vành giao hoán có đơn vị
Trong phần này chúng tôi đưa ra một vài điều kiện cần và điều kiện đủ để hai môđun là tương đưoưg xạ ảnh trên vành hệ tử R là vành giao hoán có đơn vị.
3.4.1. Mệnh đề:
ChoN là môđun con của môđun M. Nếu ^ tự do thì
Chứng minh:
Vì là môđun tự do nên dãy khớp: 0 —» N —» M —» Adíỵỵ —> 0 là chẻ.
Do đó, M = N®M/N = N<S>F
= 0, V n > m. Nếu không tồn tại sổ nguyên m nào như thế thì môđun c gọi là
có số chiều xạ ảnh 00. Trong trường họp trái lại, thì so nguyên m bẻ nhất như thế gọi là so chiều xạ ảnh (trên R) của môđun c và được kí hiệu là: pdR(C).
Hay đon giản hon là pd(C) nếu không sợ nhầm lẫn về vành hệ tử R.
3.4.3. Mệnh đề:
là môđun 0 <=> pdR(C) = — 1.
Chứng minh:
Vì môđun 0 có phép giải xạ ảnh (x,£) với Xn = 0, V n > -1 nên pdR (0)= -1. Ngược lại, nếu pdR(C) = -1 thì tồn tại một phép giải xạ ảnh (x,s} của c thỏa
mãn X = 0, V n > -1.
í p * 0 nêu n = 0
trong đó: X = ị và d„ = 0,Mn > 1, 8 = lp.
Ịo nêu
Hơn nữa, do p ^ 0 nên không tồn tại phép giải xạ ảnh [x ,8 ) nào của p thỏa mãn x'n = 0, V w > -1. Bởi vì nếu tồn tại phép giải xạ ảnh nhu thế thì toàn cấu
3.4.6. Mệnh đề: đề:
Cho m là một số nguyên không âm và c là một R - môđun tùy ỷ. Khi đó, ba phát biểu sau là tưoĩig đưong:
i) pdR{C)<m. ỉỉ) Extm+1 (C, ơ) = 0 với mọi R - môđun G. ỉỉi) Vói mọi dãy khóp m - dài của các môđun:
S: K~PM_l^...^P0^C
trong đó Pị là các môđun xạ ảnh thì K cũng là môđun xạ ảnh.
Chứng minh:
i) tí)
Giả sử pdR (C) < m v ầ G ì ầ R - môđun bất kì. Vì p d R (C) < m nên tồn tại một phép giải xạ ảnh (x,£) của c thỏa mãn X n = 0, V n > m .
Do đó, Hom(Xm+1,ơ) = Hom(0,ơ) = 0. Gọi (x,<?) là một phép giải xạ ảnh bất kì của C:
X :--->X0^C--->0 Ta phân tích õm : X m----> x . thành X m ———>Imổm —
X' :---»0 —0 —^Imõm —£->Xm_x —---»x0—--->0 Do đó, theo định nghĩa, pdR (C) < m.
Như vậy, ta có ba phát biểu trên là tưong đương. «±. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
3.4.7. Mệnh đề:
là hai R - môđun khác mỏđun 0 và c ~c. Khi đó, pdR(C) = pdR(C ).
Vì c và c là hai R - môđun khác môđun 0 nên theo mệnh đề 3.4.3 ta có:
pđ„(C) > 0,pdR(C ) > 0.
Đặt m = pdR(C) >0, m = pdR(C) > 0.
Trước tiên ta cần chúng minh điều sau đây:
Neu nì là số nguyên hữu hạn thì m cũng là số nguyên hừu hạn và m < nì.
Đe làm phong phú cách chúng minh, ở đây chúng tôi xin nêu ra hai cách chứng minh điều này để cho thấy sự hũn dụng của mệnh đề 3.4.6.
(3.4.7.1) Ext"*'(C,ơ) = 0.
Do c ~c vầ m +1 > 1 nên theo mệnh đề 3.1.3 ta có:
Extm+1(C,ơ) = Extm+1(C ,ơ). (3.4.7.2)
Từ (3.4.7.1) và (3.4.7.2) ta có: Extm+1(C,G) = 0, với G là môđun bất kì.
Do đó, R^I®R/r
Do / và R/, là hai R -môđun tự do khác 0 nên có một cơ sở của R là hợp cùa hai
cơ sở nào đó của / và R/, và cơ sở đó của R có nhiều hơn một phần tử.
Tuy nhiên, do R là vành giao hoán nên điều này là không thể đuợc, vì bất kì hai phần tử x,y eR\ {0} đều phụ thuộc tuyến tính vì xy -yx = 0.
(3.4.9.2)
3.4.10. Nhận xét: xét: