Các kết quả trong phần này chúng tôi tham khảo tài liệu [9]. Vành R được gọi là V- vành trái (phải) nếu mọi R-môđun đơn trái (phải) là R-môđun nội xạ. Một R-môđun trái (phải) M là Y J-nội xạ nếu với mỗi 0 6= a ∈ R, tồn tại số nguyên dương n sao cho an 6= 0 và mọi
R-đồng cấu trái (phải) từ Ran (anR) tới M đều có thể mở rộng được thành một R-đồng cấu trái (phải) từ R tới M. Vành R được gọi là GP-V-vành trái (phải) nếu mọi R-môđun trái (phải) đơn là YJ-nội xạ. Vành R được gọi là GV-V’- vành nếu mọi R-môđun đơn suy biến trái (phải) là YJ -nội xạ. Vành R được gọi là ZI- vành nếu với mọi a, b ∈ R, từ ab = 0 ta suy ra aRb = 0. Từ định nghĩa ta thấy, trong ZI-vành R ta có l(a) là một iđêan với mọi a ∈ R. Trước hết chúng ta có một mối liên hệ giữa lớp ZI- vành, vành chính quy mạnh và lớp vành GP-V’- vành.
2.3.1 Định lý. Các điều kiện sau là tương đương trên ZI-vành R: (1) R là vành chính quy mạnh;
(2) R là GP-V’- vành trái thỏa mãn mọi iđêan trái cốt yếu tối đại là GW-iđêan.
(3) R là GP-V’-vành trái thỏa mãn mọi iđêan phải cốt yếu tối đại là GW-iđêan.
Chứng minh. Từ định nghĩa và tính chất của lớp vành chính quy mạnh và lớp GP-V’- vành chúng ta có (1) ⇒ (2) và (1) ⇒ (3). Ta chỉ cần chứng minh (2) ⇒(1) và (3) ⇒(1).
(2) ⇒ (1) : Do mọi ZI trái (phải) GP-V’- vành đều là vành rút gọn nên từ giả thiết ta có R là vành rút gọn. Chúng ta giả sử R không là vành chính quy mạnh, có nghĩa là l(a) + Ra 6= R với a ∈ R. Khi đó l(a) + Ra 6= R được chứa trong một iđêan trái tối đại M của R. Theo giả thiết R là ZI- vành và do M là một iđêan trái tối đại M của R nên khi đó R/M là một R-môđun trái đơn suy biến. Lại do R là GP-V’- vành trái nên R/M là YJ- nội xạ. Do đó, tồn tại số tự nhiên n sao cho an 6= 0 và với mọi R-đồng cấu trái từ Ran đến R/M đều có thể mở rộng được từ R đến R/M.
Ta định nghĩa f : Ran → R/M xác định như sau f(ran) = r + M với mọi r ∈ R. Do R là vành rút gọn được nên l(a) = l(an). Suy ra,
tồn tại b∈ R sao cho 1−anb ∈ M. Giả sử anb /∈ M thì M +Ranb = R suy ra x + ranb = 1 với x, r nào đó, x ∈ M, r ∈ R. Theo giả thiết (2), M là GW-iđêan, bran ∈ M do đó tồn tại số tự nhiên k sao cho
(brak)b ∈ M. Khi đó
(1−x)k+1 = (ranb)k+1 = ran(bran)kb∈ M,
vậy 1∈ M, điều này mâu thuẫn. Vậy anb ∈ M và 1∈ M là mâu thuẫn nên giả sử l(a) +Ra 6= R là sai và do đó l(a) +Ra = R với mọi a ∈ R, hay nói cách khác R là vành chính quy mạnh.
(3) ⇒ (1) :Lập luận tương tự chứng minh(2) ⇒ (1)ta cóRlà vành rút gọn, do đól(w) = r(w) với mọiw ∈ R. Chúng ta giả sử R không là vành chính quy mạnh, có nghĩa làl(a) +Ra 6= R với a ∈ R. Khi đó tồn tại một iđêan phải tối đại K của R chứa l(a) +aR. Nếu RaR không được chứa trong K thì ras /∈ K,∀r, s ∈ R và do đó K + rasR = R, suy ra x+ rast = 1,∀x ∈ K, t ∈ R. Từ giả thiết K là GW-iđêan và astr ∈ K ta có r(astr)n ∈ K với n là số nguyên dương nào đó. Từ đó chúng ta có: (1−x)n+1 = (rast)n+1 = r(astr)n+1ast ∈ K, trong đó
1∈ K, điều này mâu thuẫn. Do đó RaR ⊆ K và ta có l(a) +RaR ⊆ L với L là iđêan trái tối đại nào đó của R. Từ giả thiết R là ZI- vành, L là iđêan trái cốt yếu của R, ta có R/L là YJ- nội xạ do đó, tồn tại số tự nhiên m sao cho am 6= 0 và mọi R- đồng cấu trái từ Ram đến R/L đều có thể mở rộng thành đồng cấu từ R đến R/L. Ta định nghĩa f : Ram → R/L xác định như sau f(Ram) =r+L,∀r ∈ R. Khi đó f là một R- đồng cấu trái và tồn tại b ∈ R sao cho 1−amb ∈ L. Tuy nhiên, ta lại có amb ∈ RaR ⊆ L, trong đó 1 ∈ L, điều này mâu thuẫn với giả thiết L 6= R. Do đó, l(a) + aR = R,∀a ∈ R, hay R là vành chính quy do đó R là vành rút gọn và suy ra R là vành chính quy mạnh.
(phải) cốt yếu của R là iđêan. Vành R được gọi là MELT - vành (MERT- vành) nếu mọi iđêan trái (phải) tối đại cốt yếu của R là iđêan.
Từ Định lý 2.3.1 chúng ta có hệ quả trực tiếp sau, đây chính là kết quả của Định lý 2.3 ([10]).
2.3.2 Hệ quả. Cho R là ZI-vành, các điều kiện sau tương đương: (1) R là vành chính quy mạnh;
(2) R là MELT và GP- V- vành trái; (3) R là MERT và GP- V- vành phải; (4) R là MELT và GP- V’- vành trái; (5) R là MERT và GP- V’- vành phải;
Tiếp theo chúng ta có một tính chất khác của GP-V-vành.
2.3.3 Mệnh đề. Nếu R là một GP-V- vành trái sao cho l(a) là một GW-iđêan với mọi a ∈ R, thì R là vành rút gọn.
Chứng minh. Giả sử 06= a ∈ R sao cho a2 = 0, khi đó l(a) 6= R và do đó tồn tại một iđêan trái tối đạiM củaRchứal(a). VìRlàGP-V-vành trái và a2 = 0 nên mọi R-đồng cấu trái từ Ra đến R/M đều mở rộng được thành đồng cấu từ R đến R/M. Định nghĩa f : Ra → R/M xác định như sau:f(ra) = r+M,∀r ∈ R. Khi đóf là một đồng cấu vàf có thể mở rộng thành đồng cấu từ R đến R/M. Suy ra, tồn tại b ∈ R sao cho1−an∈ M.Dol(a)là mộtGW-iđêan vàba ∈ l(a) nên tồn tại số tự nhiên n sao cho (ba)nb ∈ l(a) và do đó (ab)n+1 = a(ba)nb ∈ l(a) ⊆ M. Suy ra, (ab)n −(ab)n+1 = (ab)n(1−ab) ∈ M, do đó ta có (ab)n ∈ M. Hơn nữa do1−ab ∈ M nên ta có(ab)n−1−(ab)n = (ab)n−1(1−ab) ∈ M. Do (ab)n ∈ M ta có (ab)n−1 ∈ M. Tiếp tục quá trình lập luận tương tự chúng ta có ab ∈ M và do đó 1 ∈ M. Điều này mâu thuẫn với giả thiết M 6= R. Vậy R là vành rút gọn.
Theo định nghĩa, mọi iđêan đều là GW-iđêan nên từ Mệnh đề 2.3.3 ta có hệ quả sau.
2.3.4 Hệ quả. Nếu R là GP-V-vành trái sao cho l(a) là một iđêan với mọi a ∈ R thì R là vành rút gọn.
Định lý sau cho ta mối liên hệ giữa GP-V-vành và vành chính quy yếu.
2.3.5 Định lý. Nếu R là GP-V-vành trái sao cho l(a) là một GW- iđêan với mọi a ∈ R thì R là vành chính quy yếu.
Chứng minh. Sử dụng Mệnh đề 2.3.3 ta có R là vành rút gọn. Giả sử R không là vành chính quy yếu, nghĩa là l(a) +RaR 6= R,∀a ∈ R, khi đó tồn tại một iđêan trái tối đại L trong R sao cho l(a) +RaR ⊆ L. Từ giả thiết R là GP-V-vành trái nên R/L là YJ-nội xạ. Lập luận tương tự chứng minh (3) ⇒ (1) trong Định lý 2.3.1 thì điều này là mâu thuẫn. Vậy l(a) + RaR = R,∀a ∈ R và do đó R là vành chính quy yếu trái. Mặt khác, R lại là vành rút gọn nên theo Hệ quả 11 ([5]) ta có R là vành chính quy yếu phải. Vậy R là vành chính quy yếu.
Trong Mệnh đề 2.3.3 chúng ta xét trường hợp R là GP-V-vành trái, mệnh đề sau đây chúng ta sẽ xem xét điều kiện tương tự cho lớp vành GP-V- vành phải.
2.3.6 Mệnh đề. Cho R là GP-V-vành phải sao cho l(a) là một GW- iđêan với mọi a ∈ R, khi đó R là vành rút gọn.
Chứng minh. Xét 0 6= a ∈ R sao cho a2 = 0. Do r(a) 6= R nên tồn tại một iđêan phải tối đại K của R sao cho r(a) ⊆ K. Từ điều kiệna2 = 0
và R là GP-V-vành phải nên mọi R-đồng cấu từ aR đến R/K đều có thể mở rộng được thành mộtR-đồng cấu từRđếnR/K. Ta định nghĩa f : aR →R/K như sauf(ar) = r+K,∀r ∈ R. Từ r(a) ⊆K,f là một R- đồng cấu thỏa mãn định nghĩa trên, do đó ta có1−ba ∈ K,∀b ∈ R.
Do l(a) là một GW-iđêan và ba ∈ l(a) nên tồn tại số tự nhiên n sao cho (ba)nb ∈ l(a) suy ra (ba)n+1 ∈ l(a) và do đó (ba)n+1 ∈ r(a) ⊆ K. Từ (1 − ba) ∈ K chúng ta có (ba)n − (ba)n+1 = (1− ba)(ba)n ∈ K, suy ra (ba)n ∈ K. Tiếp tục, do 1 − ba ∈ K nên (ba)n−1 − (ba)n = (1−ba)(ba)n−1 ∈ K. Từ (ba)n ∈ K ta có (ba)n−1 ∈ K. Tiếp tục thực hiện quả trình tương tự chúng ta có ba ∈ K. Điều này chứng tỏ 1 ∈ K điều này mâu thuẫn với điều kiện K 6= R. Vậy R là vành rút gọn.
Lập luận tương tự Hệ quả 2.3.4 chúng ta có kết quả tương tự trên lớp vành GP-V-vành phải.
2.3.7 Hệ quả. Nếu R là GP-V-vành phải sao cho l(a) là một iđêan với mọi a ∈ R thì R là vành rút gọn.
Trong Định lý 2.3.5 chúng ta đã chứng minh được nếu R là GP-V- vành trái sao cho l(a) là một GW-iđêan với mọi a ∈ R thì R là vành chính quy yếu. Câu hỏi tương tự đặt ra cho lớp vành GP-V-vành phải. Chúng ta sẽ kết thúc nội dung của mục này bằng câu trả lời cho câu hỏi trên thông qua kết quả của định lý sau:
2.3.8 Định lý. Nếu R là GP-V-vành phải sao cho l(a) là một GW- iđêan với mọi a ∈ R thì R là vành chính quy yếu.
Chứng minh. Sử dụng kết quả Mệnh đề 2.3.6 ta có R là vành rút gọn. Giả sử Rkhông là vành chính quy yếu, nghĩa làra+RaR 6= R,∀a ∈ R. Khi đó, tồn tại một iđêan phải tối đại K củaR chứa ra+RaR. Từ giả thiết R là GP-V-vành phải nên tồn tại số tự nhiên n sao cho an 6= 0
và với mọi R-đồng cấu từ anR → R/K đều có thể mở rộng thành đồng cấu từ R → R/K. Ta định nghĩa f : anR → R/K như sau: f(anr) = r + K. Do R là vành rút gọn nên r(an) = r(a) và do đó f là một đồng cấu vành thỏa mãn điều kiện trên. Suy ra, tồn tại b ∈ R sao cho 1−ban ∈ K. Tuy nhiên, ban ∈ RaR ⊆ K và 1 ∈ K. Điều này
mâu thuẩn giả thiết K 6= R. Vậy ra+RaR = R,∀a ∈ R hay nói cách khác, R là vành chính quy yếu.
KẾT LUẬN
Trên cơ sở tài liệu tham khảo chính [9], luận văn đã tìm hiểu và chứng minh chi tiết các kết quả sau đây:
. Khái niệm vành chính quy yếu và một số tính chất của chúng; . Một số tính chất của GP-V-vành thông qua GW-iđêan.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
A Tiếng Việt
[1] Nguyễn Tiến Quang- Nguyễn Duy Thuận (2001),Cơ sở lý thuyết môđun và vành, NXB Giáo dục.
B Tiếng Anh
[2] M.B. Rege, On von Neumann regular rings and SF- rings (1986), Math. Japonica, 31(6), 927-936.
[3] Haiyan Zhou, Left SF-rings and regular rings (2007), Comm. Algebra, 35, 3842-3850.
[4] von Neumann, John (1936), On Regular Rings, Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 22(12): 707-712.
[5] V.S. Ramamurthy, Weakly regular rings (1973), Canad. Math. Bull, 16(3), 317-321.
[6] R. Yue Chi Ming, On von Neumann regular rings (1974), Proc. Edinburgh Math. Soc, 19, 89-91.
[7] R. Wisbauer (1991), Foundation of Module and Ring Theory, Gordon and Breach Science Publisher.
[8] T. Y. Lam (1991), A First Course on Noncommutative Rings, Springer Verlag.
[9] Takaram Subedi, A. M. Buhphang (2011), On weakly regular rings and generalizations of V-rings, International Electronic Journal of Algebra, Vol 10, 162-173.
[10] Xiao Guangshi (2002), On GP-V-rings and characterizations of strongly regular rings, Northeast. Math. J., 18(4), 291-297.