Một số tính chất của vành có tính chất (p)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN PHI NHƯNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA VÀNH CÓ TÍNH CHẤT (P) LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An - 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN PHI NHƯNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA VÀNH CÓ TÍNH CHẤT (P) Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS TS NGÔ SỸ TÙNG Nghệ An - 2015 MỤC LỤC Mục lục Các quy ước ký hiệu luận văn Mở đầu Khái niệm 1.1 Môđun cốt yếu 1.2 Môđun bé (hay đối cốt yếu) Vành có tính chất (P ) 12 21 2.1 Môđun đối suy biến không đối suy biến 21 2.2 Vành có tính chất (P) 30 Kết luận 35 Tài liệu tham khảo 36 CÁC QUY ƯỚC VÀ KÝ HIỆU TRONG LUẬN VĂN A∼ =B : Môđun A đẳng cấu với B A⊆M ˚ A →M ∗ A →M E(M ) M/U Z(M ) ⊕ Z(M ) → M ⊕ ⊆ : : : : : : : : : : m A môđun môđun M A môđun bé M A môđun cốt yếu M Bao nội xạ M Môđun thương M U Môđun đối suy biến Z(M ) hạng tử trực tiếp môđun M Tổng trực tiếp môđun Tập hợp tập hợp Kết thúc chứng minh MỞ ĐẦU Một vành R gọi có tính chất (P ) Z(M ) hạng tử trực tiếp M với M R-môđun (trong Z(M ) = ∩ {N ≤ M | M/N môđun bé bao nội xạ nó}) Mục đích luận văn dựa vào tài liệu [4] để nghiên cứu, tìm hiểu lớp môđun Z(M ) số tính chất lớp vành có tính chất (P ) Vì đề tài luận văn chọn là: "Một số tính chất vành có tính chất (P )" Nội dung luận văn tìm hiểu nghiên cứu, trình bày có hệ thống số kết tài liệu tham khảo Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, nội dung luân văn chia làm hai chương Chương I: Khái niệm 1.1 Môđun cốt yếu 1.2 Môđun bé (hay đối cốt yếu) Trong chương trình bày số khái niệm làm sở cho việc trình bày nội dung luận văn chương sau Chương II: Vành có tính chất (P ) 2.1 Môđun đối suy biến không đối suy biến 2.2 Vành có tính chất (P ) Trong chương trình bày số khái niệm môđun đối suy biến, môđun không đối suy biến vành có tính chất (P ) Luận văn thực hoàn thành trường Đại học Vinh, hướng dẫn khoa học thầy giáo PGS.TS Ngô Sỹ Tùng Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn kính trọng sâu sắc tới thầy, người hướng dẫn tận tình, chu đáo động viên nhiều suốt trình học tập hoàn thành luận văn Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy giáo, cô giáo khoa sư phạm Toán học - Trường Đại Học Vinh dành thời gian giảng dạy nhiệt tình, truyền đạt kiến thức bổ ích cho Cuối cùng, xin chân thành cảm ơn tới gia đình, bạn bè động viên Trong suốt trình học tập nghiên cứu cố gắng, nổ lực thời gian kiến thức hạn chế nên luận văn có nhiều thiếu sót Kính mong nhận góp ý thầy, cô bạn để luận văn hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn! CHƯƠNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN Trong toàn luận văn, tất vành giả thiết vành có đơn vị kí hiệu (không thiết giao hoán) môđun vành hiểu môđun phải Unita (nếu không nói thêm) Chương trình bày số khái niệm liên quan đến việc chứng minh mệnh đề, định lý cho chương sau 1.1 Môđun cốt yếu m 1.1.1 Định nghĩa Cho môđun M (trên vành R cố định) A ⊆ M A m gọi môđun cốt yếu M với ∀B ⊆ M , B = A ∩ B = ∗ Kí hiệu A → M m ∗ 1.1.2 Hệ A → M ⇔ ∀B ⊆ M mà A ∩ B = ⇒ B = 1.1.3 Ví dụ ∗ Với môđun M M → M Xét Z - môđun Khi với môđun khác không Z cốt yếu m Chứng minh Lấy A ⊆ Z, A = ⇒ A = k Z(k ∈ N∗ ) m Lấy B ⊆ Z, (B = 0) ⇒ B = nZ(n ∈ N∗ ) Suy kn ∈ k Z ∩ nZ kn = ∗ Suy kn ∈ A ∩ B(kn = 0) ⇒ A → Z Xét Z - môđun Q (Tức nhóm cộng sô hữu tỷ) Khi với môđun khác không Q cốt yếu Q Chứng minh m Lấy A, B ⊆ Q (A, B = 0) c a ⇒ tồn ∈ A, ∈ B(a, b, c, d ∈ Z∗ ) ta có b a d ca = cb ∈ A bc ac = ad ∈ B d ⇒ ac ∈ A ∩ B(ac = 0) ∗ ⇒ A → Q m 1.1.4 Định nghĩa Môđun U gọi ∀A ⊆ U (A = 0) ∗ A →U m 1.1.5 Hệ Môđun U ⇔ ∀A, B ⊆ U (A, B = 0) A ∩ B = Ví dụ: 1.Các Z - môđun (tức nhóm cộng) Z Q môđun m 1.1.6 Định nghĩa Cho A ⊆ M Ta nói A môđun đóng M A không môđun cốt yếu thực môđun M ⊕ Ví dụ: Cho A hạng tử trực tiếp môđun M A → M A đóng M 1.1.7 Mệnh đề Với môđun A môđun M tồn môđun B M cho A ⊕ B cốt yếu M Chứng minh Đặt S = {X ⊆ M : X ∩ A = 0} Vì ∈ S nên S = φ Ta thứ tự S theo quan hệ bao hàm Lấy tập thứ tự tuyến tính m m m m S cho X1 ⊆ X2 ⊆ ⊆ Xn ⊆ (*) ∞ Khi C = ∪ Xi môđun M lân cận (*) i=1 Lấy x ∈ A ∩ C suy có số k cho x ∈ Xk , từ ta có x ∈ A ∩ Xk Vậy X = hay C ∩ A = Theo bổ đề Zorn S có phần tử tối đại B ∗ Ta cần chứng minh A ⊕ B → M Thât với ∀Y ⊆ M thỏa mãn A ⊕ B ∩ Y = Ta có A ∩ Y = B ∩ Y = Nếu có a ∈ A, b ∈ B y ∈ Y cho a = b + y y = a.b ∈ A ⊕ B Suy y = a = b = Như A ∩ (B ⊕ Y ) = suy B ⊕ Y ∈ S Do tính tối đại B nên Y = ∗ Vậy A ⊕ B → M 1.1.8 Bổ đề Cho ϕ : N → M đẳng cấu môđun R môđun L N cốt yếu N ⇔ ϕ(L) cốt yếu M ∗ Chứng minh (⇒): Cho L → N ∀X ⊆ M cho ϕ(L) ∩ X = suy L ∩ ϕ−1 (X) = ϕ−1 (X ∩ ϕ(L)) = ϕ−1 (0) = ∗ Do L → N nên ϕ−1 (X) = 0, mà ϕ đẳng cấu nên X = ∗ Vậy ϕ(L) → M ∗ (⇐): Cho ϕ(L) → M ∀X ⊆ M cho L ∩ Y = Do ϕ đẳng cấu nên ϕ−1 (ϕ(Y )∩ϕ(L)) = ϕ−1 (ϕ(L)∩ϕ−1 (ϕ(Y )) = L∩Y = Suy ϕ(L) ∩ ϕ(X) = ∗ Do ϕ(L) → M nên ϕ(Y ) = suy Y = ∗ Vậy L → N 1.1.9 Mệnh đề Cho môđun M m ∗ (i) A ⊆ M A → M ⇔ ∀x = 0, x ∈ M A ∩ Rx = 10 m m ∗ ∗ ∗ (ii) Cho A ⊆ K ⊆ M , A → M ⇔ A → K K → M m ∗ (iii) Cho f : M → N đồng cấu R-môđun B ⊆ M Nếu B → M ∗ f −1 (B) → M Điều ngược lại không m ∗ n n ∗ (iv) Cho Ai → Bi ⊆ M với i = 1, n Khi ∩ Ai → ∩ Bi , tập i=1 i=1 số vô hạn không m m ∗ ∗ (v) A ⊆ K ⊆ M , K/A → M/A ⇒ K → M m ∗ ∗ (vi) Cho Ai → Mi ⊆ M, ∀i ∈ I , ∃ ⊕ Ai ∃ ⊕ Mi , ⊕ Ai → ⊕ Mi i=0 i=0 i=0 i=0 Chứng minh m ∗ (i) (⇒) Hiển nhiên A ⊆ M ; A → M ∀x = 0, x ∈ M, A ∩ Rx = (⇐) Giả sử ∀x = 0, x ∈ M m Với môđun B ⊆ M ta chứng minh A ∩ B = φ Lấy x ∈ B, x = 0, xét < x >= Rx = {rx/r ∈ R} ⊆ B m Theo giả thiết ta có: A ∩ Rx = nên với B ⊆ M ta có A ∩ B = φ ∗ Vậy A → M ∗ (ii) (⇒) Giả sử A → M lấy môđun X K mà A ∩ X = m m ∗ Do X ⊆ K nên X ⊆ M A → M nên X = ∗ Vậy A → K Tương tự ta lấy môđun Y M mà K ∩ Y = ∗ ∗ Do A → K nên A ∩ Y = A → M nên Y = ∗ Vậy K → M ∗ ∗ (⇐) Nếu A → K K → M Với môđun X M , A ∩ X = Đặt B = K ∩ X , ta có A ∩ B = A ∩ K ∩ X = A ∩ X = φ ∗ ∗ Do A → K nên B = K → M nên X = ⇒ K ∩ X = ∗ Vậy A → M (iii) Với C ⊆ M, C = ta xét hai trường hợp: ∗ Trường hợp 1: f (C) ⊆ M suy f (C) ∩ B = (vì B → M ) Do tồn y ∈ f (C) ∩ B, y = 22 f :R→R a → Kiểm tra f đồng cấu f −1 (I) = A ∗ ∗ Do I → RR nên A → RR (tạo ảnh đầy đủ môđun cốt yếu cốt yếu) Mặt khác xrA ⊆ xI = Vậy xr ∈ Z(M ) Nghĩa Z(M ) môđun M 2.1.3 Định nghĩa Cho môđun M , Khi (1) Nếu Z(M ) = M ta nói M môđun suy biến (2) Nếu Z(M ) = ta nói M môđun không suy biến (3) Nếu < Z(M ) < M ta nói M môđun suy biến 2.1.4 Ví dụ Ta có Z - môđun Z6 môđun suy biến Thật vậy, ta thấy môđun khác Z có dạng nZ (n = 0) có Z Do ta có: Z(Z6 ) = {x ∈ Z6 | ∃ n ∈ N∗ : x.nZ6 = 0} = Z6 Ta có Z6 - môđun Z6 không suy biến Thật vậy, xét Z6 -môđun Z6 , ta thấy Z6 có môđun cốt yếu Z6 Do ta có Z(Z6 ) = {x ∈ Z6 | x.Z6 = 0} = Ta có Z4 - môđun Z4 môđun suy biến môđun không suy biến Thật vậy, xét Z4 - môđun Z4 Ta thấy Z4 có hai môđun cốt yếu {0; 2} Z4 , nên Z(Z4 ) = {0; 2} Vì = {0; 2} = Z4 2.1.5 Mệnh đề Cho M R- môđun Khi ta có (i) Nếu A môđun M Z(A) = A ∩ Z(M ) 23 (ii) Với x ∈ M , ta gọi r(x) = {λ | λ ∈ R, xλ = 0} linh hóa tử phải ∗ x Khi x ∈ Z(M ) r(x) → RR Chứng minh (i) Ta có a ∈ Z(A) ⇔ a ∈ A a ∈ Z(M ) ⇔ a ∈ A ∩ Z(M ) Vậy Z(A) = A ∩ Z(M ) ∗ (ii) Giả sử x ∈ Z(M ), nghĩa tồn I → RR mà xI = m ∗ Suy I ⊆ r(x) r(x) → RR ∗ Ngược lại, r(x) → RR lấy xI = Suy x ∈ Z(M ) ∗ Vậy x ∈ Z(M ) ⇔ r(x) → RR 2.1.6 Định nghĩa Cho M R- môđun Đặt Z(M ) = ∩{U ≤ M |M/U bé } i) Ta có Z(M ) môđun M gọi môđun đối suy biến M; ii) Các phần tử Z(M ) gọi phần tử đối suy biến; iii) Môđun M gọi môđun đối suy biến Z(M ) = Môđun M gọi môđun không đối suy biến Z(M ) = M 2.1.7 Định nghĩa (1) Cho M R- môđun phải, R- môđun phải N gọi môđun M - sinh tồn toàn cấu từ M (∧) vào N , với ∧ tập số M (∧) tổng trực tiếp M : M (∧) = ⊕ Mi , Mi = M, ∀i ∈ ∧ i∈∧ (2) Ta gọi σ[M ] phạm trù đầy phạm trù M od − R mà vật môđun môđun M - sinh 2.1.8 Mệnh đề (i) Môđun môđun thuộc phạm trù σ[M ] thuộc phạm trù σ[M ] (ii) Môđun thương môđun thuộc phạm trù σ[M ] môđun thuộc phạm trù σ[M ] 24 Chứng minh m (i) Giả sử K ∈ σ[M ] N ⊆ K ta cần chứng minh N ∈ σ[M ] m Thật vậy, K ∈ σ[M ] N ⊆ K m Ta có K ⊆ L với L môđun M - sinh, N môđun môđun M - sinh L, nên N ∈ σ[M ] m m (ii) Giả sử L ∈ σ[M ], K ⊆ L Ta có L ⊆ N với N môđun M - sinh, nên tồn toàn cấu f : M (∧) −→ N với ∧ tập số Từ ta có g : M (∧) −→ N/K x −→ f (x) + K toàn cấu, N/K môđun M -sinh m Nhưng ta lại có L/K ⊆ N/K , L/K ∈ σ[M ] 2.1.9 Định nghĩa Cho M, N R - môđun, N gọi suy biến ∗ σ[M ] (hay M - suy biến ) N ∼ = L/K với L ∈ σ[M ] K → L 2.1.10 Nhận xét Khi M = R khái niệm M - suy biến trùng với khái niệm suy biến thông thường, có nghĩa N suy biến N R suy biến Chứng minh Thật vậy: ∗ N môđun R - suy biến N ∼ = L/K với L ∈ σ[R], K → L Mặt khác, ta biết σ[R] = M od−R hay L R- môđun, N môđun ∗ R- suy biến N ∼ = L/K với L R- môđun, K → L N suy biến 2.1.11 Mệnh đề (1) Mọi môđun M -suy biến nằm σ[M ] (2) Mọi môđun M suy biến suy biến Tuy nhiên môđun suy biến không thiết phải M - suy biến 25 (3) Lớp môđun M - suy biến đóng việc lấy môđun Có nghĩa là: môđun môđun M - suy biến môđun M - suy biến (4) Lớp môđun M - suy biến đóng với việc lấy tổng trực tiếp (5) Ảnh đồng cấu môđun M - suy biến môđun M - suy biến (6) Mọi môđun N ∈ σ[M ] có chứa môđun M - suy biến lớn nhất, ta kí hiệu ZM (N ) (7) Với R- môđun N , ta có Z(N ) = ZR (N ) Chứng minh (1) Giả sử N môđun M - suy biến ∗ Ta có N ∼ = L/K với L ∈ σ[M ], K → L Ta lại có L/K ∈ σ[M ] Vì môđun thương môđun σ[M ] môđun thuộc σ[M ], mà L ∼ = L/K nên N ∈ σ[M ] ∗ (2) Gọi N môđun M - suy biến, ta có N ∼ = L/K với L ∈ σ[M ], K → L Ta có K L R- môđun, N môđun suy biến m (3) Gọi N môđun M - suy biến, P ⊆ N ∗ Ta có N ∼ = L/K với L ∈ σ[M ], K → L Vậy tồn đẳng cấu f : N −→ L/K , P ∼ = f (P ) m m m Ta có f (P ) ⊆ L/K nên f (P ) = X/K với K ⊆ X ⊆ L Vì L ∈ σ[M ] nên X ∈ σ[M ] ∗ ∗ Vì K → L nên ta có K → X , mà P ∼ = f (P ) = X/K , Do P môđun M - suy biến (4) Gọi Ni , ∀i ∈ I môđun M - suy biến Khi Ni ∼ = Li /Ki với ∗ Li ∈ σ[M ], Ki → Li , ∀i ∈ I Từ ta có đẳng cấu fi : Ni −→ Li /Ki , ⊕fi : Ni −→ ⊕Li /Ki I I (xi )I −→ (fi (xi ))I 26 đẳng cấu hay ⊕Ni ∼ = ⊕Li /Ki I I Ta lại có ⊕Li /Ki ∼ = ⊕Li /⊕Ki I I I f : ⊕Li /Ki −→ ⊕Li /⊕Ki I I I (xi + Ki )I −→ (xi )I + ⊕Ki I đẳng cấu , nên ⊕Ni ∼ = ⊕Li /⊕Ki I I I Ta có Li ∈ σ[M ], ∀i ∈ I nên ⊕Li ∈ σ[M ], phạm trù σ[M ] đóng I ∗ ∗ việc lấy tổng trực tiếp Hơn Ki → Li , ∀i ∈ I nên ⊕Ki → ⊕Li I I ∼ Do ⊕Ni = ⊕Li /⊕Ki môđun M - suy biến I I I (6) Thật vậy, gọi {Ni | i ∈ I} tập tất môđun M - suy biến N Vì lớp môđun M - suy biến đóng việc lấy tổng trực tiếp nên ta có ⊕Ni môđun M - suy biến I Gọi A = {Σxi | (xi )I ∈ ⊕Ni } Ta có A = I Ni I Thật vậy, ∀x ∈ A, ta có x = Σxi với (xi )I ∈ ⊕Ni ⇒ x ∈ I Ngược lại, ∀x ∈ Ni I x biểu diễn hữu hạn x = x1 + +xn ⇒ x ∈ A I Ni môđun N , f : ⊕Ni −→ A Ta có A = I I (xi )I −→ Σxi toàn cấu, hay f (⊕Ni ) = A I Mặt khác, ảnh đồng cấu môđun M - suy biến môđun M - suy biến, A hay Ni môđun M - suy biến, môđun M - suy biến I lớn N (7) Ta có Z(N ) môđun suy biến N nên Z(N ) môđun R- suy biến, mà ZR (N ) môđun R - suy biến lớn N , m Vì Z(N ) ⊆ ZR (N ).(Lớn hiểu theo quan hệ bao hàm, tối đại, hiểu theo nghĩa tối đại theo ta 27 cộng môđun R- suy biến tối đại môđun R- suy biến lớn hơn) ∗ Mặt khác, theo định nghĩa Z(N ) = {x ∈ N | ∃I → R để xI = 0} môđun suy biến N ta thấy Z(N ) môđun suy biến ∗ lớn N , với x ∈ K, ∃I → R để xI = 0, suy x ∈ Z(N ) Vậy Z(N ) môđun R- suy biến lớn N , Z(N ) = ZR (N ) 2.1.12 Mệnh đề Cho M R- môđun phải, ta có điều kiện sau tương đương: (a) M không suy biến σ[M ] (b) Với K ∈ σ[M ] f : K −→ M , ker(f ) đóng K (c) Với K ∈ σ[M ] f : K −→ M , ker(f ) không cốt yếu K Chứng minh (a) ⇒ (b): Giả sử M không suy biến σ[M ] ta cần chứng minh ker(f ) đóng K tức chứng minh ker(f ) không mở rộng cốt yếu thực K ∗ m hay với ker(f ) → N ⊆ K ta suy ker(f ) = N Xét f : K −→ M , gọi g = f /N m Ta có ker(f ) = ker(g) ker(f ) ⊆ N Ta lại có g : N −→ L = g(N ) toàn cấu nên m N/ker(g) = N/ker(f ) ∼ = g(N ) = f (N ) ⊆ M m Vì K ∈ σ[M ], N ⊆ K nên N ∈ σ[M ] (môđun môđun thuộc σ[M ] ∗ môđun thuộc σ[M ]) Mà L ∼ = N/ker(f ), ker(f ) → N L môđun M - suy biến hay ZM (L) = L Do M không M - suy biến nên ZM (M ) = 0, ZM (L) = (L = m f (N ) ⊆ M ), suy L = hay f (N ) = 28 Ta có: ker(f ) = ker(g) = {x ∈ N | f (x) = 0} = N (vì f (N ) = m ker(f ) ⊆ N ) (b) ⇒ (c): Ta xét f đồng cấu tầm thường, ker(f ) = K Vì ker(f ) đóng K nên mở rộng cốt yếu thực K hay ker(f ) không cốt yếu K (c) ⇒ (a): ∗ Giả sử ZM (M ) = N = 0, tồn K ∈ σ[M ], L → K, L = K mà N ∼ = K/L, suy tồn toàn cấu f : K −→ N mà ker(f ) = L tức ∗ f = Vì tồn K ∈ σ[M ] = f : K −→ N cho ker(f ) → K , trái với (c) Do M không suy biến σ[M ] 2.1.13 Định nghĩa (1) Một môđun A σ[M ] gọi nội xạ σ[M ] N - nội xạ với N ∈ σ[M ] (2) Nếu N môđun cốt yếu môđun nội xạ E σ[M ], E gọi bao nội xạ N σ[M ] hay bao M - nội xạ N ∧ ký hiệu N 2.1.14 Định lí Cho M R- môđun Khi ta có (1) Mọi môđun M - suy biến môđun môđun M - sinh M - suy biến (2) Mọi môđun M - suy biến hữu hạn sinh thuộc σ[M/L] với L môđun cốt yếu M Chứng minh ∗ (1) Gọi N môđun M - suy biến, suy N ∼ = L/K với L ∈ σ[M ], K → L ∧ Vì bao M - nội xạ L M - sinh nên L/K M - sinh m ∧ m ∧ ∧ ∧ Ta có L ⊆ L nên L/K ⊆ L/K L ∈ σ[M ] L M - sinh, mặt ∗ ∗ ∧ ∗ ∧ ∧ khác K → L, L → L suy K → L nên L/K môđun M - suy biến 29 ∧ Vậy L/K môđun môđun M - sinh, M - suy biến L/K Mà N ∼ = L/K nên N môđun môđun M - sinh M - suy biến (2) Mọi môđun M - suy biến hữu hạn sinh có dạng N/K với N hữu hạn ∗ sinh thuộc σ[M ] K → N (do định nghĩa) Ta có N môđun cốt yếu ∼ ∼ môđun M - sinh hữu hạn N Do ta có toàn cấu g : M (k) −→ N , k ∈ N ∗ ∼ ∗ Đặt U = g −1 (N ), V = g −1 (K) Vì N → N nên U → M (k) ∗ ∗ ∼ ∗ ∼ ∗ Vì K → N, N → N suy K → N , nên V → M (k) Với phép chiếu tắc εi : M −→ M (k) , i = 1, k , Ta có L := ∩ε−1 i (V ) môđun cốt yếu M i ∗ ∗ Thật vậy, V → M (k) nên ε−1 i (V ) → M, ∀i = 1, k , mà giao hữu hạn ∗ môđun cốt yếu môđun cốt yếu, L → M Ta lại có L(k) nằm hạt nhân ánh xạ hợp thành: g p U −−−→ N −−−→ N/K, Vì f = p ◦ g : U −→ N/K, ker(f ) = {x ∈ U | p ◦ g(x) = K} = {x ∈ U | p(g(x)) = K} = {x ∈ U | g(x) + K} = {x ∈ U | g(x) ∈ K} = g −1 (K) = V m m −1 Vì L = ∩ε−1 i (V ) nên L ⊆ εi (V ), ∀i = 1, k , εi (L) ⊆ V, ∀i = 1, k , i suy với x = (x1 , , xk ) ∈ L(k) , ta có εi (xi ) = (0, , xi , , 0),∀i = 1, k , k Vậy L k k εi (xi ) ∈ εi (xi ) = x mà i=1 i=1 (k) ⊂ V = ker(f ) m ∼ m εi (L) ⊆ V , suy x ∈ V , i=1 m ∼ m Vì N ⊆ N nên N/K ⊆ N /K Để chứng minh N/K ⊆ σ[M/L] ta cần ∼ chứng minh N /K môđun M/L - sinh ∼ Ở ta có toàn cấu g : M (k) −→ N Bây ta xét: ∼ g : M (k) /L(k) −→ N /K x + L(k) −→ g(x) + K 30 h : M (k) /L(k) −→ (M/L)(k) (xi )1,k + L(k) −→ (xi + L)1,k Ta có g toàn cấu h đẳng cấu ∼ Do tồn toàn cấu ϕ = g ◦ h−1 : (M/L)(k) −→ N /K ∼ ⇒ N /K môđun M/L - sinh, suy N/K ∈ σ[M/L] ∗ Vậy N/K ∈ σ[M/L] với L → M 2.2 Vành có tính chất (P) 2.2.1 Mệnh đề Gọi M N R- môđun {Mi |i ∈ I} tập hợp môđun Ta có điều sau đây: Nếu M ⊆ N , Z(M ) ⊆ Z(N ) Z(N/M ) ⊇ (Z(N ) + M )/M Nếu f : M −→ N đồng cấu, f (Z(M )) ⊆ Z(N ) Z(M/Z(M )) = Z( ⊕ Mi ) = ⊕ Z(M ) i∈I Z( i∈I Mi )) ⊆ i∈I Z(Mi ) i∈I Nếu M = N + S mà S môđun bé Z(N ) = Z(M ) Z(M ) môđun nhỏ M nên M/Z(M ) môđun đối suy biến 2.2.2 Bổ đề M môđun bé ⇔ M môđun bé bao nội xạ E(M ) M Chứng minh Ta nhắc lại M gọi môđun bé M môđun bé môđun X Vậy ta cần chứng minh: M môđun bé môđun X ⇔ M môđun bé E(M ) (Ký hiệu E(M ) bao nội xạ môđun M ) Thật vậy: 31 +) (⇒) Cho M môđun bé môđun X đó, nghĩa ˚ M →X ˚ + E(M )(1) Khi ta có M →X Mặt khác E(M ) môđun nội xạ nên E(M ) hạng tử trực tiếp X + E(M ) nghĩa X + E(M ) = E(M ) ⊕ N với N môđun X + E(M ) ˚ Thay vào (1) ta có M →E(M ) ⊕ N Mà M ∩ E(M ) nên theo hệ 1.2.2 ˚ ta suy M →E(M ) +) (⇐) Với M môđun bé bao nội xạ E(M ) ⇒ M môđun bé 2.2.3 Định nghĩa (1) Cho R - môđun M ký hiệu: Z(M ) = ∩ {N ≤ M | M/N môđun bé bao nội xạ } (2) Một vành R gọi có tính chất (P ) ∀R - môđun M có Z(M ) hạng tử trực tiếp M 2.2.4 Mệnh đề Các điều kiện sau tương đương với môđun M : (i) Z(M ) hạng tử trực tiếp M ; (ii) M tổng trực tiếp môđun đối suy biến môđun không đối suy biến Trong trường hợp Z(M ) môđun không đối suy biến lớn M Chứng minh (i)⇒ (ii) Giả sử N môđun M cho M = Z(M ) ⊕ N (bởi [5], mệnh đề 2.1 (7)) N đối suy biến, Z(M ) = Z(Z(M )) ⊕ Z(N ) (bởi [5], mệnh đề 2.1(4) ), có Z(M ) = Z(Z(M )) Do đó, Z(M ) không đối suy biến (Điều phải chứng minh) (ii) →(i) Giả sử N môđun đối suy biến M K môđun không đối suy biến M cho M = N ⊕ K , suy 32 từ [5] (mệnh đề 2.1(4)), Z(M ) = Z(N ) ⊕ Z(K) Như Z(M ) = K hạng tử trực tiếp M Đối với mệnh đề cuối cùng: L môđun không đối suy biến M , từ L = Z(L) ⊆ Z(M ) 2.2.5 Ví dụ Bằng cách áp dụng kết cuối số kết [5], nhận số ví dụ vành có tính chất (P ) (1) Theo [5](mệnh đề 2.5), R vành nửa đơn, môđun R không đối suy biến Do đó, R có tính chất (P ) (2) Nếu R vành mà môđun R đối suy biến xạ ảnh, từ R có tính chất (P ) [5] (Định lý 3.8(4)) 2.2.6 Mệnh đề Đối với vành R điều kiện sau tương đương: (1) R có tính chất (P ); (2) Mỗi môđun R tổng trực tiếp môđun không đối suy biến môđun đối suy biến; (3) (a) Nếu N môđun không đối suy biến môđun M mà M/N đối suy biến, từ N hạng tử trực tiếp M (b) Căn Z lũy đẳng Chứng minh (1) ⇔ (2) theo mệnh đề 2.2.5 (1) ⇒ (3) (a) Theo (1), Z(M ) ⊕ L = M cho số môđun L ≤ M Khi Z(M/N ) = 0, Z(M ) ⊆ N [5] (mệnh đề 2.1(7)) Khi N = Z(M ) ⊕ (L ∩ N ) M = N + L Nhưng M/Z(M ) ∼ = L, ta có Z(L) = Do đó, Z(N ∩ L) = Mặt khác, L ∩ N hạng tử trực tiếp N , L ∩ N không đối suy biến Từ Z(N ∩ L) = N ∩ L = Do M = N ⊕ L (1) ⇒ (3) (b) Theo Mệnh đề 2.2.5 (3) ⇒ (1) Giả sử M R môđun Theo [5] (mệnh đề 2.1) ta có Z(M/Z(M )) = 33 Hơn nữa, ta lại có Z(M ) = Z (M ) theo (b) Vì Z(M ) hạng tử trực tiếp M theo (a) 2.2.7 Hệ Xét điều kiện sau cho vành R (i) R có tính chất (P ); (ii) Giả sử (S, M ) = cho môđun đối suy biến S môđun không đối suy biến M (i) bao hàm (ii) Nếu Z lũy đẳng (ii) bao hàm (i) 2.2.8 Mệnh đề Giả sử R miền Dedekind Các điều kiện sau tương đương: (i) R có tính chất (P ); (ii) R miền Mệnh đề chứng minh [4] 2.2.9 Mệnh đề Giả sử R = R1 ⊕ R2 vành phân tích Từ R có tính chất (P ) R1 R2 có tính chất (P ) Chứng minh Giả sử M R -môđun Theo giả thiết, ta có M = M R1 ⊕ M R2 mà M Ri Ri - môđun với i = 1, Lưu ý Z Ri (M Ri ) = Z R (M Ri ) với i = 1, (xem Bổ đề 2.7 [4]) Từ Z R (M ) = Z R (M R1 ) ⊕ Z R (M R2 ) = Z R1 (M R1 ) ⊕ Z R2 (M R2 ) Từ Ri có tính chất (P ), từ Z Ri (M Ri ) hạng tử trực tiếp M Ri với i = 1, Do đó, R có tính chất (P ) Ngược lại, xem xét Ri - môđun Mi Từ Mi coi R - môđun cho phép nhân sau: xi (r1 + r2 ) = xi ri , với rj ∈ Rj (j = 1, 2) xi ∈ Mi môđun Mi giống R Ri (i = 1, 2) Do Z Ri (Mi ) = ZRi (Mi Ri ) = ZR (Mi Ri ) = ZR (Mi ) Bổ đề 2.7 [4] Như R có tính chất (P ) R1 R2 có tính chất (P ) 34 2.2.10 Mệnh đề Giả sử R vành giao hoán có tính chất (P ) Từ R = R1 ⊕ R2 mà R1 vành quy Neumann R2 vành có tính chất (P ) với Z(R2 ) = Chứng minh Theo mệnh đề 2.2.5, R = R1 ⊕ r2 mà Z(R1 ) = R1 Z(R2 ) = theo mệnh đề 2.2.10, R1 R2 có tính chất (P ) Theo [5] (hệ 2.6), R1 vành nửa đơn Nhưng R1 giao hoán Từ đó, R1 quy von Neumann Điều phải chứng minh Suy ra, giả sử C R = {MR |Z(M ) = 0} bao hàm lớp R –môđun đối suy biến 2.2.11 Mệnh đề Giả sử R vành giao hoán mà C R đóng theo ảnh đồng cấu Các phát biểu sau tương đương: (1) R có tính chất (P ); (2) RR = R1 ⊕ R2 mà R1 ∈ C R Z(R2 ) = R2 ; (3) R quy Neumann Chứng minh (1) ⇒ (2) Điều hiển nhiên (2) ⇒ (3) Theo định đề 2.11, có R1 = Do đó, Z(R) = R Do R nửa đơn [5] (hệ 2.6) Vì R giao hoán, R quy von Neumann (3) ⇒ (1) Theo [5] (hệ 2.5), môđun không đối suy biến Như R có tính chất (P ) 35 KẾT LUẬN Nội dung luận văn nêu số tính chất vành có tính chất (P ), dựa vào tài liệu [4] D.Keskin T¨ ut¨ unc¨ u1 , N Orhan Ertas2,∗ , P F.Smith3 , R Tribak4 (2014) luận văn đã: Trình bày, hệ thống lại số khái niệm +) Môđun cốt yếu +) Môđun bé +) Môđun đối suy biến không đối suy biến Ngoài trình bày có hệ thống hệ quả, ví dụ mệnh đề, bổ đề có liên quan đến khái niệm để làm sở cho chương sau Dựa vào số khái niệm, định lý, bổ đề mệnh đề trình bày phần làm sở để xây dựng khái niệm, bổ đề, mệnh đề phần có liên quan đến nội dung luận văn vành có tính chất (P ) 36 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Tiến Quang, Nguyễn Duy Thuận (2001), Cơ sở lý thuyết mô đun vành, NXB Giáo dục [2] Ngô Sỹ Tùng (1995), Một số lớp vành đặc trưng điều kiện liên tục lớp CS- Môđun, Luận án Phó Tiến Sỹ Toán - Lý, Trường Đại Học Sư Phạm Vinh Tiếng Anh [3] F Kasch (1982) Modules and rings, Academic Press Inc (London) Ltd [4] D.Keskin T¨ ut¨ unc¨ u1 , N Orhan Ertas2,∗ , P F.Smith3 , R Tribak4 (2014) Some rings for which the cosingular submodule of every module is a direct summand, Turk J Math, 38: 649 - 657 [5] Y Talebi ,N Vanaja (2002) The torsion theory cogenerated by M small modules, Comm Algebra, 30 (3): 1449-1460 [...]... (Mi ) Bổ đề 2.7 của [4] Như vậy nếu R có tính chất (P ) khi R1 và R2 có tính chất (P ) 34 2.2.10 Mệnh đề Giả sử R là vành giao hoán có tính chất (P ) Từ đó R = R1 ⊕ R2 như vậy mà R1 là một vành chính quy Neumann và R2 là một vành có tính chất (P ) với Z(R2 ) = 0 Chứng minh Theo mệnh đề 2.2.5, R = R1 ⊕ r2 như vậy mà Z(R1 ) = R1 và Z(R2 ) = 0 theo mệnh đề 2.2.10, cả R1 và R2 đều có tính chất (P ) Theo... Z(M ) = K là một hạng tử trực tiếp của M Đối với mệnh đề cuối cùng: nếu L là một môđun con không đối suy biến của M , từ đó L = Z(L) ⊆ Z(M ) 2.2.5 Ví dụ Bằng cách áp dụng kết quả cuối cùng và một số kết quả của [5], chúng ta có thể nhận được một số ví dụ về vành có tính chất (P ) (1) Theo [5](mệnh đề 2.5), nếu R là một vành nửa đơn, khi đó mỗi môđun R là không đối suy biến Do đó, R có tính chất (P )... là một vành như vậy mà mỗi môđun R đối suy biến là xạ ảnh, từ đó R có tính chất (P ) bởi [5] (Định lý 3.8(4)) 2.2.6 Mệnh đề Đối với vành R các điều kiện sau là tương đương: (1) R có tính chất (P ); (2) Mỗi môđun R là một tổng trực tiếp của một môđun không đối suy biến và một môđun đối suy biến; (3) (a) Nếu N là một môđun con không đối suy biến của một môđun M mà M/N là đối suy biến, từ đó N là một. .. (i) R có tính chất (P ); (ii) R là một miền Mệnh đề đã được chứng minh trong [4] 2.2.9 Mệnh đề Giả sử R = R1 ⊕ R2 là một vành phân tích Từ đó R có tính chất (P ) khi và chỉ khi cả R1 và R2 đều có tính chất (P ) Chứng minh Giả sử M là một R -môđun Theo giả thiết, ta có M = M R1 ⊕ M R2 như vậy mà M Ri là một Ri - môđun với i = 1, 2 Lưu ý rằng Z Ri (M Ri ) = Z R (M Ri ) với i = 1, 2 (xem Bổ đề 2.7 của [4])... bao nội xạ của nó } (2) Một vành R được gọi là có tính chất (P ) nếu ∀R - môđun M luôn có Z(M ) là hạng tử trực tiếp của M 2.2.4 Mệnh đề Các điều kiện sau là tương đương với một môđun M : (i) Z(M ) là một hạng tử trực tiếp của M ; (ii) M là tổng trực tiếp của một môđun con đối suy biến và một môđun con không đối suy biến Trong trường hợp này Z(M ) là môđun con không đối suy biến lớn nhất của M Chứng... (2) ⇒ (3) Theo định đề 2.11, chúng ta có R1 = 0 Do đó, Z(R) = R Do đó R là nửa đơn bởi [5] (hệ quả 2.6) Vì R là giao hoán, R là chính quy von Neumann (3) ⇒ (1) Theo [5] (hệ quả 2.5), mỗi môđun là không đối suy biến Như vậy R có tính chất (P ) 35 KẾT LUẬN Nội dung chính của luận văn là nêu một số tính chất của vành có tính chất (P ), dựa vào tài liệu chính là [4] của D.Keskin T¨ ut¨ unc¨ u1 , N Orhan... ) ⊕ Z R (M R2 ) = Z R1 (M R1 ) ⊕ Z R2 (M R2 ) Từ Ri có tính chất (P ), từ đó Z Ri (M Ri ) là một hạng tử trực tiếp của M Ri với i = 1, 2 Do đó, R có tính chất (P ) Ngược lại, hãy xem xét một Ri - môđun Mi Từ đó Mi có thể được coi là một R - môđun cho các phép nhân sau: xi (r1 + r2 ) = xi ri , với mọi rj ∈ Rj (j = 1, 2) và xi ∈ Mi và các môđun con của Mi đều giống nhau trên R và hơn Ri (i = 1, 2) Do... phải là môđun suy biến 2.1.4 Ví dụ 1 Ta có Z - môđun Z6 là môđun suy biến Thật vậy, ta thấy mọi môđun khác 0 của Z có dạng nZ (n = 0) đều có Z Do đó ta có: Z(Z6 ) = {x ∈ Z6 | ∃ n ∈ N∗ : x.nZ6 = 0} = Z6 2 Ta có Z6 - môđun Z6 là không suy biến Thật vậy, xét Z6 -môđun Z6 , ta thấy Z6 chỉ có một môđun con cốt yếu là Z6 Do đó ta có Z(Z6 ) = {x ∈ Z6 | x.Z6 = 0} = 0 3 Ta có Z4 - môđun Z4 không phải là môđun... (mệnh đề 2.1) ta có Z(M/Z(M )) = 0 33 2 Hơn nữa, ta lại có Z(M ) = Z (M ) theo (b) Vì vậy Z(M ) là một hạng tử trực tiếp của M theo (a) 2.2.7 Hệ quả Xét các điều kiện sau đây cho một vành R (i) R có tính chất (P ); (ii) Giả sử (S, M ) = 0 cho mỗi môđun đối suy biến S và môđun không đối suy biến M thì (i) bao hàm (ii) Nếu căn Z là lũy đẳng thì (ii) bao hàm (i) 2.2.8 Mệnh đề Giả sử R là một miền Dedekind... + L)1,k Ta có g là toàn cấu và h là đẳng cấu ∼ Do đó tồn tại toàn cấu ϕ = g ◦ h−1 : (M/L)(k) −→ N /K ∼ ⇒ N /K là môđun M/L - sinh, suy ra N/K ∈ σ[M/L] ∗ Vậy N/K ∈ σ[M/L] với L → M 2.2 Vành có tính chất (P) 2.2.1 Mệnh đề Gọi M và N là R- môđun và {Mi |i ∈ I} là một tập hợp các môđun Ta có những điều sau đây: 1 Nếu M ⊆ N , thì Z(M ) ⊆ Z(N ) và Z(N/M ) ⊇ (Z(N ) + M )/M 2 Nếu f : M −→ N là một đồng cấu, ... môđun Z(M ) số tính chất lớp vành có tính chất (P ) Vì đề tài luận văn chọn là: "Một số tính chất vành có tính chất (P )" Nội dung luận văn tìm hiểu nghiên cứu, trình bày có hệ thống số kết tài... đề 2.7 [4] Như R có tính chất (P ) R1 R2 có tính chất (P ) 34 2.2.10 Mệnh đề Giả sử R vành giao hoán có tính chất (P ) Từ R = R1 ⊕ R2 mà R1 vành quy Neumann R2 vành có tính chất (P ) với Z(R2... GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN PHI NHƯNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA VÀNH CÓ TÍNH CHẤT (P) Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng