Một số tính chất và ví dụ của đại số quỹ đạo leavitt

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN ĐÌNH NAM MỘT SỐ TÍNH CHẤT VÀ VÍ DỤ CỦA ĐẠI SỐ QUỸ ĐẠO LEAVITT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An - 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN ĐÌNH NAM MỘT SỐ TÍNH CHẤT VÀ VÍ DỤ CỦA ĐẠI SỐ QUỸ ĐẠO LEAVITT Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS LÊ VĂN AN Nghệ An - 2015 MỤC LỤC Mục lục Mở đầu Một số khái niệm 1.1 Đại số trường, đại số quỹ đạo 1.2 Vành quy, Π−chính quy, Π−chính quy mạnh 1.3 Đại số phân bậc 13 13 1.4 Đại số Leavitt đại số quỹ đạo Leavitt 14 Một số tính chất ví dụ đại số quỹ đạo Leavitt 18 2.1 Mô tả đại số quỹ đạo Leavitt cho số kiểu đồ thị 18 2.2 Một số tính chất đại số quỹ đạo Leavitt 27 Kết luận 32 Tài liệu tham khảo 33 MỞ ĐẦU Đại số Leavitt nhà toán học W G Leavitt đưa năm 1962 báo “The module type of a ring” tạp chí Tran Amer Math Soc Sau đó, ông số chuyên gia lĩnh vực đại số Lie, C ∗ -Đại số quan tâm nghiên cứu thu nhiều kết sâu sắc Đại số Leavitt có cấu trúc lạ so với cấu trúc đại số kết hợp biết trước đó, ví dụ Rn thường không đẳng cấu với Rm R vành, đại số Leavitt điều lại xảy Năm 2004, Gene Abrams học trò ông Gonzalo Aranda Pino vận dụng tư tưởng đại số Leavitt để đặc trưng cho đồ thị có hướng Hai nhà toán học xây dựng đại số từ đồ thị có hướng đặt tên cho đại số Đại số quỹ đạo Leavitt Sau tìm hiểu vấn đề họ đưa ví dụ khẳng định đại số Leavitt trường hợp riêng đại số quỹ đạo Leaviit, đại số quỹ đạo Leavitt trở thành vấn đề thời nhà toán học quan tâm nghiên cứu G Abram, G Aranda Pino, Phạm Ngọc Ánh, đạt nhiều kết thú vị Việc tính toán đại số quỹ đạo Leavitt đồ thị có hướng cho biết mối liên hệ với số đại số biết đại số Ma trận, đại số đa thức Laurent, nghiên cứu đồ thị có hướng ta đưa tính chất đại số quỹ đạo Leavitt đồ thị Chính lý chọn đề tài “Một số tính chất ví dụ đại số quỹ đạo Leavitt” để nghiên cứu Nội dung luận văn nghiên cứu tính chất mô tả số ví dụ đại số quỹ đạo Leavitt Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, nội dung luận văn chia thành hai chương Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, trình bày số kiến thức sở Đại số quỹ đạo Leavitt nhằm làm sở cho việc trình bày nội dung luận văn Chương Một số tính chất ví dụ đại số quỹ đạo Leavitt Trong chương mô tả đại số quỹ đạo Leavitt cho số kiểu đồ thị trình bày số tính chất đại số quỹ đạo Leavitt, gồm nội dung sau: 2.1 Mô tả đại số quỹ đạo Leavitt cho số kiểu đồ thị 2.2 Một số tính chất đại số quỹ đạo Leavitt Trong toàn luận văn, ký hiệu K trường E đồ thị có hướng Luận văn hoàn thành Trường Đại học Vinh hướng dẫn TS Lê Văn An Tác giả xin bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc đến Thầy, người tận tình hướng dẫn, động viên tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập thực luận văn Nhân dịp này, tác giả xin trân trọng cảm ơn thầy cô giáo Bộ môn Đại số, thầy cô giáo Khoa Toán trực tiếp giảng dạy lớp Cao học 21 chuyên ngành Đại số Lý thuyết số Tác giả xin cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Sư phạm Toán học, Phòng Đào tạo Sau đại học, Ban Giám hiệu - Trường Đại học Vinh tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập trường Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo tổ Toán, Ban chủ nhiệm Khoa sư phạm Tự nhiên, Ban Giám hiệu Trường Đại học Hà Tĩnh động viên, tạo điều kiện tốt tác giả hoàn thành khóa học Nghệ An, tháng 09 năm 2015 Tác giả CHƯƠNG MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN Trong chương trình bày số kiến thức Đại số kết hợp như: Đại số trường, đại số quỹ đạo, đại số Leavitt, đại số Cohn đại số quỹ đạo Leavitt nhằm mục đích làm sở cho việc trình bày nội dung Luận văn Chương Các kết viết chương tham khảo [1] [3] Trong toàn luận văn K giả thiết trường; E đồ thị có hướng, e(i, j) ma trận có phần tử hàng thứ i cột thứ j phần tử lại 1.1 Đại số trường, đại số quỹ đạo 1.1.1 Định nghĩa Một đại số trường K tập hợp không rỗng A với phép toán, gồm (a) Phép cộng: + : A × A → A, (x, y) → x + y, (b) Phép nhân: × : A × A → A, (x, y) → xy, (c) Phép nhân với vô hướng (trong K ): × : K × A → A, (α, y) → αy; Các phép toán thỏa mãn điều kiện sau đây: (A1) A với phép toán cộng nhân lập thành vành (A2) A với phép cộng phép nhân vô hướng lập thành không gian vectơ K (A3) Hai cấu trúc vành không gian vectơ A ràng buộc điều kiện α(xy) = (αx)y = x(αy) với α ∈ K, x, y ∈ A 1.1.2 Ví dụ (a) Mỗi trường mở rộng K đại số K (b) Vành đa thức K[x] đại số trường K (c) Tập hợp Mn (K) ma trận vuông cấp n với phần tử K lập nên đại số K phép toán thông thường ma trận 1.1.3 Định nghĩa Một đồ thị có hướng gồm - thành phần E = (E 0, E 1, r, s) E tập hợp đỉnh, E tập hợp cạnh ánh xạ: r, s : E → E ánh xạ từ tập cạnh đến tập đỉnh Nếu e ∈ E cạnh s(e), r(e) gọi điểm đầu điểm cuối e, ta nói e từ s(e) đến r(e) ký hiệu e : s(e) → r(e) Nếu s−1 (v) hữu hạn với ∀v ∈ E ta gọi đồ thị E row - finite Đỉnh v với |s−1 (v)| vô hạn gọi infinite emitter Đỉnh v với s−1 (v) = ∅ gọi sink Đỉnh v với r−1 (v) = ∅ gọi source Đỉnh v sink infinite emitter ta gọi v đỉnh singular Các biểu thức Sink(E), Source(E), Reg(E), Inf (E) kí hiệu cho tập đỉnh sink, source, regular, infinite emitter E Một quỹ đạo có hướng µ = e1 e2 en đồ thị E (gọi tắt quỹ đạo) dãy liên tiếp cạnh ei ∈ E , cho r(ei ) = s(ei+1 ), ∀i = 1, 2, , n Ta gọi s(µ) = s(e1 ) điểm gốc µ, r(µ) = r(en ) điểm µ n = l(µ) độ dài µ Cạnh e gọi cạnh exit quỹ đạo µ = e1 e2 en tồn i cho s(e) = s(ei) e = ei Quỹ đạo µ = e1 e2 en với ei ∈ E , n ≥ gọi cycle s(µ) = r(µ) s(ei) = s(ej ), ∀i = j Đồ thị E gọi acyclic E quỹ đạo cycle Quỹ đạo µ = e1 e2 en với ei ∈ E , n ≥ gọi close path based v s(µ) = r(µ) = v Quỹ đạo µ = e1 e2 en với ei ∈ E , n ≥ gọi close simple path based v close path based v s(ej ) = v với j > Tập tất quỹ đạo close path based v ký hiệu CP (v) Tập tất quỹ đạo close simple path based v ký hiệu CSP (v) 1.1.4 Ví dụ c e∗ I H A a e J f e E b B g G c d D C a) b) W u1 q O l k P N p R S t m n Q v1 T b1 Z r U V s w1 A1 d1 a1 C1 c) d) Ta có đồ thị hình a) đỉnh A source, đỉnh E sink, s(a) = A, r(a) = B , µ = ab, λ = edcb hai quỹ đạo với s(µ) = A, r(µ) = E, s(λ) = A, r(λ) = E cạnh e exit quỹ đạo µ = ab, cạnh a exit quỹ đạo λ = edcb Đồ thị hình b) ta có đỉnh G infinite emitter Đồ thị hình c) quỹ đạo µ = klmn cycle, cạnh p exit quỹ đạo µ = klmn Đồ thị hình d) quỹ đạo qrsd1 tu1 v1 w1 a1 b1 close path based S , quỹ đạo qrsd1 t close simple path based S , quỹ đạo qrst, u1v1w1 a1 b1 cycle, cạnh d1 exit quỹ đạo qrst Đồ thị hình a), hình c), hình d) row - finite 1.1.5 Định nghĩa Đồ thị đối ngẫu đồ thị E đồ thị E ∗ = {(E ∗)0 , (E ∗)1, rE ∗ , sE ∗ } xác định sau: i) (E ∗ )0 = E ii) (E ∗ )1 = {e∗ |e ∈ E song ánh tương ứng từ e → e∗ ii) r(e∗ ) = s(e), s(e∗) = r(e); ∀e ∈ E Đồ thị mở rộng E hợp E E ∗ , ký hiệu E 1.1.6 Nhận xét Đồ thị mở rộng E E có (E)0 = E , (E)1 = E ∪(E ∗)1 sE , rE kết hợp E, E ∗ 1.1.7 Định nghĩa Cho đồ thị E , ta xác định quan hệ "≤" đỉnh E sau: v ≤ w v = w có quỹ đạo µ cho s(µ) = v r(µ) = w Cho H tập E Khi đó: Tập H gọi di truyền w ∈ H w ≤ v v ∈ H Tập H gọi kín s−1 (v) = ∅ {r(e)|s(e) = v, ∀e ∈ E } ⊆ H v ∈ H 1.1.8 Ví dụ Cho đồ thị A sau: 10 v2 v4 e2 v e1 e3 v1 e4 v3 e5 v5 Hình 1.1: Đồ thị A Ở đồ thị ta có quan hệ sau: v ≤ v1 , v1 ≤ v2 , v1 ≤ v3 , v3 ≤ v4 , v3 ≤ v5 , v ≤ v3 , v ≤ v4 , v ≤ v5 , v1 ≤ v4, v1 ≤ v5, s(e1 ) = v, r(e1) = v1; s(e2) = v1 , r(e2) = v2 ; s(e3) = v1, r(e3) = v3; s(e4) = v3, r(e4) = v4; s(e5) = v3 , r(e5) = v5 ; s(e1e3 ) = v, r(e1e3 ) = v3 ; s(e1e3 e4) = v, r(e1e3 e4 ) = v4; s(e1e3 e5 ) = v, r(e1e3 e5 ) = v5; s(e3e4 ) = v1, r(e3e4 ) = v4; s(e3e5 ) = v1 , r(e3e5 ) = v5 Ta xét trường hợp sau: Với H = {v}, ta có v ≤ v1 v ∈ H mà v1 ∈ / H , suy H tính di truyền đồ thị A Mặt khác ta lại có H kín A Với H = {v1 , v3 , v4, v5 }, v1 ≤ v2 v1 ∈ H mà v2 ∈ / H , suy H tính di truyền đồ thị A Ta có H không kín A, {v1 = r(e1 ) | e1 ∈ s−1 (v)} ∈ H mà v ∈ / H Với H = {v1 , v2 , v3}, v3 ≤ v4 v3 ∈ H mà v4 ∈ / H , suy H tính di truyền đồ thị A Ta có H không kín A, tập {v1 = r(e1 ) | e1 ∈ s−1(v)} ∈ H mà v ∈ / H Với H = {v3 , v4 , v5 }, có quan hệ v3 ≤ v4 , v3 ≤ v5 có đỉnh nhỏ thuộc H mà v4 ∈ H, v5 ∈ H , suy H có tính di truyền đồ thị A Ta có H không kín A, tập {v3 = r(e3 ) | e3 ∈ s−1(v1)} ∈ H mà v1 ∈ / H Tương tự ta tìm tập di truyền đồ thị A là: H = ∅, H = {v2}, H = {v4}, H = {v5}, H = {v2, v4}, H = {v2, v5}, H = {v4, v5}, H = {v3, v4, v5}, H = {v2, v3, v4, v5}, H = {v1, v2, v3, v4, v5}, H = A 20 δi,j r(ej ) = δi,j v = δi,j 1LK (Rn ) với ≤ i, j ≤ n n j=1 e∗j ej = v = 1LK (Rn ) sinh LK (Rn ) K - đại số Vậy LK (Rn) đại số Leavitt nên f đẳng cấu Ta xét đồ thị An đường định hướng biểu thị n đỉnh n − cạnh theo đường định hướng An v1 e1 v2 e2 v3 vn−1 en−1 Hình 2.3: Đường định hướng (An ) Ta có LK (An) K đại số sinh phần tử {vk , ei, e∗i | ∀i = 1, n − 1, k = 1, n} thỏa mãn điều kiện sau: i) (DKi) vi ei = ei vi+1 = ei , i = 1, n − 1; vi+1.e∗i = e∗i vi = e∗i , i = 1, n − ii) (DKii) vi vi = vi, i = 1, n vi.vj = 0, ∀i = j; i, j = 1, n iii) (CK1) e∗i ei = vi+1 , i = 1, n − e∗i ej = 0, ∀i = j; i, j = 1, n iv) (CK2) vi = ei e∗i , i = 1, n − Ta thấy có tính chất giống đại số ma trận Mn (K) tìm hiểu ta có định lý sau 2.1.3 Định lí Cho số nguyên dương n không nhỏ K trường Khi đó: LK (An ) ∼ = Mn (K) Chứng minh Để dễ hình dung ta chứng minh cụ thể cho n = n = Với n = LK (A2 ) ∼ = M2 (K) Theo [[8], Định lý 1] ta có sở LK (A2) {v1, v2, e1, e∗1 } Xét ánh xạ: f : LK (A2) → M2(K), xác định v1 → e(1, 1), v2 → e(2, 2), e1 → e(1, 2), e∗1 → e(2, 1) với i = 1, Khi ánh xạ f biến sở LK (A2 ) {v1 , v2 , e1 , e∗1 }, thành sở M2 (K) {e(1, 1), e(2, 2), e(1, 2), e(2, 1)}, nên f đẳng cấu hay LK (A2 ) ∼ = M2 (K) 21 Tương tự với n = LK (A3 ) ∼ = M3 (K) Xét ánh xạ: f : LK (A3) → M3 (K), xác định v1 → e(1, 1), v2 → e(2, 2), v3 → e(3, 3), e1 → e(1, 2), e2 → e(2, 3), e∗1 → e(2, 1), e∗2 → e(3, 2) với i = 1, 2, Khi ánh xạ f biến sở LK (A3 ) {v1 , v2 , v3, e1 , e2 , e∗1 , e∗2 , e1 e2 , e∗2 e∗1 } thành sở M3 (K) {e(1, 1), e(2, 2), e(3, 3), e(1, 2), e(2, 3), e(2, 1), e(3, 2), e(1, 3), e(3, 1)}, nên f đẳng cấu hay LK (A3) ∼ = M3 (K) Tổng quát: Xét ánh xạ: f : LK (An) → Mn (K), xác định vi → e(i, i); i = 1, n ei → e(i, i + 1), e∗i → e(i + 1, i); i = 1, n − Khi ta có: f (vi) = e(i, i); ∀i = 1, n, f (ei) = e(i, i + 1), f (ei ei+k ) = e(i, i+k +1), , f (eiei+1 en−1) = e(i, n), f (e∗i ) = e(i+1, i), f (e∗i e∗i−l) = e(i + 1, i − l), , f (e∗i e∗i−1 e∗1) = e(i + 1, 1); ∀i = 1, n − 1; ≤ i + k ≤ n − 1; ≤ l ≤ n − Vậy f K -đồng cấu môđun Ta chứng minh tính chất đồng cấu với phép nhân phần tử sinh (DKi) (DKii) (DKi) sau: f (viej ) = f (vivj ej ) = f (δi,j vj ej ) = δi,j f (ej ) = δi,j e(j, j+ 1) f (vi)f (ej ) = e(i, i)e(j, j + 1) = δi,j e(j, j + 1); i = 1, n, j = 1, n − nên f (viej ) = f (vi)f (ej ); i = 1, n, j = 1, n − Tương tự ta có f (eivj ) = f (ei)f (vj ); i = 1, n − 1, j = 1, n (DKi) (DKii) (DKi) Ta có f (e∗i vj ) = f (e∗i vivj ) = f (δi,j e∗i vi) = δi,j f (e∗i ) = δi,j e(i + 1, i) f (e∗i )f (vj ) = e(i + 1, i)e(j, j) = δi,j e(i + 1, i); i = 1, n − 1, j = 1, n nên f (e∗i vj ) = f (e∗i )f (vj ); i = 1, n − 1, j = 1, n Tương tự ta có f (vie∗j ) = f (vi)f (e∗j ); i = 1, n, j = 1, n − (DKii) Ta có f (vivj ) = f (δi,j vi ) = δi,j f (vi) = δi,j e(i, i) f (vi)f (vj ) = e(i, i)e(j, j) = δi,j e(i, i); i, j = 1, n nên f (vivj ) = f (vi)f (vj ); i, j = 1, n (DKi) (DKii) (DKi) Ta có f (eiej ) = f (eivi+1 vj ej ) = f (δi+1,j ei vj ej ) = δi+1,j f (eiei+1 ) = δi+1,j e(i, i + 2) f (ei)f (ej ) = e(i, i + 1)e(j, j + 1) = δi+1,j e(i, i + 2); i, j = 1, n − nên f (eiej ) = f (ei)f (ej ); i, j = 1, n − (DKi) (DKii) (DKi) Ta có f (e∗i e∗j ) = f (e∗i vi vj+1 e∗j ) = f (δi,j+1e∗i vie∗j ) = δi,j+1 f (e∗i e∗i−1 ) = δi,j+1e(i + 1, i − 1) f (e∗i )f (e∗j ) = e(i + 1, i)e(j + 1, j) = δi,j+1e(i + 1, i − 1); i, j = 1, n − nên f (e∗i e∗j ) = f (e∗i )f (e∗j ); i, j = 1, n − Tương tự ta có f (eie∗j ) = f (ei)f (e∗j ) f (e∗i ej ) = f (e∗i )f (ej ); i, j = 1, n − 22 Do phần tử LK (An) biểu diễn tuyến tính thông qua tập phần tử sinh {vk , ei , e∗i | ∀i = 1, n − 1, k = 1, n} nên f đồng cấu với phép nhân Vậy f đẳng cấu Ta xét đồ thị sau Bn gồm n đỉnh n cạnh sau: v1 Bn vn−1 en−1 v2 v3 e1 e2 v e3 Hình 2.4: Đồ thị (Bn ) Ta có LK (Bn) K đại số sinh phần tử {v, vi, ei, e∗i | ∀i = 1, n − 1} thỏa mãn điều kiện sau: i) vi.ei = ei v = ei , i = 1, n − 1; v.e∗i = e∗i vi = e∗i , i = 1, n − ii) vi.vi = vi, vi.v = v.vi = 0, i = 1, n − vi.vj = 0, ∀i = j; i, j = 1, n − iii) (CK1) e∗i ei = v, i = 1, n − e∗i ej = 0, ∀i = j; i, j = 1, n − iv) (CK2) vi = ei e∗i , i = 1, n − Ta thấy có tính chất giống đại số ma trận Mn (K) tìm hiểu ta có định lý sau 2.1.4 Định lí Cho số nguyên dương n không nhỏ K trường Khi đó: LK (Bn ) ∼ = Mn (K) Chứng minh Ta chứng minh cụ thể cho n = n = Với n = LK (B2 ) ∼ = M2 (K) Xét ánh xạ: f : LK (B2) → M2(K), xác định v → e(1, 1), v1 → e(2, 2), e1 → e(2, 1), e∗1 → e(1, 2) Khi 23 ánh xạ f biến sở LK (B2 ) {v, v1, e1 , e∗1 }, thành sở M2 (K) {e(1, 1), e(2, 2), e(2, 1), e(1, 2)}, nên f đẳng cấu hay LK (B2 ) ∼ = M2 (K) Với n = LK (B3 ) ∼ = M3 (K) Xét ánh xạ: f : LK (B3 ) → M3 (K) xác định v → e(1, 1), v1 → e(2, 2), v2 → e(3, 3), e1 → e(2, 1), e2 → e(3, 1), e∗1 → e(1, 2), e∗2 → e(1, 3) Khi ánh xạ f biến sở LK (B3) {v, v1, v2 , e1 , e2 , e∗1 , e∗2 , e1 e∗2 , e2 e∗1 } thành sở M3 (K) {e(1, 1), e(2, 2), e(3, 3), e(2, 1), e(3, 1), e(1, 2), e(1, 3), e(2, 3), e(3, 2)}, nên f đẳng cấu hay LK (B3 ) ∼ = M3 (K) Tổng quát: Xét ánh xạ: f : LK (Bn) → Mn (K), xác định v → e(1, 1), vi → e(i + 1, i + 1), ei → e(i + 1, 1), e∗i → e(1, i + 1); i = 1, n − Khi ta có: f (v) = e(1, 1), f (vi) = e(i + 1, i + 1); ∀i = 1, n − 1, f (ei) = e(i + 1, 1), f (eie∗j ) = e(i + 1, j + 1); ∀i, j = 1, n − 1; i = j nên f biến sở LK (Bn ) thành sở Mn (K) Vậy f K -đồng cấu môđun Ta chứng minh tính chất đồng cấu với phép nhân phần tử sinh (DKi) (DKii) (DKi) sau: f (viej ) = f (vivj ej ) = f (δi,j vj ej ) = δi,j f (ej ) = δi,j e(j + 1, 1) f (vi)f (ej ) = e(i + 1, i + 1)e(j + 1, 1) = δi,j e(j + 1, 1); i, j = 1, n − nên f (viej ) = f (vi)f (ej ); i, j = 1, n − Tương tự ta có f (eivj ) = f (ei)f (vj ) = 0; i, j = 1, n − 1, f (eiv) = f (ei)f (v); i = 1, n − f (vei) = f (v)f (ei); i = 1, n − (DKi) (DKii) (DKi) Ta có f (e∗i vj ) = f (e∗i vi vj ) = f (δi,j e∗i vi ) = δi,j f (e∗i ) = δi,j e(1, i+ 1) f (e∗i )f (vj ) = e(1, i + 1)e(j + 1, j + 1) = δi,j e(1, i + 1); i, j = 1, n − nên f (e∗i vj ) = f (e∗i )f (vj ); i, j = 1, n − Tương tự ta có f (vie∗j ) = f (vi)f (e∗j ); i, j = 1, n − 1, f (e∗i v) = f (e∗i )f (v); i = 1, n − f (ve∗i ) = f (v)f (e∗i ); i = 1, n − (DKii) Ta có f (vivj ) = f (δi,j vi) = δi,j f (vi) = δi,j e(i+1, i+1) f (vi)f (vj ) = e(i + 1, i + 1)e(j + 1, j + 1) = δi,j e(i + 1, i = 1); i, j = 1, n − nên f (vivj ) = f (vi)f (vj ); i, j = 1, n − 1, f (viv) = f (vi)f (v); i = 1, n − f (vvi) = f (v)f (vi); i = 1, n − (DKi) (DKii) Ta có f (eiej ) = f (eivvj ej ) = f (0) = f (ei)f (ej ) = e(i + 1, 1)e(j+1, 1) = 0; i, j = 1, n − nên f (eiej ) = f (ei)f (ej ); i, j = 1, n − 24 (DKii) (DKi) Ta có f (e∗i e∗j ) = f (e∗i vi ve∗j ) = f (0) = f (e∗i )f (e∗j ) = e(1, i + 1)e(1, j + 1) = 0; i, j = 1, n − nên f (e∗i e∗j ) = f (e∗i )f (e∗j ); i, j = 1, n − Ta có f (eie∗j ) = e(i + 1, j + 1) f (ei)f (e∗j ) = e(i + 1, 1)e(1, j + 1) = e(i + 1, j + 1); i, j = 1, n − nên f (eie∗j ) = f (ei)f (e∗j ); i, j = 1, n − Tương tự ta có f (e∗i ej ) = f (e∗i )f (ej ); i, j = 1, n − Do phần tử LK (Bn ) biểu diễn tuyến tính thông qua tập phần tử sinh {v; vi | ∀i = 1, 2, , n − 1; ei, e∗i | ∀i = 1, 2, , n} nên f đồng cấu với phép nhân Vậy f đẳng cấu Ta xét đồ thị Dn gồm đỉnh n − cạnh sau: e1 e2 v Dn w en−1 Hình 2.5: Đồ thị (Dn ) Ta có LK (Dn ) K đại số sinh phần tử {v, w, ei, e∗i | ∀i = 1, n − 1} thỏa mãn điều kiện sau: i) (DKi) v.ei = ei w = ei , i = 1, n − 1; w.e∗i = e∗i v = e∗i , i = 1, n − ii) (DKii) v.v = v, v.w = iii) (CK1) e∗i ei = w, i = 1, n − e∗i ej = 0, ∀i = j = 1, n − iv) (CK2) v = n−1 i=1 ei e∗i 2.1.5 Định lí Cho số nguyên dương n không nhỏ K trường Khi đó: LK (Dn ) ∼ = Mn (K) Chứng minh Ta chứng minh cụ thể cho n = n = Với n = LK (D2) ∼ = M2 (K) Xét ánh xạ: f : LK (D2) → M2 (K), xác định v → e(1, 1), w → e(2, 2), e1 → e(1, 2), e∗1 → e(2, 1) với i = 1, Khi 25 ánh xạ f biến sở LK (D2 ) {v, w, e1, e∗1 }, thành sở M2 (K) {e(1, 1), e(2, 2), e(1, 2), e(2, 1)}, nên f đẳng cấu hay LK (A2 ) ∼ = M2 (K) Với n = LK (D3 ) ∼ = M3 (K) Xét ánh xạ: f : LK (D3) → M3(K), xác định w → e(1, 1), e1 → e(2, 1), e2 → e(3, 1), e∗1 → e(1, 2), e∗2 → e(1, 3) Khi ánh xạ f biến sở LK (D3) {w, e1, e2, e∗1 , e∗2, e1e∗1 , e2 e∗2, e1 e∗2 , e2e∗1 } thành sở M3 (K) {e(1, 1), e(2, 1), e(3, 1), e(1, 2), e(1, 3), e(2, 2), e(3, 3), e(2, 3), e(3, 2)}, nên f đẳng cấu hay LK (D3) ∼ = M3 (K) Tổng quát: Xét ánh xạ: f : LK (Dn ) → Mn (K), xác định w → e(1, 1), ei → e(i + 1, 1), e∗i → e(1, i + 1); ∀i = 1, n − Khi ta có: f (w) = e(1, 1), f (ei) = e(i + 1, 1), f (e∗i ) = e(1, i + 1), f (eie∗j ) = e(i + 1, j + 1); ∀i = 1, n − Vậy f biến sở LK (Dn) thành sở Mn (K) Vậy f K -đồng cấu môđun Ta chứng minh tính chất đồng cấu với phép nhân phần tử sinh (DKi) sau: f (vei) = f (ei) = e(i + 1, i) f (v)f (ei) = n e(k, k)e(i + k=2 1, 1) = e(i + 1, 1); i = 1, n − nên f (vei) = f (v)f (ei); i = 1, n − Tương tự ta có f (eiv) = f (ei)f (v) = 0, f (wei) = f (w)f (ei) f (eiw) = f (ei)f (w); i = 1, n − (DKi) (DKii) Ta có f (e∗i v) = f (e∗i wv) = f (0) = f (e∗i )f (v) = e(1, i + n 1) k=2 = 0; i = 1, n − nên f (e∗i v) = f (e∗i )f (v); i = 1, n − Tương tự ta có f (ve∗i ) = f (v)f (e∗i ), f (we∗i ) = f (w)f (e∗i ) f (e∗i w) = f (e∗i )f (w); i = 1, n − n (DKii) Ta có f (vw) = f (0) = f (v)f (w) = e(1, 1) = nên f (vw) = k=2 f (v)f (w) Tương tự ta có f (wv) = f (w)f (v) (DKi) (DKii) Ta có f (eiej ) = f (eiwvej ) = f (0) = f (ei)f (ej ) = e(i + 1, 1)e(j+1, 1) = 0; i, j = 1, n − nên f (eiej ) = f (ei)f (ej ); i, j = 1, n − (DKi) (DKii) Ta có f (e∗i e∗j ) = f (e∗i vwe∗j ) = f (0) = f (e∗i )f (e∗j ) = e(1, i + 1)e(1, j + 1) = 0; i, j = 1, n − nên f (e∗i e∗j ) = f (e∗i )f (e∗j ); i, j = 1, n − Ta có f (eie∗j ) = e(i + 1, j + 1) f (ei)f (e∗j ) = e(i + 1, 1)e(1, j + 1) = e(i + 1, j + 1); i, j = 1, n − nên f (eie∗j ) = f (ei)f (e∗j ); i, j = 1, n − Tương tự ta có f (e∗i ej ) = f (e∗i )f (ej ); i, j = 1, n − 26 Do phần tử LK (Dn ) biểu diễn tuyến tính thông qua tập phần tử sinh {v; w; ei, e∗i | ∀i = 1, n − 1} nên f đồng cấu với phép nhân Vậy f đẳng cấu Ta xét đồ thị Toeplitz ET gồm đỉnh cạnh sau: ET : e f u v Hình 2.6: Đồ thị ET ) Ta có đại số sinh phần tử x, y thỏa mãn xy = hay K < x, y | xy = > gọi đại số Toeplitz 2.1.6 Định lí Cho K trường Khi đó: LK (ET ) ∼ = K < x, y | xy = > Chứng minh Ta có LK (ET ) có quan hệ sau: ee∗ + f f ∗ = u; u + v = Xét hai phần tử X = e∗ + f ∗ , Y = e + f thuộc LK (ET ) Theo điều kiện (CK1) ta có XY = u + v = theo điều kiện (CK1) (CK2) ta có Y X = ee∗ + f f ∗ = u = Vậy đại số đại số LK (ET ) sinh tập phần tử {X, Y } chứa phần tử XY − Y X = − u = v , nên đại số chứa phần tử e = Y u, f = Y v, e∗ = uX, f ∗ = vX Từ ánh xạ ϕ : K < x, y | xy = >→ LK (ET ), cho x → e∗ + f ∗, y → e + f toàn cấu Xét ánh xạ: ψ : LK (ET ) → K < x, y | xy = >, xác định u → yx, v → − yx, e → y x, f → y − y x, e∗ → yx2, f ∗ → x − yx2 ta có: ψϕ = idK, ϕψ = idLK (ET ) , nên ánh xa ngược ϕ hay LK (ET ) ∼ = K < x, y | xy = > 27 2.2 Một số tính chất đại số quỹ đạo Leavitt 2.2.1 Bổ đề Đơn thức LK (E) dạng sau: a) ki vi với ki ∈ K vi ∈ E hoặc, b) kei1 eiσ e∗j1 e∗jτ với k ∈ K; σ, τ ≥ 0, σ + τ > 0, eis ∈ E e∗jt ∈ (E 1)∗ với ≤ s ≤ σ, ≤ t ≤ τ Chứng minh Xem [3, Bổ đề 1.5] Ta gọi vành A có đơn vị địa phương tập F hữu hạn có phần tử lũy đẳng e ∈ A thỏa mãn F ⊆ eAe) 2.2.2 Định lí Cho K trường, E đồ thị có hướng E tập đỉnh E Nếu E hữu hạn LK (E) đại số có đơn vị Nếu E vô hạn LK (E) đại số có đơn vị địa phương Ta có tập sinh tổng phần tử hữu hạn E đơn vị Chứng minh (i) Giả sử E hữu hạn n Chúng ta phần tử vi phần tử đơn vị đại số Lk (E) i=1 Thật phần tử Lk (E) biểu diễn tuyến tính thông qua phần tử sinh nên ta chưng minh cho trường hợp sau: n Với đỉnh vj ta có: ( n n (DKii) vivj = vj vj ( vi)vj = i=1 i=1 n vi ) = i=1 (DKii) vj vi = vj i=1 n Với cạnh ej ta có: ( (DKii) = s(ej )ej = ej ej ( n n (DKi) vi)ej = ( i=1 (DKi) n vi)s(ej )ej = ( i=1 n vi) = ej r(ej )( i=1 n (DKii) r(ej )vi) = vi) = ej ( i=1 vi s(ej ))ej i=1 i=1 (DKi) ej r(ej ) = ej Với cạnh ảo (DKii) = e∗j ta có: ( (DKi) r(ej )e∗j = e∗j e∗j ( e∗j s(ej ) = e∗j (ii) Giả sử E vô hạn n i=1 n i=1 vi)e∗j (DKi) = ( n vi)r(ej )e∗j i=1 n vi) = e∗j s(ej )( i=1 n =( vi) = e∗j ( n i=1 vi r(ej ))e∗j s(ej )vi) = i=1 28 Khi ta xét tập hữu hạn S = (ai )ti=1 LK (E) Theo bổ đề 2.2.1 ta viết = ni s=1 ksi vsi mi + l=1 cil pil với ksi , cil ∈ K \ {0} pil đơn thức dạng b) Vậy tập đỉnh S V = ∪ti=1 {vsi , s(pil), r(pil)} với v α hữu hạn s = 1, 2, , ni; l = 1, 2, , mi Ta xét α = v∈V lũy đẵng LK (E) thỏa mãn: αai = α = hay LK (E) đại số có đơn vị địa phương 2.2.3 Định lí Đại số quỹ đạo Leavitt LK (E) Z - đại số phân bậc, với bậc cho bởi: deg(vi) = với ∀vi ∈ E deg(ei ) = deg(e∗i ) = −1 với ∀ei ∈ E Và ta có LK (E) = ⊕n∈Z L(E)n, L(E)0 = KE + A0 L(E)0 = An với n = An = kei1 eiσ e∗j1 e∗jτ với k ∈ K; σ + τ > 0, eis ∈ E , eit ∈ E , σ − τ = n Chứng minh Xem [3, Bổ đề 1.7] 2.2.4 Định lí Cho E đồ thị có hướng, K trường Khi điều kiện sau tương đương: i) Đại số quỹ đạo Leavitt LK (E) quy ii) Đại số quỹ đạo Leavitt LK (E) Π−chính quy iii) Đồ thị E acyclic iv) LK (E) = ⊕Mni (K) v) Đại số quỹ đạo Leavitt LK (E) Π−chính quy mạnh Chứng minh Xem [7, Định lý 1] Từ định lý 2.2.4 ta có hệ quả: 2.2.5 Hệ Cho K trường Khi Mn (K) quy Chứng minh Ta có An axyclic r(e) = s(e), ∀e ∈ E Theo định lý 2.2.4 ta có LK (An) quy, mặt khác theo định lý 2.1.3 LK (An) ∼ = Mn (K) Vậy Mn (K) quy 29 2.2.6 Bổ đề Cho µ, ν ∈ CSP (v) Khi đó: µ∗ ν = δµ,ν v Chứng minh Trước tiên ta giả sử α, β hai quỹ đạo ta viết: α = ei1 ei2 eiσ β = ej1 ej2 ejτ Khi ta xét trường hợp sau: Trường hợp deg(α) = deg(β) α = β Gọi b ≥ số phụ cạnh mà quỹ đạo α β khác Tức eia = ejb với a < b eib = ejb Khi đó: (DKi) (DKi) α∗ β = e∗iσ e∗i2 e∗i1 ej1 ej2 ejτ = e∗iσ e∗i2 r(ei1 )ej2 ejτ = e∗iσ e∗i2 r(ei1 ) s(ej2 )ej2 ejτ (DKii) (DKi) = e∗iσ e∗i2 δr(ei1 ),s(ej2 ) s(ej2 )ej2 ejτ = e∗iσ e∗i2 δr(ei1 ),s(ej2 ) ej2 ejτ = δr(ei1 ),s(ej2 ) e∗iσ e∗i2 ej2 ejτ = = δr(ei1 ),s(ej2 ) δr(ejb−1 ),s(ejb ) e∗iσ e∗ib ejb ejτ = Trường hợp α = β Thì ta có α∗ β = δr(ei1 ),s(ei2 ) δr(eiσ−1 ),s(eiσ ) r(eiσ ) = r(α) Trường hợp Bây ta xét µ, ν ∈ CSP (v) giả sử deg(µ) < deg(ν) Ta viết ν = ν1 ν2 với deg(ν1 ) = deg(µ); deg(ν2) > Khi µ = ν1 ta có v = r(µ) = r(ν1) = s(ν2) mâu thuẩn với ν ∈ CSP (v), µ = ν1 theo trường hợp ta có µ∗ ν = µ∗ ν1 ν2 = Đối với trường hợp deg(µ) > deg(ν) ta xét tương tự trường hợp 2.2.7 Bổ đề Với cạnh p ∈ CP (v) tồn c1 , c2 , , cm ∈ CSP (v) cho p = c1 c2 cm Chứng minh Giả sử p = ei1 ei2 ein Ta đặt T = {t ∈ {1, 2, , n} : r(eit ) = v} ta thứ tự t1 , t2, , tm = n tất phần tử T Thì c1 = ei1 eit1 cj = eitj−1 eitj với j > Vậy p = c1 c2 cm, hay điều tồn thỏa mãn Ta chứng minh tính nhất: Giả sử p = c1 c2 cr = d1 d2 ds với cj , dj ∈ CSP (v) Nhân hai vối c∗1 áp dụng bổ đề 2.2.6 ta = vc2 cr = c∗1 d1 ds, lại áp dụng bổ đề 2.2.6 suy c1 = d1 Cứ tiếp tục trình ta có c2 = d2 , ta phân tích 30 2.2.8 Định lí Cho E đồ thị có hướng Khi đó: điều kiện sau tương đương: i) Mọi quỹ đạo cycle có cạnh exit ii) Mọi quỹ đạo closed path có cạnh exit iii) Mọi quỹ đạo closed simple path có exit iv) Mọi vi ∈ E 0, CSP (vi) = ∅, tồn c ∈ CSP (vi) có exit Chứng minh Ta có ii) ⇒ iii) ⇒ i) suy từ định nghĩa, iii) ⇒ iv) hiển nhiên Ta chứng minh i) ⇒ ii) Giả sử µ ∈ CSP (vi) Theo bổ đề 2.2.7 ta có phân tích µ = c(1) c(2) c(m) với c(j) ∈ CSP (vi) ta kiểm tra cho c(m) Nếu c(m) cycle i) ta có c(m) có exit, exit µ theo giả thiết Ngược lại, nêu không cycle c(m) gặp đỉnh khác m m m vi nhiều lần Khi ta viết cm = cm c2 cs với ci ∈ E cho m m cm s0 cạnh cuối thỏa mãn s(cj ) ∈ {s(ci ) : ≤ i ≤ s, i = j} m Như tồn s1 < s0 cho s(cm s0 ) = s(cs1 ) ta có trường hợp sau: m m m m Trường hợp cm s0 = cs1 s0 < s1 Thì r(cs0 ) = r(cs1 ), nên s(cs0 +1 ) = m s(cm s1 +1 ) mâu thuẩn với cách chọn cs0 Suy trường hợp không thỏa mãn m m m Trường hợp cm s0 = cs1 s0 = s1 Tức r(cs1 ) = r(cs ) = vi điều xảy c(m) ∈ CSP (vi) m m m m (m) Trường hợp cm s0 = cs1 s(cs0 ) = s(cs1 ) nên cs1 exit c exit µ Vậy trường hợp ta tìm mâu thuẩn tìm exit cho µ Ta chứng minh iv) ⇒ iii) Xét c(1) ∈ CSP (vi), theo giả thiết iv) tồn c(2) ∈ CSP (vi) có exit Nếu c2 = c1 ta có điều cần chứng minh Nếu c2 = c1 ta viết lại c1 = ei1 eis , c2 = ej1 ejr ta thực bước sau: Bước Nếu ei1 = ej1 , s(ei1 ) = s(ej1 ) = vi nên ej1 exit 31 c(1) Bước Nếu ei1 = ej1 , r(ei1 ) = r(ej1 ) s(ei2 ) = s(ej2 ) Bước Nếu ei2 = ej2 , bước 1, ej2 exit c(1) Bước Nếu ei2 = ej2 , ta lại tiếp tục bước Với quy trình ta tìm thấy exit ta chạy khỏi cạnh quỹ đạo c2 = c1 , ta xét trường hợp sau: Trường hợp c1 = c2 eit eis với t ≤ s Điều s(eit ) = r(c2) = vi c(1) ∈ CSP (vi) Trường hợp c2 = c1 ejq ejr với q ≤ r Tương tự trường hợp xảy Vậy trường hợp ta có mâu thuẩn tìm exit cho c(1) , ta điều chứng minh 32 KẾT LUẬN Nội dung luận văn mô tả đại số quỹ đạo Leavitt cho số kiểu đồ thị tìm hiểu số tính chất đại số quỹ đạo Leavitt dựa vào báo [3] Gene Abrams and Gonzalo Aranda Pino Cụ thể luận văn hoàn thành việc sau: Trình bày số khái niệm đại số quỹ đạo Leavitt số khái niệm liên quan chương Mô tả đại số quỹ đạo Leavitt cho số kiểu đồ thị (Định lí 2.1.2, Định lí 2.1.1, Định lí 2.1.3, Định lí 2.1.4, Định lí 2.1.5, Định lí 2.1.6) Nêu số tính chất đại số quỹ đạo Leavitt, gồm nêu tính chất quy, tính chất đại số quỹ đạo Leavitt đồ thị đóng (Định lí 2.2.8) tìm hiểu tập kín di truyền số đồ thị 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Hữu Việt Hưng (1999), Đại số đại cương, NXB Giáo dục [2] Lê Văn An, Ngô Sỹ Tùng (2011), Đại số quỹ đạo Leavitt mở rộng trường, Tạp chí khoa học Đại học Vinh, tập 40, số 2A, -14 Tiếng Anh [3] G Abrams and G Aranda Pino (2005), The Leavitt path algebra of a graph, J Algebra, 293(2), 319 - 334 [4] G Abrams (2015), Leavitt path algebra: The first decade, Bull Math Sci., 5, 59 - 120 [5] G Abrams, P N Ánh, and E Pardo (2008), Isomorphisms between Leavitt algebras and their matrix rings, J Reine Angew Math., 624, 103 – 132 [6] G Abrams, G Aranda Pino and M Siles Molina (2008), Locally finite Leavitt path algebras, Israel J Math., 165, 329 - 348 [7] G Abrams, K M Rangaswamy (2010), Regularity conditions for arbitrary Leavitt path algebras, Algebra and Representation Theory, Vol 13, Issue 3, 319 - 334 [8] A Alahmadi, H Alsulami, S K Jain and E Zelmanov (2012), Leavitt path algebras of finite gelfand -Kirillov dimension, J of Al and Its Applications, Vol 11, No 34 [9] K R Goodearl (2009), Leavitt path algebras and direct limits, In Rings, Modules and Representations, Contem Maths, 165 - 188 [10] W G Leavitt (1965), The module type of homomorphic images, Duke Math J 32, 305 - 311 [11] I Raeburn (2005), Graph algebras, Vol 103 of CBMS Regional Conference Series in Mathematics Published for the Conference Board of the Mathematical Sciences, Washington, DC [...]... bày một số khái niệm về đại số quỹ đạo Leavitt và một số khái niệm liên quan ở chương 1 2 Mô tả đại số quỹ đạo Leavitt cho một số kiểu đồ thị (Định lí 2.1.2, Định lí 2.1.1, Định lí 2.1.3, Định lí 2.1.4, Định lí 2.1.5, Định lí 2.1.6) 3 Nêu được một số tính chất của đại số quỹ đạo Leavitt, gồm nêu được tính chất chính quy, tính chất của đại số quỹ đạo Leavitt đối với đồ thị đóng (Định lí 2.2.8) và tìm... biết: A = ee∗ + aa∗ 18 CHƯƠNG 2 MỘT SỐ TÍNH CHẤT VÀ VÍ DỤ CỦA ĐẠI SỐ QUỸ ĐẠO LEAVITT Trong chương này chúng tôi mô tả đại số quỹ đạo Leavitt cho một số kiểu đồ thị, đồng thời đưa ra một số tính chất của nó Một số kết quả được tham khảo trong [3], [4], [7] 2.1 Mô tả đại số quỹ đạo Leavitt cho một số kiểu đồ thị Ta xét đồ thị Rn là bông hoa n cánh gồm một 1 đỉnh và n cạnh e2 e1 Rn v en en−1 Hình 2.1:... r(c2) = vi và c(1) ∈ CSP (vi) Trường hợp 2 c2 = c1 ejq ejr với q ≤ r Tương tự trường hợp này cũng không thể xảy ra Vậy trong mọi trường hợp ta đều có mâu thuẩn hoặc tìm được exit cho c(1) , và ta được điều chứng minh 32 KẾT LUẬN Nội dung chính của luận văn là mô tả đại số quỹ đạo Leavitt cho một số kiểu đồ thị và tìm hiểu về một số tính chất của đại số quỹ đạo Leavitt dựa vào bài báo [3] của Gene Abrams... R0 là một vành con của vành R và mỗi thành phần phân bậc Mi (hoặc Ri ) là một R0 −môđun Nếu x ∈ M và x = xi + xi+1 + + xj , với xk ∈ Mk , i ≤ k ≤ j; i, j ∈ Z thì xk (có thể xk = 0) được gọi là thành phần thuần nhất hoặc thành phần phân bậc bậc k của x Mỗi phần tử chỉ có một biểu diễn duy nhất thành tổng của các thành phần phân bậc 1.4 Đại số Leavitt và đại số quỹ đạo Leavitt Khi học lý thuyết vành,... 2.2.4 Định lí Cho E là một đồ thị có hướng, K là một trường Khi đó các điều kiện sau là tương đương: i) Đại số quỹ đạo Leavitt LK (E) là chính quy ii) Đại số quỹ đạo Leavitt LK (E) là Π−chính quy iii) Đồ thị E là acyclic iv) LK (E) = ⊕Mni (K) v) Đại số quỹ đạo Leavitt LK (E) là Π−chính quy mạnh Chứng minh Xem [7, Định lý 1] Từ định lý 2.2.4 ta có hệ quả: 2.2.5 Hệ quả Cho K là một trường Khi đó Mn (K)... kín và di truyền của một số đồ thị 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Hữu Việt Hưng (1999), Đại số đại cương, NXB Giáo dục [2] Lê Văn An, Ngô Sỹ Tùng (2011), Đại số quỹ đạo Leavitt và mở rộng trường, Tạp chí khoa học Đại học Vinh, tập 40, số 2A, 5 -14 Tiếng Anh [3] G Abrams and G Aranda Pino (2005), The Leavitt path algebra of a graph, J Algebra, 293(2), 319 - 334 [4] G Abrams (2015), Leavitt. .. điều kiện của đại số Leavitt ei e∗j = 20 δi,j r(ej ) = δi,j v = δi,j 1LK (Rn ) với 1 ≤ i, j ≤ n và n j=1 e∗j ej = v = 1LK (Rn ) sinh ra LK (Rn ) như một K - đại số Vậy LK (Rn) là một đại số Leavitt nên f đẳng cấu Ta xét đồ thị An là đường định hướng biểu thị n đỉnh và n − 1 cạnh theo một đường định hướng An v1 e1 v2 e2 v3 vn−1 en−1 vn Hình 2.3: Đường định hướng (An ) Ta có LK (An) là K đại số sinh bởi... α hữu hạn và là một s = 1, 2, , ni; l = 1, 2, , mi Ta xét α = v∈V lũy đẵng của LK (E) thỏa mãn: αai = ai α = ai hay LK (E) là đại số có đơn vị địa phương 2.2.3 Định lí Đại số quỹ đạo Leavitt LK (E) là Z - đại số phân bậc, với bậc cho bởi: deg(vi) = 0 với ∀vi ∈ E 0 deg(ei ) = 1 và deg(e∗i ) = −1 với ∀ei ∈ E 1 Và ta có LK (E) = ⊕n∈Z L(E)n, trong đó L(E)0 = KE 0 + A0 và L(E)0 = An với n = 0 và An = kei1... v4, v5, v6}, H = B 1.1.9 Định nghĩa Cho E là một đồ thị, K là một trường Đại số quỹ đạo của E trên K (kí hiệu là KE ) là K - đại số có cơ sở của không gian vectơ với tập tất cả các quỹ đạo trong E với phép nhân xác định như sau: Nếu p = e1 e2 en, q = f1 f2 f m là các quỹ đạo trong E thì tích của chúng trong KE là pq = e1 e2 en.f1 f2 f m nếu r(en ) = s(f1 ) và pq = 0 trong các trường hợp khác Chúng ta... (ET ) , nên nó là ánh xa ngược của ϕ hay LK (ET ) ∼ = K < x, y | xy = 1 > 27 2.2 Một số tính chất của đại số quỹ đạo Leavitt 2.2.1 Bổ đề Đơn thức trong LK (E) là một trong những dạng sau: a) ki vi với ki ∈ K và vi ∈ E 0 hoặc, b) kei1 eiσ e∗j1 e∗jτ với k ∈ K; σ, τ ≥ 0, σ + τ > 0, eis ∈ E 1 và e∗jt ∈ (E 1)∗ với 0 ≤ s ≤ σ, 0 ≤ t ≤ τ Chứng minh Xem [3, Bổ đề 1.5] Ta gọi vành A có đơn vị địa phương nếu ... đại số quỹ đạo Leavitt 14 Một số tính chất ví dụ đại số quỹ đạo Leavitt 18 2.1 Mô tả đại số quỹ đạo Leavitt cho số kiểu đồ thị 18 2.2 Một số tính chất đại số quỹ đạo Leavitt ... CHƯƠNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT VÀ VÍ DỤ CỦA ĐẠI SỐ QUỸ ĐẠO LEAVITT Trong chương mô tả đại số quỹ đạo Leavitt cho số kiểu đồ thị, đồng thời đưa số tính chất Một số kết tham khảo [3], [4], [7] 2.1 Mô tả đại. .. số kiểu đồ thị trình bày số tính chất đại số quỹ đạo Leavitt, gồm nội dung sau: 2.1 Mô tả đại số quỹ đạo Leavitt cho số kiểu đồ thị 2.2 Một số tính chất đại số quỹ đạo Leavitt Trong toàn luận