Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM TP HÒ CHÍ MINH MỞ ĐẦU “Đại số đồng điều ngày tràn ngập toàn toán học” (SZE - TSEN - Hư) Chuyên ngành: Đại số lí thuyết số Vâng, sau đuợcMã đề số cập: 60 lần46 đầu05tiên S.Eilenberg s Maclane năm 1944, lý thuyết phạm trù hàm tử nhanh chóng tìm đuợc ứng dụng ngày rộng rãi nhiều lĩnh vực khác toán học Các hàm tử mở rộng - Ext", bốn trụ cột đại số đồng Mục xin nhắc lại kiến thức có liên quan sử dụng chúng trình bày luận văn Đó số khái niệm kết lí thuyết nhóm, lí thuyết môđun, hàm tử Ext, hàm tử Tor, Đối với khái niệm môđun tụ’ do, môđun xạ ảnh, môđun nội xạ, đồng cấu môđun, tổng trực tiếp môđun, dãy khớp, hàm tử Hom, hàm tử Tenxơ, lí thuyết vành giao hoán, xem nhu biết Những khái niệm kết tìm thấy chúng mục “tài liệu tham khảo” đuợc trang cuối luận văn Trong luận văn này, vành R đuợc xét vành giao hoán có đơn vị Và môđun R R - môđun trái (thật R vành giao hoán có đơn vị R - môđun trái xem nhu’ R - môđun phải) 1.1 Phức hợp, đồng điều đối đồng điều: Môđun đồng điều phức theo số K = {Kn,õn} xác định theo công thức: Hn(K) = Kerốn/ Cho phức K = {Kn,õ} R - môđun G R - môđun Tác động hàm tử phản biến Hom(-,G) lên phức K ta phức số trên, kí hiệu Hom(£,G), gồm nhóm aben: » Hom(ẪTw_j, G) ———>Hom(Ẫ^, G) —£-> Hom(Ẫ: ;+1, G) »• • • 1.5 Cấu xạ mở rộng: r :E ->E mở rộng ba r = (a,j3,ỵ) cho biểu đồ sau E >A—*—> B—íl—» c >0 giao hoán: rị ịa u É >À*' > ấ i - >c' ->0 Trong trường hợp Ẩ = Ẩ ,c = c E trở thành mở rộng A nhờ c Hai mở rộng A nhờ c gọi toàn đẳng, kí hiệu E = E , tồn cấu xạ (lA,j3,\c)\E >È 1.6 Mệnh đề: Quan hệ toàn đắng mở rộng quan hệ tương đương R(C,A) hay đơn giản Ext(C,A) (nếu không sợ nhầm lẫn vành hệ tử R) tập hợp tất lớp toàn đẳng mở rộng A nhờ c nhờ c cấu xạ r = (a,j3, lc) :E ->E Cặp (r,2s Jđược xác định xác tới toàn đắng É Mở rộng E kí hiệu aE = aM e Ext(C, Ả ) 1.9 • Mệnh đề: Ta có toàn đẳng sau: E\C=E ; E(ỵỵ ) = (Eỵ)ỵ' vói ỵ:ơ ->c, ỵ :C ->c Phần tử đối lớp toàn đẳng mở rộng E lóp toàn đẳng mở rộng (-1^)E Và đồng cấu a : Ả ->À, ỵ:C ->c, ơị: A ->Ảị, >c, i = 1, ta có: • a[Eỉ+ E2) = aEị+aE2 Eỉỵ + E2ỵ • ; (1.11.1) (aĩ+a2)E = axE + a2E ; E[ỵì + ỵ2) = Eỵỉ+Eỵ2 Các qui tắc (1.11.1) ánh xạ sau đồng cấu nhóm: [El+E2)ỵ = s=E»°En-\° - ° E\ E, : — 5,_, -» {E,ữEn-X°-aEx)r = E,oEn-i°-a (E,rl Ta viết dãy khớp n - dài s tích n dãy khớp ngắn: Im(i? —>B.t_j) = Ker(5M —ỉ = 1,tất lớp toàn đẳngn— Kn Bây ta kí hiệu ExtnR(C,A) tập =cỉsS các=A, dãyK0 = c khớp n - dài A kết thúc c Eị xác tới toàn đẳng Dãy khớp n - dài thứ hai s có chung hai đầu với s gọi toàn đẳng với s s nhận từ s hữu hạn phép biến đối thuộc ba dạng sau: ) thay nhân tử Eị dãy khớp ngắn toàn đắng với a(En°En-,°"°Eí)=(aE„)°E„-l°-°Er Ta xem Ext0 (C,Ấ) Hom(C,Ă) 1.15 Mệnh đề: Đối với n, Ext" (C,Ẩ) nhóm aben phép cộng xây dựng nhờ 1.16 Mệnh đề: môđun xạ ảnh Ext" (p, G) = 0, với môđun ơ, v« > 1.18 Mệnh đề: Neu c Ả R - môđun £: X -> c phép giải xạ ảnh c, tồn aben sau môđun G: Lần lượt dãy bắt đầu thành viên bên trái tương ứng là: Các đồng cấu dãy xác=định sau: \/g E Ext"(C, ơ), \/Cử E Ext" (B, G), &$=$[...]... 3: MỘT SỐ VẤN ĐÈ VỀ LỚP CÁC MÔĐUN TƯƠNG ĐƯƠNG XẠ ẢNH 3.1 Môt số khái niêm mở đầu và các tính chất •• 3.1.1 Định nghĩa: Ta gọi 2 môđun c và c là tương đương xạ ảnh nếu tồn tại các môđun xạ ảnh Q và Q và đẳng cấu môđun c © Q =c' ®Q Kỉ hiệu: c ~c 3.1.2 Mệnh đề: Quan hệ tương đương xạ ảnh là một quan hệ tương đưoĩig Chứng minh: Vì tổng trực tiếp của hai môđun xạ ảnh là môđun xạ ảnh nên ta có các môđun xạ. .. mệnh đề 3.1.4 ta thấy rằng mọi môđun xạ ảnh đều tương đưong xạ ảnh với môđun 0 vì môđun 0 là môđun xạ ảnh Và ngược lại, nếu môđun p tương đương xạ ảnh với môđun 0 thì p là môđun xạ ảnh Thật vậy, nếu p ~ 0 thì tồn tại các môđun xạ ảnh Q và ợ và đắng cấu môđun p © ộ = 0© Q = Q Do đó, p là hạng tử trực tiếp của môđun xạ ảnh nên p cũng là môđun xạ ảnh 3.1.6 Mệnh đề: (bổ đề S.Schanuel) «± vọ py/ = p V... tương đương xạ ảnh với Ẫ^0 = c nên tồn tại các môđun xạ ảnh Q và Q và đẳng cấu c © Q =c ®Q Do đó, ta có thể xem như c © Q =c ®Q sẽ có: K2 tương đương xạ ảnh với K2, , Kn = K tương đương xạ ảnh với K„=K Như vậy, ta đã chúng minh được rằng: nếuC là môđun tương đương xạ ảnh với môđun c và s: K >—> Pn_J —► —> P0 -» c và s': ' >—> > P0' -» cìà hai dãy khớp n - dài với các môđun xạ ảnh Pị và p thì K tương. .. môđun xạ ảnh Q © p và g' 0 P', và đẳng cấu: Ả ®(Q' ®P') = (Ả@Q)®P =(B@Q)®P' = B ®Q@P = B@P ©g = (B®P')®Q = (C®P)®Q = C®(P®Q) Do đó, môđun A tương đương xạ ảnh với môđun c 3.1.4 Mệnh đề: Cho p và p là hai môđun xạ ảnh Khi đó ta luôn có: p ~ p Chứng minh: Ta chọn môđun xạ ảnh Q = p và Q ' = p' Khi đó ta có đẳng cấu:p®p = p ®p p ® Q = p ® p = p ® p = p ® Q Do đỏ p ~ p 3.1.5 «± Nhận xét: Từ mệnh đề 3.1.4... thì K tương đương xạ ảnh với môđun K > — • • • -> Ext" (/>_,, G) -> Ext" (K., G) — E x t " + I (Ả:.,, , ơ) -> Ext"+1 (/>_,, ơ) -> • • ■■ Do P_J là môđun xạ ảnh nên Ext"(P._l9G) = 0, VẢ: > 1 Vì vậy ta có dãy khớp: 0->Ext"(ii ,ơ) — >Ext"+1(ẪT ,,ơ) -> 0 *: Ext"(^;,ơ) ->Ext"+1(£M,ơ) là đẳng cấu V* > 1 Như vậy, ta có các đẳng cấu nhóm sau: môđun G 3.2 Lóp các môđun tương đương xạ ảnh trên vành... xoắn của hai nhóm A và B Chứng minh: A~ B Khi đó, theo mệnh đề 3.1.3 ta có: Extz(^4,Z) = Extz(i?,Z) (3.2.4.1) S T ( _ B ) ® ( F 2® F 1) Z ( T ( B ) ® F Ĩ ) ® F 1 = B ® F r Như vậy, A~ B 3.3 Lóp các môđun tương đương xạ ảnh trên vành hệ t ử R là vành chính 3.3.1 Mệnh đề: Cho M là môđun hữu hạn sinh, sinh bởi n phần tử, n> 1 Khỉ đỏ, tồn tại các n a2, , an e R sao cho: M = © lỵ D i=ì/ atK Chứng minh:... ngắn thì ta có các đồng Hon nữa, khi xem Hom(-,-), Ext(-,-) là các R - môđun vói phép nhân ngoài định nghĩa như ở (*) và (**) thì các đồng cẩu nhómE* và Et trên còn là các đồng cẩu R - môđun Chứng minh: > Kiểm tra E*: Hom(^4, ơ) cấu R - môđun > Ext(C, ơ) là đồng VI—* E Hom(^4,ơ), V r E R, ta có: E*(ra) = cls {ra)E = cỉs(rGa)E = cỉsrG(aE) = r.cls(aE) = r.E*(a) 2.4 Mệnh đề: (theo nhận... r.cls(aE) = r.E*(a) 2.4 Mệnh đề: (theo nhận xét 2.1.3) = (Plì?)* = (1^)* = ^Ext(C,A2) • Theo mệnh đề 1.12, nếu E = ( ỵ , ơ ) : Ả >—> c là dãy khớp ngắn thì ta có hai dãy khớp các nhóm aben sau đối với bất kì môđun G: 2.5 Mệnh đề: Ta có các đắng cẩu các môđun sau: • Ext(c,^j ® A2) = Ext(C,Aì)®Ext(C,A2) Tương tự: p2jr = (p2j\)* = 0* = 0 ; Prìr = (pj2)* = 0, = 0 • Ext(Cj © C2,A) = Ext(CƯA) 0 Ext(C2,J)... biểu đồ tổng trực tiếp các môđun: Aị —> Al © Ả2 —a—> A2 Do đó, (2.5.1) là biểu đồ tổng trực tiếp của các môđun Hay ta có đẳng cấu G) = 2.8 Hệ quả: Cho R là miền nguyên và r eR\{ 0} Khi đó, ta có đẳng cẩu môđun: ^xịẢR/rR’R)-R/rRChứng minh: (n \ Với r E R \ {0}èc„A ta cóAđồng R -Ả.) môđun rR : R R xác định bởi rR (x) = rx là c, © ] = ©cấu Ext(C, V-1 đơn cấu 2.7 Mệnh đề: Cho hai môđun c, G và dãy khớp... Hom(-Ext(-,-) là các R - môđun vói phép nhân ngoài định nghĩa như ở (*) và (**) thì các đồng cấu a* và a* trên còn là các đồng cẩu [«’('■/)] (*) = ụrf)a](x) = (rf)[a(x)] = r(f[a{x)]) = r[(fa)(x)] = r [ ( â f)(xĩ\ = \j(â f ) Ỵ x ) Hay à(rf) = rà ự) > Kiểm tra a*: Ext(X,^4) »Ext(X,i?) là đồng cấu R - môđun Vr E R,\/cỉsE e Ext(X,A) ta có: Mệnh đề: Ta biết rằng nếu E = (ỵ ,ơ) : A>—> cấu nổiE* và E* là các đồng ... mệnh đề 3.1.4 ta thấy môđun xạ ảnh tương đưong xạ ảnh với môđun môđun môđun xạ ảnh Và ngược lại, môđun p tương đương xạ ảnh với môđun p môđun xạ ảnh Thật vậy, p ~ tồn môđun xạ ảnh Q ợ đắng cấu môđun. .. CHƯƠNG 3: MỘT SỐ VẤN ĐÈ VỀ LỚP CÁC MÔĐUN TƯƠNG ĐƯƠNG XẠ ẢNH 3.1 Môt số khái niêm mở đầu tính chất •• 3.1.1 Định nghĩa: Ta gọi môđun c c tương đương xạ ảnh tồn môđun xạ ảnh Q Q đẳng cấu môđun c... =c' ®Q Kỉ hiệu: c ~c 3.1.2 Mệnh đề: Quan hệ tương đương xạ ảnh quan hệ tương đưoĩig Chứng minh: Vì tổng trực tiếp hai môđun xạ ảnh môđun xạ ảnh nên ta có môđun xạ ảnh Q © p g' P', đẳng cấu: Ả ®(Q'