Hàm sóng và toán tử trong cơ học lượng tử

Tr-ờng Đại học Vinh khoa vật lý ====***==== Trần Thị hải Lành Hàm sóng toán tử học l-ợng tử Khoá luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành: vật lý lý thuyết Giáo viên h-ớng dẫn: TS đinh phan khôi Vinh - 2008 Mục lục Trang Phần I: Mở đầu Phần II: Nội dung Ch-ơng I: Hàm sóng 1.1 Hàm sóng cuả vật chất. ……… 1.1.1 BiÓu thøc……………………………………………………………… 1.1.2 Mét sè vÝ dơ vỊ hµm sãng………………………………………… …… 1.1.3 ý nghÜa thống kê hàm sóng 1.1.4 Nguyên lý chồng chất 1.1.5 Chuẩn hoá hàm sóng .7 1.1.6 Điều kiện hàm sóng 1.2 Sự biến đổi trạng thái theo thời gian 1.3.1 Ph-ơng trình Schrodinger phụ thuộc thời gian 1.2.2 Mật độ xác suất mật độ dòng xác suất 1.2.3 Trạng thái dừng 10 Ch-ơng II Toán tử 2.1 Định nghĩa tính chất toán tử .11 2.1.1 Định nghÜa to¸n tư…………………………… ……………………………11 2.1.2 To¸n tư tun tÝnh…………………………….…………………………….11 2.1.3 Các phép tính toán tử..12 2.2 Hàm riêng trị riêng toán tử.12 2.3 Toán tử écmit .14 2.3.1 Định nghĩa . 14 2.3.2 Tính chất . 15 2.3.3 Tr-ờng hợp toán tử có phổ liên tục 17 Ch-ơng III: Mối liên hệ hàm sóng toán tử 3.1 Trị trung bình phép đo biến số động lực 19 3.2 Hệ số phân tích 20 3.3 Nguyên lý t-ơng ứng dạng toán tử khác.. 21 3.3.1 Nguyên lý t-ơng ứng/.21 3.3.2 Toán tử toạ độ.21 3.3.3 Toán tử xung l-ợng22 3.3.4 Toán tử l-ợng23 3.3.5 Toán tử mô men xung l-ợng 24 3.4 Sự đo xác đồng thời hai biến số động lực26 3.4.1 Khái niệm hàm riêng chung 26 3.4.2 Điều kiện để ®o chÝnh x¸c ®ång thêi hai biÕn sè ®éng lùc 27 3.5 Hệ thức bất định Heisenberg.28 3.6 Ph-ơng trình Schrodinger 31 3.6.1 Ph-ơng trình Schrodinger không phụ thuộc thời gian31 3.6.2 Một số toán 31 Phần III: Kết luận Tài liệu tham khảo Phần I: mở đầu Cơ học l-ợng tử lý thuyết t-ọng trình vật lý giới vi mô - tập hợp hạt có kích th-ớc cỡ nguyên tử ( 10-10 m) nhỏ Trong giới vi mô, l-ỡng tính sóng hạt đ-ợc thể rõ L-ỡng tính sóng hạt đ-ợc giả định tính chất vật chất, mà học l-ợng tử đ-ợc coi học Newton cho phép mô tả xác đắn nhiều t-ợng vật lý mà học Newton không giải thích đ-ợc Trong học l-ợng tử ,trạng thái hệ đ-ợc đặc tr-ng biến số động lực t-ơng tự nh- biến số học cổ điển Các biến số động lực hệ l-ợng tử mô tả biến số giải tích thông th-ờng mà phải sử dụng công cụ đặc biệt, toán tử Trạng thái hệ l-ợng tử đ-ợc biĨu diƠn bëi hµm sãng Hµm sãng cã thĨ thay đổi theo thời gian Ph-ơng trình mô tả thay đổi hàm sóng theo thời gian ph-ơng trình Schrodinger, đóng vai trò giống nhph-ơng trình Newton học cổ điển Nh- hàm sóng toán tử có vai trò quan trọng việc mô tả trạng thái biểu diễn biến số động lực hệ l-ợng tử Khoá luận tập trung tìm hiểu hai khái niệm nói Ngoài phần mở đầu kết luận, khoá luận gồm ch-ơng: ch-ơng I: hàm sóng; ch-ơng II: toán tử; ch-ơng 3: mối liên hệ hàm sóng toán tử Trong trình tìm hiểu hoàn thành khoá luận đà nhận đ-ợc h-ớng dẫn, giúp đỡ tận tình thầy cô giáo khoa Vật lý, đặc biệt thầy giáo h-ớng dẫn TS Đinh Phan Khôi Tôi xin chân thành cảm ơn thầy giáo h-ớng dẫn, thầy cô khoa, tất bạn bè ng-ời thân gia đình đà tạo điều kiện giúp hoàn thành khoá luận Vinh, tháng năm 2008 Sinh viên: Trần Thị Hải Lành Phần II: Nội dung Ch-ơng I: Hàm sóng 1.1 Hàm sãng cđa vËt chÊt 1.1.1 BiĨu thøc Theo gi¶ thut De Broglie, vi hạt tính chất hạt có tính chất sóng hay nói cách khác hạt vi mô có l-ỡng tính sóng hạt Do cần mô tả hạt vi mô nh- sóng? Khi giải ph-ơng trình lan truyền sóng học (sóng phẳng đơn sắc) điểm M cách xa nguồn O đoạn r = OM ,biểu thức sóng cã d¹ng:  (r ,t) = A sin (  t - 2 r ) = A sin (  t - k r )  (1.1) VÐct¬ sãng k đ-ợc xác định theo véctơ đơn vị ph-ơng truyền sóng: k= n Ph-ơng trình giúp ta xác định biểu thức dao động sóng truyền từ nguồn O truyền đến vị trí M ( r = OM ) vào thời điểm t Vấn đề đặt tìm biểu thức hàm sóng cho hạt tự (hạt không t-ơng tác với hạt không nằm tr-ờng lực nào) Xét hạt tự có khối l-ợng nghỉ m, ứng với sóng phẳng De Broglie có tần số góc véctơ sóng k : E ,k = p Mặt khác sóng phẳng có tần số góc véctơ sóng k biểu diƠn b»ng hµm phøc:  (r ,t) =  e [i(t kr )] Trạng thái hạt tù cã thĨ biĨu diƠn bëi mét hµm  (r ,t) đ-ợc gọi hàm sóng hạt: i  (r ,t) =  e [ ( Et pr )] (1.2) Đối với hạt không tự tr-ờng vật khác hàm sóng có dạng phức tạp Trạng thái hạt vi mô (hoặc hệ hạt) thời điểm t đ-ợc biểu diễn hàm sóng (r ,t) Đó nội dung tiên đề O 1.1.2 Một số ví dụ hàm sóng Ví dụ 1: Hàm sóng hạt chuyển ®éng tù hè thÕ chiÒu cã bÒ réng L:  n ( x)  nx Sin L L Ví dụ 2: Hàm sóng mô tả trạng thái dao động tử điều hoà : n ( )  An H n ( ).e  2 Trong ®ã : H n ( ) : ®a thøc Hermite, An: hƯ sè chn ho¸ 1.1.3 ý nghÜa thống kê hàm sóng Xét điểm M xác định bán kính véctơ r OM phần tư thĨ tÝch dV bao quanh ®iĨm M NÕu gäi dw xác suất tìm thấy hạt thể tích dV vµ lim dV 0 M dV dw tiÕn tíi giá trị xác định, gọi mật độ xác suÊt dV r lim dV 0 Ta cã: dw dw     (r , t ) = dV dV O dw = dV Dựa vào cách giải thích Born: Bình ph-ơng môđun hàm sóng tỉ lệ với mật độ xác suất tìm thấy hạt thời điểm xác định véctơ tia r (r , t) ~  (r ,t ) (1.3) Khi xác suất tìm thấy hạt phần tử thĨ tÝch dV lµ: dw =  (r , t)dV =  (r ,t ) dV (1.4) Tãm l¹i hàm sóng (r ,t ) không mô tả sóng thực không gian mà cho ta xác suất tìm thấy hạt trạng thái Do hàm sóng (r ,t) mang tÝnh chÊt thèng kª 1.1.4 Nguyªn lý chång chÊt Trong học l-ợng tử, nguyên lý chồng chất đ-ợc phát biểu cách tổng quát nh- sau: Nếu hệ l-ợng tử trạng thái l-ợng tử đ-ợc mô tả hàm sóng ( x) , ( x) … n ( x) th× hạt trạng thái đ-ợc biểu diễn hàm sóng ( x) tổ hợp tuyến tính hàm sóng : (x) = C n n (x) (1.5) n Xác suất n tìm thấy hệ trạng thái n (x) n = C n Vậy ph-ơng trình mà hàm sóng thoả mÃn phải ph-ơng trình tuyến tính VÝ dơ: Mét h¹t tù cã thĨ ë tr¹ng thái mà l-ợng xác định E , trạng thái biểu diễn hàm sóng ( x) , hạt trạng thái có l-ợng xác định E , trạng thái nµy biĨu diƠn bëi hµm sãng  ( x) Do theo nguyên lý chồng chất hạt trạng thái biểu diễn hàm sóng ( x) (1.5) đ-ợc viết d-ới dạng: (x) = C1  ( x) + C  ( x) (1.6) Nh-ng trạng thái l-ợng hạt có giá trị không xác định: b»ng E hc b»ng E 1.1.5 Chuẩn hoá hàm sóng Trạng thái hạt tự đ-ợc biểu diễn hàm sóng xác định biểu thøc (1.2) cã hÖ sè  , h»ng sè không phản ánh tính chất vật lý hạt, nên nhận giá trị tuỳ ý Ta quy -íc  cho:   dV =   (r, t ) dV = (1.7) Biểu thức (1.7) gọi điều kiện chuẩn hoá Tích phân đ-ợc lấy toàn thể tích mà hạt tồn ý nghĩa vật lý điều kiện chuẩn hoá: xác suất tìm thấy hạt toàn thể tích mà hạt tồn Hàm sóng (r , t) d-ới dấu tích phân chuẩn hoá hàm sóng chuẩn hoá, với hàm sóng xác suất tìm thấy hạt thể tích dV là: dw =  (r , t ) dV (1.8) NÕu h¹t chun động theo chiều hàm sóng có dạng ( x, t ) Xác suất tìm thấy hạt khoảng từ x đến x+ dx là: dw =  ( x, t ) dx (1.9) Trong tr-êng hợp (r , t) ch-a chuẩn hoá thì:  (r , t ) dV dw =   (r , t ) dV  ( x, t ) dV vµ dw =   ( x, t ) dV (1.10) Gi¶ sư hƯ cã N hạt t-ơng tác với theo định luật Hàm sóng hệ có dạng: (r1 , r2 , rn , t ) =  ( x1 , y1 , z1 ; x2 , y2 , z , , t ) Xác suất tìm thấy hệ hạt cho thời điểm t hạt thứ nhÊt n»m thĨ tÝch dV , h¹t thø n»m thĨ tÝch dV ,…lµ dw ~  (r1 ,r2 , , rn , t dV1dV2 dVn (1.11) Điều kiện chuẩn hoá hàm sóng hệ lµ:   (r1 ,r2 , , rn , t dV1dV2 dVn = (1.12) Không gian cho biến số tích phân (1.12) không gian cấu hình 3N chiều 1.1.6 Điều kiện hàm sóng Trong học l-ơng tử hàm sóng (r , t ) phải thoả mÃn điều kiện sau: a Giới nội: Nếu hàm sóng không giới nội tích phân (1.7) không giới nội, mâu thuẫn với ý nghĩa xác suất b Đơn trị: Nếu hàm sóng không đơn trị ứng với trạng thái có nhiều xác suất tìm thấy hạt khác nhau, mâu thuẫn với lý thuyết xác suất c Liên tục: Điều ứng với việc định nghĩa mật độ xác suất liên tục hàm d Đạo hàm bậc hàm sóng phải liên tục 1.2 Sự biến đổi trạng thái theo thời gian 1.2.1 Ph-ơng trình Schrodinger phụ thuộc thời gian Sự biến đổi hàm sóng mô tả trạng thái hạt theo thời gian đ-ợc biểu diễn ph-ơng trình Schrodinger phụ thuộc thời gian Ph-ơng trình có dạng: i (r , t ) = t  H  (r , t ) (1.13) Ph-ơng trình (1.13) ph-ơng trình Schrodinger phụ thuộc thời gian, đ-ợc áp dụng hạt vi mô Ph-ơng trình đ-ợc thừa nhận nh- tiên đề, gọi tiên đề số học l-ợng tử Hàm sóng (r , t ) nghiệm ph-ơng trình (1.13) mang tính chất chung thoả mÃn điều kiện tiêu chuẩn: đơn trị, liên tục hữu hạn Nếu biết trạng thái hệ l-ợng tử thời điểm (t = t ) nguyên tắc dựa vào ph-ơng trình (1.13) ta biết đ-ợc hàm sóng thời điểm khác sau (t >t ) Đó thể nguyên lý nhân học l-ợng tử 1.2.2 Mật độ xác suất mật độ dòng xác suất Theo cách giải thích Born: (r , t ) ~  (r , t ) , mËt ®é xác suất phụ thuộc thời gian nên có dòng hạt l-u thông không gian Từ ph-ơng trình Schrodinger phụ thuộc thời gian dẫn ph-ơng trình liên tơc cã d¹ng:  + div j = t Trong ®ã: j =- (1.14) i ( *  * ) gọi véctơ mật độ dòng xác suất 2m Ta xem j véctơ h-ớng theo h-ớng chuyển động hạt có độ lớn xác suất để hạt qua đơn vị diện tích đặt vuông góc với j đơn vị thời gian `Ph-ơng trình liên tục biểu thị định luật bảo toàn xác suất bảo toàn số hạt Xác suất tìm thấy hạt thể tích dV là: dV Độ biến thiên xác suất quy đơn vị thời gian: t Theo định lí Gauss: dV  div jdV   t dV V V = V Do ®ã: = = -  div jdV V  j dS n S  t  dV =- V  j dS n (1.15) S Trong ®ã j n hình chiếu j theo ph-ơng pháp tun vu«ng gãc víi diƯn tÝch S 10       -  = Hay     [ , ]   §iỊu kiện đủ ( [, ] a b ) Đặt a Ta có ph-ơng trình trị riêng: = a (3.15) Tác dụng toán tử lên vế (3.15), ta đ-ợc:  V×      =    a = a   = nªn:   = a (3.16) Đặt: ' hàm riêng toán tử ứng với trị riêng a Ph-ơng trình (3.16) trở thµnh:    ' =  ' (3.17) So sánh (3.15) (3.17) ta đ-ợc: ' hay  ' =const  NÕu chän const=b th×:    ' =   = b    b = b b VËy: 29  a  b 3.5 Hệ thức bất định Heisenberg Xét hệ l-ợng tử trạng thái biểu diễn hàm sóng (x) hai biến số động lực L M đ-ợc biểu diễn hai toán tử L M Ta đà biết L M giao hoán đo đ-ợc xác đồng thời L M Nếu L M không giao hoán ta không đo xác đồng thời đ-ợc Vậy L M không giao hoán, ta tiến hành đo đồng thời độ xác đạt đến mức nào? Vì L M biểu diễn hai biến số động lực nên chúng toán tử écmit Ta chứng minh đ-ợc: [ L, M ] i toán tử écmit Gọi L , M giá trị trung bình hai biến số động lực L M độ lệch khỏi giá trị trung bình L M lµ:    L  L L   M  M  M    L  L  L   M  M  M  [L, M ]  [ L, M ] i Ta tính đ-ợc: Để tìm mối liên hệ L M , ta xÐt:   ( )   ( L i M ) ( x) dx  x   Tõ tÝnh chÊt Ðcmit cđa c¸c to¸n tư L M ta đ-a ( ) dạng: 30     ( )   * ( L i M )( L i M ). dx x Khai triển tích hai toán tử nhóm số hạng cần thiết ta đ-ợc:   ( )   * ( x)( L    M ) ( x).dx  x      i[L, M ] đó: Ta thấy đại l-ợng ngoặc d-ới dấu tích phân toán tử Giả sử hàm sóng (x) đà chuẩn hoá thì: ( )   L2     M 2 Để ( )   4L M  2 hay  L M 2 (3.18) Đó hệ thức bất định Heisenberg cho đại l-ợng vật lý L M không đo đ-ợc xác đồng thêi     VÝ dô: Chän L  x vµ M  px  i    ta chứng minh đ-ợc: [ x, px ] i Nghĩa x toạ độ x hình chiếu xung l-ợng px không đo đ-ợc xác đồng thời Nếu đo đồng thời hai đại l-ợng độ xác phải thoả mÃn hệ thức: x p x2   (3.19) ý nghÜa hệ thức bất định Heisenberg: Biểu thị mối liên hệ sai số gặp phải đo đồng thời hai đại l-ợng vật lý mà hai toán tử biểu diễn chúng không giao hoán Việc ta xác định xác đồng thời số đại l-ợng vật lý khả ng-ời bị hạn chế mà chất đối t-ợng vi mô định Nó phản ánh tính chất riêng, đặc thù giới vi mô, hạt vi mô 31 có l-ỡng tính sóng hạt Hạt vi mô quỹ đạo xác định, khác với hạt vĩ mô có quỹ đạo hoàn toàn xác định Khi đo đại l-ợng vật lý ta phải tác động vào hệ phôton, làm nhiễu loạn hệ Đối với hệ vĩ mô nhiễu loạn không đáng kể, bỏ qua, nh-ng hệ vi mô nhiễu loạn đáng kể 3.6 Ph-ơng trình Schrodinger 3.6.1 Ph-ơng trình Schrodinger không phụ thuộc thời gian Xét hạt chuyển động tr-ờng phụ thuộc vào toạ độ V V (r ) Hạt có l-ợng E hàm sóng phụ thuộc toạ độ E (r ) Ph-ơng trình trị riêng toán tử l-ợng là: E (r ) = E  E (r ) ®ã: VËy  2 p 2   V (r )     V (r ) 2m 2m [ 2   V (r )] (r )  E. E (r ) 2m (3.20) Nếu hạt chuyển động trục x, hàm có dạng V (x) (3.20) cã d¹ng: [ 2   V ( x)] ( x) E. E ( x) 2m Ph-ơng trình (3.20) ph-ơng trình Schrodinger không phụ thuộc thời gian Đó ph-ơng trình vi phân có đạo hàm riêng hạng hai tun tÝnh Hµm sãng  (r ) lµ nghiƯm ph-ơng trình Schrodinger không phụ thuộc thời gian phải thoả mÃn điều kiện: đơn giá, liên tục hữu hạn 32 3.6.2 Một số toán a) Hạt chuyển động hố có bề sâu vô hạn Xét tr-ờng hợp hạt có khối l-ợng m, chuyển ®éng tù mét “giÕng thÕ mét chiÒu” cã bề rộng a (hình1) Hàm nă ng có dạng: V(x) = 0 =   n   n  =  n 0 (n  )  n  =  (n + ) < H > =  (n + VËy  )  n  n   (3.40) n- (3.41) Từ (3.41) trạng thái riêng toán tử tức toán tử ứng với trị riêng n - phải Với dao động tử điều hoà trạng thái nh- không tồn Điều kiện đ-ợc đảm bảo đặt: a = =  1 = a 0 Theo (3.34) suy ra: (3.42)  a  1 =  2 = Ta thấy ph-ơng trình (3.42) có nghiệm tầm th-êng ®èi víi      0 = a  a 0 = = (3.43) Trị riêng ứng với hàm riêng =        a   = a  a a   = a  ( a  a + 1)  = a = Trị riêng ứng với hàm riêng T-ơng tự, dựa vào (3.37) ta chứng minh đ-ợc số n đánh dấu hàm riêng n số nguyên    n =  ( n + ) n Trị riêng l-ợng dao ®éng tư ®iỊu hoµ lµ: E n =  ( n + ) víi n = 0, 1,2 (3.44) Nh- l-ợng dao động tử có giá trị gián đoạn (khác với học cổ điển), giá trị nhỏ o Các mức l-ợng cách khoảng o cách mức c Hàm riêng dao động tử điều hoà ( Đặt: m0 2 ) x   x   Khi ®ã a vµ a  trë thµnh:  a =   a =   ip     ( x ) = (x  ) = (  ) m x m  2   (3.45)  ip     ( x )= (x  ) = (  ) m x m  2  (3.46) Ph-ơng trình Schrodinger (3.25) trở thành: (2 a  a   2E 2E )    (   )  0 Trạng thái dao động tử điều hoà thoả mÃn: Theo (3.45): (  (3.47)  a 0 =  ) 0 = (3.48) Ph-ơng trình (3.47) có nghiệm: = A0 e  2 (3.49) ChuÈn ho¸ (3.49) theo  :      d  A0  e d   A0   2    0 =  e  2 (3.50)  ( x)  B0 e  ChuÈn ho¸ (3.51) ta đ-ợc: Vậy B0 e ( x ) 2 (3.51) 2  B0  0 =  2 2 2 e  Dùa vào hàm riêng (3.50) ta suy trạng thái riêng lại: = a 2 =   a  1 = ( a  ) 0 ……………………………… n  n!  ( a  )n  Vậy Chuẩn hoá A1 ta đ-ợc:  1 = A1 (   ) e = - A1 2 e  A1 = (2 ) Vậy trạng thái riêng thø n lµ: 2   n ( )  An (   )n e    n Nhận xét: Toán tử vi phân bậc n ( a ) tác động lên hàm mũ e hàm mũ nhân với đa thức bậc n theo   2 sÏ cho ta cïng Hàm riêng dao động tử điều hoà là: n ( ) = A n  n ( ) e  2 (3.52) Trong ®ã: 1 m 2 n  ( ) x , A n =(2 n!  )   n ( ) gọi đa thức écmit, nghiệm ph-ơng trình écmit: "n - 'n +2n  n = D¹ng thĨ cđa ®a thøc ecmit 1  2 ;   16  48  12   4  ;   32  16  120   8 12 ; Phần III: Kết luận Trong khuôn khổ khoá luận đÃ: Trình bày biểu thức hàm sóng hạt vi mô, ý nghĩa thống kê hàm sóng, nguyên lý chồng chất trạng thái, chuẩn hoá hàm sóng, điều kiện mà hàm sãng ph¶i tho¶ m·n, sù phơ thc thêi gian cđa hàm sóng Tìm hiểu vấn đề liên quan đến toán tử nói chung, toán tử écmit riêng (định nghĩa, tính chất cho hai tr-ờng hợp toán tử có phổ gián đoạn liên tục) Tìm hiểu mối liên hệ hàm sóng toán tử thông qua vấn đề: trị trung bình biến số động lực, hệ số phân tích, từ nguyên lý t-ơng ứng đ-a dạng t-ờng minh toán tử (toạ độ, xung l-ợng, l-ợng mô men xung l-ợng),sự đo xác đồng thời hai biến số động lực, hệ thức bất định Heisenberg Trình bày số toán áp dụng ph-ơng trình Schrodinger không phụ thuộc thời gian Tài liệu tham khảo Cơ học l-ợng tử Phạm Quý T-, Đỗ Đình Thanh Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội, 2005 Cơ học l-ợng tử Nguyễn Xuân HÃn Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội, 1998 Nhập môn học l-ợng tử: Cơ sở phơng pháp Nguyễn Hoàng Ph-ơng Nhà xuất giáo dục, 1998 Cơ học l-ợng tử - Đặng Quang Khang Nhà xuất khoa học kỹ thuật Hà Nội, 1996 Giáo trình vật lý lý thuyết (Tập 1: Các định luật bản) A.X Kompanheetx Nhà xuất Đại học trung học chuyên nghiệp Hà Nội Nhà xuất Mir Maxcơva 6.Vật lý đại c-ơng (tập 3) Dao động- Quang học Vật lý l-ợng tử Ngô Phú An, L-ơng Duyên Bình, Vũ Thanh Liêm, Lê Văn Nghĩa, Lê Băng S-ơng, Nguyễn Hữu Tòng Nhà xuất đại học trung học chuyên nghiêp, 1986 Cơ học l-ợng tử Vũ Ngọc Sáu Tr-ờng đại häc Vinh, 2000 ... Ch-ơng II Toán tử 2.1 Định nghĩa tính chất toán tử .11 2.1.1 Định nghĩa toán tử 11 2.1.2 Toán tử tuyến tính..11 2.1.3 Các phép tính toán tử. .12 2.2 Hàm riêng trị riêng toán tử. 12 2.3 Toán tử écmit... II: Toán tử 2.1 Định nghĩa tính chất toán tử 2.1.1 Định nghĩa toán tử Toán tử thực thể toán học tác dụng lên hàm biến thành hàm khác ( x )  ( x) VÝ dơ:  Ta nãi to¸n tư tác dụng lên hàm. .. 2.2 Hàm riêng trị riêng to¸n tư 13       XÐt toán tử hàm sóng (x) , toán tử tác dụng lên hàm sóng (x) số a nhân với hàm sóng ®ã:    (x) = a  (x) (2.1) a đ-ợc gọi trị riêng toán tử