vành chính
3.3.1. Mệnh đề:
Cho M là môđun hữu hạn sinh, sinh bởi n phần tử, n> 1. Khỉ đỏ, tồn tại các n
a2, ... , an e R sao cho: M = © lỵ D.
i=ì/ atK
Chứng minh:
(p :R"--->M xác định bởi: <p(rl9r29...,rn) = ỴJriyi.
i=i
Thật vậy, V(rí,r2,...,rn),(s„s2,...,sll)<E R",\/r e Rta có: <p\[rx,r2,...,r„) + (sỊ,sỉ,...,sn)'] = ọ(rì +s„r2 +s„) = i>( +s,)3',
= ẳ(W+í/3'i) = Ệw+Ệ'S/>’(=«’('í-r2»-.f„) + «’(s,.J2.-.'S.)-
i=l j=l í'=l
v\_r(rx,r2,...,rn)\ = (p{rrx,rr2,...,rrn)=ỲJ(rr^yì = Ỳdr(rly,) = rỲdrl
5 /=1 /0'R
Hơn nữa, <3 là toàn cấu vì {yỉ,y2,...,yn}\ầtập sinh củaMnên Vi e M, tồn tạicác phần tửrb ... , r n e R: x = Ỵjriyi = ọ(rỉ,r2,...,rn). i=\
âó,M^/Ker(p. (3.3.1.1)
là môđun tự do có hạng n > 1 và Ker° là môđun con của R", R là vành
một cơ sở của Ker °.
ụs(x) =V/ịỲriXi} = (ri + aiR’r2 + a2 R>->rn + anR)-
= [rx + axR, r2 + a2R,...,rn + anR) + (ÍỊ + axR,s2 +a2R,...,sn +anR) ( n ( n Z¥/ = ¥(x) + ¥(ỳ)- V Ĩ=1 y V Í=1 y í n ( n • y/(rx)=y/\rỴjrixi =ụ/ ^(rr^X; \ = (rrỉ +axR,rr2+a2R,...,rrn+anR) V /=1 J \i=1 / = r(r1+ứ1i?,r2+ứ2i?,...,r„+úr,ỉi?) = r^ = riỵ(x). V /=1 y / n /
Hơn nữa, dễ thấy là toàn cấu. Do đó Rn/Cr = ®v D- (3.3.1.2)
Vì vậy, ụ/(x) = V'ịỲí(r.ai)xA = (lỊOị + axR,r2a2 + a2R,...,rnan + anR) = 0.
Từ (3.3.1.1), (3.3.1.2) và (3.3.1.3), ta có: = =
n
Vây, tồn tai các phần tử d\, ... , an E i? sao cho: M £ © D. <±.
là môđun xoắn nên a0, Vỉ' = \,n. Thật vậy, giả sử chang hạn «1 = 0 thì ta
n
3.3.3. Hệ quả: quả:
Cho M là môđun không xoắn, hữu hạn sinh, sinh bỏi n phần tử. Khi đó,
m ____
M = © R., trong đó R = R, Vỉ' = 1, m, m<n. Và do đó, M là môđun tư do. ỉ=\ 1
Chứng minh:
là môđun hữu hạn sinh, sinh bởi n phần tử nên theo mệnh đề 3.3.1 tồn tại
n
các phần tử «1, a2, ... ,an e R sao cho: M = © y ^.
I 1 /
m
3.3.4. Hệ quả:
Cho M là môđun hữu hạn sinh. Khi đó, M = ĩ(M) © F, trong đó F là môđun tự do và T(M) là mỏđun con xoắn của M.
Từ các kết quả trên đây, ta có các kết quả về lớp các môđun tuông đuơng xạ ảnh trên vành chính R sau đây:
I
Vì vậy, M = r(M) 0 F, trong đó F là môđun tự do.
n
Theo hệ quả 2.6 và hệ quả 2.8 ta có:
3.3.6. Hệ quả:
Cho MvàNỉà hai mỏđun xoắn, hữu hạn sinh. Khi đó, M ~ N o M = N.
Chứng minh:
( ) Giả sử M ~ N.
mệnh đề 3.1.3 ta có: ExtR(M ,R)= Ext R(N,R). (3.3.6.1)
3.3.7. Mệnh đề:
Cho M và N là hai mỏđun không xoan, hữu hạn sinh. Khi đó, ta luôn có M ~ N.
Chứng minh:
và N là hai môđun không xoắn, hữu hạn sinh nên theo hệ quả 3.3.3 ta có
Chứng minh:
sử M ~ N.
mệnh đề 3.1.3 ta có: ExtR(M ,R)= Ext R(N,R). (3.3.8.1)
Do Mmôđun xoắn, hữu hạn sinh nên theo mệnh đề 3.3.5 ta có:
Ext R(M,R) = M. (3.3.8.2)
Do N là môđun không xoắn, hữu hạn sinh nên theo hệ quả 3.3.3 ta có N là
R(M,R) = Ext* (r(M) © F,R) = Ext* (T(M),R) 0 Ext* (F,R) = T(M) 0 0 = r(M)
Như vậy, ta có: ExtR(M,R) = T(M). <±-
3.3.10. Mệnh đề:
Cho MvàNỉà hai mỏđun hữu hạn sinh. Khi đó, M ~ N ĩ ( M ) = T(N).
Chứng minh:
M ~ N.
S T ( _ N ) ® { F 2® F 1) S ( T ( N ) ® F 2) ® F 1Z N ® F 1 .
Như vậy, M ~ N .3.3.11. Hệ quả:
Cho M là môđun hữu hạn sinh và N là môđun xoắn hữu hạn sinh. Khỉ đó, M ~N
Chứng minh:
là môđun xoắn nên T ( N ) = N . Vì vậy, d o M v ầ N là hai môđun hữu hạn sinh nên theo mệnh đề 3.3.10 ta có:
3.3.12. Hệ quả:
Cho M là môđun hữu hạn sinh và N là môđun không xoắn, hữu hạn sinh. Khi đó, M ~ N o M là môđun không xoắn.
Chứng minh:
Do N là môđun không xoắn nên ĩ ( N ) = 0. Vì vậy, do M và N hữu hạn sinh nên theo mệnh đề 3.3.10 ta có:
sử M ~ N.
Do M hữu hạn sinh nên theo mệnh đề 1.21.4 ta có: N là môđun con của M nên cũng là môđun hữu hạn sinh.
Do M là môđun hữu hạn sinh nên theo hệ quả 3.3.4 ta có:
M = T ( M ) ® F
- F là môđun tự do. ( ) Giả sử là môđun tự do.
(3.3.13.2)
Khi đó dãy khớp: 0 —» N —» M —» —> 0 là chẻ.
M ~ N.3.3.14. Hệ quả:
Cho M là môđun hữu hạn sinh. Khi đó ta luôn có M ~ r(M).
là môđun hữu hạn sinh nên theo hệ quả 3.3.4 ta có:
M = T ( M ) ® F
trong đó F là môđun tự do.
= F \ầ môđun tự do.
Vì vậy theo mệnh đề 3.3.13 ta có: M ~ r(M). <±-