Một số tính chất của vành có tính chất (p)

Mục đích của luận văn là dựa vào tài liệu chính [4] để nghiên cứu, tìm hiểu Chương I: Khái niệm cơ bản 1.1 Môđun con cốt yếu 1.2 Môđun con bé hay đối cốt yếu Trong chương này chúng tôi t

NGUYỄN PHI NHƯNG

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA VÀNH CÓ

TÍNH CHẤT (P)

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Nghệ An - 2015

NGUYỄN PHI NHƯNG

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA VÀNH CÓ

TÍNH CHẤT (P)

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

Mã số: 60 46 01 04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa họcPGS TS NGÔ SỸ TÙNG

Nghệ An - 2015

MỤC LỤC

Các quy ước và ký hiệu trong luận văn 4

1.1 Môđun con cốt yếu 71.2 Môđun con bé (hay đối cốt yếu) 12

CÁC QUY ƯỚC VÀ KÝ HIỆU TRONG LUẬN VĂN

A ∼= B : Môđun A đẳng cấu với B

A ⊆ Mm : A là môđun con của môđun M

A ˚,→M : A là môđun con bé của M

A ,→ M∗ : A là môđun con cốt yếu của M

E(M ) : Bao nội xạ của M

M/U : Môđun thương của M trên U

Z(M ) : Môđun con đối suy biến

Z(M ) ,→ M⊕ : Z(M ) là một hạng tử trực tiếp của môđun M

⊕ : Tổng trực tiếp của các môđun

⊆ : Tập hợp con của tập hợp

 : Kết thúc một chứng minh

MỞ ĐẦU

Một vành R được gọi là có tính chất (P ) nếu Z(M ) là một hạng tử trựctiếp của M với mọi M là R-môđun (trong đó Z(M ) = ∩ {N ≤ M | M/N

là môđun con bé trong bao nội xạ của nó})

Mục đích của luận văn là dựa vào tài liệu chính [4] để nghiên cứu, tìm hiểu

Chương I: Khái niệm cơ bản

1.1 Môđun con cốt yếu

1.2 Môđun con bé (hay đối cốt yếu)

Trong chương này chúng tôi trình bày một số khái niệm làm cơ sở cho việctrình bày nội dung chính của luận văn ở chương sau

sự hướng dẫn khoa học của thầy giáo PGS.TS Ngô Sỹ Tùng Tôi xin đượcbày tỏ lòng biết ơn và kính trọng sâu sắc tới thầy, người đã hướng dẫn tậntình, chu đáo và động viên tôi rất nhiều trong suốt quá trình học tập và hoànthành luận văn Nhân dịp này tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầygiáo, cô giáo trong khoa sư phạm Toán học - Trường Đại Học Vinh đã dànhthời gian giảng dạy nhiệt tình, truyền đạt những kiến thức bổ ích cho tôi.Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn tới gia đình, bạn bè đã động viên tôi.Trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu mặc dù đã cố gắng, nổ lựchết mình nhưng do thời gian và kiến thức còn hạn chế nên luận văn còn cónhiều thiếu sót Kính mong nhận được sự góp ý của thầy, cô và các bạn đểluận văn được hoàn thiện.

Xin chân thành cảm ơn!

CHƯƠNG 1

KHÁI NIỆM CƠ BẢN

Trong toàn bộ luận văn, tất cả các vành đều giả thiết là vành có đơn vị

kí hiệu là 1 (không nhất thiết giao hoán) và môđun trên vành được hiểu làmôđun phải và Unita (nếu không nói gì thêm) Chương này sẽ trình bày một

số khái niệm cơ bản liên quan đến việc chứng minh các mệnh đề, định lý chochương sau

1.1 Môđun con cốt yếu

1.1.1 Định nghĩa Cho môđun M (trên vành R cố định) A ⊆ Mm A đượcgọi là môđun con cốt yếu của M nếu với ∀B ⊆ Mm , B 6= 0 thì A ∩ B 6= 0

1 Với mọi môđun M thì M ,→ M∗

2 Xét Z - môđun trên chính nó Khi đó với mọi môđun con khác khôngcủa Z là cốt yếu

Chứng minh Lấy A ⊆m Z, A 6= 0 ⇒ A = kZ(k ∈ N∗)

Lấy B ⊆m Z, (B 6= 0) ⇒ B = nZ(n ∈ N∗)

Suy ra kn ∈ kZ∩ nZ và kn 6= 0

Suy ra kn ∈ A ∩ B(kn 6= 0) ⇒ A ,→∗ Z

3 Xét Z - môđun Q (Tức là nhóm cộng các sô hữu tỷ) Khi đó với mọimôđun con khác không của Q là cốt yếu trong Q

1.1.6 Định nghĩa Cho A⊆ Mm Ta nói A là môđun con đóng trong M nếu

A không là môđun con cốt yếu thực sự của một môđun con nào của M

Ví dụ: Cho A là hạng tử trực tiếp của môđun M nếu A,→ M⊕ thì A đóngtrong M

1.1.7 Mệnh đề

Với mọi môđun con A của môđun M luôn tồn tại môđun con B của M

sao cho A ⊕ B cốt yếu trong M

Chứng minh Đặt S = {X ⊆ M : X ∩ A = 0}

Vì 0 ∈ S nên S 6= φ

Ta sắp thứ tự S theo quan hệ bao hàm Lấy tập con sắp thứ tự tuyến tínhcủa S sao cho X1 ⊆ Xm 2 ⊆ m ⊆ Xm n ⊆ m (*).

Khi đó C = ∞∪

i=1Xi là môđun con của M và là lân cận trên của (*)

Lấy x ∈ A ∩ C suy ra có một số k nào đó sao cho x ∈ Xk, từ đây ta có

Như vậy A ∩ (B ⊕ Y ) = 0 suy ra B ⊕ Y ∈ S

Do tính tối đại của B nên Y = 0

Vậy A ⊕ B ,→ M∗

1.1.8 Bổ đề Cho ϕ : N → M là đẳng cấu môđun trên R khi đó môđun con

L của N cốt yếu trong N ⇔ ϕ(L) cốt yếu trong M

Chứng minh (⇒): Cho L ,→ N∗ thì ∀X ⊆ M sao cho ϕ(L) ∩ X = 0

suy ra L ∩ ϕ−1(X) = ϕ−1(X ∩ ϕ(L)) = ϕ−1(0) = 0

Do L ,→ N∗ nên ϕ−1(X) = 0, mà ϕ đẳng cấu nên X = 0

Vậy ϕ(L) ,→ M∗

(⇐): Cho ϕ(L),→ M∗ thì ∀X ⊆ M sao cho L ∩ Y = 0

Doϕđẳng cấu nênϕ−1(ϕ(Y )∩ϕ(L)) = ϕ−1(ϕ(L)∩ϕ−1(ϕ(Y )) = L∩Y = 0.Suy ra ϕ(L) ∩ ϕ(X) = 0

Do ϕ(L),→ M∗ nên ϕ(Y ) = 0 suy ra Y = 0

Vậy L ,→ N∗

1.1.9 Mệnh đề Cho môđun M khi đó

(i) A ⊆ Mm khi đó A,→ M ⇔ ∀x 6= 0, x ∈ M∗ thì A ∩ Rx 6= 0

(ii) Cho A⊆ Km ⊆ Mm , khi đó A ,→ M ⇔ A∗ ,→ K∗ và K ,→ M∗

(iii) Cho f : M → N là đồng cấu R-môđun và B ⊆ Mm Nếu B ,→ M∗ thì

f−1(B) ,→ M∗ Điều ngược lại không đúng

(iv) Cho Ai ,→ B∗ i ⊆ Mm với i = 1, n Khi đó ∩n

(i) (⇒) Hiển nhiên nếu A

m

⊆ M ; A ,→ M∗ thì ∀x 6= 0, x ∈ M, A ∩ Rx 6= 0(⇐) Giả sử ∀x 6= 0, x ∈ M

Với mọi môđun B

m

⊆ M ta chứng minh A ∩ B 6= φ.Lấy x ∈ B, x 6= 0, xét < x >= Rx = {rx/r ∈ R} ⊆ B

Theo giả thiết ta có:A ∩ Rx 6= 0nên với mọi B

Tương tự ta lấy môđun con Y bất kì của M mà K ∩ Y = 0

Nên tồn tại x ∈ C sao cho y = f (x), x 6= 0 vì y 6= 0 và x ∈ f−1(B)

⇒ C ∩ f−1(B) 6= 0

Trường hợp 2: f (C) = 0 suy ra C ∈ f−1(B)

Vì với mọi x ∈ C nên ta có f (x) = 0 ⊆ B suy ra x ∈ f−1(B)

(iv) Sử dụng quy nạp ta chỉ cần chứng minh với n = 2

i=1Zi(Z1 = Z, ∀i = 1, ∞), suy ra 0,→∗ Z Điều này vô lý.

Vậy trường hợp giao vô hạn không đúng

(v) Lấy X ,→ M∗ sao cho K ∩ X = 0 Khi đó K ∩ (A ⊕ X) = A nên

K/A∩(A⊕X)/A = 0 MàK/A ,→ M/A∗ nên(A⊕X)/A = 0hayA⊕X = A.Vậy X = 0 hay K ,→ M∗

(vi) Ta chứng minh hai trường hợp

nên lấy giao hai vế ta được A1 ⊕ A2 ,→ M∗ 1 ⊕ M2

Trường hợp 2: Với I bất kì, điều đầu tiên ta chứng minh tồn tại ⊕

I

Mi.Lấy x ∈ P

1.2.3 Ví dụ.

1 Với mọi môđun M có 0 ˚,→M

2 Trong các Z - môđun tự do chỉ có môđun tầm thường 0 là môđun con bé

x1Z+xi1n, khi đó vớiU 6= F vàaZ+U = F ta cóA+U = F.Điều này chứng tỏ A không là môđun con bé của F

1.2.4 Bổ đề Xét Z - môđun Q Khi đó nếu tập con X của Q sinh ra Q và

x0 ∈ X thì tập {X − {x0}} cũng là tập sinh của Q Từ đó suy ra Q không

Giả sử A là môđun con của Q sinh bởi tập hữu hạn {q1, q2, , qn} ⊆ Q và

E là môđun con của Q sao cho: A + E = Q.

Khi đó {q1, q2, , qn} ∪ E là một hệ sinh của Z - môđun Q Từ đó E làmột hệ sinh của Q Do đó E = Q.

Nếu U không chứa phần tử khả nghịch nào thì U ⊆ A ⇒ U + A = A (vôlí)

Nếu U chứa phần tử khả nghịch, chẳng hạn x0 ∈ U, x0 khả nghịch Do U

là iđêan của R chứa phần tử khả nghịch nên U = R

Chú ý: A ˚,→M khi và chỉ khi với mọi U là môđun con thực sự của M,

A + U cũng là môđun con thực sự của M

1.2.5 Mệnh đề Cho M là R- môđun với các môđun con K ⊆ N ⊆ M và

2) Ta chứng minh bằng quy nạp toán học theo n

Với n =1 mệnh đề luôn đúng do theo giả thiết A1,→M˚

Giả sử ta chứng minh được A = A2 + + An,→M.˚

3) Giả sử ϕ(A) + D = N với D là môđun con của N với m ∈ M tùy ý ta

có ϕ(m) = ϕ(a) + d với a ∈ A, d ∈ D suy ra d = ϕ(m) − ϕ(a) = ϕ(m − a)

1.2.7 Mệnh đề Đối với a ∈ M, R- môđun aR không là môđun con bé trong

M khi và chỉ khi tồn tại môđun con tối đại K sao cho a /∈ K

Chứng minh

(⇐) Nếu K là R- môđun con tối đại của M với a ∈ M, a /∈ K Ta chứngminh aR không là môđun con bé.

Thật vậy, vì a ∈ M, a /∈ K nên aR + K = M Do đó K 6= M nên aR

không là môđun con bé

(⇒) aR không là môđun con bé Ta chỉ ra tồn tại môđun con tối đại

K, a /∈ K Ta sử dụng Bổ đề Zorn Đặt Γ là tập tất cả các môđun con Bcủa M, B 6= M sao cho aR+ B = M ; Γ = {B|B 6= M ; aR+ B = M } Tập

Γ 6= φ vì aR không là môđun con bé Gọi L là một dây chuyền trong Γ theoquan hệ bao hàm Khi đó ta có L có lân cận trên là B0 = ∪B; ∀B ∈ L Tachứng minh B0 6= M

Thật vậy, giả sử a ∈ B0 thì a ∈ B với B nào đó thuộc L Khi đó ta có

aR ⊂ B nên M = aR+ B = B, trái với giả thiết về B 6= M Do đó a /∈ B0

hay B0 6= M Hiển nhiên B0 + aR = M, theo định nghĩa về Γ ta có B0 ∈ Γ

Vì B0 là lân cận trên của L trong Γ mà B0 ∈ Γ nên theo Bổ đề Zorn trong

1.2.9 Định lí Cho f : M → N là đồng cấu môđun

+) Đồng cấu f được gọi là đơn cấu bé nếu f là đơn cấu và Imf là môđuncốt yếu của N

+) Đồng cấu f được gọi là toàn cấu bé nếu f là toàn cấu và Kerf làmôđun con bé của M

1.2.10 Bổ đề

(i) Cho A ⊆ Bm ⊆ Mm ⊆ Nm , nếu B ˚,→M thì A ˚,→M, B ˚,→N và A ˚,→N

(ii) Cho A, B

m

⊆ M Nếu A ˚,→M và A ⊆ B, B ,→ M⊕ thì A ˚,→B.(iii) Nếu Ai,→M, ∀i = 1, n˚ thì

(vi) Cho α : A → B, β : B → C là các toàn cấu bé thế thì βα : A → C

(*) Giả sử B + U = N, ∀U

m

⊆ N.Khi đó ta có: (B + U ) ∩ M = N ∩ M hay B + U ∩ M = M (theo luậtmodular) Vì B ˚,→ nên U ∩ M = M ⇒ M

m

⊆ U và B

m

⊆ U.Vậy U = B + U = N

(*) Giả sử A + U = N, ∀U ⊆ N Do A

m

⊆ B nên ta có B + U = N, từ đósuy ra: (B + U ) ∩ M = N ∩ M ⇒ B + (U ∩ M ) = M (theo luật modular và

Vậy U = B

(iii) Chứng minh quy nạp theo n

Thật vậy, với mọi m ∈ M ta có: ϕ(m) ∈ N = ϕ(A) + U.

Do Ker(βα) + U = A ⇒ α(Ker(βα) + U ) = α(A).

Mà Ker(βα) = α−1(ker(β)) ⇒ α(α−1(kerβ) + U ) = α(A)

⇒ ker(β) + α(U ) = B (vì α toàn cấu)

Do β là toàn cấu nên Ker(β) ˚,→B ⇒ α(U ) = B

⇒ Ker(α) + U = α−1(α(U )) = α−1(B) = A

Do α là toàn cấu bé nên Ker(α) ˚,→A nên ta có U = A

1.2.11 Bổ đề (i) Nếu N là một môđun con bé khác không của một môđun

M nào đó, thế thì N là một môđun bé

(ii) Giả sử M là một môđun địa phương sao cho các mô đun con đóng của

M là không bé Khi đó M là một môđun đều

(iii) Giả sử A và B là các môđun đẳng cấu với nhau Khi đó A là môđun

bé nếu và chỉ nếu B là môđun bé

Chứng minh Ta nhắc lại rằng một môđun M chỉ có duy nhất một môđuncon tối đại chứa tất cả các môđun con thực sự của M, khi đó ta gọi M làmôđun con địa phương

(i) Bởi vì N là môđun con của M do đó E(M ) = E(N ) ⊕ Y với mộtmôđun con Y nào đó của E(M ) Bây giờ từ N ˚,→M do đó N ˚,→E(M ) Từ

đó ta có N là môđun con bé của E(N ), hay N là môđun con bé

(ii) Giả sử H là môđun con khác không bất kỳ của M, ta cần chứng minh

H cốt yếu trong M Bởi Zorn, tồn tại một môđun con đóng N củaM sao cho

H ,→ N∗ Bởi vì M là địa phương nên tồn tại môđun tối đại K chứa tất cảcác môđun thực sự của M Nếu N 6= M, khi đó N ⊆ K và mỗi môđun con

thực sự L của M thì N + L ⊆ K hay N + L 6= M, và do đó N là môđun con

bé của M Theo (i) N là môđun con bé, khi đó từ giả thiết ta có N = M.Vậy M là đều

(iii) Từ giả thiết A ∼= B, tồn tại đẳng cấu từ E(A) đến E(B) sao cho

ϕ(A) = B Giả sử A ˚,→E(A) ta có ϕ(A) ˚,→ϕ(E(A)), hay B ˚,→E(B)

CHƯƠNG 2

VÀNH CÓ TÍNH CHẤT (P )

2.1 Môđun đối suy biến và không đối suy biến

2.1.1 Định nghĩa Cho môđun M,

Ký hiệu Z(M ) = {x ∈ M |xI = 0 với I là iđêan phải nào đó cốt yếu trong

Đặt A = {a ∈ R\ra ∈ I} kiểm tra ta được A ,→ RR (iđêan phải của R,

do I là iđêan phải của R)

Xét ánh xạ:

f : R → R

a 7→ ra

Kiểm tra được f là đồng cấu và f−1(I) = A

Do I ,→ R∗ R nên A ,→ R∗ R (tạo ảnh đầy đủ của môđun con cốt yếu là cốtyếu)

Mặt khác xrA ⊆ xI = 0

Vậy xr ∈ Z(M )

Nghĩa là Z(M ) là môđun con của M

2.1.3 Định nghĩa Cho môđun M, Khi đó

(1) Nếu Z(M ) = M ta nói M là môđun suy biến

(2) Nếu Z(M ) = 0 ta nói M là môđun không suy biến

(3) Nếu 0 < Z(M ) < M ta nói M không phải là môđun suy biến

2.1.4 Ví dụ

1 Ta có Z - môđun Z6 là môđun suy biến

Thật vậy, ta thấy mọi môđun khác 0 của Z có dạng nZ (n 6= 0) đều có Z

Do đó ta có: Z(Z6) = {x ∈ Z6 | ∃ n ∈ N∗ : x.nZ6 = 0} = Z6

2 Ta có Z6 - môđun Z6 là không suy biến

Thật vậy, xét Z6-môđun Z6, ta thấy Z6 chỉ có một môđun con cốt yếu là Z6

Do đó ta có Z(Z6) = {x ∈Z6 | x.Z6 = 0} = 0

3 Ta có Z4 - môđun Z4 không phải là môđun suy biến cũng không phải

là môđun không suy biến

Thật vậy, xét Z4 - môđun Z4 Ta thấy Z4 chỉ có hai môđun con cốt yếu là

{0; 2} và Z4, nên Z(Z4) = {0; 2} Vì 0 6= {0; 2} 6= Z4

2.1.5 Mệnh đề Cho M là R- môđun Khi đó ta có

(i) Nếu A là môđun con của M thì Z(A) = A ∩ Z(M )

(ii) Với mỗi x ∈ M, ta gọi r(x) = {λ | λ ∈ R, xλ = 0} là linh hóa tử phảicủa x Khi đó x ∈ Z(M ) khi và chỉ khi r(x) ,→ R∗ R

ii) Các phần tử Z(M ) gọi là các phần tử đối suy biến;

iii) Môđun M được gọi là môđun đối suy biến nếu Z(M ) = 0 Môđun M

được gọi là môđun không đối suy biến nếu Z(M ) = M

2.1.7 Định nghĩa

(1) Cho M là R- môđun phải, một R- môđun phải N được gọi là môđun

M - sinh nếu tồn tại một toàn cấu từ M(∧) vào N, với ∧ là tập chỉ số nào đó

vàM(∧)là tổng trực tiếp các bản sao của M:M(∧) = ⊕

i∈∧

Mi, Mi = M, ∀i ∈ ∧.(2) Ta gọi σ[M ] là phạm trù con đầy của phạm trù M od − R mà các vậtcủa nó là môđun con của môđun M - sinh

(1) Mọi môđun M-suy biến đều nằm trong σ[M ].

(2) Mọi môđun M suy biến là suy biến Tuy nhiên môđun suy biến khôngnhất thiết phải M- suy biến

(3) Lớp các môđun M- suy biến đóng đối với việc lấy các môđun con Cónghĩa là: môđun con của môđun M- suy biến là môđun M- suy biến.

(4) Lớp các môđun M- suy biến đóng với việc lấy tổng trực tiếp

(5) Ảnh đồng cấu của môđun M- suy biến là môđun M- suy biến

(6) Mọi môđun N ∈ σ[M ] có chứa một môđun con M- suy biến lớn nhất,

(2) Gọi N là môđun M- suy biến, ta cóN ∼= L/K với L ∈ σ[M ], K ,→ L∗

Ta có K và L cũng là các R- môđun, vì vậy N là môđun suy biến

(3) Gọi N là môđun M- suy biến, P ⊆ Nm

Do đó P là môđun M- suy biến

(4) Gọi Ni, ∀i ∈ I là các môđun M- suy biến Khi đó Ni ∼= L

Ki là môđun M- suy biến.

(6) Thật vậy, gọi {Ni | i ∈ I} là tập tất cả các môđun con M- suy biếncủa N Vì lớp các môđun M- suy biến đóng đối với việc lấy tổng trực tiếpnên ta có ⊕

I

Ni ⇒ x ∈ P

I

Ni.Ngược lại,∀x ∈ P

là toàn cấu, hay f (⊕

I

Ni) = A.Mặt khác, ảnh đồng cấu của môđun M- suy biến là môđun M - suy biến, vìvậy A hay P

cộng các môđun con R- suy biến tối đại sẽ được môđun con R- suy biến lớnhơn).

Mặt khác, theo định nghĩa Z(N ) = {x ∈ N | ∃I ,→ R∗ để xI = 0} làmôđun con suy biến của N thì ta thấy Z(N ) chính là môđun con suy biếnlớn nhất của N, với mọi x ∈ K, ∃I ,→ R∗ để xI = 0, suy ra x ∈ Z(N ).Vậy Z(N ) cũng chính là môđun con R- suy biến lớn nhất của N, do đó

Z(N ) = ZR(N )

2.1.12 Mệnh đề Cho M là R- môđun phải, ta có các điều kiện sau là tươngđương:

(a) M không suy biến trong σ[M ]

(b) Với mọi K ∈ σ[M ] và mọi f : K −→ M, ker(f ) đóng trong K.(c) Với mọi K ∈ σ[M ] và mọi f : K −→ M, ker(f ) không cốt yếu trong

Ta có ker(f ) = ker(g) vì ker(f ) ⊆ Nm

Ta lại có g : N −→ L = g(N ) là toàn cấu nên

N/ker(g) = N/ker(f ) ∼= g(N ) = f (N )

m

⊆ M

Vì K ∈ σ[M ], N ⊆ Km nên N ∈ σ[M ](môđun con của môđun thuộc σ[M ]

là môđun thuộc σ[M ]) MàL ∼= N/ker(f ), ker(f ) ,→ N∗ cho nên Llà môđun

M- suy biến hay ZM(L) = L

Do M không M- suy biến nên ZM(M ) = 0, vì vậy ZM(L) = 0 (L =

f (N )

m

⊆ M), suy ra L = 0 hay f (N ) = 0

Ta có: ker(f ) = ker(g) = {x ∈ N | f (x) = 0} = N (vì f (N ) = 0 và

ker(f )⊆ Nm )

(b) ⇒ (c):

Ta xét f không phải là đồng cấu tầm thường, vì vậy ker(f) 6= K

Vì ker(f ) đóng trong K nên nó không có mở rộng cốt yếu thực sự trong K

hay ker(f ) không cốt yếu trong K

(c) ⇒ (a):

Giả sử ZM(M ) = N 6= 0, khi đó tồn tại K ∈ σ[M ], L ,→ K, L 6= K∗ mà

N ∼= K/L, suy ra tồn tại toàn cấu f : K −→ N mà ker(f ) = L tức là

f 6= 0 Vì vậy tồn tại K ∈ σ[M ] và 0 6= f : K −→ N sao cho ker(f ) ,→ K∗ ,trái với (c) Do đó M không suy biến trong σ[M ]

2.1.13 Định nghĩa

(1) Một môđun A trong σ[M ] được gọi là nội xạ trong σ[M ] nếu nó là N

- nội xạ với mọi N ∈ σ[M ]

(2) Nếu N là môđun con cốt yếu của môđun nội xạ E trong σ[M ], thì E

được gọi là bao nội xạ của N trong σ[M ] hay bao M- nội xạ của N và được

ký hiệu là

∧

N

2.1.14 Định lí Cho M là R- môđun Khi đó ta có

(1) Mọi môđun M- suy biến là môđun con của môđun M- sinh M- suybiến

(2) Mọi môđun M- suy biến hữu hạn sinh đều thuộc σ[M/L] với L làmôđun con cốt yếu nào đó trong M

Chứng minh

(1) GọiN là môđunM - suy biến, suy raN ∼= L/K vớiL ∈ σ[M ], K ,→ L∗

Vì bao M- nội xạ của L là M - sinh nên