CHƯƠNG 8 CƠ HỌC LƯỢNG TỬ

Chương 8: Cơ học lượng tử CHƯƠNG CƠ HỌC LƯỢNG TỬ Cuối kỷ 19 đầu kỷ 20 vật lý học thu loạt thành tựu mới: khám phá tia X, phụ thuộc khối lượng electrôn vào vận tốc chuyển động, xạ nhiệt vật đen tuyệt đối, hiệu ứng quang điện, hiệu ứng Compton… Những tượng khơng thể giải thích dựa vào quan điểm Vật lý cổ điển, điều chứng tỏ sở Vật lý xây dựng trước bắt đầu lung lay ngành Vật lý đứng trước thách thức Người ta nhận thấy vào giới nguyên tử, phân tử (kích thước 10-9 - 10-10 m, gọi giới vi mô) quy luật Vật lý cổ điển khơng Đây tiền đề cho mơn khoa học đời môn Cơ học lượng tử Cơ học lượng tử mơn khoa học nghiên cứu tính chất vật chất giới vi mô Cơ học lượng tử giải nhiều vấn đề có liên quan đến tính chất vật lý vật chất mức độ sâu sắc hơn, so với vật lý cổ điển Do ta nói học cổ điển trường hợp giới hạn học lượng tử ta chuyển từ việc nghiên cứu vi mô sang nghiên cứu vĩ mô Cơ học lượng tử cung cấp cho ta kiến thức để hiểu tượng xảy nguyên tử, hạt nhân, vật rắn LƯỠNG TÍNH SĨNG HẠT CỦA VI HẠT 1 Lưỡng tính sóng hạt ánh sáng Như chương trước thấy ánh sáng vừa có tính sóng vừa có tính hạt: tượng giao thoa, nhiễu xạ thể tính chất sóng, hiệu ứng quang điện, hiệu ứng Compton thể tính chất hạt ánh sáng Lưỡng tính sóng hạt ánh sáng Einstein nêu thuyết phôtôn: ánh sáng cấu tạo hạt phôtôn, hạt mang h lượng E = hν động lượng p = λ Ta thấy đại lượng đặc trưng cho Hình 8-1 Sự truyền sóng phẳng ánh sáng tính chất hạt (E,p) đại lượng đặc trưng cho tính chất sóng ( ν, λ ) liên hệ trực tiếp với Chúng ta thiết lập hàm sóng cho hạt phơtơn.Xét chùm ánh sáng đơn sắc, song song Mặt sóng mặt phẳng vng góc với phương truyền sóng Nếu dao động sáng O x ( t ) = A cos πν t (8-1) 173 Chương 8: Cơ học lượng tử biểu thức dao động sáng điểm mặt sóng qua điểm M cách mặt sóng qua O đoạn d là: d d d x ( t - ) = A cos 2πν ( t - ) = A cos 2π(ν t - ) c c λ (8-2) 2π d = A cos(ω t ) λ c vận tốc ánh sáng chân khơng, λ bước sóng ánh sáng chân khơng: c λ = cT = , với T chu kì , ν tần số sóng ánh sáng Từ hình 8-1 ta có: ν d = r cos α = r.n (8-3) n : vectơ pháp tuyến đơn vị Thay (8-3) vào (8-2) ta nhận được: d r.n (8-4) x ( t − ) = A cos 2π (ν t − ) c λ Đó hàm sóng phẳng đơn sắc Sử dụng kí hiệu ψ cho hàm sóng biểu diễn dạng hàm phức ta có ⎡ ⎛ r.n ⎞⎤ ψ = ψ o exp ⎢− 2π i⎜ ν t − ⎟⎥ ⎜ λ ⎟⎠⎥ ⎢⎣ ⎝ ⎦ Nếu thay ν = (8-5) E h h , p = h = vào (7-5) ta được: h λ 2π ( ) ⎡ i ⎤ ψ = ψ o exp ⎢ − Et − p r ⎥ h ⎣ ⎦ (8-6) Giả thuyết de Broglie (Đơbrơi) Trên sở lưỡng tính sóng hạt ánh sáng, de Broglie suy lưỡng tính sóng hạt cho electrôn vi hạt khác Giả thuyết de Broglie: Một vi hạt tự có lượng, động lượng xác định tương ứng với sóng phẳng đơn sắc Năng lượng vi hạt liên hệ với tần số dao động sóng tương ứng thơng qua hệ thức: E = hν hay E = hω Động lượng vi hạt liên hệ với bước sóng sóng tương ứng h theo hệ thức: p = hay p = h k λ 2π k vectơ sóng, có phương, chiều phương, chiều truyền sóng, có độ lớn k = Sóng de λ Broglie sóng vật chất, sóng vi hạt Thực nghiệm xác nhận tính chất sóng hạt vi mô Nhiễu xạ electrôn qua khe hẹp: Cho chùm electrôn qua khe hẹp Trên huỳnh quang ta thu hình ảnh nhiễu xạ giống tượng nhiễu xạ ánh sáng qua khe hẹp Nếu ta cho electrôn riêng biệt qua khe thời gian dài để số electrôn qua khe đủ lớn, ta 174 Chương 8: Cơ học lượng tử thu hình ảnh nhiễu xạ huỳnh quang Điều chứng tỏ hạt electrơn riêng lẻ có tính chất sóng Hình 8-2 Nhiễu xạ electrơn qua khe hẹp Nhiễu xạ electrơn tinh thể Thí nghiệm Davisson Germer quan sát tượng nhiễu xạ electrơn mặt tinh thể Ni (hình 7-3) Khi cho chùm electrôn bắn vào mặt tinh thể Ni, chùm esẽ tán xạ mặt tinh thể Ni góc khác Trên hình ta thu vân nhiễu xạ Hiện tượng xảy giống hệt tượng nhiễu xạ tia X mặt tinh thể Ni Tinh thể Ni cách tử nhiễu xạ Hiện tượng electrôn nhiễu xạ cách tử chứng tỏ chất sóng chúng Thay Ni tinh thể khác, tất thí nghiệm xác nhận chùm electrôn gây tượng nhiễu xạ tinh thể Các vi hạt khác nơtrôn, prôtôn gây tượng nhiễu xạ tinh thể Các kết thí nghiệm xác nhận tính chất sóng vi hạt chứng minh đắn giả thuyết de Broglie Cuối cùng, ta phải nhấn mạnh nội dung giới hạn giả thiết de Broglie Bước sóng de Broglie tỉ lệ nghịch với khối lượng hạt: λ= h h = p mv hạt thơng thường mà khối lượng lớn, chí vơ lớn so với khối lượng electrơn chẳng hạn bước sóng de Broglie tương ứng có giá trị Hình 8-3 Nhiễu xạ electrôn tinh thể vô bé khơng ý nghĩa để mơ tả tính chất sóng Như vậy, khái niệm lưỡng tính sóng hạt thực thể hạt vi mô mà thơi sóng de Broglie có chất đặc thù lượng tử, khơng tương tự với sóng thực vật lí cổ điển sóng nước hay sóng điện từ 175 Chương 8: Cơ học lượng tử HỆ THỨC BẤT ĐỊNH HEISENBERG Do có lưỡng tính sóng hạt nên qui luật vận động vi hạt giới vi mô khác với qui luật vận động hạt giới vĩ mô Một điểm khác biệt hệ thức bất định Heisenberg Để tìm hệ thức xét tượng nhiễu xạ chùm vi hạt qua khe hẹp có bề rộng b Sau qua khe hạt bị nhiễu xạ theo nhiều phương khác nhau, tuỳ theo góc nhiễu xạ ϕ , mật độ hạt nhiễu xạ cực đại cực tiểu Xét tọa độ hạt theo phương x, nằm mặt phẳng khe song song với bề rộng khe Tọa độ x hạt khe có giá trị khoảng từ đến b ( ≤ x ≤ b ) Nói cách khác, vị trí hạt khe Hình 8-4 Nhiễu xạ electrơn qua khe hẹp xác định với độ bất định Δx ≈ b Sau hạt qua khe, hạt bị nhiễu xạ, phương động lượng p thay đổi Hình chiếu p theo phương x có giá trị thay đổi khoảng ≤ p x ≤ p sin ϕ , nghĩa sau qua khe, hạt rơi vào cực đại cực đại phụ p x xác định với độ bất định Xét trường hợp hạt rơi vào cực đại Δp x ≈ p sin ϕ1 , ϕ1 góc ứng với cực tiểu thứ nhất: sin ϕ1 = λ Do ta có: b Δx.Δp x ≈ b.p sin ϕ1 = p.λ h Theo giả thuyết de Broglie p = Thay vào biểu thức ta nhận hệ thức bất định λ Heisenberg: Δx.Δp x ≈ h Δy.Δp y ≈ h Lý luận tương tự: (8-7) Δz.Δp z ≈ h Hệ thức bất định Heisenberg định luật học lượng tử Hệ thức chứng tỏ vị trí động lượng hạt khơng xác định xác cách đồng thời Vị trí hạt xác định động lượng hạt bất định ngược lại Ví dụ: Trong nguyên tử e- chuyển động phạm vi 10-10 m Do độ bất định vận tốc là: Δv x = Δp x h 6,625.10 −34 ≈ = = 7.10 m / s m e m e Δx 9.10 − 31.10 −10 Ta thấy Δv x lớn e- vận tốc xác định, nghĩa e- khơng chuyển động theo quĩ đạo xác định nguyên tử Điều chứng tỏ giới vi mô khái niệm quĩ đạo khơng có ý nghĩa 176 Chương 8: Cơ học lượng tử Ta xét hạt giới vĩ mô khối lượng hạt m = 10-15 kg, độ bất định vị trí Δx = 10 −8 m Do độ bất định vận tốc Δv x ≈ h 6,625.10 −34 = = 6,6.10 −11 m / s − 15 − m.Δx 10 10 Như hạt vĩ mô Δx Δv x nhỏ, nghĩa vị trí vận tốc xác định xác đồng thời Theo học cổ điển, biết toạ độ động lượng hạt thời điểm ban đầu ta xác định trạng thái hạt thời điểm sau Nhưng theo học lượng tử toạ độ động lượng vi hạt xác định đồng thời, ta đốn nhận khả vi hạt trạng thái định Nói cách khác vi hạt trạng thái với xác suất Do qui luật vận động vi hạt tuân theo qui luật thống kê Ngồi hệ thức bất định vị trí động lượng, học lượng tử người ta tìm hệ thức bất định lượng thời gian: ΔE.Δt ≈ h (8-8) Ý nghĩa hệ thức bất định lượng thời gian: lượng hệ trạng thái bất định thời gian để hệ tồn trạng thái ngắn ngược lại, lượng hệ trạng thái xác định thời gian tồn hệ trạng thái dài Như trạng thái có lượng bất định trạng thái khơng bền, trạng thái có lượng xác định thấp trạng thái bền HÀM SÓNG Biểu thức hàm sóng Do lưỡng tính sóng hạt vi hạt ta xác định đồng thời tọa độ động lượng vi hạt Để xác định trạng thái vi hạt, ta phải dùng khái niệm hàm sóng Theo giả thuyết de Broglie chuyển động hạt tự (tức hạt không chịu tác dụng ngoại lực) mơ tả hàm sóng tương tự sóng ánh sáng phẳng đơn sắc ⎡ i ⎤ (8-9) ψ = ψ o exp ⎢− Et − p r ⎥ = ψ o exp − i ω t − k r ⎣ h ⎦ ( ) [ ( )] Trong E = hω; p = h k ψ o biên độ xác định bởi: ψ o2 = ψ = ψψ * (8-10) ψ * liên hợp phức ψ Nếu hạt vi mơ chuyển động trường thế, hàm sóng hàm phức tạp toạ độ r thời gian t ψ(r, t ) = ψ( x, y, z, t ) 177 Chương 8: Cơ học lượng tử Ý nghĩa thống kê hàm sóng Xét chùm hạt phơtơn truyền khơng gian Xung quanh điểm M lấy thể tích ΔV (hình 8-5) *Theo quan điểm sóng: Cường độ sáng M tỉ lệ với bình phương biên độ dao động sáng M: Hình 8-5 Chùm hạt phơtơn truyền qua ΔV I ~ ψ o2 *Theo quan điểm hạt: Cường độ sáng M tỉ lệ với lượng hạt đơn vị thể tích bao quanh M, nghĩa tỉ lệ với số hạt đơn vị thể tích đó.Từ ta thấy số hạt đơn vị thể tích tỉ lệ với ψ o2 Số hạt đơn vị thể tích nhiều khả tìm thấy hạt lớn Vì nói bình phương biên độ sóng ψ tìm thấy hạt đơn vị thể tích bao quanh M Do ψ 2 M đặc trưng cho khả mật độ xác suất tìm hạt xác suất tìm thấy hạt tồn khơng gian ∫ ψ dV Khi tìm hạt tồn khơng gian, V chắn tìm thấy hạt Do xác suất tìm hạt tồn khơng gian 1: (8-11) ∫ ψ dV = V Đây điều kiện chuẩn hố hàm sóng Tóm lại: - Để mơ tả trạng thái vi hạt người ta dùng hàm sóng ψ - ψ - ψ khơng mơ tả sóng thực khơng gian Hàm sóng mang tính chất thống kê, biểu diễn mật độ xác suất tìm thấy hạt trạng thái liên quan đến xác suất tìm hạt 3 Điều kiện hàm sóng - Hàm sóng phải hữu hạn Điều suy từ điều kiện chuẩn hố, hàm sóng phải hữu hạn tích phân hữu hạn Hàm sóng phải đơn trị, theo lí thuyết xác suất: trạng thái có giá trị xác suất tìm hạt - Hàm sóng phải liên tục, xác suất ψ - Đạo hàm bậc hàm sóng phải liên tục 178 thay đổi nhảy vọt Chương 8: Cơ học lượng tử PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER Hàm sóng de Broglie mơ tả chuyển động vi hạt tự có lượng động lượng xác định: ⎡ i ⎤ ⎡ i ⎤ (8-12) ψ ( r , t ) = ψ o exp ⎢− Et − p r ⎥ = ψ ( r ) exp ⎢− Et ⎥ ⎣ h ⎦ ⎣ h ⎦ ( ) ⎡i ⎤ ψ ( r ) = ψ o exp ⎢ p r ⎥ ⎣h ⎦ (8-13) phần phụ thuộc vào tọa độ hàm sóng Ta biểu diễn ψ(r ) hệ tọa độ Đề sau: ⎡i ⎤ ψ ( r ) = ψ o exp ⎢ ( p x x + p y y + p z z ) ⎥ ⎣h ⎦ Lấy đạo hàm ∂ψ / ∂x , ta được: (8-14) ∂ψ ⎛ i ⎞ = ⎜ p x ⎟ψ ( r ) ∂x ⎝ h ⎠ Lấy đạo hàm bậc hai ψ theo x: ∂ 2ψ p 2x p ψ(r ) = − ψ(r ) x i2 = ∂x h h Ta thu kết tương tự cho biến y z Theo định nghĩa toán tử Laplace Δ hệ toạ độ Đề : ⎛ ∂2 ∂2 ∂ ⎞⎟ Δψ (r ) = ⎜ + + ψ (r ) ⎜ ∂x ∂y ∂z ⎟ ⎝ ⎠ (8-15) (8-16) ta được: Δψ (r ) = − p 2x + p 2y + p 2z h2 Gọi Eđ động hạt, ta viết được: ψ(r ) = − p2 h2 ψ(r ) (8-17) mv p = hay p2 =2mEđ 2m Thay p2 vào (8-17) chuyển sang vế trái ta thu được: 2m Δψ(r ) + E d ψ(r ) = (8-18) h2 Phương trình (8-18) gọi phương trình Schrodinger cho vi hạt chuyển động tự Mở rộng phương trình cho vi hạt khơng tự do, nghĩa vi hạt chuyển động trường lực U không phụ thuộc thời gian Năng lượng vi hạt E = Eđ + U Thay Eđ = E - U vào (8-18) ta được: 2m Δψ (r ) + E − U(r ) ψ(r ) = (8-19) h2 Eđ = [ ] 179 Chương 8: Cơ học lượng tử Biết dạng cụ thể U( r ), giải phương trình Schrodinger ta tìm ψ (r ) E, nghĩa xác định trạng thái lượng vi hạt Ta giới hạn xét hệ kín hay đặt trường ngồi không biến thiên theo thời gian Năng lượng hệ khơng đổi trạng thái hệ gọi trạng thái dừng Phương trình (8-19) gọi phương trình Schrodinger cho trạng thái dừng Cho đến ta xét hạt chuyển động với vận tốc v