Một số tính chất và ví dụ của đại số quỹ đạo leavitt

NGUYỄN ĐÌNH NAMMỘT SỐ TÍNH CHẤT VÀ VÍ DỤ CỦA ĐẠI SỐ QUỸ ĐẠO LEAVITT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An - 2015... NGUYỄN ĐÌNH NAMMỘT SỐ TÍNH CHẤT VÀ VÍ DỤ CỦA ĐẠI SỐ QUỸ ĐẠO LEAVITT Chuyên

NGUYỄN ĐÌNH NAM

MỘT SỐ TÍNH CHẤT VÀ VÍ DỤ CỦA ĐẠI SỐ QUỸ ĐẠO LEAVITT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Nghệ An - 2015

NGUYỄN ĐÌNH NAM

MỘT SỐ TÍNH CHẤT VÀ VÍ DỤ CỦA ĐẠI SỐ QUỸ ĐẠO LEAVITT

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

Mã số: 60 46 01 04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

TS LÊ VĂN AN

Nghệ An - 2015

MỤC LỤC

1.1 Đại số trên một trường, đại số quỹ đạo 6

1.2 Vành chính quy, Π−chính quy, Π−chính quy mạnh 13

1.3 Đại số phân bậc 13

1.4 Đại số Leavitt và đại số quỹ đạo Leavitt 14

2 Một số tính chất và ví dụ của đại số quỹ đạo Leavitt 18 2.1 Mô tả đại số quỹ đạo Leavitt cho một số kiểu đồ thị 18

2.2 Một số tính chất của đại số quỹ đạo Leavitt 27

MỞ ĐẦU

Đại số Leavitt được nhà toán học W G Leavitt đưa ra năm 1962 trongbài báo “The module type of a ring” trên tạp chí Tran Amer Math Soc.Sau đó, ông cùng một số chuyên gia trong lĩnh vực đại số Lie, C∗-Đại sốquan tâm nghiên cứu và thu được nhiều kết quả sâu sắc

Đại số Leavitt có cấu trúc khá lạ so với các cấu trúc đại số kết hợp

đã biết trước đó, ví dụ Rn thường không đẳng cấu với Rm khi R là vành,trong khi đó đại số Leavitt thì điều này lại xảy ra

Năm 2004, Gene Abrams và học trò của ông là Gonzalo Aranda Pino

đã vận dụng tư tưởng của đại số Leavitt để đặc trưng cho các đồ thị cóhướng Hai nhà toán học này đã xây dựng một đại số từ các đồ thị cóhướng và đặt tên cho đại số này là Đại số quỹ đạo Leavitt Sau khi tìmhiểu về vấn đề này họ đã đưa ra một ví dụ khẳng định được đại số Leavitt

là một trường hợp riêng của đại số quỹ đạo Leaviit, vì thế đại số quỹ đạoLeavitt trở thành vấn đề thời sự được các nhà toán học quan tâm nghiêncứu như G Abram, G Aranda Pino, Phạm Ngọc Ánh, và đạt được nhiềukết quả thú vị

Việc tính toán các đại số quỹ đạo Leavitt trên các đồ thị có hướng sẽcho chúng ta biết được mối liên hệ của nó với một số đại số đã biết nhưđại số Ma trận, đại số đa thức Laurent, ngoài ra khi nghiên cứu các đồthị có hướng ta cũng sẽ đưa ra được tính chất của đại số quỹ đạo Leavitttrên đồ thị đó

Chính vì các lý do đó tôi chọn đề tài “Một số tính chất và ví dụ của đại

số quỹ đạo Leavitt” để nghiên cứu

Nội dung của luận văn nghiên cứu về tính chất và mô tả một số ví dụ

của đại số quỹ đạo Leavitt Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu thamkhảo, nội dung của luận văn được chia thành hai chương Chương 1: Kiếnthức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ

sở của Đại số quỹ đạo Leavitt nhằm làm cơ sở cho việc trình bày nội dungchính của luận văn ở Chương 2 Một số tính chất và ví dụ của đại số quỹđạo Leavitt Trong chương này chúng tôi mô tả đại số quỹ đạo Leavitt chomột số kiểu đồ thị và trình bày một số tính chất cơ bản của đại số quỹđạo Leavitt, gồm những nội dung sau:

2.1 Mô tả đại số quỹ đạo Leavitt cho một số kiểu đồ thị

2.2 Một số tính chất của đại số quỹ đạo Leavitt

Trong toàn bộ luận văn, luôn ký hiệu K là một trường và E là một đồthị có hướng

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫncủa TS Lê Văn An Tác giả xin được bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc đến Thầy,người đã tận tình hướng dẫn, động viên và tạo điều kiện thuận lợi cho tácgiả trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn

Nhân dịp này, tác giả xin trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo trong Bộmôn Đại số, các thầy cô giáo Khoa Toán đã trực tiếp giảng dạy lớp Caohọc 21 chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số Tác giả xin cảm ơn Ban chủnhiệm Khoa Sư phạm Toán học, Phòng Đào tạo Sau đại học, Ban Giámhiệu - Trường Đại học Vinh tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốtquá trình học tập tại trường Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn thầy côgiáo tổ Toán, Ban chủ nhiệm Khoa sư phạm Tự nhiên, Ban Giám hiệu -Trường Đại học Hà Tĩnh đã động viên, tạo điều kiện tốt nhất để cho tácgiả hoàn thành khóa học

Nghệ An, tháng 09 năm 2015

Tác giả

CHƯƠNG 1

MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN

Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức về Đại số kếthợp như: Đại số trên một trường, đại số quỹ đạo, đại số Leavitt, đại sốCohn và đại số quỹ đạo Leavitt nhằm mục đích làm cơ sở cho việc trìnhbày nội dung chính của Luận văn ở Chương 2 Các kết quả viết trongchương này được tham khảo trong [1] và [3] Trong toàn bộ luận văn K

luôn được giả thiết là một trường; E là một đồ thị có hướng, e(i, j) là matrận có phần tử hàng thứ i và cột thứ j bằng 1 và các phần tử còn lại đềubằng 0

1.1 Đại số trên một trường, đại số quỹ đạo

1.1.1 Định nghĩa Một đại số trên trường K là một tập hợp không rỗng

A cùng với 3 phép toán, gồm

(a) Phép cộng:

+ : A × A → A,(x, y) 7→ x + y,

(b) Phép nhân:

× : A × A → A,(x, y) 7→ xy,

(c) Phép nhân với vô hướng (trong K):

× : K × A → A,

(α, y) 7→ αy;

Các phép toán này thỏa mãn những điều kiện sau đây:

(A1) A cùng với phép toán cộng và nhân cùng lập thành một vành

(A2) A cùng với phép cộng và phép nhân vô hướng lập thành một khônggian vectơ trên K

(A3) Hai cấu trúc vành và không gian vectơ ở trên A ràng buộc nhau bởiđiều kiện α(xy) = (αx)y = x(αy) với mọi α ∈ K, x, y ∈ A

1.1.2 Ví dụ (a) Mỗi trường mở rộng của K là một đại số trên K

(b) Vành đa thức K[x] là một đại số trên trường K

(c) Tập hợp Mn(K) các ma trận vuông cấp n với các phần tử trong K lậpnên một đại số trên K đối với các phép toán thông thường trên ma trận.1.1.3 Định nghĩa Một đồ thị có hướng là một bộ gồm 4 - thành phần

E = (E0, E1, r, s) trong đó E0 là tập hợp các đỉnh,E1 là tập hợp các cạnh

và các ánh xạ: r, s : E1 → E0 là các ánh xạ từ tập các cạnh đến tập cácđỉnh Nếu e ∈ E1 là một cạnh thì s(e), r(e) lần lượt được gọi là điểm đầu

và điểm cuối của e, khi đó ta cũng nói e đi từ s(e) đến r(e) và ký hiệu

e : s(e) → r(e)

Nếu s−1(v) là hữu hạn với ∀v ∈ E0 thì ta gọi đồ thị E là row - finite.Đỉnh v với |s−1(v)| vô hạn thì gọi là infinite emitter

Đỉnh v với s−1(v) =∅ được gọi là sink

Đỉnh v với r−1(v) = ∅ được gọi là source

Đỉnh v hoặc là sink hoặc là infinite emitter thì ta gọiv là đỉnh singular.Các biểu thức Sink(E), Source(E), Reg(E), Inf (E) lần lượt kí hiệucho các tập đỉnh sink, source, regular, infinite emitter của E

Một quỹ đạo có hướng µ = e1e2 en của đồ thị E (gọi tắt là quỹ đạo) làmột dãy liên tiếp các cạnh ei ∈ E1, sao cho r(ei) = s(ei+1), ∀i = 1, 2, , n

Ta gọi s(µ) = s(e1) là điểm gốc của µ, r(µ) = r(en) là điểm ngọn của

µ và n = l(µ) là độ dài của µ

Cạnh e được gọi là cạnh exit của quỹ đạo µ = e1e2 en nếu tồn tại i

sao cho s(e) = s(ei) và e 6= ei

Quỹ đạo µ = e1e2 en với ei ∈ E1, n ≥ 1 được gọi là cycle nếu

s(µ) = r(µ) và s(ei) 6= s(ej), ∀i 6= j

Đồ thị E được gọi là acyclic nếu trên E không có một quỹ đạo nào làcycle

Quỹ đạo µ = e1e2 en với ei ∈ E1, n ≥ 1 được gọi là close path basedtại v nếu s(µ) = r(µ) = v

Quỹ đạo µ = e1e2 en với ei ∈ E1, n ≥ 1 được gọi là close simple pathbased tại v nếu nó là close path based tại v và s(ej) 6= v với mọi j > 1.Tập tất cả các quỹ đạo close path based tại v được ký hiệu là CP (v).Tập tất cả các quỹ đạo close simple path based tại v được ký hiệu là

e

c

b E b

c

G

b H e

b I

f b J g

N

b O k

b P l

Q

m n

b R

p S b

b T q

b U r

V s t

Ta có đồ thị ở hình a) đỉnhAlà source, đỉnhE là sink,s(a) = A, r(a) = B,

µ = ab, λ = edcb là hai quỹ đạo với s(µ) = A, r(µ) = E, s(λ) = A,

r(λ) = E và cạnh e là exit của quỹ đạo µ = ab, cạnh a là exit của quỹđạo λ = edcb.

qrst, u1v1w1a1b1 là các cycle, cạnh d1 là exit của quỹ đạo qrst

Đồ thị ở hình a), hình c), hình d) là một row - finite

1.1.5 Định nghĩa Đồ thị đối ngẫu của đồ thị E là một đồ thị E∗ ={(E∗)0, (E∗)1, rE ∗, sE ∗} xác định như sau:

i) (E∗)0 = E0

ii) (E∗)1 = {e∗|e ∈ E1 và một song ánh tương ứng từ e → e∗

ii) r(e∗) = s(e), s(e∗) = r(e); ∀e ∈ E1

Đồ thị mở rộng của E là hợp của E và E∗, ký hiệu là bE

1.1.6 Nhận xét Đồ thị mở rộng bE của E có(E)b 0 = E0, (E)b 1 = E1∪(E∗)1

và sEb, rEb được kết hợp giữa E, E∗

1.1.7 Định nghĩa Cho đồ thị E, ta xác định quan hệ "≤" đối với cácđỉnh của E0 như sau: v ≤ w khi và chỉ khi v = w hoặc có quỹ đạo µ saocho s(µ) = v và r(µ) = w

Cho H là tập con của E0 Khi đó:

Tập H được gọi là di truyền nếu w ∈ H và w ≤ v thì v ∈ H

TậpH được gọi là kín nếus−1(v) 6=∅ và{r(e)|s(e) = v, ∀e ∈ E1} ⊆ H

thì v ∈ H

1.1.8 Ví dụ

Cho đồ thị A sau:

s(e5) = v3, r(e5) = v5; s(e1e3) = v, r(e1e3) = v3; s(e1e3e4) = v,

r(e1e3e4) = v4; s(e1e3e5) = v, r(e1e3e5) = v5; s(e3e4) = v1, r(e3e4) = v4;s(e3e5) = v1, r(e3e5) = v5

Với H = {v1, v2, v3}, do v3 ≤ v4 và v3 ∈ H mà v4 ∈ H/ , suy ra H không

có tính di truyền trong đồ thị A Ta cũng có H không kín trong A, vì tập

{v1 = r(e1) | e1 ∈ s−1(v)} ∈ H mà v /∈ H

Với H = {v3, v4, v5}, do chỉ có các quan hệ v3 ≤ v4, v3 ≤ v5 là có đỉnhnhỏ hơn thuộc H mà v4 ∈ H, v5 ∈ H, suy ra H có tính di truyền trong đồthị A Ta cũng có H không kín trong A, vì tập

s(e3) = v1, r(e3) = v3; s(e1) = v1, r(e1) = v4; s(e4) = v4, r(e4) = v5;

s(e5) = v4, r(e5) = v6; s(e1e4) = v1, r(e1e4) = v5; s(e1e5) = v1,

r(e1e5) = v6

Ta xét các trường hợp sau:

Với H = {v1}, ta có v1 ≤ v2 và v1 ∈ H mà v2 ∈ H/ , suy ra H không cótính di truyền trong đồ thị B Mặt khác ta lại có H kín trong B

Với H = {v1, v2, v3}, do v1 ≤ v4 và v1 ∈ H mà v4 ∈ H/ , suy ra H không

có tính di truyền trong đồ thị B Ta cũng có H kín trong B, vì trong H

chỉ có {v2 = r(e2), v3 = r(e3 | e2 ∈ s−1(v1), e3 ∈ s−1(v1)} ∈ H và v1 ∈ H.Với H = {v2, v4, v5}, do trong H chỉ có quan hệ v4 ≤ v5 mà v5 ∈ H,suy ra H có tính di truyền trong đồ thị B Ta cũng có H không kín trong

B, vì {v2 = r(e2) | e2 ∈ s−1(v1)} ∈ H mà v1 ∈ H/

Với H = {v4, v5, v6}, do chỉ có các quan hệ v4 ≤ v5, v4 ≤ v6 là có đỉnhnhỏ hơn thuộc H mà v5 ∈ H, v6 ∈ H, suy ra H có tính di truyền trong đồ

thị E Ta cũng cóH không kín trong E, vì {v4 = r(e1) | e1 ∈ s−1(v1)} ∈ H

Chúng ta nhận xét rằng KE sinh bởi E0 ∪ E1 thỏa mãn các quan hệsau:

v2 = v, v ∈ E0,

vw = 0 với mọi v, w ∈ E0 và v 6= w,

e = s(e).e = e.r(e) với mọi e ∈ E1

1.1.10 Định lí Cho K là một trường, E là một đồ thị có hường và KE

là đại số quỹ đạo của E trên K Khi đó:

(i) KE là đại số có đơn vị khi và chỉ khi E0 hữu hạn đỉnh và phần tửđơn vị là tổng các đỉnh

(ii) KE là vành khả nghịch địa phương, nghĩa là KE ⊃ Q sao cho

x ∈ KE, ∃q ∈ Q để qx = xq = x, ở đây Q là tập tất cả các tổng hữu hạncác điểm khác nhau của E.

Chứng minh Xem tài liệu tham khảo [9]

mạnh

1.2.1 Định nghĩa Cho R là một vành Khi đó:

(i) R được gọi là vành chính quy nếu mọi x ∈ R tồn tại y ∈ R sao cho

x = xyx

(ii) R được gọi là Π−chính quy nếu x ∈ R tồn tại y ∈ R, tồn tại

n ∈ N, sao cho xn = xnyxn

(iii) R được gọi là Π−chính quy trái(phải) nếu x ∈ R tồn tại

y ∈ R, tồn tại n ∈ N, sao cho xn = yxn(xn = xny)

(iv) R được gọi là Π−chính quy mạnh nếu R vừa là Π−chính quy trái,vừa là Π−chính quy phải

1.3.1 Định nghĩa (i) Một vành R được gọi là phân bậc nếu

R = R0 ⊕ R1 ⊕ R2 ⊕

là một tổng trực tiếp các nhóm aben với RiRj ⊆ Ri+j

(ii) Một môđun M trên vành phân bậc R được gọi là môđun phân bậcnếu

thì mỗi phần tử x của Ri (hoặc Mi) được gọi là phần tử thuần nhất bậc

i, kí hiệu deg(x) = i Ta quy ước bậc của phần tử 0 là một số nguyên

tùy ý Như vậy, nếu a ∈ R và x ∈ M là các phần tử thuần nhất thì

deg(ax) = deg(a) + deg(x) hoặc ax = 0

(iv) Một đại số X trên vành R giao hoán có đơn vị 1R được gọi là đại

số phân bậc nếu thỏa mãn:

tự đồng cấu của không gian vectơ V vô hạn chiều trên trường K, thì B

không IBN tức Bm ∼= Bm ′

với mọi số nguyên dương m, m′ Vậy ta có địnhnghĩa sau:

1.4.1 Định nghĩa Giả sử vành R không IBN (IBN là tính bất biến của

cơ sở) Cho m ∈ N là số bé nhất thỏa mãn RRm ∼=R Rm ′

với m′ > m Với

số m ở trên, gọi n là số nhỏ nhất trong các số m’ thì ta nói R là môđunkiểu (m,n)

Ví dụ: R = EndK(V ) có môđun kiểu (1,2).

1.4.2 Nhận xét Ta có nếu Rm ∼= Rn thì tồn tại đẳng cấu f : Rm → Rn

nên ta có định nghĩa sau.

1.4.3 Định nghĩa Cho K là một trường, n > 1, n ∈ Z Khi đó đại sốLeavitt trên trường K kiểu (1,n), kí hiệu LK(1, n) là K - đại số

K < X1, X2, , Xn, Y1, Y2, , Yn > thỏa mãn điều kiện:

1.4.4 Định lí Cho n là số nguyên dương không nhỏ hơn 2 và mọi trường

K, khi đó LK(1, n) là đại số đơn

Chứng minh Xem tài liệu tham khảo [10]

1.4.5 Định nghĩa Cho E là một đồ thị, K là một trường Đại số CohncủaE trên K kí hiệu là CK(E) là K - đại số sinh bởi các tậpE0, E1, (E1)∗

thỏa mãn các điều kiện sau:

i) s(e).e = e.r(e) = e; r(e).e∗ = e∗.s(e) = e∗ với e ∈ E1

ii) uv = σu,vv với u, v ∈ E0, trong đó σu,v =



1 nếu u = v

0 nếu u 6= v iii) (CK1)e∗f = σe,fr(e)vớie, f ∈ E1, trong đóσe,f =



1 nếu e = f

0 nếu e 6= f 1.4.6 Định nghĩa Cho E là một đồ thị, K là một trường Đại số quỹđạo Leavitt của E trên K kí hiệu là LK(E) là K - đại số sinh bởi các tập

E0, E1, (E1)∗ thỏa mãn các điều kiện sau:

i) (DKi) s(e).e = e.r(e) = e; r(e).e∗ = e∗.s(e) = e∗ với e ∈ E1

ii) (DKii) uv = σu,vv với u, v ∈ E0, trong đó σu,v =



1 nếu u = v

0 nếu u 6= v iii) (CK1) e∗f = σe,fr(e) với e, f ∈ E1

iv) (CK2)v = P

{e∈E 1 |s(e)=v}

ee∗ trong đó v ∈ E0 và v không phải là đỉnh sink

1.4.7 Nhận xét Đại số quỹ đạo Leavitt định nghĩa ở trên là một đại sốquỹ đạo của đồ thị mở rộng bE với các mối quan hệ (CK1) và (CK2)

e

w

b C b

c

Theo điều kiện (DKi) ta có: Aa = s(a)a = ar(a) = aB, xét cho cạnh e tađược: e∗A = e∗s(e) = e∗ = r(e)e∗ = Ee∗

Theo điều kiện (DKii) ta có: AA = A, AB = 0

Ta có theo điều kiện (CK1) thì e∗e = r(e) = E, e∗a = 0

Điều kiện (CK2) cho ta biết: A = ee∗ + aa∗

CHƯƠNG 2

MỘT SỐ TÍNH CHẤT VÀ VÍ DỤ CỦA ĐẠI SỐ

QUỸ ĐẠO LEAVITT

Trong chương này chúng tôi mô tả đại số quỹ đạo Leavitt cho một sốkiểu đồ thị, đồng thời đưa ra một số tính chất của nó Một số kết quả đượctham khảo trong [3], [4], [7]

2.1 Mô tả đại số quỹ đạo Leavitt cho một số kiểu

Ta có LK(R1) là K đại số sinh bởi các phần tử v, e, e∗ thỏa mãn các điềukiện sau:

i) (DKi) v.e = e.v = e; v.e∗ = e∗.v = e∗

Ta có LK(Rn) là K đại số sinh bởi các phần tử{v, ei, e∗i, i = 1, n} thỏamãn các điều kiện sau:

i) (DKi) v.ei = ei.v = ei; v.e∗i = e∗i.v = e∗i

δi,j.r(ej) = δi,j.v = δi,j.1LK(Rn) với 1 ≤ i, j ≤ n và Pn

Ta cóLK(An)làK đại số sinh bởi các phần tử{vk, ei, e∗i | ∀i = 1, n − 1, k =

1, n} thỏa mãn các điều kiện sau:

i) (DKi) vi.ei = ei.vi+1 = ei, i = 1, n − 1; vi+1.e∗i = e∗i.vi = e∗i, i =

1, n − 1

ii) (DKii) vi.vi = vi, i = 1, n và vi.vj = 0, ∀i 6= j; i, j = 1, n

iii) (CK1) e∗iei = vi+1, i = 1, n − 1 và e∗iej = 0, ∀i 6= j; i, j = 1, n

Tương tự với n = 3 thì LK(A3) ∼= M3(K) Xét ánh xạ: f : LK(A3) →

M3(K), xác định bởi v1 7→ e(1, 1), v2 7→ e(2, 2), v3 7→ e(3, 3), e1 7→e(1, 2), e2 7→ e(2, 3), e∗1 7→ e(2, 1), e∗2 7→ e(3, 2) với i = 1, 2, 3 Khi đó ánh

xạ f biến cơ sở của LK(A3) là {v1, v2, v3, e1, e2, e∗1, e∗2, e1e2, e∗2e∗1} thành cơ

sở củaM3(K)là{e(1, 1), e(2, 2), e(3, 3), e(1, 2), e(2, 3), e(2, 1), e(3, 2), e(1,3), e(3, 1)}, nên f đẳng cấu hay LK(A3) ∼= M3(K)

Tổng quát: Xét ánh xạ: f : LK(An) → Mn(K), xác định bởi vi 7→e(i, i); i = 1, n và ei 7→ e(i, i + 1), e∗i 7→ e(i + 1, i); i = 1, n − 1 Khi

đó ta có: f (vi) = e(i, i); ∀i = 1, n, f (ei) = e(i, i + 1), f (ei ei+k) =e(i, i+k +1), , f (eiei+1 en−1) = e(i, n), f (e∗i) = e(i+1, i), f (e∗i e∗i−l) =e(i + 1, i − l), , f (e∗ie∗i−1 e∗1) = e(i + 1, 1); ∀i = 1, n − 1; 1 ≤ i + k ≤

n − 1; 1 ≤ l ≤ n − 1 Vậy f là K-đồng cấu môđun

Ta chứng minh tính chất đồng cấu với phép nhân trên các phần tử sinhnhư sau:f (viej)(DKi)= f (vivjej)(DKii)= f (δi,jvjej)(DKi)= δi,jf (ej) = δi,je(j, j+1) và f (vi)f (ej) = e(i, i)e(j, j + 1) = δi,je(j, j + 1); i = 1, n, j = 1, n − 1

nên f (viej) = f (vi)f (ej); i = 1, n, j = 1, n − 1 Tương tự ta có f (eivj) =

f (ei)f (vj); i = 1, n − 1, j = 1, n

Ta có f (e∗ivj)(DKi)= f (e∗

ivivj)(DKii)= f (δi,je∗ivi)(DKi)= δi,jf (e∗i) = δi,je(i +

1, i)và f (e∗i)f (vj) = e(i + 1, i)e(j, j) = δi,je(i + 1, i); i = 1, n − 1, j = 1, n

nên f (e∗ivj) = f (e∗i)f (vj); i = 1, n − 1, j = 1, n Tương tự ta có f (vie∗j) =

f (vi)f (e∗j); i = 1, n, j = 1, n − 1

Ta có f (vivj)(DKii)= f (δi,jvi) = δi,jf (vi) = δi,je(i, i) và f (vi)f (vj) =e(i, i)e(j, j) = δi,je(i, i); i, j = 1, n nên f (vivj) = f (vi)f (vj); i, j = 1, n

Ta cóf (eiej)(DKi)= f (eivi+1vjej)(DKii)= f (δi+1,jeivjej)(DKi)= δi+1,jf (eiei+1)

= δi+1,je(i, i + 2) và f (ei)f (ej) = e(i, i + 1)e(j, j + 1) = δi+1,je(i, i +2); i, j = 1, n − 1 nên f (eiej) = f (ei)f (ej); i, j = 1, n − 1

Ta cóf (e∗ie∗j)(DKi)= f (e∗

ivivj+1e∗j)(DKii)= f (δi,j+1e∗ivie∗j)(DKi)= δi,j+1f (e∗ie∗i−1)

= δi,j+1e(i + 1, i − 1) và f (e∗i)f (e∗j) = e(i + 1, i)e(j + 1, j) = δi,j+1e(i +

1, i − 1); i, j = 1, n − 1 nên f (e∗ie∗j) = f (e∗i)f (e∗j); i, j = 1, n − 1 Tương

tự ta có f (eie∗j) = f (ei)f (e∗j) và f (e∗iej) = f (e∗i)f (ej); i, j = 1, n − 1