Đang tải... (xem toàn văn)
Nếu U(x) là nghiệm riêng thỏa PT Schrodinger với trị riêng E thì hàm â + (x) cũng là nghiệm riêng của PT Schrodinger với năng lượng riêng là E . Hàm â - (x) cũng là nghiệm riêng [r]
(1)CHƯƠNG CƠ HỌC LƯỢNG TỬ
I XÁC SUẤT CỦA HÀM PHÂN BỐ LIÊN TỤC (TK)
II HÀM SĨNG
III TỐN TỬ (OPERATOR)
IV PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER V HẠT TRONG HỐ THẾ
(2)II HÀM SÓNG (Wave fuction)
1 Biểu thức sóng phẳng đơn sắc điểm M cách nguồn O đoạn :
Véctơ sóng xác định theo véctơ đơn vị phương truyền sóng:
Hàm sóng dạng phức: vì
OM
r
) r. k t
sin( A
) v . T
r. 2 t
sin( A
) t , r
(
)] r k t
( i exp[ A
) t , r
(
k
n
k
)} r k t
sin( i
) r k t
{cos( A
) t , r
(
} sin i
{cos A
(3)1.Ý nghĩa thống kê hàm sóng Theo thuyết sóng ánh sáng:
Thuyết hạt ánh sáng: hạt photon tạo I tỷ lệ số photon qua 1m2
trong s gọi mật độ hạt:
Vì Hàm sóng phức mô tả trạng thái vi mô hạt chuyển động nhanh có bình phương biên độ:
2 Điều kiện chuẩn hóa: Xác suất tìm thấy hạt thể tích V bất kỳ mà hạt cư trú 1.0.
3 Điều kiện hàm sóng: 1- Giới nội
2- Đơn trị 3- Liên tục.
4- Đạo hàm bậc hàm sóng phải liên tục.
2 i
i
2 A.e Ae *
A
I
2 i
i
A Ae
e. A * . )t
,r (
p
2 A *
) t , r
(
1 dV ) t , r ( * ) t , r (
V
(4)4. Quan hệ sóng Broglie vi hạt chuyển động tự do có lượng
và xung lượng Tính tần số góc:
Cịn véctơ sóng:
Hàm sóng viết dạng:
mv
P
h h c
E
E hc
h c
2
P
n h h n
2
k
)] r . k t
( i exp[ A
) t , r
(
] r P Et
)[ i exp(
A
(5)Vận tốc Pha - Vận tốc nhóm Vận tốc Pha:
Vận tốc truyền sóng cho pha không đổi:
suy : hay:
Vận tốc u lớn vận tốc ánh sáng
Vận tốc pha vận tốc truyền lượng. const )
dx x
( P )
dt t
( E Px
Et
Pdx
Edt
v c v
m
c m P
E dt
dx u
2
Vận tốc nhóm vận tốc chuyển động tồn bó sóng Vận tốc nhóm bó sóng bằng
vận tốc hạt chuyển động.
v mc
mv c
E P c P
E
u 2
2
)] r k t
( i exp[ A
) t , r
(
(6)III TOÁN TỬ (OPERATOR)
1 Toán tử: Ánh xạ tác dụng lên hàm biến hàm thành hàm khác:
Ví dụ :
) t , z , y , x ( g ) t , z , y , x ( f Aˆ xt ) z y x (
Aˆ
2 Một số tốn tử thơng dụng A-Tốn tử đạo hàm:
Ví dụ: dx
d
Aˆ (2x y z) 2
dx d ) z y x (
Aˆ 2
e z e y e x d
Gra
2
2z) (2x y z) 2e 2yze y e
y x
2 ( d
gra
2 2 2 z y x Aˆ 2 2 2 2 2 z ) z y x ( y ) z y x ( x ) z y x ( ) z y x ( Aˆ z ) z y x (
Aˆ
z y x ) z , y , x (
f
C-Toán tử Laplace: Ví dụ :
(7)A PHÉP TOÁN CHO TOÁN TỬ 1 PHÉP CỘNG:
Ví dụ : Aˆ Bˆ Cˆ
z xy x 2 ) z , y , x ( f ) x dx d ( ) z y x (
Cˆ
2 PHÉP TRỪ Ví dụ:
Dˆ Bˆ Aˆ
z xy x 2 ) z y x (
Dˆ
) f Bˆ ( Aˆ f ) Bˆ Aˆ ( z y x 4 )} z y x 2 ( x { dx d f ) Bˆ . Aˆ
(
) f Aˆ ( Bˆ f ) Aˆ Bˆ ( x Bˆ ; dx d
Aˆ
3 PHÉP NHÂN Ví dụ :
z y x ) z , y , x (
f
Dˆ Eˆ
Aˆ
Bˆ
x 2 )} z y x 2 ( dx d { x f ) Aˆ Bˆ
(8)B GIAO HOÁN TỬ 1 Định nghĩa:
Ví dụ : Aˆ.Bˆ Bˆ.Aˆ
0 ) yz ( dx d )} z y x ( dy d { dx d ) z y x ( Bˆ
Aˆ
zˆ , yˆ , xˆ dy d Bˆ ; dx d
Aˆ
2 Các toán tử giao hoán
z y x ) z , y , x (
f
0 ) ( dy d )} z y x ( dx d { dy d ) z y x ( Aˆ
Bˆ
dz d ; dy d ; dx d 2 2 2 dz d ; dy d ; dx d x y ; y x 2
3 Các tốn tử khơng giao hốn
(9)Bài tập : Xem TT sau giao hốn với ? 2 Tổ hợp toán tử giao hoán được
Khi mà
) Dˆ Cˆ
)( Bˆ Aˆ
(
Aˆ Dˆ Dˆ
Aˆ Aˆ
Cˆ Cˆ
Aˆ
Bˆ Dˆ Dˆ
Bˆ Bˆ
Cˆ Cˆ
Bˆ
3
1 e
z e
y e
x d
Gra
2 2
2
2
z y
x Aˆ
3
1 ye ze
e x
rˆ
rˆ d
(10)C TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH (LINEAR OPERATOR) 1 Định nghĩa: cho hàm f1 f2…fn số c1 c2…cn A TT tuyến tính
Các TT tuyến tính
c f. } c[Aˆ f. ] {
Aˆ i i i
3
1 e
z e
y e
x d
Gra
2 2
2
2
z y
x Aˆ
3
1 ye ze
e x
rˆ
Bài tập : Xem TT sau có tuyến tính khơng ?
2
2
2
dz d ; dy
d ; dx
d ; dz
d ; z ; dy
d ; y ; dx
d ; x
rˆ d
(11)D.HÀM RIÊNG VÀ TRỊ RIÊNG CỦA TOÁN TỬ 1 Định nghĩa:
Ví dụ : Ta có tìm hàm riêng trị riêng
) x ( f )
x ( f
Aˆ
2 Dùng định nghĩa
dx d aˆ
3 Chuyển vế:
) x ( f dx
) x ( df )
x ( f
aˆ
dx )
x ( f
) x ( df
4 Lấy tích phân dx ln f(x) c(lnc ) .x
) x ( f
) x ( df
1
5 Biến đổi x
1
1f(x) x c f (x) e
c
ln
x 2e
c )
x (
f
(12)E TOÁN TỬ TỰ LIÊN HỢP TUYẾN TÍNH HERMITTE 1 Định nghĩa:Ta có hàm bất kỳ
 TT Hermitte:
2 Ví dụ Xét tốn tử
Xét vế trái : Dùng tích phân phần:
Vế phải: So sánh:
Để Â Hermitte ta có:
Kết luận: hàm fi(x) nhân lẫn không Gọi trực giao
) x ( f ), x (
f1 2
dx ) x ( f ] Aˆ )[ x ( f dx
) x ( f Aˆ ) x (
f1 2 2 1
dx d i Aˆ
] ) dx f
dx d f
( f
f [ i dx
) x ( f dx
d ) x ( f
i1 2 1 2 2 1
dx ) x ( f dx
d ) x ( f i dx ) x ( f ] dx
d i )[ x (
f2 1 2 1
0 )
x ( f ). x (
(13)Tính chất TT hermitte
1 Nó có trị riêng giá trị thực. 2 Các hàm riêng trực giao:
3 Các hàm riêng tạo thành hệ đủ: hàm bất kỳ khai triển thành tổ hợp TT hàm trực giao
K L
khi 0
K L
khi 1
) K L
( )
x ( f ). x (
fL K
) x ( f C )
x (
U n
1 k
k k
(14)IV PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER
Các tiên đề Cơ lượng tử
1.Mỗi đại lượng a CH cổ điển tương ứng TT Hermitte â CH Lượng tử cho trị riêng â số thực giá trị đại lượng a.
Ví dụ tốn tử lượng có trị riêng E
2 Hệ thức TT có hình thức giống hệt đại lượng cổ điển tương ứng
H
rˆ , zˆ , yˆ ,
xˆ
] P . x r [
L
Ví dụ: TT tọa độ phép nhân TT mômen xung lượng
(15)Các tốn tử thơng dụng Cơ lượng tử 1 TT tọa độ= Tương ứng phép nhân
rˆ , zˆ , yˆ ,
xˆ
2 Các toán tử xung lượng
4 toán tử lượng:
toán tử năng
x i
Pˆx
y i
Pˆy
z i
Pˆz
] z e y
e x
e [ i i
Pˆ 1 2 3
3 tốn tử xung lượng tịan phần
) z , y , x ( U m
2 P E
2
) z y
x ( m m
2 Pˆ
2 2
2
2
2
) x , y , x ( U )
z , y , x (
(16)PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER
Ý nghĩa
1 Hàm riêng trị riêng toán tử lượng. Nếu lượng không đổi
2 PT Schodinger không phụ thuộc t
Giải được:- Trị riêng mức lượng - Hàm riêng mô tả trạng thái
) t , z , y , x ( E )
t , z , y , x (
Hˆ
) z , y , x ( ) iEt exp(
A )
r ( ) iEt exp(
A )
t , r
(
) z , y , x ( E )
z , y , x ( Hˆ )
r (
Hˆ
) z , y , x ( . E )
z , y , x ( )] z , y , x ( U m
2 [
2
(17)GIẢI PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER
MỤC ĐÍCH KHI GIẢI
1.TÌM TRỊ RIÊNG: Tức xác định mức lượng xem có bị gián đọan khơng (lượng tử hóa)
2.TÌM HÀM RIÊNG: Dùng tính xác suất nơi tìm thấy hạt (đám mây điện tử) Xác định hàm mật độ xác suất CÁC LƯU Ý KHI GIẢI
1.BIẾT DẠNG TOÁN TỬ THẾ NĂNG: Thường một phép nhân Nếu đơn giản U=0
2.CHIỀU CỦA KHƠNG GIAN: 1D/ 2D/ 3D Đơn giản là chiều
3.Có phải tách khơng gian làm nhiều vùng khác nhau để tìm hàm sóng cho vùng.
2 2
2
dx d m 2 m
2
(18)V HẠT TRONG HỐ THẾ VUÔNG
Bên hố x a U =
Bên ngòai hố > x x > a U vơ hạn
Bên ngịai U lớn nên hạt nhảy ra hạt tồn bên Phương trình S
Xét chuyển động theo phương x nên:
Nghiệm là:
Lưu ý x=a hàm sóng khơng
a
U=0
) z , y , x ( E 0
) z , y , x ( ) z y
x ( m
2
2
2
2
) x ( k )
x ( E m x
) x
( 2
2
2
mE k
kx sin A
) x
(
0 sin n
(19)Kết quả: ka n
2 n
2 2
n n
m E a
n k
a n k
, , n
ma n m
2 k
E 2
2 2
n
n
Kết luận mức lượng: 1- Năng lượng bị lượng tử hóa 2- Năng lượng tỉ lệ với bình
phương số nguyên 3- E1 mức thấp (Ground state) 4- Từ E2 lên mức kích thích (excited state) 5- Khỏang cách mức không
) 1 n
2 ( ma 2
] n )
1 n
[( ma
2 E
E
E 2
2 2
2
2 n
1
n
(20)Kết quả:
Kết luận hàm sóng bậc n:
1- Ta chứng minh hàm sóng trực giao.
2- Xác suất tìm thấy hạt tỉ lệ với mức lượng thứ n
? A kx
sin A )
x
(
a A
1 a A dx
) kx ( sin
A 2
a
0
Theo chuẩn hóa hàm sóng :
) a
x n sin( a
2 )
x k sin( a
2 )
x
( n
n
) n m
( dx
) x k sin( )
x k sin( a
2
/ n
a
0
m n
m
x
U(x)
a x
U(x)
a
x
U(x)
a
(21)Kết quả: nghiệm tổng quát tổ hợp tuyến tính nghiệm ) a x n sin( c a c ) x (
f nn n
Kết quả: nghiệm có yếu tố thời gian
) t iE exp( ) a x n sin( c a ) iEt exp( ) x ( ) t , x
( n n
) t ma n i exp( ) a x n sin( c a 2 2 n
Kết quả: cho trường hợp 3D hạt hộp vuông 2 2 2 2 2 2 mc nx mb ny ma nx E E E
E
(22)V DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA Trong 1D : Hệ chịu tác động lực tuần
hoàn f=-kx, nên động U=kx2/2
Phương trình Schrodinger chiều:
Xét hai toán tử tăng giảm:
Lấy phép nhân tốn tử viết lạI PT Schrodinger
2 x m
2 xˆ m
2 xˆ k )
x ( Uˆ
2 2
2
) x ( u E )
x ( u ) x 2
m dx
d m 2 i
( n n n
2
2
, aˆ
aˆ
] x im
dx d i
[ m 2
1
aˆ
) x ( u E )
x ( u }
1 )
a a {( )
x ( u
(23)V DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA Ta chứng minh luận điểm sau:
Nếu U(x) nghiệm riêng thỏa PT Schrodinger với trị riêng E hàm â+(x) nghiệm riêng của PT Schrodinger với lượng riêng E
Hàm â-(x) nghiệm riêng PT Schrodinger với lượng riêng E
Kết qủa mức lượng
1- Các lượng cách đoạn 2- Mức lượng thấp có giá trị dương và lượng nhiệt độ 0K ??
3- Mức thứ J có giá trị
E
2 1 E0
( j 0,5)
(24)NGHIỆM CỦA DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA
Nghiệm trạng thái u0: đó
Nếu tác dụng hạ bậc khơng cịn sóng
Phương trình xác định:
Giải nghiệm:
Dùng điều kiện chuẩn hóa Biên độ sóng là Và viết lại hàm bản:
Hàm trạng thái m
0 )
x ( u
aˆ 0
0 ) x ( u ] x im dx d i [ m ) x ( u
aˆ 0 0
) x 2 m exp( A ) x (
u0 0
(25)Kết quả: nghiệm có yếu tố thời gian m(x,t) um(x)exp( iEmt)
Kết quả: cho trường hợp 3D hạt hộp vuông
2 2
2
2
2
1 m z
2 y
m x
m ) z ( U )
y ( U )
x ( U )
z , y , x (
U
Kết quả: Về lượng
) nz ny
nx N
( )
2 3 nz
ny nx
(
EN
) z ( Z ). y ( Y ). x ( X
) x , y , x
( nx ny nz
nz , ny ,
nx
Kết quả: Về hàm sóng
Lúc có suy biến: Cùng mức lượng có
(26)nx ny nz
Trạng thái 0
Trạng thái
2
Trạng thái 0
Trạng thái 1
Trạng thái 1
Trạng thái 1
Ví dụ với mức
2 )
(27)VII Hiệu ứng đường hầm Tuner effect
Giải toán hạt chuyển động vướt qua rào có U cao lượng nó.
O X
U0
Miền 3 Miền 2
Miền 1
Khi x U = 0: miền Khi a x 0 U = U0: miền 2
Khi x a U = 0: miền d
dx k
2
2 12
Trong Miền I III Nghiệm:
k12 2mE2
Trong Miền II d
dx k
2
2 2
2
k22 m U E
2
2
( )
) x ik exp(
B )
x ik exp(
A1 1 1 1
1
) x k exp( B
) x k exp(
A1 2 2 2
2
(28)Để tìm nghiệm, dùng điều kiện biên, có biên độ ứng
miền có DK biên phải bỏ hệ số B3 với giả
thuyết sóng không phản xạ vô cùng.
Vấn đề ta quan tâm sóng có qua rào khơng?
Hệ số truyền qua D: tỷ số bình phương biên độ sóng truyền qua hàng rào bình phương biên độ sóng tới hàng rào
??? 0
A A
D 2
1
Kết qủa thu được
0 )
a k 2 exp( )
n 1
(
n 16
D 2 2 2
2
n k
k
E
U E
2
(29)Ví dụ: Nếu hiệu lượng cho E-U0=1,28.10-31 J,
đó ta dùng lý thuyết để tính phụ thuộc hệ số truyền qua D vào độ rộng hố a.
a(m) 10-10 1,5.10-10 2.10-10 5.10-10
D 0,1 0,03 0,008 5.10-7
Hệ số truyền qua D đáng kể độ rộng hố a rất nhỏ, hạt thể tính chất sóng vi hạt điều khơng thể có với hạt vĩ mơ.
Ứng dụng:
1- Giải thích phát xạ lạnh electron kim loại
(30)1- Phương trình truyền sóng vật chất: 2- Ýnghĩa tính chất hàm sóng
3-Vận tốc pha nhóm
4- Toán tử phép toán Toán tử Tốn Tử Hermitte 5- Giao hốn tử tính chất Hàm riêng trị riêng.
6- PT Schrodinger 7- Hạt hố
8- Dao động tử điều hòa.
9- Hiệu ứng đường ngầm
Ôn tập )] r k t ( i exp[ A ) t , r ( v u ; v c u N
P
) z , y , x ( E ) z , y , x ( )] z , y , x ( U m [ , , n ma n m k E 2 2 2 n n ) a x n sin( a ) x k sin( a ) x ( n n
(j 0,5)
Ej ) x m exp( m ) x ( u / ) a k exp( ) n ( n 16
D 2 2 2
2
n kk U E E
2