, 𝒫 phủ quy nên tồn lân cận mở V x cho tập hợp sau hữu hạn {P 𝒫: P V ,P U} Mặt khác, V lân cận mở x T(x) dãy hội tụ đến x X nên tồn m cho T(x, m) V Do đó, 35 {P 𝒫: P T(x, m) 𝒫: P Cuối cùng, tập hợp {P 𝒫: P ,P U} {P V ,P U} V ,P U} hữu hạn nên ta suy tập hợp sau hữu hạn {P 𝒫: P T(x, m) ,P U} Nhƣ vậy, 𝒫 phủ cs-chính quy X (2) Giả sử 𝒫 phủ cs-chính quy X, x X U lân cận mở x X Khi đó, với T(x) dãy hội tụ đến x X tồn m cho tập hợp sau hữu hạn {P 𝒫: P T(x, m) 𝒫: x P, P U} {P 𝒫: x P, P ,P U} Mặt khác, {P {P 𝒫: P T(x, m) ,P U} nên ta suy tập hợp U} hữu hạn Do vậy, 𝒫 phủ điểm-chính quy X 2.2.5 Định lí Nếu 𝒫 phủ quy X, 𝒫̅ = { ̅ : P 𝒫} phủ quy X Chứng minh Giả sử ngƣợc lại 𝒫̅ khơng phải phủ quy X Khi đó, tồn x X lân cận mở U x cho với lân cận mở V x mà V U ta có 𝒫V = {P 𝒫: ̅ ,̅ V U} tập hợp vơ hạn Bởi X khơng gian quy U lân cận mở x nên dựa vào Định lí 1.3.2 ta suy tồn lân cận mở U0 x cho x U0 ̅̅̅ U 36 Khi đó, (1) P cho U với P 𝒫V Thật vậy, giả sử ngƣợc lại rằng, tồn n0 U0 Suy ̅̅̅̅̅̅̅ Điều mâu thuẫn với ̅̅̅̅̅ (2) P V ̅̅̅ U U với n 𝒫V Thật vậy, giả sử tồn P0 với P P0 Khi đó, P0 𝒫V cho V= X\V Mặt khác, X\V tập đóng nên ̅̅̅̅̅ = X\V ̅ Điều suy ̅ 𝒫V V = , dẫn đến mâu thuẫn với P0 𝒫V Từ (1) (2) suy với P P 𝒫: P {P V ,P U0} Nhƣ vậy, với lân cận mở V x, ta có 𝒫V {P 𝒫: P V ,P U0} Do đó, tập hợp sau vơ hạn {P 𝒫: P V ,P U0}, dẫn đến mâu thuẫn với 𝒫 phủ quy X 2.2.6 Bổ đề Giả sử X không gian 𝒫 họ gồm tập X Khi đó, khẳng định sau tương đương (1) 𝒫 phủ điểm-chính quy X; (2) Với x X, ℋ tập vô hạn đếm {P 𝒫: x P}, ℋ mạng x Chứng minh (1) => (2) Giả sử 𝒫 phủ điểm-chính quy X với điểm x X, ℋ = {Pn: n } tập vô hạn đếm đƣợc tập {P 𝒫: x P} Ta cần chứng minh ℋ mạng x X Thật vậy, giả sử ngƣợc lại tồn 37 x X cho ℋ không mạng x Khi đó, tồn lân cận mở U x X cho Pn U với n Mặt khác, 𝒫 phủ điểm-chính quy X nên 𝒫: x {P tập hợp hữu hạn Do đó, {Pn: n U} } tập hữu hạn Điều mâu thuẫn với } tập vô hạn đếm đƣợc tập {Pn: n 𝒫: x {P Nhƣ vậy, {Pn: n 𝒫: x P} } mạng x X với x X X, ℋ tập vô hạn đếm đƣợc (2) => (1) Giả sử với x tập {P P, P P}, ta có ℋ mạng x X Khi đó, ta phải chứng minh 𝒫 phủ điểm-chính quy X Thật vậy, giả sử ngƣợc lại 𝒫 khơng phủ điểm-chính quy X Khi đó, tồn x {P 𝒫: x X lân cận mở U x cho P, P U} tập hợp vô hạn Bây giờ, ta lấy dãy vô hạn {Pn: n } {P 𝒫: x P, P U} Mặt khác, 𝒫: x P, P U} {P 𝒫: x {Pn: n } {P 𝒫: x P} {P P}, nên suy } mạng x Do đó, dựa vào Định nghĩa 2.1.3 ta Nhờ giả thiết suy {Pn: n suy x U với n0 38 Điều dẫn đến mâu thuẫn với cách chọn dãy {Pn} Pn U với n Do vậy, 𝒫 phủ điểm-chính quy X Bây giờ, giả sử 𝒫 họ tập không gian X Ta đặt ℒ(X) = { { } } 𝒫m = { } 2.2.7 Bổ đề Giả sử 𝒫 phủ điểm-chính quy X Khi đó, với P Q 𝒫m cho P Q Chứng minh Giả sử ngƣợc lại không tồn Q tồn x, y X dãy {Pn: n Pn Pn+1 Pn Pn+1 với n Pn với n Pn với n Q Khi đó, ; nên ta suy {Pn: n } 𝒫: x {P Điều chứng tỏ {Pn: n P} {P 𝒫: y P} } dãy vô hạn đếm đƣợc {P 𝒫: x P} {P Do vậy, từ Bổ đề 2.2.6 ta suy {Pn: n X\{y} lân cận mở x nên tồn n x kéo theo y 𝒫m cho P } thõa mãn P1 = P, {x, y} Bởi {x, y} 𝒫, tồn Pn 𝒫: y } mạng x y Bởi cho X\{y}, Pn Điều mâu thuẫn với {Pn: n } {P P} 𝒫: y Do vậy, bổ đề đƣợc chứng minh 39 P} 2.2.8 Bổ đề Giả sử 𝒫 họ gồm tập khơng gian X Khi đó, khẳng định sau (1) Nếu 𝒫 phủ điểm-chính quy X, 𝒫 ℒ(X) phủ điểm-chính quy X (2) Nếu 𝒫 cs*-mạng X, 𝒫 ℒ(X) cs*-mạng X Chứng minh (1) Giả sử 𝒫 phủ điểm-chính quy X Khi đó, ta cần chứng minh 𝒫 ℒ(X) phủ điểm-chính quy X Thật vậy, với x X U lân cận mở x X, 𝒫 phủ điểm-chính quy X nên 𝒫: x {P P, P U} tập hợp hữu hạn Hơn nữa, ℒ(X): x {P P} = {x} nên ta suy tập hợp sau hữu hạn {P Nhƣ vậy, 𝒫 𝒫 ℒ(X): x P, P U} ℒ(X) phủ điểm-chính quy X (2) Giả sử 𝒫 cs*-mạng X Ta chứng minh 𝒫 cs*-mạng X Thật vậy, giả sử {xn} dãy hội tụ đến x ℒ(X) X U lân cận mở x X Khi đó, 𝒫 cs*-mạng X nên tồn dãy { {xn} P 𝒫 cho { } từ lúc nằm P tức {x} Mặt khác, 𝒫 𝒫 :k } P ℒ(X) nên ta suy tồn P {x} Do đó, 𝒫 { { :k } ℒ(X) cs*-mạng X 40 P U 𝒫 U ℒ(X) cho } 2.2.9 Bổ đề Giả sử X không gian 𝒫 cs*-mạng vừa phủ điểm-chính quy X Khi đó, 𝒫m cs*-phủ X Chứng minh Giả sử 𝒫 cs*-mạng phủ điểm-chính quy X Ta cần chứng minh 𝒫m cs*-phủ X Thật vậy, giả sử {xn} dãy hội tụ đến x X Khi đó, 𝒫 cs*-mạng X nên tồn dãy { } {xn} tồn P 𝒫 cho {x} { :i Do đó, nhờ Bổ đề 2.2.7 ta suy tồn 𝒭 {x} { } P 𝒫m cho :i } P 𝒭 Điều chứng tỏ 𝒫m cs*-phủ X 2.2.10 Bổ đề Giả sử 𝒫 phủ không gian X Ta đặt 𝒬 = (𝒫/ 𝒫m) ℒ(X) Khi đó, 𝒫 phủ điểm-chính quy X, 𝒬 Chứng minh Giả sử 𝒫 phủ điểm-chính quy X Khi đó, nhờ Bổ đề 2.2.8 ta suy ℋ=𝒫 ℒ(X) phủ điểm-chính quy X Mặt khác, 𝒬 ℋ phủ ℋ nên theo Nhận xét 2.2.2 ta suy 𝒬 phủ điểm-chính quy củ 41 KẾT LUẬN Luận văn đạt đƣợc kết nhƣ sau Hệ thống lại số kiến thức tơpơ đại cƣơng Trình bày khái niệm mạng chứng minh chi tiết bổ đề liên quan Trình bày khái niệm, tính chất phủ quy chứng minh chi tiết số bổ đề liên quan TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Lƣơng Quốc Tuyển, Phủ cs-chính quy khơng gian khả mêtric, Tạp chí Khoa học công nghệ, Đại học Đà Nẵng, 43 (2011), 108 – 102 [2] A V Arhangel’skii, On the metrization of topological spaces (in Russian), Bull Acad Pol Sci., Ser Sci Math Astron Phys., (1960), 589 – 595 [3] J Jiang, Metrizablity of topological with a cs-regular base, Questions and Answers in General Topology, (1987), 243 – 248 [4] S Lin, Weak bases and metrization theorems (in Chinese), J Sichuan Univ., Nat Sci Ed., 30 (1993) , 164 -166 [5] S Lin, P Yan, cs-regular networks and metrization theorems, Topology Proc., 30 (2) (2006), – 42 ... lại số kết liên quan đến mạng tính chất phủ quy nên tác giả chọn đề tài: ? ?Một số tính chất phủ quy? ?? Mục đích nghiên cứu Hệ thống lại số kiến thức tơpơ đại cƣơng Tìm hiểu số tính chất phủ quy. .. hữu hạn