powerpoint presentation chương 3 cơ học lượng tử i xác suất của hàm phân bố liên tục tk ii hàm sóng iii toán tử operator iv phương trình schrodinger v hạt trong hố thế vi dao động tử điều hòa vii

Nếu U(x) là nghiệm riêng thỏa PT Schrodinger với trị riêng E thì hàm â + (x) cũng là nghiệm riêng của PT Schrodinger với năng lượng riêng là E   . Hàm â - (x) cũng là nghiệm riêng [r]

CHƯƠNG CƠ HỌC LƯỢNG TỬ

I XÁC SUẤT CỦA HÀM PHÂN BỐ LIÊN TỤC (TK)

II HÀM SĨNG

III TỐN TỬ (OPERATOR)

IV PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER V HẠT TRONG HỐ THẾ

II HÀM SÓNG (Wave fuction)

1 Biểu thức sóng phẳng đơn sắc điểm M cách nguồn O đoạn :

Véctơ sóng xác định theo véctơ đơn vị phương truyền sóng:

Hàm sóng dạng phức: vì

   OM

r



) r. k t

sin( A

) v . T

r. 2 t

sin( A

) t , r

(         



)] r k t

( i exp[ A

) t , r

(     



k

n

k 

  

)} r k t

sin( i

) r k t

{cos( A

) t , r

(        



} sin i

{cos A

1.Ý nghĩa thống kê hàm sóng Theo thuyết sóng ánh sáng:

Thuyết hạt ánh sáng: hạt photon tạo I tỷ lệ số photon qua 1m2

trong s gọi mật độ hạt:

Vì Hàm sóng phức mô tả trạng thái vi mô hạt chuyển động nhanh có bình phương biên độ:

2 Điều kiện chuẩn hóa: Xác suất tìm thấy hạt thể tích V bất kỳ mà hạt cư trú 1.0.

3 Điều kiện hàm sóng: 1- Giới nội

2- Đơn trị 3- Liên tục.

4- Đạo hàm bậc hàm sóng phải liên tục.

2 i

i

2 A.e Ae *

A

I       

2 i

i

A Ae

e. A * . )t

,r (

p         

2 A *

) t , r

(  

 

1 dV ) t , r ( * ) t , r (

V

 



4. Quan hệ sóng Broglie vi hạt chuyển động tự do có lượng

và xung lượng Tính tần số góc:

Cịn véctơ sóng:

Hàm sóng viết dạng:

mv

P  

 

h h c

E

E hc

h c

2

     

   



  



 P

n h h n

2

k 

   

 

)] r . k t

( i exp[ A

) t , r

(       

] r P Et

)[ i exp(

A 

  

Vận tốc Pha - Vận tốc nhóm Vận tốc Pha:

Vận tốc truyền sóng cho pha không đổi:

suy : hay:

Vận tốc u lớn vận tốc ánh sáng 

Vận tốc pha vận tốc truyền lượng. const )

dx x

( P )

dt t

( E Px

Et      

 

Pdx

Edt 

v c v

m

c m P

E dt

dx u

2

 

 

Vận tốc nhóm vận tốc chuyển động tồn bó sóng Vận tốc nhóm bó sóng bằng

vận tốc hạt chuyển động.

v mc

mv c

E P c P

E

u 2

2

 

 

 

)] r k t

( i exp[ A

) t , r

(     

III TOÁN TỬ (OPERATOR)

1 Toán tử: Ánh xạ tác dụng lên hàm biến hàm thành hàm khác:

Ví dụ :

) t , z , y , x ( g ) t , z , y , x ( f Aˆ  xt ) z y x (

Aˆ  

2 Một số tốn tử thơng dụng A-Tốn tử đạo hàm:

Ví dụ: dx

d

Aˆ  (2x y z) 2

dx d ) z y x (

Aˆ 2

    e z e y e x d

Gra   

           2

2z) (2x y z) 2e 2yze y e

y x

2 ( d

gra         

2 2 2 z y x Aˆ            2 2 2 2 2 z ) z y x ( y ) z y x ( x ) z y x ( ) z y x ( Aˆ              z ) z y x (

Aˆ  

z y x ) z , y , x (

f  

C-Toán tử Laplace: Ví dụ :

A PHÉP TOÁN CHO TOÁN TỬ 1 PHÉP CỘNG:

Ví dụ : Aˆ  Bˆ Cˆ

z xy x 2 ) z , y , x ( f ) x dx d ( ) z y x (

Cˆ      

2 PHÉP TRỪ Ví dụ:

Dˆ Bˆ Aˆ 

z xy x 2 ) z y x (

Dˆ    

) f Bˆ ( Aˆ f ) Bˆ Aˆ (  z y x 4 )} z y x 2 ( x { dx d f ) Bˆ . Aˆ

(    

) f Aˆ ( Bˆ f ) Aˆ Bˆ (  x Bˆ ; dx d

Aˆ  

3 PHÉP NHÂN Ví dụ :

z y x ) z , y , x (

f  

Dˆ Eˆ

Aˆ

Bˆ  

x 2 )} z y x 2 ( dx d { x f ) Aˆ Bˆ

B GIAO HOÁN TỬ 1 Định nghĩa:

Ví dụ : Aˆ.Bˆ Bˆ.Aˆ

0 ) yz ( dx d )} z y x ( dy d { dx d ) z y x ( Bˆ

Aˆ     

zˆ , yˆ , xˆ dy d Bˆ ; dx d

Aˆ  

2 Các toán tử giao hoán

z y x ) z , y , x (

f  

0 ) ( dy d )} z y x ( dx d { dy d ) z y x ( Aˆ

Bˆ     

dz d ; dy d ; dx d 2 2 2 dz d ; dy d ; dx d x y ; y x 2      

3 Các tốn tử khơng giao hốn

Bài tập : Xem TT sau giao hốn với ? 2 Tổ hợp toán tử giao hoán được

Khi mà

) Dˆ Cˆ

)( Bˆ Aˆ

(  

Aˆ Dˆ Dˆ

Aˆ Aˆ

Cˆ Cˆ

Aˆ   

Bˆ Dˆ Dˆ

Bˆ Bˆ

Cˆ Cˆ

Bˆ   

3

1 e

z e

y e

x d

Gra   

   

  

   

2 2

2

2

z y

x Aˆ

   

  

   

3

1 ye ze

e x

rˆ   



 



rˆ d

C TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH (LINEAR OPERATOR) 1 Định nghĩa: cho hàm f1 f2…fn số c1 c2…cn A TT tuyến tính

Các TT tuyến tính



 c f. }  c[Aˆ f. ] {

Aˆ i i i

3

1 e

z e

y e

x d

Gra   

   

  

   

2 2

2

2

z y

x Aˆ

   

  

   

3

1 ye ze

e x

rˆ   



 



Bài tập : Xem TT sau có tuyến tính khơng ?

2

2

2

dz d ; dy

d ; dx

d ; dz

d ; z ; dy

d ; y ; dx

d ; x

rˆ d

D.HÀM RIÊNG VÀ TRỊ RIÊNG CỦA TOÁN TỬ 1 Định nghĩa:

Ví dụ : Ta có tìm hàm riêng trị riêng

) x ( f )

x ( f

Aˆ 

2 Dùng định nghĩa

dx d aˆ 

3 Chuyển vế:

) x ( f dx

) x ( df )

x ( f

aˆ  

dx )

x ( f

) x ( df

  

4 Lấy tích phân dx ln f(x) c(lnc ) .x

) x ( f

) x ( df

1  

 

  



5 Biến đổi x

1

1f(x) x c f (x) e

c

ln  

 

   

x 2e

c )

x (

f  



E TOÁN TỬ TỰ LIÊN HỢP TUYẾN TÍNH HERMITTE 1 Định nghĩa:Ta có hàm bất kỳ

 TT Hermitte:

2 Ví dụ Xét tốn tử

Xét vế trái : Dùng tích phân phần:

Vế phải: So sánh:

Để Â Hermitte ta có:

Kết luận: hàm fi(x) nhân lẫn không Gọi trực giao

) x ( f ), x (

f1 2

dx ) x ( f ] Aˆ )[ x ( f dx

) x ( f Aˆ ) x (

f1 2 2  1



 

dx d i Aˆ 

] ) dx f

dx d f

( f

f [ i dx

) x ( f dx

d ) x ( f

i1 2 1 2 2 1

 

 

dx ) x ( f dx

d ) x ( f i dx ) x ( f ] dx

d i )[ x (

f2 1 2 1



 

0 )

x ( f ). x (

Tính chất TT hermitte

1 Nó có trị riêng giá trị thực. 2 Các hàm riêng trực giao:

3 Các hàm riêng tạo thành hệ đủ: hàm bất kỳ khai triển thành tổ hợp TT hàm trực giao

   

 

  

 



K L

khi 0

K L

khi 1

) K L

( )

x ( f ). x (

fL K

) x ( f C )

x (

U n

1 k

k k 



IV PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER

Các tiên đề Cơ lượng tử

1.Mỗi đại lượng a CH cổ điển tương ứng TT Hermitte â CH Lượng tử cho trị riêng â số thực giá trị đại lượng a.

Ví dụ tốn tử lượng có trị riêng E

2 Hệ thức TT có hình thức giống hệt đại lượng cổ điển tương ứng

H

rˆ , zˆ , yˆ ,

xˆ 

] P . x r [

L   

Ví dụ: TT tọa độ phép nhân TT mômen xung lượng

Các tốn tử thơng dụng Cơ lượng tử 1 TT tọa độ= Tương ứng phép nhân

rˆ , zˆ , yˆ ,

xˆ 

2 Các toán tử xung lượng

4 toán tử lượng:

toán tử năng

x i

Pˆx

  

 

y i

Pˆy

  

 

z i

Pˆz

  

 

] z e y

e x

e [ i i

Pˆ 1 2 3

  

  

  

  

      

3 tốn tử xung lượng tịan phần

) z , y , x ( U m

2 P E

2  

) z y

x ( m m

2 Pˆ

2 2

2

2

2

   

  

 

 

) x , y , x ( U )

z , y , x (

PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER

Ý nghĩa

1 Hàm riêng trị riêng toán tử lượng. Nếu lượng không đổi

2 PT Schodinger không phụ thuộc t

Giải được:- Trị riêng mức lượng - Hàm riêng mô tả trạng thái

) t , z , y , x ( E )

t , z , y , x (

Hˆ  

) z , y , x ( ) iEt exp(

A )

r ( ) iEt exp(

A )

t , r

(      



 

 

) z , y , x ( E )

z , y , x ( Hˆ )

r (

Hˆ     

) z , y , x ( . E )

z , y , x ( )] z , y , x ( U m

2 [

2

 

 

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER

MỤC ĐÍCH KHI GIẢI

1.TÌM TRỊ RIÊNG: Tức xác định mức lượng xem có bị gián đọan khơng (lượng tử hóa)

2.TÌM HÀM RIÊNG: Dùng tính xác suất nơi tìm thấy hạt (đám mây điện tử) Xác định hàm mật độ xác suất CÁC LƯU Ý KHI GIẢI

1.BIẾT DẠNG TOÁN TỬ THẾ NĂNG: Thường một phép nhân Nếu đơn giản U=0

2.CHIỀU CỦA KHƠNG GIAN: 1D/ 2D/ 3D Đơn giản là chiều

3.Có phải tách khơng gian làm nhiều vùng khác nhau để tìm hàm sóng cho vùng.

2 2

2

dx d m 2 m

2

 

V HẠT TRONG HỐ THẾ VUÔNG

Bên hố  x  a U =

Bên ngòai hố > x x > a U vơ hạn

Bên ngịai U lớn nên hạt nhảy ra hạt tồn bên  Phương trình S

Xét chuyển động theo phương x nên:

Nghiệm là:

Lưu ý x=a hàm sóng khơng

a

U=0

) z , y , x ( E 0

) z , y , x ( ) z y

x ( m

2

2

2

2

  

 

  

  

  

) x ( k )

x ( E m x

) x

( 2

2

2

 

 

  

 

 

mE k 

kx sin A

) x

( 



 

0 sin n

Kết quả: ka n

2 n

2 2

n n

m E a

n k

a n k

  

 

 

, , n

ma n m

2 k

E 2

2 2

n

n 

 

 

Kết luận mức lượng: 1- Năng lượng bị lượng tử hóa 2- Năng lượng tỉ lệ với bình

phương số nguyên 3- E1 mức thấp (Ground state) 4- Từ E2 lên mức kích thích (excited state) 5- Khỏang cách mức không

) 1 n

2 ( ma 2

] n )

1 n

[( ma

2 E

E

E 2

2 2

2

2 n

1

n 

  

 

 



Kết quả:

Kết luận hàm sóng bậc n:

1- Ta chứng minh hàm sóng trực giao.

2- Xác suất tìm thấy hạt tỉ lệ với mức lượng thứ n

? A kx

sin A )

x

(   



a A

1 a A dx

) kx ( sin

A 2

a

0

 

 



Theo chuẩn hóa hàm sóng :

) a

x n sin( a

2 )

x k sin( a

2 )

x

( n

n

 

 

) n m

( dx

) x k sin( )

x k sin( a

2

/ n

a

0

m n

m    



  

x

U(x)

a x

U(x)

a

x

U(x)

a

Kết quả: nghiệm tổng quát tổ hợp tuyến tính nghiệm ) a x n sin( c a c ) x (

f  nn   n 

Kết quả: nghiệm có yếu tố thời gian

) t iE exp( ) a x n sin( c a ) iEt exp( ) x ( ) t , x

(    n   n

  ) t ma n i exp( ) a x n sin( c a 2 2 n     

Kết quả: cho trường hợp 3D hạt hộp vuông 2 2 2 2 2 2 mc nx mb ny ma nx E E E

E            

V DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA Trong 1D : Hệ chịu tác động lực tuần

hoàn f=-kx, nên động U=kx2/2

Phương trình Schrodinger chiều:

Xét hai toán tử tăng giảm:

Lấy phép nhân tốn tử  viết lạI PT Schrodinger

2 x m

2 xˆ m

2 xˆ k )

x ( Uˆ

2 2

2

  

 

) x ( u E )

x ( u ) x 2

m dx

d m 2 i

( n n n

2

2

 



 

 , aˆ

aˆ

] x im

dx d i

[ m 2

1

aˆ    

) x ( u E )

x ( u }

1 )

a a {( )

x ( u

V DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA Ta chứng minh luận điểm sau:

Nếu U(x) nghiệm riêng thỏa PT Schrodinger với trị riêng E hàm â+(x) nghiệm riêng của PT Schrodinger với lượng riêng E  

Hàm â-(x) nghiệm riêng PT Schrodinger với lượng riêng E 

Kết qủa mức lượng

1- Các lượng cách đoạn 2- Mức lượng thấp có giá trị dương và lượng nhiệt độ 0K ??

3- Mức thứ J có giá trị

  E 

  

2 1 E0

 

( j 0,5)

NGHIỆM CỦA DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA

Nghiệm trạng thái u0: đó

Nếu tác dụng hạ bậc khơng cịn sóng

Phương trình xác định:

Giải nghiệm:

Dùng điều kiện chuẩn hóa  Biên độ sóng là Và viết lại hàm bản:

Hàm trạng thái m

0 )

x ( u

aˆ 0 

0 ) x ( u ] x im dx d i [ m ) x ( u

aˆ 0     0 

) x 2 m exp( A ) x (

u0 0

Kết quả: nghiệm có yếu tố thời gian m(x,t) um(x)exp( iEmt)

Kết quả: cho trường hợp 3D hạt hộp vuông

2 2

2

2

2

1 m z

2 y

m x

m ) z ( U )

y ( U )

x ( U )

z , y , x (

U         

Kết quả: Về lượng

) nz ny

nx N

( )

2 3 nz

ny nx

(

EN        

) z ( Z ). y ( Y ). x ( X

) x , y , x

( nx ny nz

nz , ny ,

nx 



Kết quả: Về hàm sóng

Lúc có suy biến: Cùng mức lượng có

nx ny nz

Trạng thái 0

Trạng thái

2

Trạng thái 0

Trạng thái 1

Trạng thái 1

Trạng thái 1

Ví dụ với mức     

2 )

VII Hiệu ứng đường hầm Tuner effect

Giải toán hạt chuyển động vướt qua rào có U cao lượng nó.

O X

U0

Miền 3 Miền 2

Miền 1

Khi  x  U = 0: miền Khi a  x  0 U = U0: miền 2

Khi x  a  U = 0: miền d

dx k

2

2 12





 

Trong Miền I III Nghiệm:

k12 2mE2 

Trong Miền II d

dx k

2

2 2

2 



  k22 m U E

2

2

 (  )



) x ik exp(

B )

x ik exp(

A1 1 1 1

1   



) x k exp( B

) x k exp(

A1 2 2 2

2   

Để tìm nghiệm, dùng điều kiện biên, có biên độ ứng

miền có DK biên  phải bỏ hệ số B3 với giả

thuyết sóng không phản xạ vô cùng.

Vấn đề ta quan tâm sóng có qua rào khơng?

Hệ số truyền qua D: tỷ số bình phương biên độ sóng truyền qua hàng rào bình phương biên độ sóng tới hàng rào

??? 0

A A

D 2

1

 

Kết qủa thu được

0 )

a k 2 exp( )

n 1

(

n 16

D 2 2 2

2

 

 

n k

k

E

U E

 



2

Ví dụ: Nếu hiệu lượng cho E-U0=1,28.10-31 J,

đó ta dùng lý thuyết để tính phụ thuộc hệ số truyền qua D vào độ rộng hố a.

a(m) 10-10 1,5.10-10 2.10-10 5.10-10

D 0,1 0,03 0,008 5.10-7

Hệ số truyền qua D đáng kể độ rộng hố a rất nhỏ, hạt thể tính chất sóng vi hạt điều khơng thể có với hạt vĩ mơ.

Ứng dụng:

1- Giải thích phát xạ lạnh electron kim loại

1- Phương trình truyền sóng vật chất: 2- Ýnghĩa tính chất hàm sóng

3-Vận tốc pha nhóm

4- Toán tử phép toán Toán tử Tốn Tử Hermitte 5- Giao hốn tử tính chất Hàm riêng trị riêng.

6- PT Schrodinger 7- Hạt hố

8- Dao động tử điều hòa.

9- Hiệu ứng đường ngầm

Ôn tập )] r k t ( i exp[ A ) t , r (       v u ; v c u N

P  

) z , y , x ( E ) z , y , x ( )] z , y , x ( U m [        , , n ma n m k E 2 2 2 n n      ) a x n sin( a ) x k sin( a ) x ( n n      

(j 0,5)

Ej ) x m exp( m ) x ( u /              ) a k exp( ) n ( n 16

D 2 2 2

2

 



 n kk  U E E



2