Chuong 9 co hoc luong tu (ly thuyet va bai tap)

BÀI GIẢNG VÀ BÀI TẬP CHƯƠNG CƠ LƯỢNG TỬ Tóm tắt lý thuyết - Hàm sóng phẳng đơn sắc ánh sáng Theo thuyết photon ánh sáng Einstein, ánh sáng có cấu tạo gián đoạn, gồm hạt chuyển động chân không, môi trường với vận tốc c (c = 3.108 m/s), mang lượng động lượng p xác định:  h hc   h  ; p  mc   c   Hàm sóng:   i      r , t    exp    t  p r        Hoặc:         r , t    exp i  t  k r        Trong  biên độ sóng viết thay cho a Biểu thức gọi hàm sóng phẳng đơn sắc ánh sáng - Giả thuyết de Broglie (1892-1987) “Mọi vi hạt tự do, có lượng xác định, động lượng xác định liên hợp với sóng phẳng đơn sắc” Hàm sóng phẳng đơn sắc vi hạt tương tự hàm sóng phẳng ánh sáng:   i      r , t    exp   Wt  p r         h W  h động lượng: p  mv  , v vận tốc hạt  - Ý nghĩa xác suất sóng de Broglie + sóng de Broglie sóng điện từ, sóng de Broglie có chất đặc thù lượng tử + Đại lượng  gọi mật độ xác suất tìm thấy hạt (tức xác suất tìm thấy hạt đơn vị thể tích) Xác suất PV tìm thấy hạt thể tích V bằng: PV    dV V Vì chắn tìm thấy hạt nơi toàn không gian nên xác suất P  nên miền lấy tích phân toàn không gian P    dV  - điều kiện chuẩn hóa hàm sóng  Hệ thức bất định Heisenberg (1901-1976) Hệ thức bất định tọa độ động lượng: x.p x  h viết x.p x   Ý nghĩa hệ thức bất định Heisenberg Từ hệ thức trên, thấy x nhỏ p x lớn ngược lại Như vậy, vị trí x xác định động lượng (và vận tốc) bất định Đặc biệt x  px   tức vị trí xác định vận tốc không xác định Như vậy, hệ thức bất định Heisenberg cho ta biết giới hạn ứng dụng học cổ điển áp dụng vào giới vĩ mô, mà không hạn chế khả nhận thức Hệ thức bất định cho lượng W.t  h W.t   Chúng ta thấy, lượng hệ bất định, thời gian tồn hệ trạng thái nhỏ, ngược lại lượng hệ trạng thái xác định, thời gian tồn hệ trạng thái lớn Như vậy, trạng thái hệ có lượng xác định ( W nhỏ) trạng thái bền ( t lớn), trạng thái hệ có lượng bất định trạng thái không bền Phương trình Schrodinger 2m   Wđ    Phương trình gọi phương trình Schrodinger cho hạt tự Mở rộng phương trình cho trường hợp hạt không tự do, nghĩa hạt chuyển động trường lực U không phụ thuộc thời gian, ta viết được: Wđ = W – U Trong W lượng toàn phần hạt, từ đó, ta có phương trình: 2m    W  U     Đây phương trình Schrodinger cho hạt chuyển động trường lực đặc trưng U Ta giới hạn xét hệ kín hay đặt trường không biến thiên theo thời gian t Năng lượng hệ không đổi trạng thái hệ gọi trạng thái dừng Phương trình gọi phương trình Schrodinger cho trạng thái dừng Ứng dụng phương trình Schrodinger Hạt giếng vuông góc chiều có độ sâu vô Giếng có bề rộng a Giếng mô tả năng:  x  0, x  a Ux   0  x  a Xét phương trình Schrodinger cho hạt nằm giếng (U = 0) chiều 2m d  2m  W  , đặt k  W  , k số thực  dx  d Suy ra:  k 2  dx Giải phương trình cho ta:  2 W n , n  1, 2, 2ma Như ta thấy lượng Wn lấy giá trị gián đoạn, phụ thuộc vào n2 Ta nói lượng hạt bị lượng tử hóa Số n gọi số lượng tử Mỗi trạng thái hạt ứng với hàm sóng:  n  n x  sin  x  a  a  Từ hình ta thấy mật độ xác suất giếng điểm khác trạng thái khác khác Trong học cổ điển, xác suất tìm thấy hạt điểm giếng lượng tử hoàn toàn khác Hiệu ứng đường ngầm Hiện tượng: Hiệu ứng đường ngầm tượng vi hạt vượt qua rào có độ lớn U0 lớn lượng W hạt Rào miền không gian lớn miền bao quanh Xét rào vuông góc: 0 -  x  (I)  U  x    U  x  a (II) 0 a  x   (III)  Gia sử hạt chuyển động theo chiều dương trục x Nếu lượng hạt W, động hạt Wđ U0 , theo học cổ điển W  U0  Wđ  tức W0  dx d 2m  k 22   0; k 22   U  W  >0 dx  d 2m  k12   0; k12  W>0 dx  Trong miền 1, có sóng tới sóng phản xạ, nghiệm có dạng: 1  A1eik1x  B1e ik1x Số hạng thứ biểu diễn sóng tới, số hạng thứ biển diễn sóng phản xạ Trong miền 2,   A e  k x  B2 e k x Trong miền 3, ik x a  ik x a 3  A3e    B3e   B3e  ik1  x a  biểu diễn sóng truyền từ vô cực (từ phải sang trái) sóng không tồn tại, nên B3=0 Dựa vào điều kiện liên tục hàm sóng đạo hàm x = 0, x = a, ta tìm mối quan hệ A1, B1, A2, B2, A3 Hệ số truyền qua: A3  2a  2m  U  W    exp     A1 Như vậy, lượng W hạt nhỏ hàng rào hệ số truyền qua khác 0, nghĩa có hạt xuyên qua hàng rào Các tập cần làm 5.1-5.6 5.11, 5.12, 5.13, 5.21, 5.23, 5.24, 5.26, 5.28 Bài 5.1 Tính bước sóng de Broglie electron proton chuyển động với vận tốc 106 m/s Bài giải: Với toán ta thấy vận tốc electron proton nhỏ so với vận tốc ánh sáng nên ta coi electron proton hạt cổ điển h 6.626.1034 e    728.1012 m 31 moe v 9,1.10 10 D h 6.626.1034   0,396.1012 m m op v 1, 672.1027.106 Bài 5.2 Hạt electron tương đối tính chuyển động với vận tốc 2.108 m/s Tính bước sóng de Broglie Bài giải: Với toán cần lưu ý, hạt electron tương đối tính có khối lượng thay đổi, nên động lượng tính sau: m 0e v , từ suy bước sóng: p v2 1 c p   h h v2 6, 625.1034 22 1     p m0e v c 9,1.1031.2.108 32  2, 71.1012 m Bài 5.12 Hạt vi mô có độ bất định động lượng 1% động lượng Tính tỷ số bước sóng de Broglie  độ bất định tọa độ ( x ) hạt Bài giải: p  100 h 2  1%; x   ;   p p p p p Có: x 100 50    2   Bài 5.23 Hạt giếng chiều, chiều cao vô  x  0, x  a Ux   0  x  a a) Hạt trạng thái ứng với n = Xác định vị trí ứng với cực đại cực tiểu mật độ xác suất tìm hạt; a 2a ; b) Hạt trạng thái n = Tìm xác suất để tìm hạt có vị trí khoảng  x  3 c) Tìm vị trí x xác suất tìm hạt trạng thái n = n = nhau; d) Chứng minh rằng:   m  x   n  x  dx  mn Với 0 m  n (ký hiệu Kronecker) mn   1 m  n e) Chứng minh trạng thái n, số điểm nút mật độ xác suất tìm hạt (tức điểm mật độ xác suất = 0) n+1 Bài giải: a) Hàm sóng ứng với trạng thái n = 2:  2  2  x   sin  x a  a  Mật độ xác suất: 2  2    x   sin  x a  a  Mật độ xác suất nói cực đại khi:  2   2  sin  x    sin  x   1  a   a  2 a ka   x   k  x   a a 3a Vì  x  a  x  ; 4 Mật độ xác suất cực tiểu khi:  2   2  sin  x    sin  x   a   a  2 ka x  k  x   a a Vì  x  a  x  a 2a là: b) Xác suất tìm thấy hạt khoảng  x  3 2a /3 2a /3 2  2   x dx    a /3 a /3 a sin  a x  dx   2a /3  a /3 1 4  x  dx    cos a a  2a  2a a  a 4     sin x  a  3  a 4 a a 1   4 2a   4 a     sin    sin     4   a   a  1   8   4   sin    sin         4       4 c) Trạng thái n = ta có:   1  x   sin  x  a a  Trạng thái n = ta có:  2  2  x   sin  x a  a  Điều kiện toán là: 2 1  x     x  , tức là: 2    2  2  sin  x   sin  x  a a  a  a   2   4   cos  x   cos  x   a   a  2  4  2  a x  a x  2k  a x  2k    4 x   2 x  2k  6 x  2k a  a  a Suy ra:  x  ka;  x  a  vô nghiêm    x  ka ;  x  a  x  a ; 2a 3  d) a a  m   n   x  x dx      n 0 m 0 a sin  a x  sin  a x  dx a   m  n        m  n    x   cos  x   dx   cos  a   a a     Xét trường hợp m = n, tích phân trở thành: a   m  n      0 a 1  cos  a x   dx    m  n   1 a  a  0  sin  x a a m  n  a   a 1 Trường hợp m  n ta có tích phân trở thành: a   m  n        m  n    cos x  cos x   dx =     0 a   a a      a m  n   a  sin  x  a m  n  a   a  m  n   a sin  x  a m  n  a   e) Với hàm sóng ứng với mức n bất kỳ:  nx  n  x   sin   a  a  Tại điểm mật độ xác suất tìm hạt ta có: nx ka  nx   k  x  sin  0 a n  a  a 2a na  x  a  x  0; ; ; ; n n n Tổng cộng điểm thỏa mãn điều kiện n+1 điểm ... proton nhỏ so với vận tốc ánh sáng nên ta coi electron proton hạt cổ điển h 6.626.1034 e    728.1012 m 31 moe v 9, 1.10 10 D h 6.626.1034   0, 396 .1012 m m op v 1, 672.1027.106 Bài 5.2...        m  n    x   cos  x   dx   cos  a   a a     Xét trường hợp m = n, tích phân trở thành: a   m  n      0 a 1  cos  a x   dx    m  n...    x  , tức là: 2    2  2  sin  x   sin  x  a a  a  a   2   4   cos  x   cos  x   a   a  2  4  2  a x  a x  2k  a x  2k    4 x   2 x  2k