MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ LỚP CÁC MÔĐUN TƯƠNG ĐƯƠNG XẠ ẢNH

Luận văn này nhằm trình bày một ứng dụng lý thú của hàm tử Ext, đó là giải quyết một số vấn đề về lớp các môđun tương đương xạ ảnh.. Chẳng hạn như đi tìm các điều kiện cần và đủ để hai m

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

–––––––––––––––––––

Nguyễn Tuấn Ngọc

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ LỚP CÁC MÔĐUN TƯƠNG ĐƯƠNG XẠ ẢNH

Chuyên ngành: Đại số và lí thuyết số

MỞ ĐẦU

“Đại số đồng điều ngày nay đang tràn ngập toàn bộ toán học”

(SZE – TSEN – HU) Vâng, ngay sau khi được đề cập lần đầu tiên bởi S.Eilenberg và S Maclane –

năm 1944, lý thuyết phạm trù và hàm tử đã nhanh chóng tìm được sự ứng dụng ngày càng rộng rãi trong rất nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học

Các hàm tử mở rộng – Extn, là một trong bốn trụ cột cơ bản của đại số đồng điều (ba hàm tử còn lại là Hom, Ä, và Torn) Luận văn này nhằm trình bày một ứng dụng lý thú của hàm tử Ext, đó là giải quyết một số vấn đề về lớp các môđun tương đương xạ ảnh Chẳng hạn như đi tìm các điều kiện cần và đủ để hai môđun

là tương đương xạ ảnh,…

Do thời gian có hạn nên chúng tôi chỉ nghiên cứu một số lớp các môđun

tương đương xạ ảnh đặc biệt (như môđun hữu hạn sinh,…) trên vành hệ tử đặc

biệt Trong luận văn này, chúng tôi chỉ nghiên cứu trên vành hệ tử R = , là vành các số nguyên – khi đó môđun trên  chính là các nhóm aben, vành hệ tử R là

vành chính và nghiên cứu một số lớp các môđun tương đương xạ ảnh trên vành

hệ tử là vành giao hoán có đơn vị tùy ý

Việc nghiên cứu đề tài này giúp nhận biết được khi nào hai môđun là tương đương xạ ảnh thông qua các đặc điểm riêng biệt của mỗi môđun Và qua đó giúp nghiên cứu một số vấn đề khác liên quan đến lớp các môđun tương đương xạ ảnh, chẳng hạn như số chiều xạ ảnh,…Và qua đề tài này chúng tôi cũng đã mở rộng được một số kết quả đáng lưu ý như là mở rộng một số kết quả từ lí thuyết nhóm aben sang lí thuyết môđun trên vành chính Đây là điều làm chúng tôi tâm đắc nhất

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Mục này chúng tôi xin nhắc lại các kiến thức cơ bản có liên quan có thể sử dụng chúng khi trình bày luận văn Đó là một số khái niệm và kết quả về lí

thuyết nhóm, lí thuyết môđun, hàm tử Ext, hàm tử Tor,…Đối với các khái niệm môđun tự do, môđun xạ ảnh, môđun nội xạ, đồng cấu môđun, tổng trực tiếp các môđun, dãy khớp, hàm tử Hom, hàm tử Tenxơ, lí thuyết các vành giao hoán, … chúng ta xem như đã biết Những khái niệm và kết quả này có thể tìm thấy

chúng trong mục “tài liệu tham khảo” được chỉ ra ở trang cuối của luận văn này

Trong luận văn này, vành R luôn được xét là vành giao hoán có đơn vị Và môđun trên R là R – môđun trái (thật ra khi R là vành giao hoán có đơn vị thì

R – môđun trái cũng có thể xem như là R – môđun phải)

1.1 Phức hợp, đồng điều và đối đồng điều:

Phức hợp dây chuyền K các R – môđun là họ K n,n n gồm các R – môđun K n

và các R – đồng cấu n:K n K n1 sao cho :    n n1 0

Đồng điều ( )H K đó là họ các môđun ( ) KerH K n  n Imn1

Phức K K n, gọi là phức dương nếu  K n = 0 khi n < 0

Phức K K n, gọi là phức âm nếu  K n = 0 khi n > 0

Để tiện lợi về mặt kí hiệu, các phức âm với chỉ số dưới thường dùng:

được viết lại thành phức chỉ số trên theo phép đổi biến (–n) thay bởi n

Khi đó, K –n được viết là K n, còn n:KnK n 1được viết là

1

:

n K n K n

Môđun đồng điều của phức theo chỉ số trên K K n,n được xác định theo công thức: H K n( ) Ker n Imn 1

Cho phức K K n, các  R – môđun và G là một R – môđun Tác động hàm tử phản biến Hom(–,G) lên phức K ta được phức chỉ số trên, kí hiệu là Hom(K,G), gồm các nhóm aben:

1.2 Phức trên môđun và phép giải xạ ảnh (tự do) của môđun:

Phức X, trên môđun C là dãy các môđun X n (n 0)và các đồng cấu:

mà tích nối tiếp hai đồng cấu bất kì là bằng 0

Một phép giải của môđun C là dãy khớp dạng (1.2.1)

Một phép giải xạ ảnh (tự do) của môđun C là dãy khớp dạng (1.2.1) và mỗi

môđun X ilà môđun xạ ảnh (tự do)

1.3 Mệnh đề: Mỗi môđun đều tồn tại một phép giải tự do Do đó tồn tại phép giải xạ ảnh

1.4 Mở rộng môđun:

Một mở rộng của môđun A nhờ môđun C là một dãy khớp ngắn

E = (, ) : A  B C

Trong trường hợp A A C C ',  ' thì E trở thành mở rộng của A nhờ C '

Hai mở rộng của A nhờ C được gọi là toàn đẳng, kí hiệu E E ', nếu tồn tại cấu

xạ 1 , ,1 :A  C EE'

1.6 Mệnh đề:

Quan hệ toàn đẳng giữa các mở rộng là một quan hệ tương đương

Gọi ExtR (C,A) hay đơn giản là Ext(C,A) (nếu không sợ nhầm lẫn về vành hệ tử

R) là tập hợp tất cả các lớp toàn đẳng của các mở rộng của A nhờ C

Mỗi lớp như thế được kí hiệu là: clsE Ext( , ), C A với E là một mở rộng của A

Cặp , E'được xác định duy nhất chính xác tới một toàn đẳng của E '

Mở rộng E được kí hiệu là ' E  *EExt( , )C A'

1.8 Mệnh đề:

Nếu E là mở rộng của A nhờ C và  : A là đồng cấu thì tồn tại mở rộng A'

Cho hai mở rộng ( , ) :E i   i i AB i C với i = 1, 2

Khi đó, tổng trực tiếp của hai mở rộng là:

1 2 A ( 1 2) C

E E   E E  (phép cộng Berơ)

Lớp toàn đẳng của mở rộng chẻ A A C C là phần tử không của nhóm này

Phần tử đối của lớp toàn đẳng của mở rộng E là lớp toàn đẳng của mở rộng

( 1 ) A E Và đối với các đồng cấu : A , A'  : C' , :C i A , A i

Nếu E = (, ) : A  B C là dãy khớp ngắn thì ta có hai dãy khớp các nhóm

aben sau đối với bất kì môđun G:

0Hom( , )C G Hom( , )B G Hom( , )A G Ext( , )C G  Ext( , )B G  Ext( , )A G

0  Hom( , )G A  Hom( , )G B  Hom( , )G C  Ext( , )G A   Ext( , )G B   Ext( , )G C

trong đó các đồng cấu nốiE và* E* xác định bởi:

Ta viết dãy khớp n – dài bất kì S như là tích của n dãy khớp ngắn:

S E nE n1  E1 trong đó E i : K i B i1K i1

vớiK i = Im(B i B i1) = Ker(B i1B i2), i = 1, …, n–1 và K n =A, Ko = C

Các dãy E i là duy nhất chính xác tới một toàn đẳng

Dãy khớp n – dài thứ hai S cùng có chung hai đầu với S gọi là toàn đẳng với S '

nếu S có thể nhận được từ S bởi hữu hạn các phép biến đổi thuộc ba dạng sau: '

( i ) thay bất kì nhân tử E i bởi dãy khớp ngắn toàn đẳng với nó

( ii ) nếu hai dãy nhân tử có dạng  E''  thì chúng có thể thay bởi E' E'' E'

( iii ) nếu hai dãy nhân tử có dạng E'' E' thì chúng có thể thay bởi  E''  E'

Nếu S là dãy khớp n – dài bắt đầu từ A và kết thúc tại C thì ta định nghĩa tích S

và S với các đồng cấu  : A và A'  : C'  nhờ các công thức: C

E nE n1  E1(E n)E n1  E1

E n E n1  E1 E nE n1  (E1)

Bây giờ ta kí hiệu Ext ( , )n

R C A là tập tất cả các lớp toàn đẳng  cls Scác dãy

khớp n – dài bắt đầu từ A và kết thúc tại C

Ta xem Ext ( , )0 C A như là Hom(C,A)

1.15 Mệnh đề:

Đối với mỗi n, Ext ( , ) n

tổng Berơ: nếu 1, 2 Ext ( , )n

   thì  1 2  A(12) C

1.16 Mệnh đề:

Nếu P là môđun xạ ảnh thì Ext ( , ) 0, n P G  với bất kì môđun G, 0  n

1.17 Mệnh đề: Ta có các đẳng cấu nhóm aben sau:

Nếu C và A là các R – môđun và : X  là phép giải xạ ảnh của C, thì tồn C

tại đẳng cấu: Ext ( , )n C A H X A n( , ) với n = 0, 1, 2, …

1.19 Mệnh đề:

Nếu E = (, ) : A  B C là dãy khớp ngắn thì ta có hai dãy khớp các nhóm

aben sau đối với bất kì môđun G:

0Hom( , ) Ext ( , )C G  C G và 0Hom( , ) Ext ( , )G A  0 G A

và kéo dài về bên phải theo tất cả các n = 0, 1, 2, …

Các đồng cấu trong dãy xác định như sau:   Ext ( , )n C G ,  Ext ( , )n B G , Ext ( , )n A G

1.20.2 Cấu trúc nhóm aben hữu hạn:

Một nhóm aben là hữu hạn nếu và chỉ nếu nó là tổng trực tiếp của hữu hạn các nhóm cyclic có cấp là lũy thừa của một số nguyên tố

1.20.3 Cấu trúc nhóm aben hữu hạn sinh:

Một nhóm aben là hữu hạn sinh nếu và chỉ nếu nó là tổng trực tiếp của hữu hạn các nhóm cyclic có cấp vô hạn hoặc có cấp là lũy thừa của một số nguyên tố

1.20.4 Mệnh đề:

Nhóm aben hữu hạn sinh và xoắn là nhóm aben hữu hạn

1.20.5 Hệ quả:

Nếu G là nhóm aben hữu hạn sinh thì G( )G  trong đó ( )F  G là nhóm con

xoắn của G và F là nhóm aben tự do

1.21.1 Môđun con xoắn của một môđun:

Cho R là miền nguyên và X là R – môđun Phần tử x  X gọi là phần tử xoắn

nếu \ {0} : r R rx Đặt ( )0  X là tập tất cả các phần tử xoắn của X Khi đó,

( )X

 là môđun con của X

Nếu ( ) X = {0} thì X gọi là môđun không xoắn

Nếu ( ) X = X thì X gọi là môđun xoắn

Ta có X( )X là môđun không xoắn

1.21.2 Mệnh đề:

Môđun con của môđun tự do trên vành chính là môđun tự do

1.21.3 Mệnh đề:

Cho M là môđun tự do trên vành chính R, có hạng 1 n  và N là môđun con của

M Khi đó tồn tại một cơ sở y y1, , ,2 y của M và các phần tử khác không n

a a1, , ,2 a q của R sao cho q n và a y a y1 1, 2 2, ,a y q q là một cơ sở của N

CHƯƠNG 2: CẤU TRÚC MÔĐUN CHO EXT

Trước tiên ta kiểm tra định nghĩa trên là hợp lí:

Thật vậy, ta kiểm tra :r A A  là đồng cấu R – môđun: A

 M3: r cls E cls E.(  ')r cls E E (  ')cls r E E A(  ')cls r E r E( A  A ')

= cls r E( A )cls r E( A ')r cls E r cls E  '

 M4: (r s cls E cls r s E )  (  )A cls r  A s E A  (theo nhận xét 2.1.1)

Do đó, theo mệnh đề 1.9 ta có toàn đẳng: r E Er A  C



2.2 Mệnh đề:

Ta biết rằng với đồng cấu R – môđun  : A  B, X là R – môđun tùy ý, thì ta có

các đồng cấu nhóm cảm sinh sau đây:

+ *: Hom( , )X A Hom( , )X B xác định bởi *( )f  f,  f Hom( , ).X A + *: Hom( , )B X Hom( , )A X xác định bởi *( )g g,  g Hom( , ).B X + *: Ext( , )X A Ext( , )X B với *(clsE)cls E , clsEExt( , ).X A

+ *: Ext( , )B X Ext( , )A X với *(clsE)cls E( ), clsEExt( , ).B X

Hơn nữa, khi xem Hom(–,–), Ext(–,–) là các R – môđun với phép nhân ngoài định nghĩa như ở (*) và (**) thì các đồng cấu * và * trên còn là các đồng cấu

Hơn nữa, khi xem Hom(–,–), Ext(–,–) là các R – môđun với phép nhân ngoài

định nghĩa như ở (*) và (**) thì các đồng cấu nhóm E và * E trên còn là các *

các R – môđun đối với bất kì môđun G:

0Hom( , )C G Hom( , )B G Hom( , )A G Ext( , )C G Ext( , )B G Ext( , )A G

0  Hom( , )G A  Hom( , )G B  Hom( , )G C  Ext( , )G A   Ext( , )G B   Ext( , )G C

Theo mệnh đề 1.12, nếu E = (, ) : A  B C là dãy khớp ngắn thì ta có hai dãy khớp các nhóm aben sau đối với bất kì môđun G:

0Hom( , )C G Hom( , )B G Hom( , )A G Ext( , )C G Ext( , )B G Ext( , )A G

0  Hom( , )G A  Hom( , )G B  Hom( , )G C  Ext( , )G A   Ext( , )G B   Ext( , )G C

Bây giờ ta xem Hom(–,–), Ext(–,–) là các R – môđun với phép nhân ngoài định

nghĩa như ở (*) và (**) thì theo các mệnh đề 2.2 và mệnh đề 2.3 các đồng cấu

nhóm * *

, , ,

khớp các nhóm aben trên trở thành hai dãy khớp của các R – môđun 

2.5 Mệnh đề: Ta có các đẳng cấu các môđun sau:

 ExtC A, 1 A2Ext( , )C A1 Ext( , ).C A2

 ExtC1C A2, Ext( , )C A1 Ext( , ).C A2

Do đó, (2.5.1) là biểu đồ tổng trực tiếp của các môđun Hay ta có đẳng cấu môđun: ExtC A, 1 A2Ext( , )C A1 Ext( , ).C A2

Đẳng cấu môđun còn lại chứng minh tương tự



Bằng qui nạp ta chứng minh được:

2.6 Hệ quả: Ta có các đẳng cấu môđun sau:

0Hom( , )C G  Hom( , )P G  Hom( , )K G E Ext( , )C G 

Do đó, E * là toàn cấu R – môđun và KerE* Im* *Hom( , )P G 

Theo định lí Nơte ta có:

 Hom( , )R R R (2.8.2)

 r R*Hom( , )R R rR (2.8.3)

 Thật vậy, ta xây dựng đẳng cấu  : Hom( , )R R  xác định bởi: R

( f ) = f (1) với mọi Hom( , ) f  R R

Như vậy,  là đẳng cấu môđun

 Tiếp theo ta xây dựng đẳng cấu  : r R*Hom( , )R R rR

Ta có: r R*Hom( , )R R r f R*( ) : f Hom( , )R R fr R: f Hom( , )R R là

môđun con của môđun Hom(R, R)

Đẳng cấu  xác định như sau: (fr R)rf(1)  rR,  f  Hom(R, R)

  là đồng cấu R – môđun:

 Nếu fr R gr R với f, g  Hom( R, R) thì:

rf(1) ( )(1) ( rf  fr R)(1) (theo nhận xét 2.1.3)

= (gr R)(1) ( )(1) rg rg(1)

CHƯƠNG 3: MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ LỚP CÁC MÔĐUN

TƯƠNG ĐƯƠNG XẠ ẢNH

3.1 Một số khái niệm mở đầu và các tính chất

3.1.1 Định nghĩa:

Ta gọi 2 môđun C và C là tương đương xạ ảnh nếu tồn tại các môđun xạ ảnh Q '

và Q và đẳng cấu môđun ' CQ' C'  Kí hiệu: Q C C '

Vì tổng trực tiếp của hai môđun xạ ảnh là môđun xạ ảnh nên ta có các môđun xạ

Do đó, môđun A tương đương xạ ảnh với môđun C

Như vậy quan hệ tương đương xạ ảnh là một quan hệ tương đương

Từ mệnh đề 3.1.4 ta thấy rằng mọi môđun xạ ảnh đều tương đương xạ ảnh với

môđun 0 vì môđun 0 là môđun xạ ảnh Và ngược lại, nếu môđun P tương đương

xạ ảnh với môđun 0 thì P là môđun xạ ảnh

Thật vậy, nếu 0P thì tồn tại các môđun xạ ảnh Q và Q và đẳng cấu môđun '

p : P  C sẽ tồn tại hai đồng cấu tương ứng  : P  P' và ' : P'  P sao cho ta

có sơ đồ giao hoán: tức là:

' ' '

(3.1.6.1)(3.1.6.2)

Ta cần kiểm tra  là đẳng cấu và (KP') P K'

Thật vậy, do tính đồng cấu của  và ' ta dễ dàng kiểm tra được  là đồng cấu

 Kiểm tra  là đơn cấu:

Giả sử ( , )x y x'( ),y y'( )y ( )x = (0,0) Khi đó, ta có:

' '

Như vậy, (x,y) = (0,0) Hay  là đơn cấu

 Kiểm tra  là toàn cấu:

Lấy bất kì (a,b)  P Ta chọn P'

'

( ) ( )( )

'

p

 '



Thay đổi vai trò của x  K, y  P', ' và  trong chứng minh

Với K n  ,K K0  , C K i Im(P i P i1) Ker( P i1P i2), i = 1, … , n – 1

sẽ có:K2 tương đương xạ ảnh với '

3.1.8 Mệnh đề:

Giả sử S K: P n1  P0 C là dãy khớp n – dài với các môđun xạ ảnh

P i Khi đó, ta có đẳng cấu nhóm S*: Ext ( , )1 K G Ext ( , )n1 C G đối với bất kì môđun G

Với mỗi dãy khớpE K i : i P i1K i1 theo mệnh đề 1.19 ta có dãy khớp sau

đối với Ext:

3.2 Lớp các môđun tương đương xạ ảnh trên vành hệ tử R = 

Ta biết rằng nhóm aben thì có thể xem như là môđun trên vành hệ tử R =  (là vành chính) Trên vành chính thì lớp các môđun xạ ảnh trùng với lớp các môđun tự do Trong phần này ta nghiên cứu các điều kiện cần và đủ để hai nhóm aben (hữu hạn, hữu hạn sinh, …) là tương đương xạ ảnh (hay tự do)

3.2.1 Mệnh đề:

Cho A là nhóm aben hữu hạn Khi đó, Ext ( , ) A   A

Chứng minh:

Do A là nhóm aben hữu hạn nên A là tổng trực tiếp của hữu hạn các nhóm cyclic

có cấp là lũy thừa của một số nguyên tố

Tức là:

1 i

n p i

() Giả sử A B

Theo mệnh đề 3.1.3 ta có: Ext ( , ) Ext ( , ). A    B  (3.2.2.1)

Do A và B là hai nhóm aben hữu hạn nên theo mệnh đề 3.2.1 ta có:

Do A là nhóm aben hữu hạn sinh nên theo hệ quả 1.20.5 ta có:

A( )A  , trong đó F là nhóm aben tự do F

Và theo hệ quả 1.20.6 nhóm con xoắn ( ) A của nhóm aben hữu hạn sinh A là

nhóm aben hữu hạn

Do đó, theo mệnh đề 3.2.1 ta có: Ext( ),A ( ).A

Do F là nhóm aben tự do nên theo mệnh đề 1.13 ta có: ExtF,0

Vì vậy theo hệ quả 2.6 ta có:

     Ext ( , ) Ext A    ( )A F, Ext ( ),A  Ext F, ( )A  0 ( )A

Như vậy, ta có: Ext ( , ) A  ( ).A 

3.2.4 Hệ quả:

Cho A và B là hai nhóm aben hữu hạn sinh Khi đó, A B ( )A ( )B

trong đó ( ), ( ) A  B lần lượt là hai nhóm con xoắn của hai nhóm A và B

Chứng minh:

()

Giả sử A B

Khi đó, theo mệnh đề 3.1.3 ta có: Ext ( , ) Ext ( , ). A    B  (3.2.4.1)

Do A và B là hai nhóm aben hữu hạn sinh nên theo mệnh đề 3.2.3 ta có:

Ext ( , ) A  ( ).A (3.2.4.2) Ext ( , ) B  ( ).B (3.2.4.3)