MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ LỚP CÁC MÔĐUN TƯƠNG ĐƯƠNG XẠ ẢNH

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH ––––––––––––––––––– Nguyễn Tuấn Ngọc MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ LỚP CÁC MÔĐUN TƯƠNG ĐƯƠNG XẠ ẢNH Chuyên ngành: Đại số lí thuyết số Mã số : 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : TS TRẦN HUYÊN Thành phố Hồ Chí Minh – 2009 MỞ ĐẦU “Đại số đồng điều ngày tràn ngập toàn toán học” (SZE – TSEN – HU) Vâng, sau đề cập lần S.Eilenberg S Maclane – năm 1944, lý thuyết phạm trù hàm tử nhanh chóng tìm ứng dụng ngày rộng rãi nhiều lĩnh vực khác toán học Các hàm tử mở rộng – Extn, bốn trụ cột đại số đồng điều (ba hàm tử lại Hom, Ä, Torn) Luận văn nhằm trình bày ứng dụng lý thú hàm tử Ext, giải số vấn đề lớp môđun tương đương xạ ảnh Chẳng hạn tìm điều kiện cần đủ để hai môđun tương đương xạ ảnh,… Do thời gian có hạn nên nghiên cứu số lớp môđun tương đương xạ ảnh đặc biệt (như môđun hữu hạn sinh,…) vành hệ tử đặc biệt Trong luận văn này, nghiên cứu vành hệ tử R =  , vành số nguyên – môđun  nhóm aben, vành hệ tử R vành nghiên cứu số lớp môđun tương đương xạ ảnh vành hệ tử vành giao hoán có đơn vị tùy ý Việc nghiên cứu đề tài giúp nhận biết hai môđun tương đương xạ ảnh thông qua đặc điểm riêng biệt môđun Và qua giúp nghiên cứu số vấn đề khác liên quan đến lớp môđun tương đương xạ ảnh, chẳng hạn số chiều xạ ảnh,…Và qua đề tài mở rộng số kết đáng lưu ý mở rộng số kết từ lí thuyết nhóm aben sang lí thuyết môđun vành Đây điều làm tâm đắc CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Mục xin nhắc lại kiến thức có liên quan sử dụng chúng trình bày luận văn Đó số khái niệm kết lí thuyết nhóm, lí thuyết môđun, hàm tử Ext, hàm tử Tor,…Đối với khái niệm môđun tự do, môđun xạ ảnh, môđun nội xạ, đồng cấu môđun, tổng trực tiếp môđun, dãy khớp, hàm tử Hom, hàm tử Tenxơ, lí thuyết vành giao hoán, … xem biết Những khái niệm kết tìm thấy chúng mục “tài liệu tham khảo” trang cuối luận văn Trong luận văn này, vành R xét vành giao hoán có đơn vị Và môđun R R – môđun trái (thật R vành giao hoán có đơn vị R – môđun trái xem R – môđun phải) 1.1 Phức hợp, đồng điều đối đồng điều: Phức hợp dây chuyền K R – môđun họ  K n ,  n n gồm R – môđun Kn R – đồng cấu  n : K n   K n1 cho :  n  n1  Đồng điều H ( K ) họ môđun H n ( K )  Ker n Im  n1 Phức K  K n ,  gọi phức dương Kn = n < Phức K  K n ,  gọi phức âm Kn = n > Để tiện lợi mặt kí hiệu, phức âm với số thường dùng:    K :    K  n1  K  n   K  n1      K 1   K  0 n  n1 viết lại thành phức số theo phép đổi biến (–n) thay n Khi đó, K–n viết K n ,   n : K  n   K  n1 viết  n : K n   K n1 Môđun đồng điều phức theo số K   K n ,  n  xác định theo công thức: H n ( K )  Ker n Im  n1 Cho phức K  K n ,  R – môđun G R – môđun Tác động hàm tử phản biến Hom(–,G) lên phức K ta phức số trên, kí hiệu Hom(K,G), gồm nhóm aben: n 1      Hom( K n1 , G )  Hom( K n , G )   Hom( K n1 , G )   n  n : Hom( K n , G )  Hom( K n1 , G ) xác định theo công thức:  n ( f )  (1) n1 *n1 ( f )  (1)n1 f  n1 , f  Hom( K n , G ) Đồng điều phức Hom(K,G) gọi đối đồng điều phức K với hệ số G Đó họ nhóm aben đánh số theo số trên: H n ( K , G )  H n (Hom( K , G ))  Ker n Im  n1 1.2 Phức môđun phép giải xạ ảnh (tự do) môđun: Phức  X ,   môđun C dãy môđun Xn ( n  ) đồng cấu:        X n   X n1     X   X   C  0 n n1 (1.2.1) mà tích nối tiếp hai đồng cấu Một phép giải môđun C dãy khớp dạng (1.2.1) Một phép giải xạ ảnh (tự do) môđun C dãy khớp dạng (1.2.1) môđun Xi môđun xạ ảnh (tự do) 1.3 Mệnh đề: Mỗi môđun tồn phép giải tự Do tồn phép giải xạ ảnh 1.4 Mở rộng môđun: Một mở rộng môđun A nhờ môđun C dãy khớp ngắn E = (  ,  ) : A  B C 1.5 Cấu xạ mở rộng: Cấu xạ  : E   E ' mở rộng ba   ( ,  ,  ) cho biểu đồ sau E giao hoán:     A   B   C  0        A'   B '   C '  0 E '  ' ' Trong trường hợp A  A' , C  C ' E ' trở thành mở rộng A nhờ C Hai mở rộng A nhờ C gọi toàn đẳng, kí hiệu E  E ' , tồn cấu  E ' xạ 1A ,  ,1C  : E  1.6 Mệnh đề: Quan hệ toàn đẳng mở rộng quan hệ tương đương Gọi ExtR(C,A) hay đơn giản Ext(C,A) (nếu không sợ nhầm lẫn vành hệ tử R) tập hợp tất lớp toàn đẳng mở rộng A nhờ C Mỗi lớp kí hiệu là: clsE Ext(C , A), với E mở rộng A nhờ C Hay kí hiệu đơn giản là: E  Ext(C , A) Mở rộng   A   A  C   C   gọi mở rộng chẻ 1.7 Mệnh đề:  C đồng cấu tồn mở Nếu E mở rộng A nhờ C  : C '  E rộng E ' A nhờ C ' cấu xạ   (1A ,  ,  ) : E '  Cặp  , E '  xác định xác tới toàn đẳng E ' Mở rộng E ' kí hiệu E   * E  Ext(C ' , A) 1.8 Mệnh đề:  A' đồng cấu tồn mở rộng Nếu E mở rộng A nhờ C  : A  E ' A' nhờ C cấu xạ   ( ,  ,1C ) : E   E ' Cặp  , E '  xác định xác tới toàn đẳng E ' Mở rộng E ' kí hiệu  E  * E  Ext(C , A' ) 1.9 Mệnh đề: Ta có toàn đẳng sau:  E1C  E ; E ( ' )  ( E ) ' với  : C '   C ,  ' : C ''  C'  1A E  E ; ( ' ) E   ' ( E ) với  : A   A' ,  ' : A'   A'' C  ( E )   ( E ) với  : A   A' ,  : C '   Mọi cấu xạ mở rộng   ( ,  ,  ) : E   E ' ta có toàn đẳng  E  E ' 1.10 Phép cộng mở rộng: Cho hai mở rộng Ei  (  i , i ) : A  Bi  C với i = 1, Khi đó, tổng trực tiếp hai mở rộng là: E1  E2  ( 1   ,   ) : A  A  B1  B2  C  C Phép cộng hai mở rộng E1 E2 mở rộng: E1  E2  A ( E1  E2 ) C  C A đồng cấu chéo đồng cấu tổng xác định bởi: C : C  C  C c  (c, c ) A : A  A  A  a1 , a2   a1  a2 1.11 Mệnh đề: Đối với môđun A C cho trước, tập lớp toàn đẳng mở rộng môđun A nhờ môđun C nhóm aben với phép toán hai cho tương ứng lớp toàn đẳng mở rộng E1 E2 lớp toàn đẳng mở rộng: E1  E2  A ( E1  E2 ) C (phép cộng Berơ) Lớp toàn đẳng mở rộng chẻ A  A  C  C phần tử không nhóm Phần tử đối lớp toàn đẳng mở rộng E lớp toàn đẳng mở rộng (1A ) E Và đồng cấu  : A   A' ,  : C '   C ,  i : A   Ai ,  i : Ci   C , i = 1, ta có:    E1  E2    E1   E2 ;  E1  E2    1    E  1E   E ; E       E  E  E1  E2 (1.11.1) Các qui tắc (1.11.1) ánh xạ sau đồng cấu nhóm: * : Ext(C , A)  Ext(C , A' ) cls E  cls  E  * : Ext(C , A)  Ext(C ' , A) cls E  cls E Hơn nữa, Ext(–,–) song hàm tử cộng tính 1.12 Mệnh đề: Nếu E = (  ,  ) : A  B C dãy khớp ngắn ta có hai dãy khớp nhóm aben sau môđun G: * * E* * * * * E* * *  Hom(G, A)  Hom(G, B)  Hom(G, C )  Ext(G, A)   Ext(G, B)   Ext(G, C ) 0  Hom(C , G )  Hom( B, G )   Hom( A, G )   Ext(C , G )   Ext( B, G )   Ext( A, G ) đồng cấu nối E * E* xác định bởi: E * : Hom( A, G )   Ext(C , G )   cls  E E* : Hom(G, C )   Ext(G, A)   cls E 1.13 Mệnh đề: Môđun P xạ ảnh  Ext(P,G) = với môđun G 1.14 Dãy khớp n – dài: Dãy khớp S có độ dài n A kết thúc C dãy khớp có dạng:     S :   A   Bn1     B0   C  0 n 1 Ta viết dãy khớp n – dài S tích n dãy khớp ngắn: S  En  En1   E1 Ei : Ki  Bi 1  Ki 1 với Ki = Im ( Bi  Bi 1 ) = Ker ( Bi 1  Bi 2 ) , i = 1, …, n–1 Kn =A, Ko = C Các dãy Ei xác tới toàn đẳng Dãy khớp n – dài thứ hai S ' có chung hai đầu với S gọi toàn đẳng với S S ' nhận từ S hữu hạn phép biến đổi thuộc ba dạng sau: ( i ) thay nhân tử Ei dãy khớp ngắn toàn đẳng với ( ii ) hai dãy nhân tử có dạng  E ''    E ' chúng thay E ''   E '  ( iii ) hai dãy nhân tử có dạng E ''   E '  chúng thay  E ''    E ' Nếu S dãy khớp n – dài A kết thúc C ta định nghĩa tích  S S với đồng cấu  : A   A'  : C '   C nhờ công thức:   En  En1   E1   ( En )  En1   E1  En  En1   E1    En  En1   ( E1 ) Bây ta kí hiệu Ext nR (C , A) tập tất lớp toàn đẳng   cls S dãy khớp n – dài A kết thúc C Ta xem Ext (C , A) Hom(C,A) 1.15 Mệnh đề: Đối với n, Ext nR (C , A) nhóm aben phép cộng xây dựng nhờ tổng Berơ:  ,  Ext nR (C , A)      A (   ) C 1.16 Mệnh đề: Nếu P môđun xạ ảnh Ext n ( P, G )  0, với môđun G, n  1.17 Mệnh đề: Ta có đẳng cấu nhóm aben sau: k k  Ext n  C ,  Ai    Ext n (C , Ai )  i 1  i 1 k k  Ext n   Ci , A    Ext n (Ci , A)  i 1  i 1 1.18 Mệnh đề: Nếu C A R – môđun  : X   C phép giải xạ ảnh C, tồn đẳng cấu: Ext n (C , A)  H n ( X , A) với n = 0, 1, 2, … 1.19 Mệnh đề: Nếu E = (  ,  ) : A  B C dãy khớp ngắn ta có hai dãy khớp nhóm aben sau môđun G:   E    Ext n (C , G )   Ext n ( B, G )   Ext n ( A, G )   Ext n1 (C , G )   *  *  * E * * *    Ext n (G, A)   Ext n (G, B )   Ext n (G, C )   Ext n1 (G, A)   Lần lượt dãy bắt đầu thành viên bên trái tương ứng là:   Hom(C , G )  Ext (C , G )   Hom(G, A)  Ext (G, A) kéo dài bên phải theo tất n = 0, 1, 2, … Các đồng cấu dãy xác định sau:   Ext n (C , G ) ,   Ext n ( B, G ) ,   Ext n ( A, G ) ,  '  Ext n (G, A) ,  '  Ext n (G, B) ,  '  Ext n (G, C ) , … thì:  *   ;  *   ; * '   ' ;  * '   ' ; E *  (1) n E E* '  E ' 1.20 Nhóm aben 1.20.1 Mệnh đề: Nếu G nhóm aben H nhóm G cho G H nhóm aben tự G  H  K K nhóm aben tự 1.20.2 Cấu trúc nhóm aben hữu hạn: Một nhóm aben hữu hạn tổng trực tiếp hữu hạn nhóm cyclic có cấp lũy thừa số nguyên tố 1.20.3 Cấu trúc nhóm aben hữu hạn sinh: Một nhóm aben hữu hạn sinh tổng trực tiếp hữu hạn nhóm cyclic có cấp vô hạn có cấp lũy thừa số nguyên tố 1.20.4 Mệnh đề: Nhóm aben hữu hạn sinh xoắn nhóm aben hữu hạn 1.20.5 Hệ quả: Nếu G nhóm aben hữu hạn sinh G   (G )  F  (G ) nhóm xoắn G F nhóm aben tự 1.20.6 Hệ quả: Nhóm xoắn nhóm aben hữu hạn sinh nhóm hữu hạn 1.21 Môđun vành Trong mục ta nêu số khái niệm kết lí thuyết môđun vành R sau: Ext R ( M , R)  Ext R  ( M )  F , R   Ext R  ( M ), R   Ext R  F , R    ( M )    ( M ) Như vậy, ta có: Ext R ( M , R)   ( M )  3.3.10 Mệnh đề: Cho M N hai môđun hữu hạn sinh Khi đó, M  N   ( M )   ( N ) Chứng minh: () Giả sử M  N Khi đó, theo mệnh đề 3.1.3 ta có: Ext R ( M , R)  Ext R ( N , R ) (3.3.10.1) Do M N hai môđun hữu hạn sinh nên theo mệnh đề 3.3.9 ta có: Ext R ( M , R)   ( M ) (3.3.10.2) Ext R ( N , R )   ( N ) (3.3.10.3) Từ (3.3.10.1), (3.3.10.2) (3.3.10.3) suy ra:  ( M )  Ext R ( M , R)  Ext R ( N , R)   ( N ) () Giả sử  ( M )   ( N ) (3.3.10.4) Do M N hai môđun hữu hạn sinh nên theo hệ 3.3.4 ta có: M   ( M )  F1 (3.3.10.5) N   ( N )  F2 (3.3.10.6) F1, F2 hai môđun tự Từ (3.3.10.4), (3.3.10.5) (3.3.10.6) suy ra: M  F2   ( M )  F1   F2   ( M )   F1  F2    ( N )   F1  F2    ( N )   F2  F1    ( N )  F2   F1  N  F1 Như vậy, M  N  3.3.11 Hệ quả: Cho M môđun hữu hạn sinh N môđun xoắn hữu hạn sinh Khi đó, M  N   ( M )  N Chứng minh: Do N môđun xoắn nên  ( N )  N Vì vậy, M N hai môđun hữu hạn sinh nên theo mệnh đề 3.3.10 ta có: M  N   (M )   ( N )  N  3.3.12 Hệ quả: Cho M môđun hữu hạn sinh N môđun không xoắn, hữu hạn sinh Khi đó, M  N  M môđun không xoắn Chứng minh: Do N môđun không xoắn nên  ( N )  Vì vậy, M N hữu hạn sinh nên theo mệnh đề 3.3.10 ta có: M  N   ( M )   ( N )   M môđun không xoắn  3.3.13 Mệnh đề: Cho M môđun hữu hạn sinh N môđun M Giả sử N môđun xoắn Khi đó, M  N  M Chứng minh: N môđun tự () Giả sử M  N Do M hữu hạn sinh nên theo mệnh đề 1.21.4 ta có: N môđun M nên môđun hữu hạn sinh Như vậy, N môđun xoắn hữu hạn sinh Nên theo hệ 3.3.11 ta có: M  N   (M )  N (3.3.13.1) Do M môđun hữu hạn sinh nên theo hệ 3.3.4 ta có: M   (M )  F (3.3.13.2) F môđun tự Từ (3.3.13.1) (3.3.13.2) ta có: M  N  F Do đó, M N  F môđun tự () Giả sử M N môđun tự Khi dãy khớp:  N  M  M Do đó, M  N  M F  M N N N  chẻ NF môđun tự Như vậy, tồn môđun tự Q = Q '  F cho ta có đẳng cấu: M  Q  M   M  N  F  N  Q' Do đó, M  N 3.3.14 Hệ quả: Cho M môđun hữu hạn sinh Khi ta có M   ( M ) Chứng minh:  Do M môđun hữu hạn sinh nên theo hệ 3.3.4 ta có: M   (M )  F F môđun tự Do đó, M  ( M )  F môđun tự Vì theo mệnh đề 3.3.13 ta có: M   ( M )  3.3.15 Nhận xét: Trong mệnh đề 3.3.13, bỏ điều kiện N môđun xoắn chiều () không Thật vậy, lấy R   M  , N  2  – môđun M Dễ thấy M  , N  2 hai  – môđun tự do, theo mệnh đề 3.1.4 ta có M  N Hơn nữa, dễ dàng ta thấy N môđun không xoắn M N  2    – môđun tự (bởi  a   , 2a = nên không tồn hệ độc lập tuyến tính  )  3.4 Lớp môđun tương đương xạ ảnh vành hệ tử R vành giao hoán có đơn vị Trong phần đưa vài điều kiện cần điều kiện đủ để hai môđun tương đương xạ ảnh vành hệ tử R vành giao hoán có đơn vị 3.4.1 Mệnh đề: Cho N môđun môđun M Nếu M N môđun tự M  N Chứng minh: Vì M N môđun tự nên dãy khớp:  N  M  M Do đó, M  N  M F  M N N N  chẻ NF môđun tự Như vậy, tồn môđun tự Q = Q '  F cho ta có đẳng cấu : M  Q  M   M  N  F  N  Q' Do đó, M  N  Từ nhận xét 3.3.15 ta thấy chiều đảo mệnh đề 3.4.1 nói chung không Trước đưa tiếp tiêu chuẩn khác, xin nêu định nghĩa số chiều xạ ảnh sau đây: 3.4.2 Định nghĩa: Gọi m số nguyên, m  1 Một môđun C R gọi có số chiều xạ ảnh  m R tồn phép giải xạ ảnh  X ,   C thỏa mãn: X n  0,  n  m Nếu không tồn số nguyên m môđun C gọi có số chiều xạ ảnh  Trong trường hợp trái lại, số nguyên m bé gọi số chiều xạ ảnh (trên R) môđun C kí hiệu là: pd R (C ) Hay đơn giản pd(C) không sợ nhầm lẫn vành hệ tử R 3.4.3 Mệnh đề: Môđun C môđun  pd R (C ) = –1 Chứng minh: Vì môđun có phép giải xạ ảnh  X ,   với Xn = 0,  n > –1 nên pd R (0) = –1 Ngược lại, pd R (C ) = –1 tồn phép giải xạ ảnh  X ,   C thỏa mãn X n  0,  n  1 0 0  Hay X :             C  0 Do  toàn cấu nên C  Im   Như vậy, ta có: môđun C môđun  pd R (C ) = –1 3.4.4 Mệnh đề: Môđun P R – môđun xạ ảnh khác môđun  pd R ( P ) = Chứng minh: () Giả sử P R – môđun xạ ảnh khác môđun Khi đó, P xạ ảnh nên P có phép giải xạ ảnh là: 0 0 X :           P   P  0 P   P  nêu' n  đó: X n    n  0, n  ,   1P nêu' n  0 Hơn nữa, P  nên không tồn phép giải xạ ảnh  X ' ,  '  P thỏa mãn X n'  0,  n  1 Bởi tồn phép giải xạ ảnh toàn cấu  ' : X 0'    P toàn cấu Do đó, P  Im  '  (mâu thuẩn) Như vậy, pd R ( P) = () Giả sử pd R ( P ) = Khi tồn phép giải xạ ảnh P là: 0 0  X :           X   P  0 (3.4.4.1) đó: X  X n  0, n  Do đó, từ tính khớp dãy (3.4.4.1) ta có: Ker  = Im = Vì vậy,  đơn cấu Và đó,  đẳng cấu Suy ra, P  X môđun xạ ảnh khác Từ mệnh đề 3.4.3, mệnh đề 3.4.4 mệnh đề 1.13 ta có thêm tiêu chuẩn để nhận biết môđun xạ ảnh sau đây: 3.4.5 Mệnh đề: Ta có, ba phát biểu sau tương đương: i) Môđun P xạ ảnh ii) pd R ( P )  iii) Ext(P,G) = với môđun G 3.4.6 Mệnh đề:  Cho m số nguyên không âm C R – môđun tùy ý Khi đó, ba phát biểu sau tương đương: i) pd R (C )  m ii) Ext m1 (C , G )  với R – môđun G iii) Với dãy khớp m – dài môđun: S : K  Pm 1   P0  C Pi môđun xạ ảnh K môđun xạ ảnh Chứng minh: i)  ii) Giả sử pd R (C )  m G R – môđun Vì pd R (C )  m nên tồn phép giải xạ ảnh  X ,   C thỏa mãn X n  0,  n  m Do đó, Hom( X m1 , G )  Hom(0, G )  Vì vậy, theo mệnh đề 1.18 ta có: Ext m1 (C , G )  H m1 (Hom( X , G ))  ii)  iii) Gọi S : K  Pm 1   P0  C dãy khớp m – dài bất kì, Pi môđun xạ ảnh Và G R – môđun S* Theo mệnh đề 3.1.8 ta có đẳng cấu nhóm: Ext1 ( K , G )  Ext m1 (C , G ) Mà theo ii) ta có Ext m1 (C , G )  Do đó, Ext1 ( K , G )  với R – môđun G Vì vậy, theo mệnh đề 1.13, K môđun xạ ảnh iii)  i) Gọi  X ,   phép giải xạ ảnh C:     X :    X m1  X m   X m1     X   C  0 m1 m 1 m    X m 1 thành X m   Im  m   X m 1 Ta phân tích  m : X m  '  Im  m xác định  ' ( x)   m ( x)  phép nhúng  ' : X m  Khi đó, Ker  m 1  Im  m  Im  nên ta có dãy khớp m – dài:    S m (C , X ) :   Im  m   X m1     X   C  0 m1 Vì vậy, X , , X m1 môđun xạ ảnh nên theo iii) ta có Im  m môđun xạ ảnh Do đó, ta phép giải xạ ảnh  X ' ,  '  C với: ' 0 0 nêu nm   ' X n'  Im  m nêu n  m  'n      ' nêu nm  n Xn ' nêu nm ' nêu n  m  '   ' nêu nm  0   X ' :        Im  m   X m1     X   C  0 m1 Do đó, theo định nghĩa, pd R (C )  m Như vậy, ta có ba phát biểu tương đương 3.4.7 Mệnh đề: Cho C C ' hai R – môđun khác môđun C  C ' Khi đó, pd R (C )  pd R (C ' ) Chứng minh:  Vì C C ' hai R – môđun khác môđun nên theo mệnh đề 3.4.3 ta có: pd R (C )  0, pd R (C ' )  Đặt m = pd R (C )  , m'  pd R (C )  Trước tiên ta cần chứng minh điều sau đây: Nếu m' số nguyên hữu hạn m số nguyên hữu hạn m  m' Để làm phong phú cách chứng minh, xin nêu hai cách chứng minh điều thấy hữu dụng mệnh đề 3.4.6 Cách 1: Thật vậy, giả sử m' số nguyên hữu hạn Khi đó, tồn phép giải xạ ảnh  X ' ,  '  C ' thỏa mãn X n'  0,  n  m'       X m'  X m' 1     X 0'   C '  0 Hay: X ' :   m' ' m' 1 ' ' Khi ta có dãy khớp m' – dài:    S m (C ' , X ' ) :   K '  Im  m   X m' 1     X 0'   C '  0 ' ' m' 1 ' '  ' phép nhúng Do đó, theo mệnh đề 3.4.6 ta có K ' môđun xạ ảnh Gọi S : K  Pm ' 1   P0  C dãy khớp m' – dài môđun Pi môđun xạ ảnh Khi đó, C  C ' nên theo mệnh đề 3.1.7 ta có K  K ' Mà K ' môđun xạ ảnh nên theo nhận xét 3.1.5 ta có K môđun xạ ảnh Vì theo mệnh đề 3.4.6 ta có m  pd R (C )  m' Cách 2: Giả sử m' số nguyên hữu hạn Lấy G R – môđun Khi đó, pd R (C ' )  m' nên theo mệnh đề 3.4.6 ta có: Ext m 1 (C ' , G )  ' (3.4.7.1) Do C  C ' m'   nên theo mệnh đề 3.1.3 ta có: Ext m 1 (C , G )  Ext m 1 (C ' , G ) ' ' (3.4.7.2) Từ (3.4.7.1) (3.4.7.2) ta có: Ext m 1 (C , G ) = 0, với G môđun ' Do đó, theo mệnh đề 3.4.6 ta có: m  pd R (C )  m' Từ ta có m   m'   (vì m' hữu hạn m hữu hạn !) Và m số nguyên hữu hạn thay đổi vai trò C cho C ' chứng minh ta có m' số nguyên hữu hạn m'  m Như vậy, ta có : m'  m  m' Do đó, m  m' Vậy trường hợp ta có pd R (C )  pd R (C ' )  3.4.8 Mệnh đề: Cho R vành chính, không trường Khi đó, tồn môđun R không môđun tự Chứng minh: Vì R không trường nên tồn I iđêan thực R (vì vành giao hoán có đơn vị trường có hai iđêan tầm thường) Do R vành nên I  a  aR (với a  ), hay I R – môđun tự sinh a Khi đó, môđun thương R  I Ta chứng minh R I Thật vậy, giả sử R I R – môđun không tự R – môđun tự Khi đó, dãy khớp sau chẻ ra: 0I RR 0 I Do đó, R  I  R I Do I R I hai R – môđun tự khác nên có sở R hợp hai sở I R I sở R có nhiều phần tử Tuy nhiên, R vành giao hoán nên điều được, hai phần tử x, y  R \ {0} phụ thuộc tuyến tính xy – yx = Vậy tồn môđun R không môđun tự  3.4.9 Mệnh đề: Cho M môđun R vành không trường, M không môđun tự (theo mệnh đề 3.4.8 tồn môđun thế) Khi đó, pd R ( M )  Chứng minh: Vì R vành chính, M không môđun tự nên theo mệnh đề 1.21.5, M không môđun xạ ảnh Do đó, theo mệnh đề 3.4.5 ta có pd R ( M )  (3.4.9.1) Hơn nữa, R vành nên theo mệnh đề 1.21.6 ta có: Ext nR ( M , G )  0, n  , với môđun G Hay nói riêng, Ext 2R ( M , G )  với môđun G Do đó, theo mệnh đề 3.4.6 ta có: pd R ( M )  Từ (3.4.9.1) (3.4.9.2) ta có: pd R ( M )  3.4.10 Nhận xét: (3.4.9.2)   Nếu C = C '  C theo mệnh đề 3.4.3 ta có pd R (C )  1 , nhiên pd R (C ' )  Thật vậy, theo nhận xét 3.1.5, C '  C  nên C ' môđun xạ ảnh Do đó, theo mệnh đề 3.4.5 ta có: pd R (C ' )  ( pd R (C ' )  1 C ' = pd R (C ' )  C '  )  Nếu pd R (C )  pd R (C ' )  C  C ' Thật vậy, pd R (C )  pd R (C ' )  theo mệnh đề 3.4.5 ta có C C ' hai môđun xạ ảnh Và đó, theo mệnh đề 3.1.4 ta có C  C '  Nếu pd R (C )  pd R (C ' )  nói chung C  C ' Thật vậy, lấy A B hai nhóm aben hữu hạn (xem  – môđun) có cấp số nguyên dương m n, m  n Khi đó,  a  A, ma = nên không tồn hệ độc lập tuyến tính A, A nhóm aben tự Do  vành không trường nên theo mệnh đề 3.4.9 ta có: pd  ( A)  Tương tự, pd  ( B )   pd  ( A) Tuy nhiên, A B hai nhóm aben hữu hạn có cấp khác nên A  B Vì vậy, theo hệ 3.2.2 ta có: A  B  KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Trong luận văn trình bày kết chủ yếu sau: Xây dựng cấu trúc R – môđun cho Ext(C,A), A C hai R – môđun Mở rộng số kết Ext(–,–) với tư cách nhóm aben sang Ext(–,–) với tư cách R – môđun Mở rộng số kết lí thuyết nhóm aben sang lí thuyết môđun vành Hai môđun xoắn, hữu hạn sinh vành tương đương xạ ảnh với chúng đẳng cấu với Hai môđun không xoắn, hữu hạn sinh vành tương đương xạ ảnh với Hai môđun hữu hạn sinh vành tương đương xạ ảnh với nhóm xoắn chúng đẳng cấu với Cho M môđun hữu hạn sinh vành N môđun M Giả sử N môđun xoắn Khi đó, M  N  M N môđun tự Môđun P xạ ảnh  pdR(P)   Ext(P,G) = với môđun G Trên vành không trường, môđun không tự có số chiều xạ ảnh Hai môđun khác không tương đương xạ ảnh có số chiều xạ ảnh Chiều ngược lại nói chung không Kết kết tổng quát, kết 3, kết vành R   hệ Chúng kiến nghị nghiên cứu lớp môđun tương đương xạ ảnh có tập sinh tập vô hạn đếm vành nghiên cứu sâu số chiều xạ ảnh TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Nguyễn Viết Đông, Trần Huyên (2002), Đại số đồng điều, Nhà xuất Đại học quốc gia TP Hồ Chí Minh, TP Hồ Chí Minh Sze–Tsen Hu (1973), Nhập môn Đại số đồng điều, Nhà xuất Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà nội Tiếng Anh Cartan H., Eilenberg S (1956), Homological Algebra, Princeton University Press, New York Mac Lane S (1963), Homology, Academic Press, New York Robinson D.J.S (1996), A Course in the Theory of Groups, Springer, New York [...]... 3: MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ LỚP CÁC MÔĐUN TƯƠNG ĐƯƠNG XẠ ẢNH 3.1 Một số khái niệm mở đầu và các tính chất 3.1.1 Định nghĩa: Ta gọi 2 môđun C và C ' là tương đương xạ ảnh nếu tồn tại các môđun xạ ảnh Q và Q ' và đẳng cấu môđun C  Q '  C '  Q Kí hiệu: C  C ' 3.1.2 Mệnh đề: Quan hệ tương đương xạ ảnh là một quan hệ tương đương Chứng minh:  Đối xứng: C và C là tương đương xạ ảnh vì tồn tại các môđun xạ ảnh. .. C  0  Phản xạ: Giả sử C' là môđun tương đương xạ ảnh với môđun C thì tồn tại các môđun xạ  C '  Q Do đó, ta cũng có đẳng cấu ảnh Q và Q ' và đẳng cấu  : C  Q '  ngược  1 : C '  Q   C  Q ' , cho nên C là môđun tương đương xạ ảnh với môđun C '  Bắc cầu: Giả sử môđun A tương đương xạ ảnh với môđun B và môđun B tương đương xạ ảnh với môđun C Khi đó, tồn tại các môđun xạ ảnh Q và Q ' ,... được rằng: nếu C ' là môđun tương đương xạ ảnh với môđun C và S : K  Pn1   P0  C và S ' : K '  Pn'1   P0'  C ' là hai dãy khớp n – dài với các môđun xạ ảnh Pi và Pi ' thì K ' tương đương xạ ảnh với môđun K Điều này chứng tỏ lớp các môđun tương đương xạ ảnh với môđun K phụ thuộc chỉ vào lớp tương đương xạ ảnh của môđun C mà không phụ thuộc vào việc chọn S  3.1.8 Mệnh đề: Giả sử S : K  Pn1... Mệnh đề: Cho P và P ' là hai môđun xạ ảnh Khi đó ta luôn có: P  P ' Chứng minh: Ta chọn môđun xạ ảnh Q = P và Q ' = P ' Khi đó ta có đẳng cấu: P  P '  P '  P Do đó, P  Q '  P  P '  P '  P  P '  Q Do đó P  P '  3.1.5 Nhận xét: Từ mệnh đề 3.1.4 ta thấy rằng mọi môđun xạ ảnh đều tương đương xạ ảnh với môđun 0 vì môđun 0 là môđun xạ ảnh Và ngược lại, nếu môđun P tương đương xạ ảnh với môđun. .. và các đẳng cấu môđun A  Q '  B  Q , B  P '  C  P Vì tổng trực tiếp của hai môđun xạ ảnh là môđun xạ ảnh nên ta có các môđun xạ ảnh Q  P và Q '  P ' , và đẳng cấu: A  (Q '  P ' )  ( A  Q ' )  P '  ( B  Q)  P '  B  Q  P '  B  P '  Q  ( B  P ' )  Q  (C  P)  Q  C  ( P  Q ) Do đó, môđun A tương đương xạ ảnh với môđun C Như vậy quan hệ tương đương xạ ảnh là một quan hệ tương. .. minh  3.1.7 Mệnh đề: Giả sử S : K  Pn1   P0  C là dãy khớp n – dài, trong đó Pi là môđun xạ ảnh i  0, n  1 Khi đó, lớp các môđun tương đương xạ ảnh với môđun K phụ thuộc chỉ vào lớp tương đương xạ ảnh của môđun C mà không phụ thuộc vào việc chọn S Chứng minh: Giả sử C '  C S : K  Pn1   P0  C và S ' : K '  Pn'1   P0'  C ' là hai dãy khớp n – dài với các môđun xạ ảnh Pi và Pi '... đương xạ ảnh với môđun 0 thì P là môđun xạ ảnh Thật vậy, nếu P  0 thì tồn tại các môđun xạ ảnh Q và Q ' và đẳng cấu môđun P  Q '  0  Q  Q Do đó, P là hạng tử trực tiếp của môđun xạ ảnh nên P cũng là môđun xạ ảnh  3.1.6 Mệnh đề: (bổ đề S.Schanuel) Cho trước hai dãy khớp ngắn: E1 = (i, p) : K  P  C và E2 = (i ' , p ' ) : K '  P '  C trong đó P và P ' là xạ ảnh và K  P, K '  P ' Khi đó tồn... ' , P0'  Q là hai môđun xạ ảnh nên theo mệnh đề 3.1.6 ta có: ( K1  0)  ( P0'  Q)  ( P0  Q ' )  ( K1'  0)  ( P0  Q ' )  K1'  K1  ( P0'  Q)  ( P0  Q ' )  K1'  K1'  ( P0  Q ' ) Hay K1 tương đương xạ ảnh với K1' Tiếp tục như vậy lần lượt đối với các cặp dãy khớp ngắn E2 và E2' , , En và En' ta sẽ có: K 2 tương đương xạ ảnh với K 2' , … , K n  K tương đương xạ ảnh với K n'  K '... Trên vành chính thì lớp các môđun xạ ảnh trùng với lớp các môđun tự do Trong phần này ta nghiên cứu các điều kiện cần và đủ để hai nhóm aben (hữu hạn, hữu hạn sinh, …) là tương đương xạ ảnh (hay tự do) 3.2.1 Mệnh đề: Cho A là nhóm aben hữu hạn Khi đó, Ext  ( A, )  A Chứng minh: Do A là nhóm aben hữu hạn nên A là tổng trực tiếp của hữu hạn các nhóm cyclic có cấp là lũy thừa của một số nguyên tố n Tức... vậy, A  B  3.3 Lớp các môđun tương đương xạ ảnh trên vành hệ tử R là vành chính Trước tiên chúng ta cần mở rộng một số kết quả từ lí thuyết nhóm aben sang lí thuyết môđun trên vành chính sau đây: 3.3.1 Mệnh đề: Cho M là môđun hữu hạn sinh, sinh bởi n phần tử, n  1 Khi đó, tồn tại các n phần tử a1, a2, … , an  R sao cho: M   R i 1 ai R Chứng minh: Giả sử  y1 , y2 , , yn  là một tập sinh của