Mở rộng cốt yếu và bao nội xạ

1 Tr-ờng đại học vinh Khoa Toán - - Nguyễn Thị Hoài Mở rộng cốt yếu bao nội xạ Khóa luận tốt nghiệp đại học Ngành cử nhân khoa học toán Chuyên ngành: Đại số Cán h-ớng dẫn KHóA LUậN: Đào Thị Thanh Hà Sinh viên thực hiện: Nguyễn Thị Hoài Lớp: 47B - Toán TS Vinh 2010 Môc lôc Môc lôc Lời nói đầu Ch-¬ng KiÕn thøc c¬ së 1.1 §ång cÊu môđun 1.2 Môđun nội xạ 1.3 Bỉ ®Ị Zorn Ch-ơng Mở rộng cốt yếu bao néi x¹ 2.1 Më réng cèt yÕu 2.2 Bao néi x¹ 14 KÕt luËn 21 Tài liệu tham khảo 22 LỜI NĨI ĐẦU Khái niệm mơđun nội xạ đưa R Bayer năm 1940 sau khái niệm khác liên quan bao nội xạ, giải nội xạ, chiều nội xạ, đối sinh nội xạ, Chúng có nhiều ứng dụng ngành Đại số nói chung Đại số giao hốn nói riêng Trên vành giao hốn Noether, mơđun nội xạ phân tích cách thành tổng trực tiếp mơđun khơng phân tích dược, biết rõ cấu trúc chúng Bao nội xạ mở rộng cốt yếu cực đại mở rộng nội xạ tối tiểu Lớp môđun nội xạ lớp môđun quan trọng Đại số đại Hiện người ta mở rộng lớp mơđun thu nhiều kết việc nghiên cứu đặc trưng vành Trong phạm vi khóa luận chúng tơi sâu nghiên cứu lớp môđun nội xạ với đề tài : “Mở rộng cốt yếu bao nội xạ” Khoá luận chia làm chương : Chương : Kiến thức sở Trong chương này, giới thiệu số khái niệm liên quan đến phần nội dung khố luận Cụ thể, chúng tơi tóm khái niệm, ký hiệu tính chất môđun môđun nội xạ Chương : Mở rộng cốt yếu bao nội xạ Trong chương đề cập đến hai nội dung Nội dung thứ trình bày chi tiết hệ thống khái niệm, chứng minh tính chất mở rộng cốt yếu môđun Nội dung thứ hai ứng dụng môđun nội xạ mở rộng cốt yếu môđun để định nghĩa bao nội xạ môđun chứng minh số tính chất bao nội xạ Trong tồn khóa luận vành ln giả thiết giao hốn, có đơn vị Khố luận hồn thành Trường Đại học Vinh, hướng dẫn cô giáo, Tiến sỹ Đào Thị Thanh Hà Nhân dịp này, xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới cơ, người hướng dẫn tận tình, chu đáo động viên tơi nhiều suốt q trình học tập hồn thành khố luận 4 Tơi xin cảm ơn tất thầy cô giáo, cán Khoa Tốn, đặc biệt thầy tổ Đại số nhiệt tình giảng dạy, giúp đõ tơi suốt trình học tập Xin cảm ơn bạn sinh viên ngành Toán động viên giúp đỡ có nhiều ý kiến đóng góp q trình hồn thành khố luận Do trình độ thời gian có hạn nên khố luận khơng tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận đựơc góp ý bảo thầy cô giáo bạn Vinh, tháng 05 năm 2010 Tác giả 5 Ch-¬ng KiÕn thức sở Trong ch-ơng đ-a khái niệm kết cần dùng cho chứng minh ch-ơng 1.1 Đồng cấu môđun 1.1.1 Định nghĩa Cho M N hai R-môđun Một ánh xạ f : M N đ-ợc gọi đồng cấu môđun, hay gọi R- ®ång cÊu, nÕu nã tho¶ m·n hai ®iỊu kiƯn sau phần tử u, v M x  R: f(u+v) = f(u) + f(v) f(xu) = xf(u) 1.1.2 Chú ý (i) Trong Định nghĩa M, N môđun vành (ii) Nếu M N f đ-ợc gọi tự đồng cấu (iii) f đ-ợc gọi đơn cấu, toàn cấu hay đẳng cấu môđun, đồng cấu f t-ơng ứng đơn ánh, toàn ánh hay song ánh Hai môđun M N đẳng cấu với đ-ợc ký hiệu M N (iv) ảnh: Im f = {f(u) | u M}= f(M) Hạt nhân: Ker f = {u  M | f(u) = 0N} = f-1(0N) 1.1.3 Định lý Mỗi đồng cấu R- môđun phân tích đ-ợc thành tích toàn cấu đơn cấu nghĩa cho f: M N đồng cấu R-môđun Khi ta có biểu đồ giao hoán sau đây: f = f p f M N p f M/ Kerf Trong ®ã p : M  M/ Kerf x lµ toµn cÊu chÝnh tắc x + Kerf f : M/ Ker f N đồng cấu cảm sinh f 1.1.4 Định lý Cho M R - môđun, N P hai môđun M cho N  P Khi ®ã: M P  M N P N 1.1.5 Định lý Giả sử M R- môđun Cho N P hai môđun M Khi ta có: NP M N P P 1.2 Môđun nội xạ 1.2.1 Định nghĩa Một R-môđun E đ-ợc gọi nội xạ thỏa mÃn tính chất mở rộng phổ dụng sau đây: với R- đồng cấu f: N M g: N E, f đơn ánh, tồn R- đồng cấu h: M   E cho g = h f, tức làm cho biểu đồ sau (với dòng khớp) giao hoán f N M g h E Khi ta nói h mở rộng f 1.2.2 Định lý Mỗi R- môđun đẳng cấu với môđun R-môđun nội xạ 1.2.3 Chú ý Cho M R- môđun tuỳ ý, theo Định lý 1.2.2 tồn đơn cấu j: M E, với E R- môđun nội xạ Khi dễ dàng chứng minh đ-ợc tån t¹i mét më réng E’ cđa M (tøc E’ R- môđun M E ) R- đẳng cấu f: E E cho f(x) = j(x),  x  M HiĨn nhiªn E’ cịng môđun nội xạ Vậy Định lý 1.2.2 phát biểu lại d-ới dạng hay đ-ợc sử dụng nh- sau Mỗi R- môđun có mở rộng nội xạ 1.3 Bổ đề Zorn Nếu xích tập hợp đ-ợc thứ tự X có cận trên, X chứa phần tử cực đại 7 Ch-ơng Mở rộng cốt yếu bao nội xạ 2.1 Mở rộng cốt yếu 2.1.1 Định nghĩa (i) Một R-môđun E đ-ợc gọi mở rộng cốt yếu R-môđun không tầm th-ờng M, M E với môđun khác kh«ng N cđa E lu«n cã N M  (ii) Một mở rộng cốt yếu E R-môđun M đ-ợc gọi mở rộng cốt yếu cực đại M, nÕu mäi më réng thùc sù E’ cña E mở rộng cốt yếu M 2.1.2 Ví dụ Xét - môđun, - môđun, ®ã lµ më réng cèt u cđa 2.1.3 Bỉ đề Mỗi môđun mở rộng cốt yếu Ngoài khái niệm mở rộng cốt yếu có tính bắc cầu: Nếu E mở réng cèt u cđa M vµ M lµ më réng cốt yếu N E mở rộng cốt yếu N Chứng minh Rõ ràng môđun mở rộng cốt yếu NÕu E lµ mét më réng cèt u cđa M vµ M lµ mét më réng cèt u cđa N E mở rộng cốt yếu N Thật vậy, Vì N M (M mở réng cèt u cđa N) vµ M  E (E mở rộng cốt yếu M) nên N E Với môđun khác không Q E ta có Q M (vì E mở rộng cốt yếu M) Mặt khác, Q M  M vµ Q M   Víi x Q M x Q, x M y  Q M th× y Q , y  M x + y Q (vì Q môđun E) x + y M (vì M môđun E) Nên x + y  Q M Ta l¹i cã, víi a  R, x  Q M th× ax  Q (v× Q môđun E) ax M (vì M môđun E) Do đó, ax Q M Q M môđun M Q M  Do M lµ më réng cèt u cđa N nªn (Q M) N  Khi ®ã (Q N) M  ®ã Q N  8 VËy E lµ mét më réng cèt yếu N 2.1.4 Bổ đề E mở rộng cốt yếu R-môđun M với phần tử x E tồn phần tử a R cho ax M Chứng minh Giả sử E mở rộng cốt yếu R-môđun M, x x E xR M xR  Tõ ®ã suy sù tån a R mà ax M Ng-ợc lại, B môđun khác không E, lấy x B tìm ®-ỵc a  R cho  ax  M ax B nên B M VËy E lµ mét më réng cèt u cđa R-môđun M 2.1.5 Hệ E mở rộng cốt yếu R-môđun M Rx M  víi mäi x  E Chøng minh Tr-ớc tiên ta có E mở rộng cốt yếu R-môđun M với x E suy ra: Rx Theo Định nghĩa 2.1.1 ta có Rx M Ng-ợc lại, Nếu Rx M  0, víi mäi x  E, x  ta giả sử X E mà M X=0 Do X nên tồn x  X mµ x  Suy 0=M X  Rx X  v« lý VËy X M  hay E lµ mét më réng cèt yÕu R-môđun M 2.1.6 Bổ đề Cho M E v M E R-môđun Giả sử ta có biểu đồ sau giao hoán j M E f f' M’   E’ j' Trong ®ã j j phép nhúng tự nhiên Khi dễ dàng suy đ-ợc rằng, E mở rộng cốt yếu M E më réng cèt u cđa M’ Chøng minh Gi¶ sư  x’  E’ ta sÏ chøng minh tån phần tử a R cho a.x M Thật vậy, Vì f đẳng cấu môđun từ E vào E nên tồn y  E, y  cho f’  y =x mặt khác E mở rộng cốt u cđa M nªn  a  R cho  ay  M Ta cã f ’ j  ay  = f ’ ( j  ay  )= f ’  ay  = a f y = a.x Vì biểu đồ giao hoán nên j f = f ’ j f  ay  = f ’  j’ j  ay  = ax’ Suy f  ay  = ax’ nªn ax’  M’ VËy víi  x’  E’ lu«n  a’  R ®Ĩ  a’ x’  M Do E mở rộng cốt yếu cđa M’ 2.1.7 MƯnh ®Ị Cho (Mi)i  I họ R-môđun Giả sử với i  I, Ei lµ mét më réng cèt u cđa Mi Khi Ei mở rộng cốt yếu Mi iI iI Chứng minh Đặt M= Mi E= Ei Để chứng minh E lµ më réng cèt u cđa M iI iI ta sử dụng Bổ đề 2.1.4 Cho x E phần tử tuỳ ý Khi x = (x1, ., xn), xk  Eik i1, i2,…, in I V× E i lµ mét më réng cèt u cđa M i nên tồn phần tử a1 R cho 1  a1x1  M i XÐt tÝch  a1x = (a1x1, …., a1xn) E NÕu a1x1 thành phần khác không a1x a1x M mệnh đề đ-ợc chứng minh Trái lại, giả sử p số bé cho a1x p dÃy a1x2,.,a1xn Lại E i lµ p më réng cèt u cđa M i nên tồn phần tử a p R cho:  a p a1x p  M i Lóc p p nµy ta cịng cã a p a1x1  M i NÕu a p a1x = (a p a1x1, a p a1x p ) th× phần tử khác không nằm M cần tìm Nếu ch-a đ-ợc ta lại chọn mét sè q bÐ nhÊt cho a p a1x q  d·y a p a1x p +1,…., a p a1xn Tiếp tục trình trên, cuối ta tìm đ-ợc phần tử a R cho ax M Điều chứng tá E lµ mét më réng cèt u cđa M 2.1.8 Bỉ ®Ị Cho f g  :   M’   M  0  M’’  dÃy khớp ngắn R-môđun Khi mệnh đề sau t-ơng đ-ơng: (i) DÃy khớp ngắn chẻ (ii) Tồn R- đồng cÊu f0: M  M’ cho f0 f = 1M (iii) Tồn R- đồng cấu g0: M M cho g g0= 1M Hơn nữa, điều kiện t-ơng đ-ơng đ-ợc thoả mÃn ta cã M  Imf  Kerf0  Kerg  Img0  M’  M’’ Chøng minh (i)  (ii) Theo định nghĩa dÃy khớp ngắn để dÃy f g   M’   M    M”  10 lµ mét d·y khíp điều kiện Kerg = Imf ta phải có f đơn cấu g toàn cấu Hơn nữa, tr-ờng hợp ta suy M đẳng cấu với môđun Imf = Kerg M M ẳng cấu với R- môđun th-ơng M Kerg = M Imf Bây ta giả sử M môđun M với đồng cấu f phép nhúng tự nhiên Vì dÃy khớp ngắn chẻ nên theo Định nghĩa dÃy khớp chẻ tồn môđun L cđa M ®Ĩ M = M’  L Khi ®ã phÐp chiÕu chÝnh t¾c f0: M’  L = M   M’ tõ M lªn M’ cho ta fo f = 1M’ (ii)  (i) §Ĩ chøng minh dÃy khớp ngắn chẻ ta cÇn chøng minh r»ng M=Im f  Ker fo Thật vậy, với u M phần tử tuỳ ý ta đặt x=f0(u), u1=f(x) Imf u2=u - u1 Khi ®ã fo(u2) = fo(u-u1) = fo(u) - fo(u1) = fo(u) - fo( f(x)) = fo(u) - (fo f) (x) = fo(u) - (fo f) (fo(u)) = fo(u) – 1M’ fo(u) = fo(u) - fo(u) = Tøc u2  Ker fo tõ u2 = u - u1 suy ra: u = u1 + u2.Suy M = Im f + Ker fo Mặt khác, giả sử u Im f Ker fo V× u  Im f, tån t¹i u’  M’ cho u = f(u’ ) Ta suy u’ = fo f(u’ ) = fo(u) = Điều chứng tỏ Im f Ker fo = VËy M = Im f  Ker fo (i)  (iii) Gi¶ sư M = Ker g  L Ký hiƯu j: Ker g   M lµ phép nhúng tự nhiên h: L M hạn chế g lên L Rõ ràng h toàn cầu đơn cấu Ker g L = 0, tức h đẳng cấu Ta đặt go = joh-1 : M M Khi dễ dàng kiểm tra đ-ợc g g0 = 1M 11 (iii) (i) Hoàn toàn t-ơng tù nh- chøng minh (i)  (ii) Ngoµi ra, điều kiện t-ơng đ-ơng định lý thoả mÃn ta dễ kiểm tra đ-ợc Im f = Ker g  M’ vµ Ker fo = Im g0  M’ ’ Tức M  Im f  Ker f0  Ker g  Im g0  M’  M 2.1.9 Định lý (Tiêu chuẩn Baer) Một R-môđun E nội xạ R- đồng cấu I E từ iđêan I R (xem nh- R- môđun) vào E đ-ợc mở rộng thành đồng cấu R E Chứng minh Điều kiện cần hiển nhiên từ Định nghĩa môđun nội xạ Để chứng minh điều kiện đủ, giả sử f : N M R- đơn cấu g : N E Khi không tính tổng quát ta giả thiết thêm N môđun M Ký hiệu tập hợp cặp (A, ), A R- môđun thoả mÃn tính chất N A M vµ  : A   E lµ mét më rộng g Ta định nghĩa quan hÖ thø tù bé phËn  nh- sau: Cho (A, ) , (B, ) hai phần tử , ta xác định (A, ) (B,  ) nÕu A  B vµ  lµ mét më réng cđa  V× (N, g)  nên Hơn nữa, cho xÝch (A1,  1)  (A2,  2)  … (An, n) Các phần tử Ta xét cặp (A, ) A = An ánh xạ n A E đ-ợc xác định bởi: với x A tồn số tự nhiên n để x An , ta đặt  (x) =  n(x) Râ rµng A lµ mét R- môđun M chứa An, n R- đồng cấu mở rộng n , n Vậy theo bổ đề Zorn tồn phần tử cực đại (B, ) Khi định lý đ-ợc chứng minh ta chØ r»ng B = M ThËt vËy, gi¶ sử ng-ợc lại B M, tức tồn x  M \ B XÐt tËp hỵp cđa R I ={a  R | ax  B} DƠ kiĨm tra thấy I iđêan Ta xây dựng ánh xạ h: I E xác định h(a) =  (ax),  a  I 12 Khi h R - đồng cấu Theo giả thiết tồn R- đồng cấu : R  E cho h =  j , j phép nhúng tự nhiên iđêan I vào R Bây ta định nghĩa đ-ợc t-¬ng øng  : B + Rx   E, xác định (y+ax) = (y) + (a),  y B,  a R NÕu y + ax = 0, suy ax  B, tøc a  I Khi ®ã  (y) +  (a)= -  (ax) +  (j(a)) = - h(a) + h(a) = Điều chứng tỏ ánh xạ suy R- đồng cấu tho¶ m·n tÝnh chÊt  (x) =  (x) = h(x), x N, N B.Vậy cặp (B + Rx, ) Mặt khác B  B + Rx nªn (B,  ) < (B + Rx, ) Điều mâu thuẫn với tính cực đại (B, ) định lý đ-ợc chứng minh 2.1.10 Bổ đề Một R-môđun E nội xạ dÃy khớp ng¾n   E   M   M R- môđun với M môđun xyclic chẻ Chứng minh Ta chứng minh điều kiện mạnh điều kiện cần Bổ đề 2.1.10 nh- sau: Nếu E nội xạ mäi d·y khíp ng¾n f g   E M M chẻ ThËt vËy, E néi x¹, tån t¹i mét mở rộng h: M E ánh xạ ®ång nhÊt 1E, tøc h f = 1E vµ d·y khớp chẻ theo Bổ đề 2.1.8 Ng-ợc lại, giả sử I iđêan R  : I   E lµ mét R - ®ång cÊu Ký hiÖu j : I   R phép nhúng tự nhiên I vào R p : R   R / I lµ phÐp chiÕu tự nhiên Xét R- môđun P = ( E R) / W, ®ã W = {(  (a), -a) | a I } Khi t-ơng øng  : b p *: (x+b)+ W (0,b) + W,  b  R, j *: x (x,0) + W,  x  E vµ p(b),  x  E, b R R- đồng cấu, chúng làm cho biểu đồ sau giao hoán với dòng dÃy khớp ngắn 13 p j I R  R/ I  p* j* R/ I E P V× R/ I R - môđun xyclic nên theo giả thiết dòng d-ới sơ đồ chẻ ra, tức theo Bổ đề 2.1.8 tồn R- đồng cấu : P   E cho  j * = 1E Bây giờ, ta xác định : R   E bëi  (b) =   (b),  b  R ®ã:  =  j Điều chứng tỏ mở rộng j điều kiện đủ bổ đề đ-ợc chứng minh nhờ tiêu chuẩn Baer 2.1.11 Định lý Cho E R- môđun mệnh đề sau t-ơng đ-ơng: (i) E R- môđun nội xạ (ii) E mở rộng cốt yÕu thùc sù nµo, tøc nÕu E’ lµ mét më réng cèt u cđa E th× E = E’ Chøng minh (i) (ii) Giả sử E nội xạ vµ E’ lµ mét më réng thùc sù cđa E theo Bổ đề 2.1.10 dÃy khớp ngắn i   E   E’   M R- môđun M môđun xyclic chẻ mặt khác theo Bổ đề 2.1.8 ta có E E M Do E phải hạng tử trực tiếp E tức tồn môđun N E cho E’ = E + N vµ E N = Suy E mở rộng cèt u cđa E (ii)  (i) Dùa vµo Bỉ ®Ị 2.1.10 ta chØ cÇn chøng minh r»ng, nÕu f : E F R- đơn cấu E phải đẳng cấu với hạng tử trực tiếp F Vì tính nội xạ môđun không thay đổi qua đẳng cấu nên giả thiết thêm mà không làm tính tổng quát f phép nhúng tự nhiên, tức E F Ký hiệu tập hợp tất R- môđun X F mà X E = Rõ ràng giả thiết (ii) Xét quan hệ thứ tự bao hàm ta thấy xích bị chặn (bị chặn phần tử ) Vậy theo bổ đề Zorn tồn phần tử cực đại E Khi mệnh đề đ-ợc chứng minh ta E h¹ng tư trùc tiÕp 14 cđa F tøc E + E = F Thật vậy, giả sử ng-ợc lại F E + E Theo định lý đẳng cấu môđun ta có F / E (E + E ) / E’  E / (E E’ ) = E Suy F / E’  ( E + E ) / E Theo giả thiết E không cã më réng thùc sù nªn (E + E’ ) /E mở rộng thực Do tồn môđun Y F cho Y  E’ vµ Y / E’ (E + E’ ) / E’ = Ta suy Y (E +E’ ) = E’ , tøc Y E  Y (E+E’ ) = E’ VËy Y E  E E =0, tức Y Điều trái với giả thiết cực đại E định lý đ-ợc chứng minh 2.1.12 Mệnh đề Cho K môđun khác không môđun M, M mở rộng cốt yếu A K lµ më réng cèt u cđa A K Chøng minh Giả sử X môđun khác không môđun K, X môđun cđa M Do M lµ më réng cèt u cđa A nªn A X     a A X  a  X vµ a  A Do vËy a  K  a  ( A K ) X  ( A K ) X  VËy K lµ më réng cèt u cđa A K 2.1.13 MƯnh ®Ị Cho A  B  M nÕu M/A lµ më réng cèt yÕu B/A M mở rộng cốt yếu B Chứng minh Giả sử X môđun khác không M Nếu B X=0 ta có A X=0  tån t¹i mét tỉng trùc tiÕp X  A A Vì M/A mở rộng cốt yếu cđa B/A vµ (X  A)/A  M/A (B/A) ((X  A)/A)    c  A mµ c + A  (B/A) ((X  A)/A)  c+A = b+A = x+a+A ( víi a  A, b  B, x  X )  x = b-a+a’ , a’  A Ta cã a’ - a  A  B nªn (b-a+a’ )  B  x  B  x=  b  A c+A=A c A điều mâu thuẫn víi gi¶ thiÕt c  A VËy B X  0, tøc lµ M lµ më réng cèt u cđa B nên 15 2.1.14 Mệnh đề (i) Nếu môđun M có dÃy môđun A B C vµ M lµ më réng cèt u cđa A C mở rộng cốt yếu B (ii) NÕu M lµ më réng cèt u cđa A i , i 1;2;3; ; n M mở réng cèt yÕu n cña Ai i 1 Chøng minh (i) Giả sử X môđun khác không C X môđun M M mở rộng cốt yếu A nªn A X  suy B X  VËy C lµ më réng cèt u cđa B (ii) Ta chứng minh ph-ơng pháp quy nạp theo n Với i dĩ nhiên M mở rộng cốt yếu A1 Giả sử toán ®óng víi n  , n 1 tøc lµ ta cã M lµ më réng cèt u cđa Ai i Cho X môđun khác không M Do M mở rộng cốt yếu A n nên An X Lại giả thiết quy nạp ta có n Ai i 1  n 1  M lµ më réng cèt yÕu cña  Ai  i 1  An  n 1  X    Ai  i 1  An   X   An   n  M lµ më réng cèt yÕu cña Ai i 1 2.2 Bao néi xạ 2.2.1 Định nghĩa Cho M R- môđun Một R-môđun E đ-ợc gọi bao nội xạ M, E R-môđun nội xạ më réng cèt u cđa M 2.2.2 VÝ dơ Gi¶ sử R miền nguyên với Q(R) tr-ờng phân thức R Khi xem Q(R) nh- R- môđun Q(R) R- môđun nội xạ Dễ dàng kiểm tra đ-ợc Q(R) mở rộng cốt yếu R Q(R) bao nội xạ R 2.2.3 Hệ Cho E mở rộng R-môđun M Khi mệnh đề sau t-ơng đ-ơng: (i) E bao nội xạ M (ii) E mở rộng cốt yếu cực đại M 16 Chứng minh (i) (ii) Giả sử E bao nội xạ M, theo Định nghĩa 2.2.1 ta suy E R-môđun nội xạ mở rộng cốt yếu M Theo Định lý 2.1.11 suy E mở rộng cốt yếu cực đại M (ii) (i) Giả sử E mở rộng cốt yếu cực đại M Theo Định nghĩa 1.1 Định lý 2.1.11 ta suy E bao nội xạ M 2.2.4 Định lý Mỗi R- môđun M có bao nội xạ Hơn giả sử E E bao nội xạ M Khi tồn R - đẳng cấu f: E E cho f(x) = x,  x  M Chøng minh Theo Định lý 1.2.2 tồn mở rộng F M F R- môđun nội xạ Bây với ph-ơng pháp hoàn toàn t-ơng tự nh- chứng minh Định lý 2.1.11 ta đ-ợc tồn mở rộng E M phần tử cực đại (theo quan hệ bao hàm) tập hợp tất môđun F lµ më réng cđa M Ta sÏ chøng minh E mở rộng cốt yếu cực đại M (và E bao nội xạ M nhờ vào Hệ 2.2.3) Thật vậy, cho E1 lµ mét më réng cèt u cđa E Ký hiƯu j : E   F vµ j1: E E1 phép nhúng tự nhiên Khi đó, theo tính chất nâng phổ dụng môđun nội x¹ F tån t¹i mét më réng h: E1   F cđa phÐp nhóng j Do ®ã E Ker h = Vì E1 mở rộng cốt yếu cđa E nªn Ker h = Suy h(E1) lµ mét më réng cđa E chøa F, tøc h(E1) Vậy, E cực đại  , h(E1) = E, tøc E1 = E §iỊu nµy chøng tá E lµ mét më réng cèt yếu cực đại M Bây giả sử E E hai bao nội xạ M với i: M   E vµ i’: M   E phép nhúng tự nhiên Khi theo chứng minh trên, tồn R- đơn cấu  E’ cho i’ = f f : E i Vì g(E) E, g(E) môđun nội xạ , theo Bổ đề 2.1.10 tồn R- môđun L E cho E = f (E)  L chó ý r»ng E’ lµ mét më réng cèt u cđa M vµ M  f (E) nªn tõ f (E) L = ta suy L = Vậy f đẳng cấu định lý đ-ợc chứng minh hoàn toàn Từ trở ta ký hiệu bao nội xạ môđun M E(M) Khi Định lý 2.2.4 bảo đảm tồn E(M) xác định sai khác đẳng cấu môđun 17 2.2.5 Chú ý Cho M R- môđun E mở rộng nội xạ M Chứng minh Định lý 2.2.4 cho phép ta suy tồn bao nội xạ E(M) M cho E(M) E Vậy R- môđun M nội xạ E(M) = M 2.2.6 Hệ Cho f: M N R- đẳng cấu i: M E(M), j: N E(N) phép nhúng tự nhiên chúng vào bao nội xạ t-ơng ứng Khi tồn đẳng cấu g: E(M) E(N) cho biểu ®å sau giao ho¸n i M E(M) g f j N E(N) tøc g i = j f Chøng minh T-ơng tự nh- chứng minh Định lý 2.2.4 tồn t¹i mét më réng E cđa N cho E E(M) đẳng cấu mở rộng f Vì E nội xạ suy E bao nội xạ N E(N) bao nội xạ N Khi theo Định lý 2.2.4 E E(N) với g hợp thành hai đẳng cấu suy tồn đẳng cấu g : E(M) E(N) Ta đ-ợc điều phải chứng minh 2.2.7 Hệ Với R - môđun M cho tr-ớc, tồn dÃy khớp dài R - môđun f f f f e E   E1  E2  E3   M  0 Trong ®ã E0=E(M), E1=E(E0/Ime), Ei=E(Ei-1/Im f),  i  Mét d·y khớp nh- đ-ợc gọi phép giải nội xạ cực tiểu M Hơn nữa, phép giải nội xạ xác định sai khác đẳng cấu Tức, nÕu ’ ’ ’ ’ f f f f e'  E   E   E     M   E  ' ' ' ' Là phép giải nội xạ cực tiểu khác M tồn R - đẳng cấu ’  i : Ei   Ei ,  i  cho e’=  e, fi '  i =  i 1 cho biĨu ®å sau giao hoán f i , i 0, nghÜa lµ lµm 18 f0 e M E0 e’ M E1 0 1M f1 E2 E’0 2 1 f0 ’ f2 f1 ’ E’1 f2 ’ E2 Chứng minh Theo Định lý 2.2.4 tồn bao nội xạ E(M) M Khi ta đặt E0= E(M) e phép nhúng tự nhiên M   E0.TiÕp theo gi¶ sư E1= E(E0/M) ta xác định R- đồng cấu f0 : E0 E1 ánh xạ hợp thành phép chiếu tự nhiªn E0   E0/M víi phÐp nhóng tù nhiªn E0/M E(E0/M) Rõ ràng ta đ-ợc M= Im e = Ker f0 Bây giả sử ta đà có môđun Ei R-đồng cấu fi-1, i thoả mÃn tính chất Hệ Ta xây dựng Ei+1 fi : Ei Ei+1 giống nh- trình vừa làm nh- sau: Ei+1= E(Ei / Im fi-1) fi ánh xạ hợp thành cđa phÐp chiÕu tù nhiªn Ei   Ei / Im fi-1 víi phÐp nhóng tù nhiªn Ei / Im fi-1 Ei+1 Cuối ta thu đ-ợc dÃy khớp dài theo đòi hỏi Hệ Theo HƯ qu¶ 2.2.6 ta suy e’ =  e, fi '  i =  i 1 fi , i hay phép giải nội xạ xác định sai khác đẳng cấu Hệ đ-ợc chứng minh 2.2.8 Định nghĩa Một R -môđun E đ-ợc gọi đối sinh nội xạ R , E nội xạ với R -môđun M x M phần tử khác không tuỳ ý, tồn R -®ång cÊu f : M   E cho f ( x)  MƯnh ®Ị sau cho ta thấy môđun đối sinh xem đối ngẫu với môđun tự phạm trù MR 2.2.9 Mệnh đề Giả sử E đối sinh nội xạ R Khi R -môđun M nhúng chìm vào tích trực tiếp E Chứnh minh Mệnh đề hiển nhiên M Giả sử M Ta đặt M M \ Vì E đối sinh nội xạ, nên với phần tử x M tồn R -®ång cÊu f x : M  E cho f x  x   Khi ®ã ta định nghĩa yM E , xác định f ( y ) ( f x ( y )) xM  , y  M f : M  R -®ång cÊu 19 Râ rµng f  y   y M nên f R -đơn cấu 2.2.10 Bổ đề Trong vành giao hoán R tồn iđêan cực đại Chứng minh Xét tập hợp tất iđêan khác R Khi với thứ tự bao hàm theo nghĩa tập hợp lập thành tập hợp đ-ợc phận Vì {0} nên Gi¶ sư a1  a2  a3   Là xích tuỳ ý iđêan Rõ ràng a i Lại iđêan R Hơn nữa, a Vì, a , tồn iđêan an xÝch cho 1 an , tøc an R Suy a chặn xích Vậy tập hợp khác rỗng xích có chặn Khi theo Bổ đề Zorn có phần tử cực đại m Hiển nhiên m iđêan cực đại R 2.2.11 Hệ Mọi iđêan thực vành giao hoán nằm iđêan cực đại Chứng minh Cho a la iđêan thực vành giao hoán R Vì R vành giao hoán có đơn vị nên vành th-ơng R/a co đơn vị a áp dụng Bổ đề 2.2.10 cho vành th-ơng R/a ta có vành th-ơng R/a có iđêan cực đại M/a với M iđêan R chứa a Rõ ràng M iđêan cực đại R chứa a Hệ đ-ợc chứng minh 2.2.12 Bổ đề Cho Ei iI họ R -môđun Khi tích trực tiếp iI Ei , nội xạ Ei , i I nội xạ Chứng minh Đặt E = E ji : Ei iI Ei toàn cấu tắc Ei , i  I ta ký hiÖu Pi : E  đơn cấu tắc xác định tích trực tiếp E Giả sử E nội xạ Ta chøng minh r»ng Ei , i  I , lµ nội xạ Ei R - đồng cấu tuỳ N R đơn cấu g : N  ThËt vËy, cho f : M  ý Vì E nội xạ ji g R -đồng cấu từ N vào E , nên tồn mở rộng Ei R ®ång cÊu h : M   E cña ji g để ji g h f Đặt k  pi h : M  20 DÔ thÊy r»ng pi ji  1E , ®ã ta suy k f  pi h f  pi ji g g điều i chứng tỏ Ei R -môđun nội xạ M R đơn cấu Ng-ợc lại, giả sử Ei nội xạ víi mäi i  I Cho f : N   Ei  : N   E lµ R -đồng cấu tuỳ ý Khi tồn mét më réng  i : M   Ei Bây ta xây dựng đồng cấu : M  cho R - ®ång cÊu pi  : N  E   x   (i ( x))iI , x M đ-ợc xác định bëi   x  y    i  x  y  iI , x, y  M Mặt khác (i x i  y )iI , x, y  M   i  x  iI   i  y  iI , x, y  M    x    y    a.x    i  a.x  iI , x  M , a  R   a.i  x  iI , x  M , a  R  a  i  x  iI , x  M , a  R  a.  x  , x  M , a  R VËy,suy    f  i  f  y   iI lµ  R  ®ång mét  pi   y    iI cÊu vµ víi mäi yN ta cã  y Vậy E nội xạ 2.2.13 Định lý Luôn tồn môđun đối sinh nội xạ phạm trù R môđun MR Chứng minh Ký hiệu tập tất iđêan cực ®¹i cđa R Chó ý r»ng    ( xem Bỉ ®Ị 2.2.10 ) Ta xÐt R môđun E m E R / m Ta sÏ chøng minh r»ng E lµ R  môđun nội xạ Theo Bổ đề 2.2.12, E R môđun nội xạ Bây với M R môđun x M phần tử tuỳ ý cho tr-ớc, ta xét iđêan I 0: Rx a R | a.x Hiển nhiên I R x  VËy, tån t¹i m   cho R / m xác định I m ( xem HƯ qu¶ 2.2.11 ) Ta xÐt mét t-¬ng øng f ' : Rx  f '  ax   a  m, a  R Nõu ax  0, tøc a  I  m, nªn a m 0R / m , điều chứng tỏ 21 f ' xác định ánh xạ va suy R đồng cấu với f '  x   1R  m  0R/ m Gọi g đồng cấu hợp thành f' víi c¸c R / m   E  R / m   E ®ã, tõ biĨu ®å Rx phÐp nhóng tù nhiªn i M g E  E Víi i lµ phÐp nhóng tù nhiên E nội xạ, tồn R -đồng cÊu f : M  cho g  f i V× g ( x)  f i( x)  f (i( x))  f ( x) nªn ta suy f ( x)  g ( x)  f '( x) Định lý đ-ợc chứng minh 2.2.14 Hệ Mọi R - môđun nhúng chìm vào tích trực tiếp bao nội xạ R - môđun đơn Chứng minh Từ chứng minh Định lý 2.2.13 ta có E m E R / m môđun đối sinh vµ víi chó ý r»ng R / m , m R môđun đơn Theo Mệnh đề 2.2.12 Hệ đ-ợc chứng minh 2.2.15 Mệnh đề Cho A,B môđun môđun M A B=0 Khi bao nội xạ E(A B)=E(A)  E(B) Chøng minh Ta cã E(A)  E(B) lµ môđun nội xạ chứa A B E(A B) môđun nội xạ bé chứa A B Do ®ã E(A  B)  E(A)  E(B) (1) Mặt khác E(A) mở rộng cốt yếu A vµ E(B) lµ më réng cèt u cđa B nên E(A) E(B) mở rộng cốt yếu (A  B) Mµ E(A  B) lµ më réng cốt yếu cực đại (A B) nên ta cã E(A)  E(B)  E(A  B) Tõ (1) vµ (2) suy E(A  B) = E(A)+E(B) (2) 22 KÕt ln Trong tồ n Kho¸ ln dùa vào tài liệu tham khảo đà hoàn thành đ-ợc việc sau: Trình bày cách hệ thống, chi tiết khái niệm số tính chất mở rộng cốt yếu môđun Trình bày chi tiết lời giải toán tồn bao nội xạ môđun Đà trình bày chi tiết lời giải số toán mở rộng cốt yếu bao nội xạ môđun 23 Tài liệu tham khảo Tiếng việt Nguyễn Tự C-ờng (2003), Giáo trình đại số đại , NXB Đại học quốc gia Hà Nội Nguyễn Hữu Việt H-ng (1998), Đại số đại c-ơng, NXB Giáo dục Hà Nội Nguyễn Tiến Quang, Nguyễn Duy Thuận (2001), Cơ sở lý thuyết môđun vành, NXB Giáo dục Hà nội Tiếng anh [4] F.W.Anderson and K.R.Fullers (1974), Rings and categories of modules , Springer-Verlag  ... môđun, - môđun, mở rộng cốt yếu 2.1.3 Bổ đề Mỗi môđun mở rộng cốt yếu Ngoài khái niệm mở rộng cốt yếu có tính bắc cầu: Nếu E mở rộng cèt u cđa M vµ M lµ më réng cèt yếu N E mở rộng cốt yếu N Chứng... Q(R) R- môđun nội xạ Dễ dàng kiểm tra đ-ợc Q(R) mở rộng cốt yếu R Q(R) bao nội xạ R 2.2.3 Hệ Cho E mở rộng R-môđun M Khi mệnh đề sau t-ơng đ-ơng: (i) E bao nội xạ M (ii) E mở rộng cốt yếu cực đại... (ii) Giả sử E bao nội xạ M, theo Định nghĩa 2.2.1 ta suy E R-môđun nội xạ mở rộng cốt yếu M Theo Định lý 2.1.11 suy E mở rộng cốt yếu cực đại M (ii) (i) Giả sử E mở rộng cốt yếu cực đại M Theo