Tính chất của môđun e đối cốt yếu và e địa phương

MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Tính cấp thiết đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Bố cục đề tài CHƯƠNG CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ LIÊN QUAN 1.2 MÔĐUN ARTIN, NƠTE VÀ PHẦN PHỤ 14 CHƯƠNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MƠĐUN E-PHẦN PHỤ VÀ E-NÂNG 18 2.1 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MƠĐUN E-PHẦN PHỤ .18 2.2 MÔĐUN VỚI ĐIỀU KIỆN TRÊN MÔĐUN CON E-ĐỐI CỐT YẾU.28 CHƯƠNG MÔĐUN E-ĐỊA PHƯƠNG VÀ MÔĐUN E-PHẦN PHỤ NHIỀU 33 3.1 MÔĐUN E-ĐỊA PHƯƠNG 33 3.2 MÔĐUN E-PHẦN PHỤ NHIỀU 38 3.3 MƠĐUN MÀ CÁC MƠĐUN CON CỰC ĐẠI CĨ E-PHẦN PHỤ NHIỀU 39 KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN LỜI CAM ĐOAN Tơi cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Đà Nẵng, tháng 12 năm 2014 Học viên Đoàn Thị Kim Chi ii DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU A≤M A 1, phép quy nạp theo n, tồn tập J {2, , n} môđun Xj ≤ Lj , j ∈ J cho K + j∈J Xj e-phần phụ N + L1 M với j ∈ J , Xj = Lj hay Xj hạng tử trực tiếp nửa đơn Lj Trường hợp n = có mơđun X1 ≤ L1 cho K + X1 + j∈J Xj e-phần phụ N M X1 = L1 hay X1 hạng tử trực tiếp nửa đơn L1 Bổ đề 3.3.6 Cho M môđun hữu hạn sinh Cho Γ họ mơđun M Giả sử M có môđun N cho M = N + A với A ∈ Γ Khi M có mơđun U cho U cực đại tập môđun Ω = {L ≤ M |N ≤ L M = L + A với A ∈ Γ } Chứng minh Cho M = m1 R + + mk R Theo giả thiết, N ∈ Ω Cho (Kλ )λ∈Λ tập Ω thứ tự toàn phần Cho K = λ∈Λ Kλ Giả sử K ∈ / Ω Khi M = K + B với phần tử B ∈ Γ Nên với ≤ i ≤ k , tồn phần tử xi ∈ K yi ∈ B cho mi = xi + yi Từ suy M = [ ki=1 xi R] + B Mặt khác, với ≤ i ≤ k , có λi ∈ Λ cho xi ∈ Kaλi Vì (Kλ )λ∈Λ tập thứ tự toàn phần, tồn số nguyên j , với ≤ j ≤ k , cho Kλi ≤ Kλj với ≤ i ≤ k Vì M = Kλj + B , điều mâu thuẫn Điều K ∈ Ω Từ đó, theo bổ đề Zorn, Ω có phần tử cực đại U Định lý 3.3.7 Cho M môđun hữu hạn sinh Khi đó, điều kiện sau tương đương: (1) M môđun e-phần phụ nhiều; (2) Mỗi môđun cực đại M e-phần phụ nhiều M ; (3) Nếu N L môđun M với M = N + L, M = N + L1 + + Ln , n số nguyên dương với ≤ i ≤ n, Li môđun e-địa phương L môđun nửa đơn L 42 Chứng minh (1) ⇒ (2) Rõ ràng (2) ⇒ (3) Cho L N môđun M cho M = N + L Cho Γ tập môđun X ≤ M cho X ≤ L X có dạng X = X1 + + Xk , Xi e-địa phương nửa đơn với ≤ i ≤ k Giả sử M = N + A với A ∈ Γ Theo Bổ đề 3.3.6, tồn môđun U M cho N ≤ U U môđun cực đại M với tính chất M = U + A với A ∈ Γ Vì M hữu hạn sinh U = M , có mơđun cực đại K M cho U ≤ K Do K + L = M Theo (2), tồn môđun E L cho E e-phần phụ K M Theo Bổ đề 3.3.2, E e-địa phương nửa đơn Chú ý U = U + E khơng ta có E ≤ U ≤ K K = K + E = M Từ suy M = U + E + F với F ∈ Γ phần tử Nhưng E + F ∈ Γ , mâu thuẫn (3) ⇒ (1) Theo Mệnh đề 3.3.5 Bổ đề 3.3.8 Cho N L môđun M cho M = N + L Nếu L mơđun e-phần phụ L chứa môđun e-phần phụ N M Chứng minh Vì L mơđun e-phần phụ, tồn môđun K ≤ L cho (N ∩ L) + K = L N ∩ K e K Ta có N + K = M K e-phần phụ N M Mệnh đề 3.3.9 Nếu M môđun cho môđun xyclic M mơđun e-phần phụ mơđun cực đại M có e-phần phụ nhiều Chứng minh Cho N môđun cực đại M Cho L môđun M với M = N + L Khi tồn x ∈ L cho x ∈ /N M = N + xR Theo giả thiết Bổ đề 3.3.8, xR chứa e-phần phụ N M Hệ 3.3.10 Nếu M môđun hữu hạn sinh cho môđun xyclic M môđun e-phần phụ M mơđun e-phần phụ Chứng minh Dựa vào Định lí 3.3.7 Mệnh đề 3.3.9 43 KẾT LUẬN Trong luận văn “Tính chất mơđun e-đối cốt yếu e-địa phương” chúng tơi trình bày cách có hệ thống vấn đề sau đây: + Hệ thống lại số khái niệm sở lý thuyết mơđun + Trên sở tính chất môđun đối cốt yếu, địa phương, phần phụ, nâng, xét xem môđun e-đối cốt yếu, e-địa phương, e-nâng, e-phần phụ có hay khơng tính chất tương ứng + Nghiên cứu số tính chất mơđun với điều kiện môđun e-đối cốt yếu, e-phần phụ nhiều Trong luận văn này, đóng góp tác giả chứng minh chi tiết Bổ đề 2.1.7, 2.1.8, 2.1.18, Mệnh đề 1.1.10, 2.1.2, 2.1.3, 2.1.9, 2.1.20, 2.1.22, 2.2.5 phép chứng minh Định lí 2.1.11, 2.2.1, 2.2.3, 2.2.6 Dựa vào tính chất mơđun δ -địa phương, δ -phần phụ nhiều cách khảo sát tương tự [4] để khảo sát tiếp tính chất e-địa phương e-phần phụ nhiều thu kết Chương 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Trương Công Quỳnh Lê Văn Thuyết (2013), Giáo trình lý thuyết vành môđun, NXB ĐH Huế Tiếng Anh [2] N.Er, E Nil Orhan (2008), Lifting modules with indecompositions, Comm Algebra 36(2), 395-404 [3] Trương Cơng Quỳnh Phan Hồng Tín (2013), “Some properties of e-supplemented and e-lifting modules”, Vietnam Journal of Mathematics, 41, 303-312 [4] Rachid Tribak (2013), “On δ - local modules and amply δ - supplemented modules” [5] R Wisbauer (1991), Foundations of Module and Ring Theory, Gordon and Breach, Reading [6] D X Zhou and X R Zhang (2011), “Small-essential submodules and Morita duality”, Sountheast Asian Bullet of Mathematics 35, 1051-1062 ... phần phụ, nâng, xét xem môđun e- đối cốt yếu, e- địa phương, e- nâng, e- phần phụ có hay khơng tính chất tương ứng + Nghiên cứu số tính chất môđun với điều kiện môđun e- đối cốt yếu, e- phần phụ nhiều... A≤M A