Trình bày một số khái niệm, tính chất của môđun con đóng m xyclic và môđun NT cpnội xạ

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐAI HOC VINHHÀ THỊ THANH HOA MÔĐUN CON ĐÓNG MXOTJC VÀ MÔĐUN McpNỘI XẠ LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 05 Người h

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐAĨ HOC VĨNH

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐAI HOC VINH

HÀ THỊ THANH HOA

MÔĐUN CON ĐÓNG MXOTJC

VÀ MÔĐUN McpNỘI XẠ

LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

Mã số: 60 46 05

Người hưóìig dẫn khoa học

PGS TS NGÔ SỸ TÙNG

NGHỆ AN-2013

MỤC LỤC

Trang

MỤC LỤC 3

CÁC KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN 4

LỜI NÓI ĐẦU 5

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị 1.1 Môđun con cốt yếu 7

1.2Môđun nội xạ 11

Chương 2: Môđun con đóng IVLxyclic và môđun IVLcpnội xạ 2.1 Môđun con đóng M-xydic 21

2.2 Môđun NTcpnội xạ 25

KÉT LUẬN 31

TÀI LIỆU TIIAM KHẢO 32

CÁC KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN

ẨẼẢI: A là môđun con của môđun M Ad*M A là môđun con cốt yếu của môđun M.

c: Quan hệ thứ tự bao hàm

A cM : A là tập họp con của tập M.

© : Tông trực tiếp của các môđun

Ảí/N: Môđun thương của M trên N.

a\ x \ Thu hẹp của a trên.Y;

M = N\ Môđun M đăng cấu với môđun N.

□ : Ket thúc chứng minh

LỜI NÓI ĐẦU

Cùng với sự phát triển của Toán học, lí thuyết môđun được quan tâmnghiên cứu và đã đạt được nhiều kết quả Trong lí thuyết môđun, môđun nội

xạ đóng vai trò quan trọng và được nhiều ngưòi nghiên cứu Người ta đã mởrộng lóp môđun nội xạ tói các lóp môđun M nội xạ, môđun IVbtựa nội xạ,môđun nội xạ chính, môđun M-nội xạ cốt yếu, môđun M-cpnội xạ

Theo hướng phát triển về mờ rộng môđun nội xạ chúng tôi đã dựa vàobài báo của các tác giả A K Chaturv eđi, R M Bandeyạ, A J Gupta năm2009; " QLnsi -C-Pnnapolh Inịective rradules and Sd f-c-Rinapal ly IrgediveRing^'' (xem [2]) để nghiên cứu lóp môđun con đóng IVbxyclic và môđun

1VL cp nội xạ Vì vậy đề tài luận văn mà chúng tôi thực hiện là "Môđun conđóng M-xyclic và môđun IVkcpnội xạ"

Tiếp tục nghiên cứu về lớp môđun M-cpnội xạ, luận văn đã trình bàymột cách hệ thống một số tính chất của môđun con đóng IVLxyclic và môđunM-cpnội xạ cấu trúc của luận văn được chia thành hai chưong:

Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ bản về môđun con cốt yếu,môđun nội xạ

Chương 2: Trình bày một số khái niệm, tính chất của môđun con đóngM-xyclic và môđun NT cpnội xạ

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Vinh, dưới sự hướng dẫnnhiệt tình của PGS TS Ngô Sỹ Tùng Tác giả xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đốivói Thầy Đồng thòi tác giả cũng xin trân trọng cảm ơn các thầy cô trong bộmân Toán, phòng Đào tạo Sau đại học, trường Đại học Vinh đã hỗ trợ giúp

đỡ tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành luận văn này

Mặc dù đã hết sức cố gắng trong quá trình làm luận văn nhưng do nănglực cá nhân còn hạn chế nên luận văn có thê gặp phải sai sót, kính nong quỷthầy cô và các bạn đóng góp ý kiến đế luận văn được hoàn thiện hon.

Nghệ An, thárg8năm 2013

Tác giả

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẢN BỊ

Trong toàn bộ luận văn vành luôn được giả thiết là vành có đơn vị kí hiệu là 1, các môđun là môđun trái unita trên một vành Rnào đó (nếu không nói gậ thêni).

1.1 Môđun con cốt yếu

1.L1 Định nghĩa Cho môđun M và A c M. Môđun A được gọi là môđun

ooncốtyếu trangM nếu với mọi môđun X* 0 vàXcAT ữi Ar\X*0.

Kí hiệu Ad*M (bạ/ A<x A/).

Neu A là môđun con cốt yếu của Ai.; thì ta nói rằng M là mở rộng cốt yếu của A

112 Ví dụ Môđun MC*A/, rX d AnXd.

1.13 Tính chất, (i) Cho ẨL M thi A<£M <=> Vơi mọi x^o, xeM thi

Ar\Rx ^ 0.

(ii) Cho ẢơKơAÍ Khi đó A<c M o A Q * K XÙ KơAẩ.

(íii) Cho f\M ->N ỉ à đồng cấu R-môđun và 5c N Nếu B<c N thủ

r\B) d* M Điều ngược ỉạỉ nái chung là không đúng.

(iv) Cho Ạ,B' là các môđun con của M xù Ạd*B l ũ=\n- Khỉ đó

c* rx Neu tập chỉ sổ vô hạn thì nói chung không đúng.

(v) Cho ÀcKcM xù KỊAcMịA Khi đó Kc A í.

ỉn m , y y

(vi) Cho 4 CẰ(CẢ/ xù 4 dC M t , Vi e / jVểw tôn tại © 4 thì tôn tại xù

Chứng minh, (i) Điều kiện cần: Hiển nhiên theo định nghĩa.

Điều kiện đủ: Ta có vói mọi Xí 0, X G Ả Ĩ , A r ^ R x ^ O thì vói mọi môđun B^M

ta chứng minh Ar\B* 0

Xi B ỹt 0 Lấy xe B, X * 0 (x) = ỉòc- ịrxịr G iồ c B.

Theo giả thiết ta có A o Rx ^ 0 nên với mọi B^Rc taluâncó ,405*0.

(ii)Giả sử A<cM Lây môđun con X bât kì của K rrầAr^X = 0 EbXcẪ:

nen XciAÍ và A<C M nểhx = 0 Vậy Aa* K

Tương tự ta lấy môđun con Y bất kì của M mà ẪTin7 = 0 Db A<zC K nân

A D Y = 0 và Ad* Mnên 7 = 0 Vậy Kd*M.

Ngược lại, nếu Ac* K và Kc:*Ảí thì vói môđun con X bất kì của M mà

Ar^x = 0

Đặt B-Kni, ta có Ar^B=Ar^K r^x = Ar^X = 0 Db A<c K nên B - 0 và

nênV=O,siyra7nJ = 0 Vậy Ad* AI.

(iii) Với mọi CcAI, c * 0 ta sẽ chứng minh y1

(i?) n cv 0.

• Trường họp 1: y(C)é=A/ suy ra f(C)c\B*0 (vi i3c* ĨV), do đó tồn tại

r\B,y^t 0 Khi đó tôn tại xeC san cho v=y(x), x?i 0 (vì v^o) và

xef~ l (B), SL^raCnjT l (B)^0.

• Trường hợp 2: f(ơ) = 0 siyraCeý^ l (B) Xi VxeC nêntacó/(x) = 0c5

SLỊV ra XG^ịB).

(iv) Sử dụng quy nạp ta chỉ cần chứng minh với n- 2.

Cho 4 <C' AI X , 4AC Ta chứng minh A x nA 2 <C M y r^AÍ n

Lấy X* 0, X^M^nAA, dođó XnAI v Db Ạ AI X nênXn4 = 5í0 do đó

B<^AI> Eto A a*AB nên BnA^O do đó X n^ni,# 0, SLỊV ra

Vậy trường hợp giao vô hạn là không đúng

(v) Lấy Xa* ẢI sao cho KnX = 0 Khi đó Kn(A@X) = A nên

KỊ An* (,4® X)\Ị A = 0 Wh KịAaAlỊA nên (.4® X) Ị A = 0 hạ/ AQX=A

Vậy x= 0 ha/ KaAẩ.

(vi) Ta chứng minh hai trường họp.

• Trường họp 1: \ỉ\ = n hữu hạn.

Sử dụng quy nạp chỉ cần chứng minh với n= 2

Cho Ạ a*Aẩ x , A Q*A£ và tồn tại Ạ®A- Ta cần chứng minh AI^nAB, = 0

Thật vậy, sử dụng tính chất 4) ta có: A 1 nA 2 a*M^nM n nà ẠnA = 0 nên

A^©A4; nên lấy giao hai vế ta được Ạ®A> c*A^©Ai;.

• Trường họp 2: Với I bất kì Đầu tiên ta chứng minh tồn tại ©AI t

Lấy sụy ra x = x1 + x, + + x k , ^ Xị^ẢIị, i=\k là hữu hạn Theo

I

trường họp 1 suy ra tôn tại Af l QòAd 1 ® <èAẩ k = Q)M i , do đó biêu diên (*) là

duy nhât nên tôn tại = ©A/

Bây giờ ta cần chứng minh <c*

Lấy X* 0, Afc©A^ suy ra tồn tại xeX, x*0 vàx=a1+a,+ .+ ớ;í, a r eAI', ỉ—\n.

Sw raxe M x © M 2 © © M n nên &CJV/J© M 2 © © M n Theo trường họp 1 ta

1.1.4 Mệnh đề Với mọi môđun con A của mô đun AI luôn tồn tại mô đun con

B cùa AI sao cho A® B cổt yếu trong ẢI

Chứng minh Đặt s= ịxẼAI:XoA= oỊ Vì Oe s nên s ^0.

Ta sắp thứ tự s theo quan hệ bao hàm Lấy tập con sắp thứ tự tuyến tính của

s sao cho:

7/7 7/7 7/7 7/7

x l Cx 2 C ịỊx n C (1

Khi đó C— M.r, là môđun con của KI và là cận trên của dãy (*).

j=L

Lấy XE A D C suy ra có một số k nào đó sao cho xeX k Từ đậy ta có

XE Ac\X k Vậy X = 0 hav CrìA = 0 Theo bổ đề Zorn, s có phần tử tối đại là

B Ta cần chứng minh A® B<x* KI

Thật vậy, VTcA/ thỏa mãn (.4© 5)n7= 0 Ta có ,4 0,7 = 0 và Bo7 = 0.

Neu có aG4\àỏ€5,vG7 saocho: a = b+y ữi y = a-b<EA®B Siyra v=0

và a = b-0 Như vậy 4o(B©y) = 0 SL^ ra B©7GB D O tính tối đại của B

nên ỵ=0.

1.L5 Bổ đề Cho (p :N ->M là đẳng cẩu môđun trên R Khi đó môđun con

L của N cot yếu trong iV<=> (p{L) cốt yếu trong KI

Chứng minh Điều kiện cần: Cho Zc* .V thi VXẼAI sao cho (p(L)r'X=0 suy

ra Inf' (jy) = (p-\(p(L) nl| = 0T1 (0) = 0

Db z,c* ĨV nên (p~ l {x) - 0, nà ẹ là đẳng cấu nên X - 0

Vậy (p(L)<z* AI

Điều kiện đủ: Cho (p(L)d*KI thì VY ẸI AI sao cho Lo7 = 0 Db (p là đẳng cấu

nên <j9“1(<j!>(L)oộ9(7)) = ộ!r1(ộ9(Z.))oộ!r1(ộ9(7)) = Lo7 = 0 sụy ra

Ộ9(z)n

o <p(y) = 0.Db (p{L)^ AI nên <p(Y) = 0 sụyra7 = 0.

1.2 MÔ đun nội xạ

1.2.1 Định nghĩa Cho A là R- môđun Một inôđun N được gọi là A-nội xạ

nếu mọi môđun con X của A, mọi đồng cấu (p:X ->N đều mở rộng được thành đồng cấu iị/: A ->7y; tức là ụri = ẹ với i là phép nhúng đồng nhất.

1.2.2 Mệnh đề Cho môđun N là A- nội xạ và B là môđun con của A Khi

đó

(i) N là B- nội xạ

(ii) N là AịB- nội xạ

Chứng minh Ta chứng minh 2 phần sau:

(i) Chứng minh N là B-nội xạ.

Xét biểu đồ sau:

Với mọi môđun XczB và mọi ánh xạ f :X ->JV là một đồng cấu Ta tìm ánh xạ f :B ->JV là mở rộng của /', tức là J*i=f.

Ta bố sung thêm ánh xạ j\B ->A là một phép nhúng Do N là A- nội xạ

nên tồn tại ánh xạ g-.A ->N là mở rộng của fi K g{jị) = Lấy f -gita

Giả sử XỊB là môđun con của AịB \ T 2 L(p\XjB ->N là một đăng cấu Gọi Tĩ là đồng cấu tự nhiên từ A vào ,4ịB^ n'=7ĩ\x, ta xét biếu đồ sau:

n'

V

XỊB

- - -> Ạ /

/

/\

/ / ' /e

Khi đó ụ/ là ánh xạ Thật vậy, cho a+B-d+B su^ ra ci-a'<EB nên

71 {a- ci) - 0 do đó 7ĩ(a) = 7ĩ{a') và a-a' < E K OC 7 Ĩ <^Kerớ => o(a) -ỡ{a') hạ/

1.23 Mệnh đề Môđun N là A-nộỉ xạ khỉ và chỉ khỉ N là Ba-nội xạ,

Va<=A.

Chímg minh Điều kiện cần: \ỉaGÁ thì Ba<zA nên theo Mệnh đề 1.2.2 ta có

Trong đó X là môđun con của A và (p X ->N là đồng cấu bất kì Ta tìm If/ \A ->N là mở rộng của q>.

(A k ,ụ/ k ) c (Ạ AA ) <=> và ự/, là mở rộng của If/ k s thỏa mãn bổ đề Zom:

mọi tập con sắp thứ tự toàn phần của 5* đều có cận trên Thật vậy, lấy r c 5*

rrà r sắp thứ tự toàn phần Gọi T= Ij4 ta có T(£ A , gọi ụ/ t :T -với

A.er

ụ/ t (x) = ụ/ I (x) (d OXG T nên tồn tại i để xe4)

Dbđó ự/, là đồng cấu mờ rộng của (p nên (T 9 ĩỊ/ t )eS -vk(T,ụ/ t ) là cận trên của

họ r

27 BtlO IBJ; UBOpl BỊ X AẻA

■ ỵ3gỵ\2j/iis 33(«y )if upu Ị\ :Ọ3BỊ ^3-7A‘è/3rA •

■ £7 3 ơ ( z u - ỉí ) -ữu o\l BA 33 Ơ { Z U + 1/) =t? z u +ÒU U3U £7 3t? z u c£7 3ơl/ 03 BỊ X B ^ { C ^A*

■ff9 0 = ơ‘0BA Y^oop I30Ị'VO^ •

‘ẤBA ;Óqj^ ■ Y BtlO IBJ; lIƯOpIBỊ OOBJL

• [£7 3«/|27 3./} = y ;B(Ị '0 * V ‘g - V 31> ii; UBqd ;ox BỊ V * # ọs BI0

'K § UOJ ; noẤ ;00 £7 ẤBẠ S’ §UOJỊ IBp IO ; HỊ UBqd BỊ (/^£7)

1.0A UBnq; tlBUI ẤBU noiQ ■ (z> C D ©Ỡ") 3 (//jc £7) op iqx ' /ri BtlO ỖUỎJ 0111 BỊ » ẤBA

rtqx 'D@>8 ^>8 tBU 0^0 BA tlBO ỗuop BỊ X) uou đoi; orư; ỗuo; BỊ 0©£7 qQ

[q)(tì i—I o • Cị

N< -D®8'X>

Ĩ1B0 ểuọp ;ox

'0 = D^8 ơtp ocs V B110 ỖuoipỊ 0BipỊ uoo unpoui BỊ o lú; uo; op iqx 'V §UOJỊ

noẤ ;oo ỖuoipỊ 3 IBỊ oi)jìSu ns BIQ V ỖUOJ; noẤ ;oo 3 quiui ỗunqo BX

'(/tì‘3) BỊ nõiq q ‘rêp 10; HỊ UBqd 00 <7 Ui 07 op oq

ooq; ẤBẠ

£1

Ta xác định Ẳ: B + Ra ->N sao cho Ằ(b+ ra) = y/(ồ) + L>(ra).

• Ẩ là ánh xạ vì giả sử có ố' + r'a = è+ra<=>(ò'-ố)+(ra-ra)=0

Tacxí) Ắ (ò' + r'a) — Ẳ(b + ra) — y/(b') + o(ra)—y/(6) — L>(ra) = y/(b'

— b) + o(f'a — ra).

Vì (b'-b) + (Ra-ra) = 0 nênlacó (R - r)aG B SLP/ra(^-r) E K Do đó

L>( ra— ra) = ụ/{ ra— ra)

SlỊ/ ra Ả(ư + ra) — Ẳ(b+ra) = ỉịf{b' — b)+ ìịf{r'a — ra) = ty(b' — b + ra — rà) = y/

Vậy x{tí + ra) = Ả(b+ ra).

Mặt khác, Ă là đồng cấu và À là mở rộng của ụ/.

Sụy ra (B,ự/) c (i?+ ifa,/l) Điều này mâu thuẫn vói tính tối đại của (B,ụ/).

Vậy B = A và ụ/ :A ->N là mở rộng của ẹ hạ/ JV là A- nội xạ. □

1.2.4 Mênh đề Một môđun N là © Ạ-nội xạ khỉ và chỉ khi N là, Ạ- nội xạ,

Bậy giờ ta xét đồng cấu 0 = ;ray/, trong đó 7ĩ a :N ->N a là phép chiếu chính

tắc, ta có Qi-{7ĩ a ìỊf)i=7ĩ a (ụ/ỉ) = 7ĩ a (iưp) = (p Điều này chứng tỏ ,v là nội xạ Điều kiên đủ: Giả sử X là môđun nội xa với OCGỈ Xét biếu đồ giao hoán

tiếp [1, Định lí 3.2], tồn tại đồng cấu Q\M ->N sao cho 7Ĩ 0 = 6 , cụ thể với

m^M\ỡ(m) = ỡ a {ru), Vae/ Ta khẳng định rằng <p = Oi Thật vậy, với mọi

XG X ta CÓ (p(x) =7ĩ a {<p(x)) = 0j(x) = 7ĩ a {ỡi(x)} ,Vae/ sự/ ra ạ>(x) = ỡi(x).

1.2.6 Đinh nghĩa Môđun M được gọi là nội xạ nếu M là A-nội xạ với mọi

môđun A Tức là với mọi môđun A, mọi môđun X Ẽ A , mọi đồng cấu f:X ->M, tồn tại đồng cấu f*:A ->M là mở rộng của f sao cho

/ = >'.

Ta có biểu đồ sau:

X - -> A

/

1.2.7 Ví dụ (i)Z -môđun Q là nội xạ.

Cú) z—mođun z khon^ ỈB Ĩ101 Xâ

Định lí Môđun M ỉ à nội xạ khi và chỉ khi mọi iđêan trái I của R, mọi

đồng cấu f:I ->ẢI thì tồn tại ũ G M đế cho f{x) = xa, VxG ỉ.

Chứng minh Điều kiện cần: Choĩ\/ là môđun nội xạ Lấy I là iđêan trái của

R, f\I ->M là đồng cấu môđun Vì R lài?-môđun nên M lài?-nội xạ.

Do đó f mở rộng thành đồng cấu f*\R ->M Đặt a-y(l) Khi đó với

mọi xe/thì y (x) = ý\ X1) = xf* (1)= XCL

Điều kiện đủ: Giả sử đã có điều kiện đủ, ta chứng minh M là iV-nội xạ, với

mọi môđun N Lấy X là môđun con tùy ý của N, g:X ->M là đồng cấu

bất kì Ta chứng minh tồn tại đồng cấu g*là mở rộng của g.

Thật vậy nếu B<^N thì tồn tại n<=N\B Đặt H-B+Rn do neB nên B~H\ ta xác định đồng cấu h:H ->M cho bởi hịb+rrỉ) = m + ra trong

đó a được xác định như sau: gọi /= ịr-G R\rriGBy Dễ dàng kiếm tra được /

là iđêan trái của R Xác địn đồng cấu g.I ->M cho bởi g(r) = p(rn),rGỈ.

Theo giả thiết tồn tại aeA/ để <g{x) = xa, V XGỈ Như vậy, do BczH và theo cách xác định của h nân h là mở rộng của (3 Điều này mâu thuẫn vói tính tối đại của (B,p) Do đó B = N vàg* = p.

1.2J9Hê quả Mỏđiin M là nội xạ khi và chỉ khi M là R R- nội xạ.

1.2.10 Tính chất, (ỉ) Hạng tử trực tiếp của môđun nội xạ ỉ à nội xạ.

(ii) Tông trực tiếp hữu hạn của mô đun nội xạ là nội xạ Chứng minh, (i) Từ Mệnh đề 1.2.5 khi A - hữu hạn có ©ỸV là A-nội xạ khi

1=1

và chỉ khi là.4-nội xạ,Vi- \n Khi đó cho M = X,AÍ là nội xạsryrn

M là 4-nội xạ VA dẫn đến X là 4-nội xạ do đó X- nội xạ.

(ii) Qho M x ẠT, ^í k lànội xạ Khi đó Mị là 4-nội xạ, VA, i=\k suy ra

1.2.13 Đinh lí (i) Bao nội xạ của môđun M luôn tồn tại với mọi mỏđun M (ii) • E{M) là lớn nhất trong mở rộng cốt yếu của M Tức là nếu M<Z* T thi

T<^E{AÍ).

• E{ẢÍ) là mở rộng nội xạ bé nhất của M Tức là nếu D là nội xạ và A/c D thi E{AÍ) c n

CHƯƠNG 2

MÔĐƯN CON ĐÓNG IV^XYCLIC VÀ MÔĐUN IVtcpNỌI XẠ

2.1 Môđun con đóng ivtxydic

2.LlĐinh nghĩa Cho môđun M \àA Ẽ M được gọi là đỏng tnongý\/ nếu

A không có mở rộng cốt yếu thật sự trong M.

Nối cádokhác, A được gọi là đóng trang A/nếu mọi môđun con x*0 của MrrèiA Ư X ửi X = A.

2.1.2 Ví dụ Neu A và B là hai môđun con của môđun A/ thỏa mãn

M = AQ>B thì A vàB là các môđun con đóng trong M.

2.13 Định nghĩa Cho môđun A/và Ac M Môđun con X của A/được gọi

ìầbao đóng của môđun con A ticrgA/ nếu X là môđun con tối đại trong M SSG óyo A<z* X.

2.1.4 Ví dụ Xel các Z-môđun, môđun con 2Z có bao đóng là z.

2.L5 Mênh đề Bao đóng của một môđun luôn tồn tại.

Chứng minh Gọi N là môđun con của A/, ta chứng minh tồn tại bao đóng

tức là Ac A Thật vậy, lấy xs A, 0 suy ra tồn tại n đê xe mà Ac"' K,

nên ỉòcn N* 0 Do đó, Nd*' A Vậy mỗi tập con sắp thứ tự tuyến tính đều có

cận trên Theo bổ đề Zom S1 có phần tử tối đại K, ta chứng minh K là bao

đóng của N.

Thật vậy, do K G S nên jVc* A;nếu tồn tại BcM sao cho Kd*B thì

B € s, điều này mâu thuẫn với giả thiết tính tối đại của K.

2.1.6 Đinh nghĩa Môđun con K của M được gọi là phần bù (hay phần bù gao) của môđun M nếu K là môđun con tối đại trong số những môđun con của A/có giao với B bằng không và K được gọi là phần bù trong M nếu K

là phần bù của môđun con nào đó của M.

2.L7BỔ đề Nen K là phần bù của B trong môđun Mthì (K® B)ỊK<N' A íjK.

Chứng minh Giả sử X/K CLẢ IỊK sao cho (K®B)ịKc\XỊK= 0 Ta có

(ii) K © B là môđun con cốt yếu của M.

Chứng minh, ộ) Giả sử có một môđun con V của M sao cho K<£ N Khi đó

nếu N*K, do KnS = 0, K tối đại nên NrìB^O Ta có Kn(N^B) = (Kr^N)nB= Kr^B = 0 rrà K<o N nên ynS = 0 Điều này vô lý.

Vậy K đóng trong M.