Tài liệu Chương 9: Cơ sở của cơ học lượng tử vật lý nguyên tử và hạt nhân - Môn: Vật lý đại cương pot

Sóng De Broglie Từ lưỡng tính sóng - hạt của phôton, De Broglie ñã khái quát hoá cho electron và các hạt vi mô vi hạt khác và ñưa ra giả thuyết sau : Mỗi vi hạt chuyển ñộng tự do có năn

Chương 9

CƠ SỞ CỦA CƠ HỌC LƯỢNG TỬ VẬT LÝ NGUYÊN TỬ VÀ HẠT NHÂN

§9.1 LƯỠNG TÍNH SÓNG-HẠT CỦA VI HẠT

9.1.1 Lưỡng tính sóng - hạt của ánh sáng

Việc nghiên cứu các hiện tượng quang học ñã ñi ñến kết luận ánh sáng vừa có tính chất sóng vừa có tính chất hạt

ðể ñặc trưng cho sóng ánh sáng ta dùng tần số ν hay bước sóng λ nhưng ñể thuận tiện

người ta còn dùng tần số góc ω = 2πν và số sóng k =

λ

π 2

hay véc tơ số sóng k

r

=

λ

πn 2

, (n

là véc tơ ñơn vị chỉ hướng truyền sóng)

ðể ñặc trưng cho tính chất hạt của ánh sáng (phôton) người ta dùng năng lượng W và ñộng lượng P

r

Giữa các ñại lượng ñặc trưng cho sóng và hạt có các hệ thức:

P =

λ

h

hay P k

r h

r

=

và W = h ω (9.1)

Với h =

π 2

h

= 1,05.10 –34 Js Như vậy, một phôton có năng lượng W, ñộng lượngP

r

xác ñịnh tương ứng với một sóng ánh sáng ñơn sắc có tần số góc ω và số sóng k

r

xác ñịnh

9.1.2 Lưỡng tính sóng - hạt của vi hạt Sóng De Broglie

Từ lưỡng tính sóng - hạt của phôton, De Broglie ñã khái quát hoá cho electron và các hạt vi mô (vi hạt) khác và ñưa ra giả thuyết sau :

Mỗi vi hạt chuyển ñộng tự do có năng lượng W và ñộng lượng P

r

xác ñịnh, tương ứng với một sóng phẳng ñơn sắc có tần số góc ω và véc tơ số sóng k

r

xác ñịnh Giữa các ñại lượng ñặc trưng cho vi hạt (W,P

r

) và ñại lượng ñặc trưng cho sóng tương ứng (ω,k

r

) cũng có các hệ thức:

W = h ω

Vuihoc24h.vn

P h k r

r

Các hệ thức trên gọi là là hệ thức De Broglie và sóng phẳng ñơn sắc ứng với vi hạt chuyển ñộng tự do gọi là sóng De Broglie

Khi thực hiện ñược hiện tượng nhiễu xạ của chùm electron thì sự ñúng ñắn của giả thuyết De Broglie ñã ñược minh chứng

§9.2 HỆ THỨC BẤT ðỊNH HEISENBERG

9.2.1 Hệ thức

- Theo Heisenberg, trong cơ học lượng tử (cơ học của thế giới hạt vi mô) có những cặp ñại lượng không thể xác ñịnh một cách chính xác ñồng thời vì hệ thức bất ñịnh không cho phép

Giữa toạ ñộ x và thành phần ñộng lượng Px có hệ thức:

và tương tự: ∆y ∆Py ≈ h

∆z ∆Pz ≈ h (9.3)

Các hệ thức này gọi là các hệ thức bất ñịnh Heisenberg về toạ ñộ và ñộng lượng của vi hạt

Các thừa số ở vế trái là ñộ bất ñịnh của các ñại lượng tương ứng

ðể minh chứng cho các hệ

thức trên, ta có thể xét một thí

nghiệm:

Cho một chùm vi hạt

(electron) chuyển ñộng song song,

có ñộng lượng P

r

chiếu vào một khe hẹp có ñộ rộng b (hình 9.1)

Do electron có thể ñi qua một vị

trí bất kỳ trên bề rộng khe nên toạ

Hình 9.1

ñộ của electron có trị số trong khoảng: 0 ≤ x ≤ b, tức là ñộ bất ñịnh về toạ ñộ ∆x ≈ b

Chùm electron qua khe bị nhiễu xạ và lệch theo các phương khác nhau, nêú ta chỉ xét các electron rơi vào cực ñại giữa thì thành phần ñộng lượng Px của electron có trị số từ 0 ≤

P

v

ϕ

Vuihoc24h.vn

Px ≤ Psinϕ Tức là ñộ bất ñịnh về Px là ∆Px ≈ P sinϕ Theo lý thuyết nhiễu xạ ta ñã biết: sinϕ =

b

λ

Do ñó ∆Px ≈ P

b

λ

=

λ

h

b

λ

=

b

h

Vậy ta có: ∆x ∆Px ≈ b

b

h

⇒ ∆x ∆Px ≈ h

- Ngoài ra giữa năng lượng và thời gian cũng có hệ thức:

9.2.2 Ý nghĩa của các hệ thức bất ñịnh

- Các hệ thức (9.3) chứng tỏ vị trí và ñộng lượng (hay vận tốc) của vi hạt không thể xác ñịnh chính xác một cách ñồng thời Khi xác ñịnh ñược càng chính xác vị trí của vi hạt tức

là ñộ bất ñịnh về toạ ñộ càng nhỏ thì theo hệ thức bất ñịnh, ñộ bất ñịnh về ñộng lượng (hay vận tốc) của hạt càng lớn và việc xác ñịnh ñộng lượng (hay vận tốc) càng không chính xác

Ta xét ví dụ áp dụng cho trường hợp electron trong nguyên tử: Do electron chuyển ñộng trong phạm vi kích thước nguyên tử cỡ 10-10 m nên có thể lấy ñộ bất ñịnh về toạ ñộ của electron là: ∆x ≈ 10-10 m, ñộ bất ñịnh này là nhỏ Khi ñó ñộ bất ñịnh về ñộng lượng:

∆Px ≈

x

h

∆ và vận tốc ∆Vx ≈

m

Px

∆

=

Vx m

h

∆ ≈ 7.10 6 m/s như thế ñộ bất ñịnh về vận tốc là lớn, ñiều này chứng tỏ không thể xác ñịnh chính xác vận tốc của electron trong nguyên tử và như vậy cũng không thể xác ñịnh quỹ ñạo chính xác của nó (vì theo cơ học cổ ñiển, muốn xác ñịnh quỹ ñạo phải biết ñồng thời toạ ñộ và vân tốc ở mõi vị trí) Nói một cách khác, trong thế giới hạt vi mô, khái niệm quỹ ñạo không có ý nghĩa quan trọng nữa

- Hệ thức (9.4) có nghĩa là khi vi hạt ở trang thái năng lượng có ñộ bất ñịnh nhỏ (∆w nhỏ) thì thời gian mà hạt tồn tại ở trạng thái ñó lâu (∆t lớn) và ngược lại

Hệ thức (9.4) áp dụng cho electron trong nguyên tử còn cho phép xác ñịnh “thời gian sống” của electron ở các mức năng lượng khác nhau Thường electron ở mức năng lượng cao,

có ñộ bất ñịnh về năng lương ∆w lớn nên thời gian tồn tại của electron ở trạng thái ñó là ∆t nhỏ và ngược lại, electron sẽ tồn tại lâu ở các trạng thái năng lượng thấp (như trạng thái cơ bản) có ñộ bất ñịnh ∆w nhỏ Như vậy hệ thức (9.4) ñã phản ánh quy luật tồn tại của vi hạt trong tự nhiên

Vuihoc24h.vn

§9.3 HÀM SÓNG Ý NGHĨA THỐNG KÊ ðIỀU KIỆN VỀ HÀM SÓNG

9.3.1 Hàm sóng

Một sóng ánh sáng phẳng ñơn sắc (tương ứng với hạt phôton) có thể mô tả bằng hàm sóng dưới dạng hàm phức: i( t k r)

e A

r

− ω

−

⋅

=

Theo phép tính về số phức thì : ψ2= ψ.ψ * = A2 là bình phương biên ñộ hàm sóng Tương tự hàm sóng biểu diễn sóng ðơ Brơi của vi hạt tự do có dạng:

( t k r)

i

0 e

r

− ω

−

⋅ Ψ

=

i

0 e

r

h −

−

⋅ Ψ

=

với ψ0 là biên ñộ hàm sóng ñược xác ñịnh theo hệ thức: ψ2= ψ.ψ * = ψ2

0

ðối với vi hạt chuyển ñộng trong trường lực thế thì hàm sóng của chúng phức tạp hơn, song vẫn là hàm của toạ ñộ và thời gian:

( ) r , t = Ψ ( x , y , z , t )

Ψ

=

9.3.2 Ý nghĩa thống kê và ñiều kiện của hàm sóng

Ý nghĩa thống kê của hàm sóng

- Ta xét một không gian có thể tích dV bao quanh một ñiểm M bất kỳ mà có một chùm ánh sáng ñơn sắc gửi tới

+ Theo quan ñiểm sóng thì cường ñộ sáng tại M tỷ lệ với bình phương biên ñộ sóng tức là ψ2, nên ψ2 càng lớn thì ñiểm M càng sáng

+ Theo quan ñiểm lượng tử (hạt) thì cường ñộ sáng tại M lại tỷ lệ với số hạt phôton có trong một ñơn vị thể tích (gọi là mật ñộ hạt) tại ñó

Từ ñây ta suy ra mối liên hệ: Mật ñộ hạt bao quanh M tỷ lệ với bình phương biên ñộ hàm sóng ψ2 Như vậy là mật ñộ hạt có liên quan ñến hàm sóng

+ Mặt khác, nếu mật ñộ hạt càng cao thì khả năng phát hiện thấy hạt càng lớn, do ñó

có thể nói ψ2 tại mỗi ñiểm ñặc trưng cho khả năng phát hiện thấy hạt trong một ñơn vị thể tích không gian bao quanh ñiểm ñó (gọi là mật ñộ xác suất tìm thấy hạt tại ñiểm ñó)

- Quan niệm như vậy nếu áp dụng cho vi hạt, ta có thể nói: Hàm sóng của vi hạt không

mô tả một sóng thực nào cả (vì nó không phải là sóng cơ, sóng ñiện từ, ) mà nó chỉ giúp ta

Vuihoc24h.vn

tính ñược xác suất tìm thấy vi hạt ở một trạng thái nào ñó Do vậy hàm sóng mang tính thống

kê

- Xác suất tìm vi hạt trong thể tích dV bao quanh một ñiểm có hàm sóng ψ là ψ2 dV

và xác suất tìm hạt trong toàn không gian sẽ là ∫∫∫ ψ2dV

ðiều kiện của hàm sóng

- Rõ ràng tìm hạt trong toàn không gian thì chắc chắn sẽ thấy hạt, tức là xác suất bằng

Hệ thức này ñược gọi là ñiều kiện chuẩn hoá của hàm sóng

- ðể hàm sóng có ý nghĩa thì nó còn phải thoả mãn các ñiều kiện:

+ Hàm sóng phải giới nội ( ñiều kiện này ñảm bảo cho ñiều kiện chuẩn hoá ñược thực hiện)

+ Hàm sóng phải ñơn trị (ñể ñảm bảo một trạng thái có một hàm sóng và có một xác suất tìm thấy hạt, ñể không mâu thuẫn với lý thuyết xác suất)

+ Hàm sóng phải liên tục (vì mật ñộ xác suất biến thiên liên tục)

+ ðạo hàm bậc nhất của hàm sóng phải liên tục (ñiều kiện này rút ra từ phương trình

mà hàm sóng thoả mãn)

§ 9.4 PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA CƠ HỌC LƯỢNG TỬ

9.4.1 Phương trình

- Ta ñã biết hàm sóng mô tả trạng thái của vi hạt tự do là hàm sóng De Broglie

i wt i 0 r p wt i

t r

r h h r

h

Ψ

= Ψ

=

- ðối với vi hạt chuyển ñộng trong trường lực thế, có thế năng Wŧ, người ta chứng minh ñược rằng hàm sóngΨ ( ) r r t của nó cũng có thể phân tích thành 2 hàm riêng biệt, mỗi hàm chỉ phụ thuộc một biến là thời gian hoặc toạ ñộ Tức là: ( ) r t e ( ) r

wt i 0

r r

h Ψ Ψ

=

Thành phần Ψ ( ) r r không phụ thuộc thời gian gọi là hàm sóng dừng

- Theo Shrodinger, phương trình ñể xác ñịnh hàm sóng dừng Ψ ( ) r r có dạng:

( ) + 22 [ − ( ) ] Ψ ( ) = 0

h

r

(9.9)

Vuihoc24h.vn

Ở ñây ∆Ψ ( ) r r là toán tử Laplace tác dụng lên hàmΨ ( ) r r , trong hệ toạ ñộ Descartes

có dạng:

z

r y

r x

r r

∂

Ψ

∂ +

∂

Ψ

∂ +

∂

Ψ

∂

=

∆Ψ

r r

r r

Giải phương trình (9.9) ta tìm ñược các nghiệm tuyến tính của hàm sóng dừng có dạng: ψ = C1 ψ1 + C2 ψ2 với ψ1, ψ2 là các nghiệm riêng, C1, C2 là các hằng số

- Ta biết, hàm sóng ψ mô tả trạng thái của vi hạt, nếu biết ψ ta sẽ biết ñược xác suất tìm thấy vi hạt ở mỗi trạng thái Phương trình Srôñingơ là phương trình cho phép xác ñịnh hàm sóng

của vi hạt ; Ngoài ra giải phương trình Shrodinger ta còn thu ñược năng lượng của vi hạt nên phương trình Shrodinger ñược gọi là phương trình cơ bản của cơ học lượng tử

9.4.2 Ví dụ áp dụng

-Ta áp dụng phương trình Shrodinger ñể xét chuyển ñộng của electron trong tinh thể và

ñể ñơn giản có thể mô hình thành bài toán khi hạt chuyển ñộng trong trường thế với thế năng một chiều x có dạng như sau:

( )







≥

≤

∞

<

<

=

a x hoÆc 0

x khi

a x 0 khi 0

x

ðồ thị biểu diễn U(x) có dạng như một hố sâu (hình 9.2) nên gọi là hố thế năng một chiều

Như vậy hạt chỉ chuyển ñộng tự do trong hố thế mà không vượt ra khỏi hố

Phương trình Shrodinger cho vi hạt trong hố thế có dạng:

( ) ( )

0 x dx

x

2

2

= Ψ ω + Ψ

ðặt ω2 =

2

mw 2

h

0

2

2 2

2

= Ψ +

Ψ

x W

m dx

x d

Giải phương trình và sử dụng các ñiều kiện về hàm sóng ta ñược hàm sóng ψ(x) và năng lượng của vi hạt W ñều phụ thuộc số nguyên n là:

Vuihoc24h.vn









 π

=

a

n Sin a

2 x

2

2 2

ma

Wn = π h với n = 1, 2, 3

Từ kết quả trên ta rút ra một số nhận xét:

+ Mỗi trạng thái của vi hạt ứng với một hàm

sóng ψn (x)

+ Năng lượng của vi hạt trong hố thế Hình 9 2

phụ thuộc số nguyên n (gọi là số lượng tử) có

nghĩa là biến thiên một cách gián ñoạn, ta nói

năng lượng của vi hạt bị lượng tử hoá

+ Biểu diễn sơ ñồ năng lượng, mỗi

giá trị năng lượng gián ñoạn ứng với một

mức năng lượng (hình 9.3), ta có khoảng

cách giữa hai mức liên tiếp:

( 2 1 )

2 2

=

ma W

W

Như vậy m, a nhỏ thì khoảng cách các

mức năng lượng lớn còn các hạt vĩ mô có m,

a lớn thì khoảng cách các mức năng lượng

Hình 9.3

nhỏ ñến mức có thể coi như liên tục Nói một cách khác: Tính chất lượng tử (gián ñoạn) chỉ thể hiện rõ ở hạt vi mô

Như ñã nói ở §.9.2, trong cơ học lượng tử thì không thể xác ñịnh quỹ ñạo của hạt vi

mô mà chỉ có thể dựa vào hàm sóng ñể tính mật ñộ xác suất tìm thấy hạt ở một trạng thái nào

ñó

- Mật ñộ xác suất tìm vi hạt trong hố thế: ψ2= 









 π x a

n Sin a

suất ở các trạng thái ta thấy:

x

a

O

U

2

Ψ

n =3

n =2

n =1

x a/2

O

Vuihoc24h.vn

n = 1 Thì xác suất cực ñại tại x =

2 a

n = 2 thì xác suất cực ñại tại x =

4

a

,

4

a 3

n = 3 thì xác suất cực ñại tại x =

6

a

,

2

a

,

6

a 5

,

§9.5 VẬT LÝ NGUYÊN TỬ

9.5.1 Nguyên tử Hydro

Do nguyên tử Hydro có cấu tạo ñơn giản nhất so với nguyên tử của nguyên tố khác nên nguyên tử hydro ñã ñược nghiên cứu rất kỹ cả về lý thuyết lẫn thực nghiệm Những kết quả thu ñược về nguyên tử hydro có thể dùng làm cơ sở ñể nghiên cứu các nguyên tử khác phức tạp hơn

Trong nguyên tử , thế năng của các electron là U =

r kZe2

Với z là ñiện tích hạt nhân, r là khoảng cách từ electron ñến hạt nhân, k =

0

4

1 πεε

Nguyên tử hyñrô có Z=1 nên phương trình Srôñingơ cho nguyên tử hydro có dạng:

0 r

ke W m









 + +

∆Ψ h

Do nguyên tử hydro có ñối xứng cầu, vì vậy sử dụng toạ ñộ cầu với các biến số r,θ, ϕ

ta ñược phương trình Shrodinger dạng:

+













∂

Ψ

∂

∂

∂ +













∂

Ψ

∂

∂

∂

θ

θ θ

sin

1 1

2

2 2

r r

r r

sin

2 2

2 2









 + +

∂

Ψ

∂ +

r

ke W m

(9.10) Phương trình này có nghiệm với năng lượng W nhận giá trị gián ñoạn và bằng:

2 2

4 2 n

1 2

W

n

me k

h

−

=

hay 2 2 2

4 2 n

1 2

W

n

Rh n

me k

−

=

−

=

Vuihoc24h.vn

Trong ñó n là số nguyên thoả mãn n ≥ 1;

3

4 2

10 27 , 3

= h π

me k

Năng lượng của electron trong nguyên tử hydro nhận các giá trị gián ñoạn, ta nói là bị lượng tử hoá

Nghiệm của phương trình (9.10), tức là hàm sóng của electron trong nguyên tử hydro phụ thuộc vào các số nguyên (số lượng tử) n,l , ml và có dạng ψn m (r,θ,ϕ)

l

l

Với n là số lượng tử chính, nhận các giá trị: n = 1,2,3,

l là số lượng tử quỹ ñạo, l = 0, 1, 2, , (n-1)

l

m là số lượng tử từ , ml = 0, ±1, ±2, ±3, , ± l

Vậy ứng với một giá trị n có thể có một số hàm sóng khác nhau về l ,ml ðiều này

có nghĩa là nguyên tử hydro có thể ở các trạng thái khác nhau k có cùng một giá trị năng lượng

Các trạng thái có cùng năng lượng ñược gọi là trạng thái suy biến Do một giá trị n có

n giá trịl , một giá trịl lại có 2l + 1 giá trị ml nên mỗi mức năng lượng Wn của nguyên

tử hydro có bậc suy biến là n 1 2

0

n ) 1 2

∑−

= l

l

Người ta ký hiêu các trạng thái của electron cól khác nhau như sau:

Trạng thái vớil = 0 là trạng thái s

Trạng thái vớil = 1 là trạng thái p

Trạng thái vớil = 2 là trạng thái d, và số lượng tử chính ñặt trước chữ; Như vậy sẽ

có các trạng thái là 1s, 2s, 2p, 3s, 3p, 3d,

Cơ học lượng tử cũng chứng tỏ ñược rằng khi electron chuyển ñộng theo quỹ ñạo quanh hạt nhân sẽ có mô men ñộng lượng quỹ ñạoL và số lượng tử quỹ ñạo l cho phép xác ñịnh ñộ lớn mô men ñộng lượng quỹ ñạo L của electron trong nguyên tử theo hệ thức:

r

⋅ +

=

Còn số lượng tử từ ml cho phép xác ñịnh ñộ lớn của hình chiếu mô men ñộng lượng quỹ ñạo theo một hướng z cho trước, theo hệ thức: Lz = ml.h ( 9.13)

Vuihoc24h.vn

Các hệ thức (9.12), (9.13) chứng tỏ với electron thì mô men ñộng lượng quỹ ñạo và hình chiếu của nó cũng là những ñại lượng bị lượng tử hoá

Khi nguyên tử hấp thụ hay phát xạ năng lượng thì electron sẽ chuyển từ mức năng lượng này sang mức năng lượng khác Tuy nhiên sự chuyển mức ñó không phải là bất kỳ Trong cơ lượng tử người ta rút ra ñược rằng sự chuyển mức của electron chỉ xảy ra khi thoả mãn các quy tắc lựa chọn sau:

∆l = ± 1, ∆ml = 0, ± 1 (9.14)

Các kết quả nghiên cứu của cơ học lượng tử còn xác nhận rằng electron ngoài chuyển ñộng trên quỹ ñạo quanh hạt nhân còn chuyển ñộng tự quay quanh trục của nó, do vậy có mô men ñộng lượng riêng (gọi là mô men spin S ) ứng với chuyển ñộng quay ñó và ñộ lớn ñược xác ñịnh theo hệ thức:

S = s( +s 1) h với giá trị s =

2

1

(9.15)

Hình chiếu của S lên một hướng z ñược xác ñịnh theo hệ thức:

với ms = ±

2

1

gọi là số lượng tử hình chiếu spin

9.5.2 Sự sắp xếp electron trong nguyên tử

Trạng thái của electron trong nguyên tử

Lý thuyết và thực nghiệm chứng tỏ rằng: Trạng thái của electron trong nguyên tử ñược

mô tả bởi 4 số lượng tử:

- Số lượng tử chính n xác ñịnh năng lượng của electron trong nguyên tử Các electron

có cùng số lượng tử chính tạo nên một lớp electron hay một lớp vỏ nguyên tử

- Số lượng tử quỹ ñạọ xác ñịnh mô men ñộng lượng quỹ ñạo của electron Số lượng tử quỹ ñạo cũng xác ñịnh ñộ hiệu chỉnh về năng lượng do ảnh hưởng của các electron khác trong nguyên tử Các electron cùngl tạo thành một lớp con

- Số lượng tử từ ml xác ñịnh hình chiếu của mô men ñộng lượng quỹ ñạo và mô men từ của electron lên một hướng tuỳ ý hay lên hướng của từ trường

-Số lượng tử hình chiếu spin mS dùng ñể xác ñịnh hình chiếu của spin S lên một hướng z nào ñó

Vuihoc24h.vn