H€Àm splines cốt yếu và toán tử giả nội suy

i Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn khơng trùng lặp với khóa luận, luận văn, luận án cơng trình nghiên cứu cơng bố Người cam đoan Trần Văn Long ii Lời cảm ơn Trước trình bày nội dung luận văn, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, cô giảng dạy chương trình lớp Cao học K8 - Tốn Giải tích trường Đại học Hồng Đức – Thanh Hố, khoá học 2015 – 2017, người truyền đạt cho tơi kiến thức hữu ích chun ngành Tốn giải tích làm sở cho tơi thực tốt luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy GS.TSKH Đinh Dũng người thầy tận tình hướng dẫn, động viên giúp đỡ tác giả suốt q trình thực luận văn, hồn cảnh xa xơi thầy tận tình chu đáo thông qua phương tiện thông tin liên lạc để giúp tơi hồn thành tốt luận văn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới thầy, cô làm công tác phản biện đọc kỹ luận văn cho ý kiến quý giá Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy, khoa Khoa học Tự nhiên trường Đại học Hồng Đức tạo điều kiện giúp đỡ tận tình suốt q trình tơi học tập khoa, trường Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn tới Ban Giám Hiệu Trường THPT Triệu Sơn tập thể cán giáo viên công nhân viên nhà trường liên tục động viên, giúp đỡ tạo điều kiện để tham gia hồn thành tốt khố học Cuối tác giả xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè đồng nghiệp cổ vũ, động viên giúp đỡ tơi suốt q trình học tập hồn thành luận văn tốt nghiệp Thanh Hóa, tháng năm 2017 Tác giả Trần Văn Long iii Mục lục Mở đầu Chương Không gian hàm spline cốt yếu 1.1 Định nghĩa hàm spline cốt yếu 1.2 B - spline tính chất Chương Quan hệ hai thang bậc tính tốn hàm spline cốt yếu 14 2.1 Quan hệ hai thang bậc 14 2.2 Biểu diễn B - lưới tính tốn hàm spline cốt yếu 18 Chương Toán tử giả nội suy 25 3.1 Tốn tử giả nội suy tính chất 25 3.2 Xấp xỉ toán tử giả nội suy 30 3.3 Công thức nội suy hàm spline 35 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 41 Mở đầu Tính cấp thiết đề tài Cùng với đa thức đại số đa thức lượng giác, hàm spline công cụ xấp xỉ hữu hiệu lý thuyết lẫn ứng dụng Trong hàm spline, hàm spline cốt yếu đóng vai trị đặc biệt quan trọng lý thuyết xấp xỉ Vì nghiên cứu tính chất xấp xỉ hàm spline cốt yếu đề tài cần thiết mang tính chất thời Tốn tử giả nội suy xây dựng sở hàm spline cốt yếu công cụ tốn khơi phục hàm số từ giá trị lấy mẫu Vì việc nghiên cứu tốn tử giả nội suy tính chất xấp xỉ tốn tử giúp hiểu rõ ứng dụng hàm spline cốt yếu Mục đích đề tài Mục đích đề tài nghiên cứu tính chất hàm spline cốt yếu, có B – spline, tốn tử giả nội suy với tính chất xấp xỉ tốn tử giả nội suy Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu chuyên khảo hàm spline cốt yếu, tổng hợp kết chứng minh Sau trình bày cách có hệ thống kiến thức thành tài liệu khảo cứu hàm spline cốt yếu toán tử giả nội suy Ý nghĩa khoa học thực tiễn Luận văn tài liệu tham khảo bổ ích cho học viên cao học tốn giải tích, đặc biệt người bắt đầu tiếp cận lý thuyết xấp xỉ thơng qua việc nghiên cứu tính chất spline toán tử giả nội suy Nội dung nghiên cứu Ngoài phần mở đầu kết luận, luận văn gồm chương: Chương 1: Không gian hàm spline cốt yếu 1.1 Định nghĩa hàm spline cốt yếu 1.2 B – spline tính chất Chương 2: Quan hệ hai thang bậc tính tốn hàm spline cốt yếu 2.1 Quan hệ hai thang bậc 2.2 Biểu diễn B – lưới tính toán hàm spline cốt yếu Chương 3: Toán tử giả nội suy 3.1 Tốn tử giả nội suy tính chất 3.2 Xấp xỉ toán tử giả nội suy 3.3 Công thức nội suy hàm spline Chương Không gian hàm spline cốt yếu 1.1 Định nghĩa hàm spline cốt yếu Khi nói đến hàm "spline cốt yếu", có nghĩa đề cập đến "các hàm spline đa thức với nút cách đều" Để dễ hiểu xét tập hợp Z− tập hợp số nguyên dãy nút Ký hiệu Πn tập tất đa thức đại số có bậc cao n Cn = Cn (R) tập hợp tất hàm f cho f , f , f 00 , f (n) liên tục R, quy ước C = C0 không gian hàm liên tục C−1 không gian hàm liên tục khúc (liên tục khoảng (x j , x j+1 )) Định nghĩa 1.1.1 [1] Với số nguyên dương m, không gian Sm hàm spline cốt yếu bậc m với dãy nút nguyên Z tập tất hàm f ∈ Cm−2 cho thu hẹp f nửa khoảng [k, k + 1), k ∈ Z đa thức đại số bậc cao m − 1, tức f ∈ Πm−1 , k ∈ Z [k,k+1) Từ định nghĩa ta có: S1 không gian hàm bậc thang với sở {N1 (x − k) : k ∈ Z} N1 hàm đặc trưng nửa khoảng [0, 1) Để đưa sở cho Sm , m ≥ 2, xét không gian Sm,N bao gồm hạn chế đoạn [−N, N] hàm f ∈ Sm , N số nguyên dương Mặt khác xét Sm,N không gian hàm f ∈ Sm cho hạn chế φ (x + 2πk) ≤ B, hầu khắp (1.17) Tiếp theo, chứng tỏ B sở Riesz V0m Chúng ta mở rộng định nghĩa khơng gian Smj spline có nút khơng ngun với dãy nút 2− j Z, j ∈ Z Vì hàm spline với dãy nút 2− j1 Z hàm spline với dãy nút 2− j2 Z, j1 < j2 có dãy lồng không gian spline cốt yếu −1 ⊂ Sm ⊂ Sm ⊂ Sm ⊂ , := S Sm m Tương tự ký hiệu V jm bao đóng Smj ∩ L2 (R) L2 (R) Khi có dãy lồng m ⊂ V−1 ⊂ V0m ⊂ V1m ⊂ , khơng gian đóng spline cốt yếu L2 (R) Dễ thấy dãy không gian lồng thỏa mãn     closL2 (R) ! S j∈Z = L2 (R); V jm (1.18) T m     V j = {0} j∈Z Hơn nữa, chứng tỏ B sở Riesz V0m , với j ∈ Z, tập hợp n j o 2 Mm (2 j x − k) : k ∈ Z (1.19) sở Riesz V jm với cận Riesz B 1.2 B - spline tính chất Cho N1 hàm đặc trưng nửa khoảng [0, 1) Ký hiệu Nm (x) := (Nm−1 ∗ N1 )(x) = Z1 Nm−1 (x − t)dt, m ≥ (1.20) B - spline bậc m Ở f ∗ g ký hiệu tích chập f g Ta có: Mm = Nm , m ≥ (Mm định nghĩa (1.10)), Nm spline cốt yếu bậc m V0m Định lý 1.2.1 [1] B - spline Nm bậc m thỏa mãn tính chất sau Với f ∈ C, Z1 Z∞ f (x)Nm (x)dx = −∞ Z1 f (x1 + + xm )dx1 dxm (1.21) Với g ∈ Cm , Z∞ −∞ Nm (x) = Mm (x), m   m g(m) (x)Nm (x)dx = ∑ (−1)m−k g(k) k k=0 ∀x (1.22) supp Nm = [0, m] Nm (x) > 0, < x < m ∞ ∑ Nm (x − k) = 1, ∀x k=−∞ Nm0 (x) = (∆Nm−1 )(x) = Nm−1 (x) − Nm−1 (x − 1) Các B - spline cốt yếu Nm Nm−1 quan hệ với qua đẳng thức: Nm (x) = x m−x Nm−1 (x) + Nm−1 (x − 1) m−1 m−1 (1.23) Nm đối xứng qua tâm giá nó, nghĩa Nm ( Chứng minh m m + x) = Nm ( − x), 2 ∀x ∈ R Rõ ràng (1.21) m = Giả sử (1.21) với m − định nghĩa Nm (1.20) giả thiết quy nạp ta có   Z∞ Z∞ Z1  f (x)Nm (x)dx = f (x) Nm−1 (x − t)dt dx   −∞ −∞   Z1  Z∞  f (x)Nm−1 (x − t)dx dt =   −∞   Z1  Z∞  = f (y + t)Nm−1 (y)dy dt   −∞ 1 Z Z = Z1 0 Z1 = Z1 f (x1 + x2 + + xm−1 + t)dx1 dx2 dxm−1 dt f (x1 + x2 + + xm )dx1 dx2 dxm Bằng tính tích phân trực tiếp ta có Z1 Z1 0 m   m g(m) (x1 + x2 + + xm )dx1 dx2 dxm = ∑ (−1)m−k g(k) k k=0 Nên khẳng định (1.22) suy từ (1.21) 10 Cố định x ∈ R Chọn (−1)m (x − t)m−1 g(t) = + , (m − 1)! vế phải (1.22) đồng với cơng thức Mm (x) (1.11) Vì g(m) (t) = δ (x − t), δ phân phối delta thỏa mãn tính chất   δ (x) = 0, ∀x 6= R∞   δ (x)dx = −∞ Do vế trái (1.22) đồng với Nm (x) Nghĩa Nm (x) = Mm (x), với x cố định thuộc R Dễ thấy khẳng định (4.) với m = Giả sử đẳng thức với m − 1, tức supp Nm−1 = [0, m − 1] Khi đó, ta có: Z1 Nm (x) = Nm−1 (x − t)dt Vì t ∈ [0, 1] nên x < x − t < x > m x − t > m − 1, suy Nm−1 (x − t) = 0, Nm (x) = x < x > m Vậy supp Nm = [0, m] Các khẳng định (5.), (6.), (9.) chứng minh dựa vào quy nạp định nghĩa Nm (1.20) Sử dụng (1.20) lần nữa, ta có Nm0 (x) = Z1 Nm−1 (x − t)dt = −Nm−1 (x − 1) + Nm−1 (x) = (∆Nm−1 )(x) Để chứng minh đẳng thức (1.23), sử dụng định nghĩa Mm (1.10) Chúng ta sử dụng phân tích sau m−1 m−2 x+ = x · x+ quy tắc Leibniz lấy sai phân tích n   n n (∆ f g)(x) = ∑ (∆k f )(x)(∆n−k g)(x − k) k=0 k 11 Đẳng thức dễ dàng chứng minh quy nạp m−2 Đặt f (x) = x g(x) = x+ đẳng thức Khi ta có Nm (x) = Mm (x) = 1 m−1 m−2 ∆m x + = ∆m x · x + (m − 1)! (m − 1)!  m m−2 x∆ x+ + m∆m−1 (x − 1)m−2 + (m − 1)!   m−1 m−2  m−1 m−2 = x ∆ x+ − ∆m−1 (x − 1)m−2 + m∆ (x − 1) + + (m − 1)! x m−x = Mm−1 (x) + Mm−1 (x − 1) m−1 m−1 x m−x = Nm−1 (x) + Nm−1 (x − 1) m−1 m−1 = Tiếp theo trình bày sở B - spline cốt yếu B = {Nm (x − k) : k ∈ Z} , (1.24) B sở Riesz V0m , chúngta mđánh giá cận A B bm = N b1 , (1.16) Từ (1.20) thấy N − e−iω 2m b