VÀNH CÓ TÍNH CHẤT (P)
2.2 Vành có tính chất (P)
2.2.1 Mệnh đề. Gọi M và N là R- môđun và {Mi|i ∈ I} là một tập hợp các môđun. Ta có những điều sau đây:
1. Nếu M ⊆N, thì Z(M) ⊆ Z(N) và Z(N/M) ⊇ (Z(N) +M)/M. 2. Nếu f : M −→ N là một đồng cấu, thì f(Z(M)) ⊆ Z(N). 3. Z(M/Z(M)) = 0. 4. Z(⊕ i∈I Mi) = ⊕ i∈I Z(M). 5. Z(Q i∈I Mi)) ⊆ Q i∈I Z(Mi). 6. Nếu M = N +S mà S là môđun bé thì Z(N) = Z(M).
7. Z(M) là môđun con nhỏ nhất của M nên M/Z(M) là môđun đối suy biến
2.2.2 Bổ đề. M là môđun bé ⇔M là môđun con bé trong bao nội xạ E(M)
của M
Chứng minh. Ta nhắc lại rằng M được gọi là môđun bé nếu M là môđun con bé trong một môđun X nào đó. Vậy ta cần chứng minh:
M là môđun con bé trong một môđun X nào đó ⇔ M là môđun con bé trong E(M) (Ký hiệu E(M) là bao nội xạ của môđun M).
+) (⇒) Cho M là môđun con bé trong một môđun X nào đó, nghĩa là M,→˚X
Khi đó ta có M,→˚X +E(M)(1).
Mặt khác E(M) là môđun nội xạ nên E(M) là hạng tử trực tiếp của X + E(M) nghĩa là X +E(M) = E(M) ⊕N với N là môđun con nào đó của X +E(M).
Thay vào (1) ta có M,→˚E(M)⊕N. Mà M ∩E(M) nên theo hệ quả 1.2.2 ta suy ra M,→˚E(M).
+) (⇐) Với M là môđun con bé trong bao nội xạ E(M) ⇒M là môđun con bé.
2.2.3 Định nghĩa.
(1) Cho R - môđun M ký hiệu: Z(M) = ∩ {N ≤ M | M/N là môđun con bé trong bao nội xạ của nó}
(2) Một vành R được gọi là có tính chất (P) nếu ∀R - môđun M luôn có Z(M) là hạng tử trực tiếp của M.
2.2.4 Mệnh đề. Các điều kiện sau là tương đương với một môđun M: (i) Z(M) là một hạng tử trực tiếp của M;
(ii) M là tổng trực tiếp của một môđun con đối suy biến và một môđun con không đối suy biến. Trong trường hợp này Z(M) là môđun con không đối suy biến lớn nhất của M.
Chứng minh. (i)⇒ (ii)
Giả sử N là một môđun con của M sao cho M = Z(M)⊕N (bởi [5], mệnh đề 2.1 (7)). N là đối suy biến, khi Z(M) =Z(Z(M))⊕Z(N) (bởi [5], mệnh đề 2.1(4) ), chúng ta có Z(M) = Z(Z(M)). Do đó, Z(M) là không đối suy biến (Điều phải chứng minh).
(ii) →(i) Giả sử N là một môđun con đối suy biến của M và để cho K là một môđun con không đối suy biến của M sao cho M = N ⊕K, được suy
ra từ [5] (mệnh đề 2.1(4)), Z(M) = Z(N)⊕Z(K). Như vậy Z(M) =K là một hạng tử trực tiếp của M.
Đối với mệnh đề cuối cùng: nếu L là một môđun con không đối suy biến của M, từ đó L = Z(L) ⊆ Z(M).
2.2.5 Ví dụ. Bằng cách áp dụng kết quả cuối cùng và một số kết quả của [5], chúng ta có thể nhận được một số ví dụ về vành có tính chất (P).
(1) Theo [5](mệnh đề 2.5), nếu R là một vành nửa đơn, khi đó mỗi môđun R là không đối suy biến. Do đó, R có tính chất (P).
(2) Nếu R là một vành như vậy mà mỗi môđun R đối suy biến là xạ ảnh, từ đó R có tính chất (P) bởi [5] (Định lý 3.8(4)).
2.2.6 Mệnh đề. Đối với vành R các điều kiện sau là tương đương: (1) R có tính chất (P);
(2) Mỗi môđun R là một tổng trực tiếp của một môđun không đối suy biến và một môđun đối suy biến;
(3) (a) Nếu N là một môđun con không đối suy biến của một môđun M mà M/N là đối suy biến, từ đó N là một hạng tử trực tiếp của M.
(b) Căn Z là lũy đẳng.
Chứng minh. (1) ⇔ (2) theo mệnh đề 2.2.5
(1) ⇒ (3) (a) Theo (1), Z(M)⊕L = M cho một số môđun con L ≤ M. Khi Z(M/N) = 0, Z(M) ⊆ N bởi [5] (mệnh đề 2.1(7)).
Khi đó N = Z(M)⊕(L∩N) và M = N +L.
Nhưng M/Z(M) ∼= L, ta có Z(L) = 0. Do đó, Z(N ∩L) = 0.
Mặt khác, khi L ∩ N là một hạng tử trực tiếp của N, L ∩ N là không đối suy biến. Từ đó Z(N ∩ L) =N ∩ L = 0. Do đó M = N ⊕L.
(1) ⇒ (3) (b) Theo Mệnh đề 2.2.5
(3) ⇒ (1) Giả sử M là R môđun bất kỳ. Theo [5] (mệnh đề 2.1) ta có Z(M/Z(M)) = 0.
Hơn nữa, ta lại có Z(M) =Z2(M) theo (b).
Vì vậy Z(M) là một hạng tử trực tiếp của M theo (a). 2.2.7 Hệ quả. Xét các điều kiện sau đây cho một vành R.
(i) R có tính chất (P);
(ii) Giả sử (S, M) = 0 cho mỗi môđun đối suy biến S và môđun không đối suy biến M. thì (i) bao hàm (ii). Nếu căn Z là lũy đẳng thì (ii) bao hàm (i).
2.2.8 Mệnh đề. Giả sử R là một miền Dedekind. Các điều kiện sau đây là tương đương:
(i) R có tính chất (P); (ii) R là một miền.
Mệnh đề đã được chứng minh trong [4]
2.2.9 Mệnh đề. Giả sử R = R1 ⊕R2 là một vành phân tích. Từ đó R có tính chất (P) khi và chỉ khi cả R1 và R2 đều có tính chất (P).
Chứng minh. Giả sử M là một R -môđun.
Theo giả thiết, ta có M = M R1⊕M R2 như vậy mà M Ri là mộtRi - môđun với i = 1, 2. Lưu ý rằng ZRi(M Ri) = ZR(M Ri) với i = 1, 2 (xem Bổ đề 2.7 của [4]).
Từ đó ZR(M) = ZR(M R1)⊕ZR(M R2) =ZR1(M R1)⊕ZR2(M R2).
Từ Ri có tính chất (P), từ đó ZRi(M Ri) là một hạng tử trực tiếp của M Ri với i = 1, 2. Do đó, R có tính chất (P).
Ngược lại, hãy xem xét một Ri - môđun Mi.
Từ đó Mi có thể được coi là một R - môđun cho các phép nhân sau:
xi(r1 + r2) = xiri, với mọi rj ∈ Rj(j = 1, 2) và xi ∈ Mi và các môđun con của Mi đều giống nhau trên R và hơn Ri (i = 1, 2).
Do đó ZRi(Mi) = ZRi(MiRi) =ZR(MiRi) = ZR(Mi) Bổ đề 2.7 của [4]. Như vậy nếu R có tính chất (P) khi R1 và R2 có tính chất (P).
2.2.10 Mệnh đề. Giả sử R là vành giao hoán có tính chất (P). Từ đó R = R1 ⊕R2 như vậy mà R1 là một vành chính quy Neumann và R2 là một vành có tính chất (P) với Z(R2) = 0.
Chứng minh. Theo mệnh đề 2.2.5, R = R1 ⊕r2 như vậy mà Z(R1) = R1 và Z(R2) = 0. theo mệnh đề 2.2.10, cả R1 và R2 đều có tính chất (P). Theo [5] (hệ quả 2.6), R1 là một vành nửa đơn. Nhưng R1 là giao hoán. Từ đó, R1 là một chính quy von Neumann . Điều phải chứng minh.
Suy ra, giả sử CR = {MR|Z(M) = 0} bao hàm lớp của R –môđun đối suy biến.
2.2.11 Mệnh đề. Giả sử R là vành giao hoán mà CR được đóng theo ảnh đồng cấu. Các phát biểu sau đây là tương đương:
(1) R có tính chất (P);
(2) RR = R1 ⊕R2 như vậy mà R1 ∈ CR và Z(R2) =R2; (3) R là chính quy Neumann .
Chứng minh. (1) ⇒ (2) Điều này hiển nhiên.
(2) ⇒ (3) Theo định đề 2.11, chúng ta có R1 = 0. Do đó, Z(R) = R. Do đó R là nửa đơn bởi [5] (hệ quả 2.6). Vì R là giao hoán, R là chính quy von Neumann.
(3) ⇒ (1) Theo [5] (hệ quả 2.5), mỗi môđun là không đối suy biến. Như vậy R có tính chất (P).
KẾT LUẬN
Nội dung chính của luận văn là nêu một số tính chất của vành có tính chất
(P), dựa vào tài liệu chính là [4] của D.Keskin T¨ut¨unc¨u1, N. Orhan Ertas2,∗, P. F.Smith3, R. Tribak4 (2014) luận văn đã:
1. Trình bày, hệ thống lại một số khái niệm +) Môđun con cốt yếu
+) Môđun con bé
+) Môđun đối suy biến và không đối suy biến.
Ngoài ra còn trình bày có hệ thống các hệ quả, ví dụ và các mệnh đề, bổ đề có liên quan đến các khái niệm đó để làm cơ sở cho chương sau.
2. Dựa vào một số khái niệm, định lý, bổ đề và mệnh đề đã trình bày ở phần 1 làm cơ sở để xây dựng các khái niệm, bổ đề, mệnh đề ở phần 2 có liên quan đến nội dung chính của luận văn là vành có tính chất (P).
TÀI LIỆU THAM KHẢO