Tài liệu Ôn tập Cơ học lượng tử ppt

Tiên ñề : Trong cơ học lượng tử mỗi ñại lượng vật lý ñược ñặt ñối ứng với một toán tử tuyến tính tự liên hợp sao cho khi ño ñại lượng vật lý ta nhận ñược các giá trị là các giá trị riêng

ÔN TẬP CƠ HỌC LƯỢNG TỬ

§1 Hàm sóng

a.Tiên ñề : Trạng thái của hạt vi mô ñược mô tả bằng một hàm Ψ( , )r t
nói chung là phức ñược gọi

là hàm sóng

b Ý nghĩa Vật lý : ðại lượng 2

|Ψ( , ) |r t
dV cho ta xác suất tìm thấy hạt trong yếu tố thể tích dV bao quanh ñiểm r
vào thời ñiểm t

( , ) |r t ( , ) |r t

ρ
= Ψ
ñược gọi là mật ñộ xác suất

c ðiều kiện chuẩn hoá : Xác suất tìm thấy hạt trong thể tích V hữu hạn bằng

2

( , ) | ( , ) |

V

P V t =∫ Ψ r t
dV Nếu miền lấy tích phân mở rộng ra toàn không gian (V → ∞) thì giá trị của tích phân tương ứng sẽ là xác suất tìm thấy hạt trong toàn không gian và phải bằng 1 (biến cố chắc chắn) Do ñó : 2

| ( , ) |r t dV 1

∞

∫
(ñiều kiện chuẩn hoá)

d Nguyên lý chồng chất Nếu hệ ở trong các trạng thái ñược mô tả bởi các hàm sóng Ψ1 và Ψ2 thì

hệ cũng có thể ở trong trạng thái mô tả bởi hàm sóng c1Ψ + Ψ1 c2 2 ( ,c c1 2:const)

Hệ quả : Các phương trình mà hàm sóng thoả mãn phải là các phương trình tuyến tính

§2 Toán tử

a ðịnh nghĩa : Toán tử là một phép toán khi tác dụng lên một hàm nào ñó trong không gian hàm ñã cho sẽ cho ta một hàm khác cũng thuộc không gian hàm ñó

b Các phép toán trên toán tử : + Tổng : ˆ(A+ ψ = ψ + ψ Bˆ) Aˆ Bˆ

+ Tích : (ABˆ ˆ)ψ = A Bˆ(ˆψ) Nói chung ABˆ ˆ≠BAˆˆ ðại lượng A Bˆ, ˆ = ABˆˆ−BAˆˆ ñược gọi là giao hoán tử của Aˆ và Bˆ

c Phương trình trị riêng của toán tử : Nếu Fˆ ( )ψ q = ψf ( )q (1) ( :f const) thì ψ( )q ñược gọi là hàm riêng của toán tử Fˆ ứng với trị riêng f còn (1) là phương trình trị riêng của Fˆ

d Toán tử tuyến tính Toán tử Fˆ ñược gọi là toán tử tuyến tính nếu :

F cψ + ψ =c c Fψ +c Fψ (( ,c c1 2:const) hay tổng quát ˆ n n n ˆ n ( n : )

F c ψ = c Fψ c const



e Toán tử hermite ( toán tử tự liên hợp)

+ Toán tử liên hợp phức : Toán tử liên hợp phức với toán tử Fˆ , ký hiệu Fˆ* là một toán tử, sao cho : nếu Fˆψ = ϕ thì Fˆ*ψ = ϕ* *, do ñó : (Fˆψ =)* Fˆ*ψ*

+ Toán tử chuyển vị : Toán tử chuyển vị của toán tử Fˆ, ký hiệu Fˆɶ là một toán tử sao cho :

1Fˆ 2dq 2Fˆɶ 1dq

∫ ∫ Khi ñó, ta có : ABˆ ˆ=BAˆɶˆɶ

+ Toán tử liên hợp hermite với toán tử Fˆ , ký hiệu Fˆ+ là một toán tử, sao cho :

∫ ∫ , như thế ta có thể viết một cách hình thức : Fˆ+ =Fˆɶ*

+ Toán tử hermite (toán tử tự liên hợp) : Toán tử Fˆ ñược gọi là toán tử hermite hay toán tử tự liên hợp nếu thoả mãn hệ thức : ∫ ψ ψ*1Fˆ 2dq=∫ ψ2Fˆ*ψ1*dq , khi ñó ta có thể viết Fˆ =Fˆ+

f Các tính chất của toán tử hermite

Trị riêng của toán tử hermite là thực

Chứng minh : Giả sử fn là trị riêng của toán tử hermite Fˆ ứng với hàm riêng ψn Khi ñó ta

có : Fˆψ = ψ ⇒n fn n ∫ ψ ψ*nFˆ ndq= fn∫ ψ ψ*n ndq (1) Lấy liên hợp phức hai vế biểu thức (1) ta ñược

* * * *

∫ ∫ Do Fˆ là toán tử hermite nên ∫ ψ ψ*nFˆ ndq=∫ ψnFˆ*ψ*ndq (3) Từ (1),(2) và (3) suy ra : fn∫ ψ ψ*m ndq= fn*∫ ψ ψ*m ndq ⇒ fn = fn* ,hay fn là thực



 Các hàm riêng của toán tử hermite là trực giao với nhau

Chứng mính : Giả sử ψ và n ψ là các hàm riêng của toán tử hàm riêng m Fˆ ứng với các trụ riêng fn và fm Khi ñó ta có : Fˆψ = ψn fn n (1) và ˆ* * *

F ψ = ψf (2) ( do fm là thực)

Từ (1) suy ra ∫ ψ*mFˆψndq= fn∫ ψ ψ*n ndq (3) Từ (2) suy ra ∫ ψnFˆ*ψ*mdq= fm∫ ψ ψ*m ndq (4) Vì Fˆ là toán tử hermite nên * ˆ ˆ* *

∫ ∫ (5) Từ (3),(4) và (5) ta tìm ñược :

f ∫ ψ ψ dq= f ∫ ψ ψ dq⇒ f −f ∫ ψ ψ dq= ⇒∫ ψ ψ dq= (6) khi fn ≠ fm Nếu các hàm riêng ψ chuẩn hoá thì n *

1

n ndq

∫ (7) Các hệ thức (6) và (7) có thể viết chung lại dưới dạng ∫ ψ ψ*m ndq= δnm (ñiều kiện trực chuẩn)



 Các hàm riêng của toán tử hermite tạo thành một hệ ñủ

Giả sử{ψn( )q } là hệ hàm riêng của một toán tử hermite nào ñó, khi ñó mọi hàm ψ( )q bất kỳ ñều có thể khaii triển thành chuỗi theo các hàm ψn( )q : ( ) n n( )

n

ψ =∑ ψ , trong ñó các hệ số cn ñược xác ñịnh bởi công thức cn =∫ ψ*n( ) ( )q ψ q dq

Tiên ñề : Trong cơ học lượng tử mỗi ñại lượng vật lý ñược ñặt ñối ứng với một toán tử tuyến tính tự liên hợp sao cho khi ño ñại lượng vật lý ta nhận ñược các giá trị là các giá trị riêng của toán tử ứng với nó

g Một số toán tử của cơ học lượng tử

+ Toán tử toạ ñộ : r
ˆ= ⇔ =r
xˆ x y,ˆ=y z,ˆ=z

+ Toán tử xung lượng : ˆp i pˆx i ,pˆy i ,pˆz i

+ Toán tử moment xung lượng : L
ˆ= × = −r
ˆ p
ˆ i rℏ(
×∇ =) (L L Lˆx, ˆy, ˆz), trong ñó :

ℏ ∂ ∂ 

= − =−  − 

 , ˆLy zpˆx xpˆz i z x

ℏ ∂ ∂ 

= − =−  ∂ − ∂ ,Lˆz xpˆy ypˆx i x y

ℏ ∂ ∂ 

= − =−  − 

+ Toán tử Hamilton :

ˆ

p

ℏ

3 Giá trị trung bình của các ñại lượng vật lý : Giá trị trung bình của ñại lượng vật lý F trong trạng thái ñược mô tả bởi hàm sóng ψ ñược xác ñịnh bởi công thức :

*( ) ˆ ( )

F=∫ ψ q Fψ q dq ( khi ψ chuẩn hoá) hoặc

*

*

ˆ ( ) ( ) ( ) ( )

q F q dq F

q q dq

=

∫

∫ ( khi ψ chưa chuẩn hoá)

4 ðiều kiện ñể 2 ñại lượng vật lý nhận giá trị xác ñịnh ñồng thời

Xét ñại lượng vật lý Fˆ , giả sử khi ño F ta nhận ñược trị riêng fn Khi ñó hệ phải ở trong trạng thái mô tả bởi hàm sóng ψk là hàm riêng của toán tử Fˆ : Fˆψ = ψn fn n

Giả sử G là một ñại lượng vật lý nào ñó của hệ, nếu trong trạng thái ψ ta ño n G và nhận ñược giá trị gn thì hàm ψ cũng phải là hàm riêng của toán tử n Gˆ : Gˆψ = ψn gn n ðiều này có nghĩa

là các toán tử Fˆ và Gˆcó chung hàm riêng Do ñó ta có thể nói : ñiều kiện ñể hai ñại lượng vật lý ño ñược chính xác ñồng thời là các toán tử tương ứng với chúng có hàm riêng chung

ðịnh lý : ðiều kiện cần và ñủ ñể hai toán tử tuyến tính Fˆ và Gˆ có hàm riêng chung là chúng giao hoán với nhau

Chứng minh : + ðiều kiện cần : Giả sử F Gˆ , ˆ có chung hàm riêng , cần chứng minh F Gˆ , ˆ giao hoán với nhau Giả sử ψ là hàm riêng chung của n F Gˆ , ˆ, tức là : Fˆψ = ψn fn n , Gˆψ = ψ Khi ñó ta có : n gn n

(FG)ψ =n F G( ψ =n) F g( nψ =n) g Fn ψ =n g fn nψn;(GFˆ ˆ)ψ =n G Fˆ( ˆψ =n) G fˆ( nψ =n) f Gn ˆψ =n f gn nψn

từ ñó suy ra FGˆ ˆψ =n GFˆ ˆψn (1).Giả sử Ψ là hàm bất kỳ, khai triển theo ψ , ta có : n n n

n

c

Ψ =∑ ψ

Vì F Gˆ , ˆ là các toán tử tuyến tính nên : ( ˆ ˆ) n ˆ ˆ n

n

FG Ψ =∑c FGψ (2) và ( ˆ ˆ) n ˆ ˆ n

n

GF Ψ =∑c GFψ (3) Từ (1),(2) và (3), ta có : (FGˆ ˆ)Ψ =(GFˆ ˆ)Ψ hay FGˆ ˆ=GFˆ ˆ

+ ðiều kiện ñủ : Giả sử FGˆ ˆ =GFˆ ˆ, cần chứng minh F Gˆ , ˆ có hàm riêng chung Thật vậy, giả sử ψ là n hàm riêng của Fˆ : Fˆψ = ψ ⇒n fn n GFˆ ˆψ =n f Gn ˆψ (4) Do n FGˆˆ =GFˆ ˆ nên ˆGFˆψ =n FGˆ ˆψ (5) Từ (4) n

và (5), ta nhận ñược : F Gˆ ( ˆψ =n) f Gn( ˆψ ðiều này có nghĩa là ˆn) Gψ cũng là hàm riêng của n Fˆ ứng với cùng trị riêng fn và do ñó, nếu trị riêng fnkhông suy biến thì Gˆψ = ψn gn n ðiều này có nghĩa là

n

ψ cũng là hàm riêng của Gˆ ứng với trị riêng gn

Tóm lại : ñiều kiện ñể hai ñại lượng vật lý có thể ño ñược chính xác ñồng thời là các toán tử tương ứng với chúng phải giao hoán với nhau

5 Hệ thức bất ñịnh Heisenberg

Giả sử A Bˆ ˆ, là các toán tử ứng với các ñại lượng vật lý A và B Nếu A Bˆ ˆ, không giao hoán với nhau thì A Bˆ, ˆ = iCˆ, trong ñó Cˆ là một toán tử hermite Gọi A B, là giá trị trung bình của A B, ; ta ñưa vào các toán tử ∆ ∆Aˆ, Bˆ ứng với các ñại lượng vật lý ∆ = −A A A,∆ = −B B B, khi ñó ta cũng có :

ˆ, ˆ ˆ

A B iC

∆ ∆ =

  Xét bất ñẳng thức hiển nhiên sau : I( )α =∫| (α∆ − ∆ ψAˆ i Bˆ) |2 dV ≥0 (∀α ∈ℝ) (1) Ta viết lại (1) dưới dạng : I( )α =∫ (α∆ − ∆ ψ α∆ + ∆Aˆ i Bˆ) ( Aˆ* i Bˆ*)ψ*dV (2) Vì A Bˆ ˆ, là các toán tử hermite nên ∆ ∆Aˆ, Bˆ cũng là các toán tử hermite , do ñó (2) trở thành :

I α = ψ α∆ + ∆A i B α∆ − ∆ ψA i B dV = ψ α ∆ − α ∆ ∆ + ∆A i  A B B ψdV

Vì ∆ ∆Aˆ, Bˆ=iCˆ

  nên ta có thể viết : I( )α = ψ α ∆ +α +∆∫ *{ 2 Aˆ2 Cˆ Bˆ2}ψdV=α ∆ +α +∆ ≥2 A2 C B2 0

Từ ñây ta thấy : I α( )là một tam thức bậc 2 theo α có hệ số của α2 là 2

0 A

∆ ≥ , nên ñể I α ≥( ) 0 thì biệt thức của nó phải âm, tức là : ( )2 2 2

C − ∆A ∆B ≤ hay ( )2

4

C

A B

∆ ∆ ≥ (3) Lấy căn hai vế của (3)

,

δ = ∆ δ = ∆ , ta ñược hệ thức : | |

4

C

A B

δ δ ≥ , hệ thức này ñược gọi là hệ thức bất ñịnh Heisenberg Các ñại lượng 2

δ = ∆ ñược gọi là ñộ bất ñịnh của A và B

§2 Phương trình Schrodinger

1 Phương trình Schrodinger không phụ thuộc thời gian

Khảo sát hạt chuyển ñộng trong trường thế V r( )
và có năng lượng không ñổi theo thời gian Gọi E là năng lượng của hệ và ψE( )r
là hàm sóng ứng với trạng thái có năng lượng E Như thế ( )

E r

ψ là hàm riêng của toán tử năng lượng Hˆ ứng với trị riêng E Phương trình trị riêng của Hˆcó dạng : ˆHψE( )r
= ψE E( )r
(1) Thay biểu thức

ˆ

p

= +
= − ℏ ∆ +
vào (1) ta nhận ñược

phương trình : E( )r
2m2 [E V r( )
] E( )r
0

ℏ

∆ψ + − ψ = (2) Phương trình này ñược gọi là phương trình Schrodinger không phụ thuộc thời gian Nếu thế năng V =V x( ), ta có chuyển ñộng 1 chiều và lúc ñó (2) trở thành : d2 ( )x 2m2 [E V x( )] ( )x 0

(3)

a Các tính chất của chuyển ñộng 1 chiều :

Nếu thế năng V x( ) là một hàm chẵn của toạ ñộ thì nghiệm của phương trình (3) phải là một hàm hoặc chẵn, hoặc lẻ

 Nếu thế năng V x( )V(x có ñiểm gián ñoạn hữu hạn tại x0 thì hàm sóng và ñạo hàm cấp 1 của nó liên tục tại x0

b Hố thế 1 chiều vuông góc sâu vô hạn

Xét một hạt chuyển ñộng trong trường thế 1 chiều V x( ) có dạng : ( ) 0 khi | |

khi | |

x a

V x

x a

<



= 

Phương trình Schrodinger cho hạt có dạng : d2 ( )x 2m2 [E V x( )] ( )x 0

+ Trong miền | |x ≥a : V x = ∞( ) , hạt không thể ñi vào miền này vì không thể có năng lượng bằng vô hạn, do ñó hàm sóng phải triệt tiêu trong miền này : ψ( )x ≡0 (| |x ≥a)

+ Trong miền | |x <a: V x =( ) 0, phương trình (1) trở thành :

2

2

d

k dx

ψ+ ψ = (2) với : 2

2

2

0 mE

k = >

ℏ (3) Nghiệm tổng quát của (2) có dạng : ( )ψ x = Acoskx+Bsinkx (4), trong ñó A B, là các hằng số tuỳ

ý Vì thế năng V x( ) là hàm chẵn của toạ ñộ nên nghiệm (4) phải là các hàm chẵn hoặc lẻ của toạ ñộ

* Các nghiệm chẵn : Khi ñó ψ( )x = ψ − và từ (4) ta tìm ñược ( )( x) ψ x = Acoskx Từ ñiều kiện liên tục của hàm sóng tại x=a ta có : cos 0

2

n

n

a

π

= ⇒ = = với n là các số nguyên lẻ Từ ñiều

kiện chuẩn hoá, ta có | ( ) |2 1 2 cos2 1 2 1

n

a

= Vậy nghiệm

chẵn có dạng : ( ) 1 cos

2

n

n x x

a a

π

ψ = (5), trong ñó n là số lẻ

* Các nghiệm lẻ : Khi ñó ( )ψ x = −ψ − và từ (4) ta tìm ñược ( x) ψ( )x =Bsinkx Từ ñiều kiện liên tục của hàm sóng tại x=a ta có : sin 0

2

n

n

a

π

= ⇒ = = với n là các số nguyên chẵn Từ ñiều

kiện chuẩn hoá , ta có | ( ) |2 1 2 sin2 1 2 1

n

a

= Vậy nghiệm

lẻ có dạng : ( ) 1 sin

2

n

n x x

a a

π

ψ = (6), trong ñó n là số chẵn

Như vậy trong cả hai loại nghiệm chẵn và lẻ, ta có

2

n

n k a

π

= (7) với n ∈ ℕ Thay (7) vào (4) ta nhận ñược biểu thức của năng lượng của hạt :

2

2 ( 1, 2, )

n n

k

năng lượng của hạt chuyển ñộng trong hố thế nhận các giá trị gián ñoạn , các giá trị chẵn của n ứng với các nghiệm lẻ (6) , còn các giá trị lẻ của n ứng với các nghiệm chẵn (5)

c Dao ñộng tử ñiều hoà tuyến tính

Dao ñộng tử ñiều hoà tuyến tính là một hạt thực hiên các dao ñộng bé xung quanh vị trí cân bằng với thế năng có dạng :

2 2

( )

2

m x

= , trong ñó ω là tần số của dao ñộng tử Phương trình Schrodinger của dao ñộng tử có dạng :

2

0 2

E

ψ+  − ω ψ =

m x ℏ

ω

E

ℏ

ε =

ω(2) ta ñưa (1) về dạng :

2

2

d d

ψ+ ε −ξ ψ =

ξ (3) Ta tìm nghiệm của (3) dưới dạng

2 / 2

( ) e−ξ y( )

ψ ξ = ξ (4), thay (4) vào (3), ta nhận ñược phương trình cho y ξ( ) dưới dạng : '' 2 ' (2 1) 0

y − ξ + ε −y y= (5) Phương trình (5) là phương trình Hermite , nó có nghiệm riêng dạng ña thức bậc n, khi 2ε − =1 2n (6), nghiệm này ñược gọi là ña thức Hermite và ñược xác ñịnh bởi công

( ) ( 1)

n n

d

d

ξ = −

ξ Từ (2) và (6), ta nhận ñược biểu thức cho phổ năng lượng của dao ñộng tử dưới dạng : 1

2

n

E=E =n+  ω

 ℏ (với n =0,1, 2, ) còn hàm sóng của dao ñộng tử dưới

2

 ω   ω 

ψ = ψ = −   , trong ñó Cn là hệ số chuẩn hoá Từ tính chất

trực giao của H xn( ), ta tìm ñược 4 1

2 !

n

n

m C

n ℏ

ω

= π

2 Phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian : i ( , )r t Hˆ ( , )r t

t

∂

3 Phương trình liên tục

Xét sự thay ñổi theo thời gian của mật ñộ xác suất tìm thấy hạt ρ( , )r t
= Ψ| ( , ) |r t
2= Ψ Ψ *

∂ρ = ∂ Ψ Ψ =∂Ψ Ψ + Ψ ∂Ψ

∂ ∂ ∂ ∂ (1) Mặt khác từ phương trình iℏ t Hˆ

∂ , ta suy ra : ˆ

i

H

∂ (2) Lấy liên hợp phức hai vế của (2), ta ñược

*

* *

ˆ i H

∂ (3) Thay (2),(3) vào (1) ta nhận ñược : i Hˆ* * *Hˆ

∂ρ = Ψ Ψ − Ψ Ψ

2

2

m

= − ℏ ∆ +
nên :

Ψ Ψ − Ψ Ψ = − Ψ∆Ψ − Ψ ∆Ψ = − ∇ Ψ∇Ψ − Ψ ∇Ψ  (5)

Thay (5) vào (4), ta nhận ñược phương trình : j 0

t

∂ρ+ ∇ =

2

i j m

Phương trình (6) ñược gọi là phương trình liên tục, trong ñó ρ là mật ñộ xác suất còn
j là vector mật ñộ dòng xác suất Phương trình liên tục (6) biểu thị ñịnh luật bảo toàn xác suất hay ñịnh luật bảo toàn số hạt

4 Trạng thái dừng

a ðịnh nghĩa :Trạng thái dừng là trạng thái có năng lượng không phụ thuộc thời gian

b Hàm sóng : ðể xác ñịnh dạng tổng quát của hàm sóng mô tả toán tử dừng ta khảo sát phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian : i ( , )r t Hˆ ( , )r t

t

∂ (1) Ta tìm nghiệm của (1) dưới dạng ( , )r t
( ) ( )r f t

:i df t( ) ( )r Hˆ ( ) ( )r f t

dt

i df H r

E

f t dt r

ℏ

ψ

ψ Từ ñó ta có hệ phương trình sau :

ˆ ( ) ( ) (3)

( ) (4)

df

dt

ℏ

 ψ = ψ



 Phương trình (3) là phương trình trị riêng của toán tử năng lượng và E là năng lượng của hệ trong trạng thái dừng Nghiệm của phương trình (4) có dạng ( )

Et i

f t =e− ℏ (5) Từ (2) và (5) ta tìm ñược hàm sóng mô tả trạng thái dừng với năng lượng E là : ( , ) ( )

Et i

r t
r e
− ℏ

trong ñó E và ψ( )r
là nghiệm của phương trình trị riêng của toán tử năng lượng Trong trường hợp phương trình (3) có một tập các nghiệm Hˆψn( )r
= ψEn n( ) (r
n=1, 2, ) thì nghiệm tổng quát của (1) có dạng : ( , ) ( )

n

E t i

n n n

r t
c r e
− ℏ

Ψ =∑ ψ Các hệ số cnñược xác ñịnh từ ñiều kiện ñầu :

*

( , 0) n n( ) n n( ) ( , 0)

n

c Các tính chất của trạng thái dừng :

+ Mật ñộ xác suất trong trạng thái dừng không phụ thuộc thời gian : ρ = Ψn | n( , ) |r t
2= ψ| n( ) |r
2∉ t + Mật ñộ dòng xác suất trong trạng thái dừng không phụ thuộc thời gian :

5 ðạo hàm theo thời gian của toán tử.Tích phân chuyển ñộng ðịnh lý Ehrenfest

a ðạo hàm theo thời gian của toán tử ðể mô tả sự thay ñổi theo thời gian của ñại lượng vật lý người ta ñưa vào khái niệm ñạo hàm của toán tử theo thời gian, ký hiệu

 dF

dt , ñược ñịnh nghĩa như sau :



dF

dt là toán tử mà giá trị trung bình tương ứng với nó ở trạng thái bất kỳ bằng ñạo hàm theo thời gian của giá trị trung bình F trong trạng thái ñó :



dF d

F

dt =dt hay



+ Dạng của



dF

dt : Ta có

*

Do Ψ thoả mãn phương trình i Hˆ i Hˆ

ℏ

ℏ

trình này ta ñược

*

* *

ˆ i H t

∂Ψ

∂ ℏ (4) Thay (3),(4) vào (2) ta nhận ñược :

∂

∂

Do Hˆ là toán tử hermite nên ∫ (Hˆ*Ψ*)(FˆΨ)dV =∫ (FˆΨ)Hˆ*Ψ*dV∫ Ψ*HF dVˆ ˆΨ (6) Từ (5) và (6)

(1) và (7) ta tìm ñược :

ˆ ˆ,

H F

dt t

= ∂ + ℏ  ðây là phương trình chuyển ñộng của toán tử

b Tích phân chuyển ñộng

ðại lượng vật lý F ñược gọi là tích phân chuyển ñộng nếu toán tử Fˆ có ñạo hàm theo thời gian bằng 0 :

 0 dF

dt = Từ phương trình chuyển ñộng của toán tử ta suy ra rằng, nếu F là tích phân chuyển ñộng thì : Fˆ i H Fˆ ˆ, 0

t

+  =

∂ ℏ Trường hợp ñặc biệt khi Fˆ không phụ thuộc tường minh vào thời gian , khi ñó Fˆ 0

t

∂

=

∂ và ta có : H Fˆ ˆ,  = 0 ðiều này có nghĩa là : Nếu một toán tử Fˆ không phụ thuộc tường minh vào thời gian và giao hoán với toán tử HamiltonHˆ thì ñại lượng vật lý F tương ứng là một tích phân chuyển ñộng

c ðịnh lý Ehrenfest

Phát biểu : Giá trị trung bình của các biến số cơ học lượng tử thoả mãn cùng phương trình như các biến số cổ ñiển tương ứng

Chứng minh Vì giá trị trung bình của các ñại lượng vật lý trong cơ học lượng tử ñược xác ñịnh nhờ biểu thức F = Ψ Ψ∫ *F dVˆ nên ta chỉ cần chứng minh các hệ thức cho toán tử

+ Xét ñạo hàm của r
theo t, ta có :



ˆ ,

dr i

H r dt

ℏ

=   (1) ( r 0

t

∂

=

∂

vì r
không phụ thuộc tường minh vào

t) Do

2

ˆ

2

p

m

i

ℏ

(2) vào (1) ta nhận ñược :

dr pˆ

= (3)

+ Xét ñạo hàm của ˆp
theo t, ta có :



ˆ

ˆ ,

dp i

H p dt

ℏ (4) ( pˆ 0

t

∂

=

∂

vì
ˆp không phụ thuộc tường minh vào

t).Do

2

ˆ

2

p

m

2

V

∂

ℏ
(5) Thay (5) vào (4) ta nhận ñược :

ˆ

∂

= −

∂

(6) Các phương trình (3) và (6) tương tự như các phương trình dr p

dt =m

và

∂

= −

∂

(ñịnh luật 2 Newton) của cơ học cổ ñiển

§3 Chuyển ñộng trong trường xuyên tâm

1 Toán tử moment xung lượng

( ) x, y, z

L
= × = −r
p
i rℏ
×∇ = L L L Trong toạ ñộ Descartes :

+ Toán tử bình phương moment xung lượng : ˆ2 ˆ2 ˆ2 ˆ2

L =L +L +L + Các hệ thức giao hoán : L Lˆx, ˆy=i Lℏˆz,L Lˆy, ˆz=i Lℏˆx,L Lˆz, ˆx=i Lℏˆy

ˆ , ˆ ˆ , ˆ ˆ , ˆ 0

  =  = =

Trong cơ học lượng tử người ta sử dụng ˆ , ˆ2

z

L L ñể mô tả moment xung lượng Trong toạ ñộ cầu( , , )r θ ϕ biểu thức của các toán tử moment xung lượng có dạng

2

L ℏ  ∂  ∂ ∂ 



= −   θ + 

b Hàm riêng và trị riêng của toán tử moment xung lượng

* Hàm riêng , trị riêng của Lˆz : Phương trình trị riêng của Lˆz có dạng ˆLzψ = ψ , sử dụng biểu Lz thức của Lˆz trong toạ ñộ cầu, ta có phương trình : −iℏ∂ψ= ψLz

∂ϕ Nghiệm của phương trình này có

z

i L

ψ ϕ = (1) ðể ñảm bảo ñiều kiện ñơn trị của hàm sóng, ta phải có :

ψ ϕ = ψ ϕ + π , từ ñó suy ra : 2 z 1

i L

eℏ π = ⇔ Lz 2 2

m

π = π

ℏ với m là một số nguyên Từ ñó suy ra rằng :Lz = ℏm (2) (m ∈ ℤ) Thay (2) vào (1) ta nhận ñược ( ) im

ψ ψ = (3) Từ ñiều kiện chuẩn hoá,

ta có :

2

2

0

| m( ) | d 1

π

2

0

1

2

im

π

π

ñược : ( ) 1

2

im

ψ ϕ =

π Kết quả, ta tìm ñược trị riêng của Lˆz là Lz = ℏm và các hàm riêng tương ứng là : ( ) 1

2

im

ψ ϕ =

π (m ∈ ℤ)

* Hàm riêng , trị riêng của Lˆ2: phương trình trị riêng của Lˆ2 có dạng Lˆ2ψ = ψ , sử dụng biểu L2 thức của Lˆ2 trong toạ ñộ cầu, ta có phương trình :

2

sin

ℏ  ∂  ∂ψ ∂ ψ



L ℏ



θ ∂θ ∂ θ ∂ϕ (1) Phương trình (1) có nghiệm hữu hạn ñơn trị với các giá trị 0≤ θ ≤ π ≤ ϕ ≤ π khi , 0 2

2

L

l l

ℏ = + (2) với l là một số nguyên không âm Khi ñó nghiệm

của (1) là hàm cầu ( , ) 1 (cos )

2

m l

P θ là ña thức Legendre liên kết Từ (2) và (3) ta nhận ñược trị riêng của Lˆ2 là L2 =ℏ2l l( + và các hàm riêng tương ứng là 1) Ylm( , )θ ϕ (l =0,1, 2, ) Khi lñã cho m chỉ có thể nhận 2l +1 giá trị khả dĩ bằng 0, 1, 2, , l± ± ±

Biểu thức của một số hàm cầu ñầu tiên :

4

i

π

* ðiều kiện trực chuẩn của các hàm cầu :

2

*

sin l m ( , ) l m( , ) ll mm

∫ ∫

3 Chuyển ñộng của hạt trong trường xuyên tâm

a Trường xuyên tâm tổng quát : Trường xuyên tâm là trường mà thế năng của hạt chuyển ñộng trong trường chỉ phụ thuộc vào khoảng cách từ hạt ñến ñiểm cố ñịnh gọi là tâm của trường Chọn gốc toạ ñộ tại tâm của trường, ta có biểu thức của thế năng : V r( )
=V r( ) Khi ñó toán tử Hamilton có dạng

2

2

m

= − ℏ ∆ + (1) Sử dụng biểu thức của toán tử Laplace trong toạ ñộ cầu ta ñưa (1) về dạng :

2

2

1

ℏ

θϕ



= − ∆ + ∆ + (2), với

2 2

1

,

∂ ∂ 

∆ = ∂ ∂ 

2

sin

θϕ

∆ = θ ∂θ θ∂+ θ ∂ϕ

Sử dụng biểu thức của toán tử bình phương moment xung lượng trong toạ ñộ cầu, ta có thể viết

2

2

ˆ

ℏ

= − ∆ ⇔ ∆ = − Thay vào(2), ta nhận ñược :

2

ˆ

L

ℏ

ta thấy rằng các số hạng thứ 1 và thứ 3 chỉ chứa r nên giao hoán với ˆ2, ˆ

z

L L ( vì các toán tử này chỉ phụ thuộc vào các góc θ ϕ, ), số hạng thứ 2 chứa Lˆ2 nên phải giao hoán với Lˆ2 và Lˆz Do ñó ba toán

tử H Lˆ ˆ, 2 và Lˆz giao hoán với nhau ⇒ chúng phải có chung hàm riêng Như vậy các trạng thái dừng của hạt chuyển ñộng trong trường xuyên tâm phải ñược mô tả bằng hàm sóng là hàm riêng chung của 3 toán tử H Lˆ ˆ, 2 và Lˆz Mặt khác, ta biết hàm riêng chung của các toán tử Lˆ2vàLˆz là hàm cầu ( , )

lm

Y θ ϕ Do ñó dạng tổng quát của hàm sóng mô tả các trạng thái dừng của hạt chuyển ñộng trong trường xuyên tâm là : ψ θ ϕ =( , , )r R r Y( ) lm( , )θ ϕ (4) Phương trình Schrodinger của hạt có dạng : ˆ

Hψ = ψ (5) Thay các biểu thức (3),(4) vào (5) và ñể ý rằng E ˆ2 ( , ) 2 ( 1) ( , )

L Y θ ϕ =ℏ l l+ Y θ ϕ ta nhận ñược phương trình cho hàm R r( ) dưới dạng :

2 2

( ) ( ) 0 2

ℏ ℏ

Từ ñây ta thấy rằng năng lượng phụ thuộc l và hàm R r( ) phụ thuộc và E và l Như vậy trong trường hợp tổng quát các giá trị năng lượng của hạt chuyển ñộng trong trường xuyên tâm sẽ phụ thuộc số lượng tử l còn hàm sóng sẽ phụ thuộc hai số lượng tử l m, ⇒các mức năng lượng sẽ bị suy biến theo m Do ứng với mỗi giá trị của l có 2l +1 giá trị khả dĩ của l nên các mức năng lượng sẽ suy biến bội 2l +1

b Trường Coulomb Nguyên tử hidro

Xét chuyển ñộng của electron trong trường Coulomb của hạt nhân với thế năng

2

2

( ) e

V r

r

= − Khi ñó hàm sóng của hạt có dạng ψ θ ϕ = ψ( , , )r nlm( , , )r θ ϕ =Rnl( )r Ylm( , )θ ϕ , trong ñó Rnl( )r là nghiệm của phương trình

2

( ) 0 2

nl

nl

ℏ ℏ

có nghiệm, hữu hạn ñơn trị khi

4

2

me

n

1

q

R r =R q =q e− L++ q với

2

8 |m En|

q=r

ℏ và 2 1

1( )

l n

L++ x là ña thức Laguerre liên kết Khi n ñã cho l chỉ có thể nhận n giá trị khả

dĩ bằng 0,1, ,n −1

Kết luận : - Các mức năng lượng của electron trong nguyên tử hidro :

4

2

n

me

n

ℏ

- Hàm sóng của electron trong nguyên tử hidro : ψnlm( , , )r θ ϕ =Rnl( )r Ylm( , )θ ϕ Như vậy trạng thái của electron trong nguyên tử hidro ñược xác ñịnh bởi 3 số lượng tử n l m, , :

- n ñược gọi là số lượng tử chính, nó nhận các giá trị nguyên dương n =1, 2, và xác ñịnh các giá trị năng lượng của electron : En 12

n

∼

- l ñược gọi là số lượng tử quỹ ñạo, nó nhận các giá trị nguyên không âm, ứng với 1 giá trị của n thì l chỉ có thể nhận n giá trị khả dĩ bằng 0,1, ,n −1 ; số lượng tử quỹ ñạo xác ñịnh ñộ lớn của moment xung lượng : L=ℏ l l( +1)

- m ñược gọi là số lượng tử từ, nó có thể nhận các giá trị nguyên và ứng với một giá trị ñã cho của l thì nó có thể nhận 2l +1 giá trị khả dĩ bằng 0, 1, 2, , l± ± ± ; số lượng tử từ xác ñịnh ñộ lớn của hình chiếu moment xung lượng lên trục z : Lz = ℏm

Theo trên ta thấy, hàm sóng của electron phụ thuộc 3 số lượng tử n l m, , trong khi năng lượng chỉ phụ thuộc n, nên các mức En sẽ suy biến theo các số lượng tử l m, Vì khi n ñã cho l có thể nhận

n giá trị khả dĩ bằng 0,1, ,n −1 và với một trị l, ta có 2l +1 giá trị khả dĩ của mnên bội suy biến của mức En bằng :

1

2

0

(2 1)

n

l

−

=

+ =

§4 Spin và hệ hạt ñồng nhất

1 Toán tử spin của electron Hàm spin Ma trận Pauli

a Toán tử spin Ma trận Pauli : ðối với các hạt vi mô, ngoài các ñại lượng ñặc trưng ñã biết như toạ ñộ, xung lượng, moment xung lượng, năng lượng còn có một ñại lượng thuần tuý lượng tử là spin của hạt, ñại lượng này có các tính chất giống như moment xung lượng của hạt Toán tử tương ứng với spin ký hiệu S
ˆ=(S S Sˆx, ˆy, ˆz), ñược xác ñịnh bởi các hệ thức sau :

ˆ , ˆ ˆ , ˆ , ˆ ˆ , ˆ , ˆ ˆ

Ngoài ra ta cũng ñưa vào toán tử bình phương spin ˆ2 ˆ2 ˆ2 ˆ2

S
=S +S +S , thoả mãn các hệ thức giao hoán sau : ˆ ˆ2 ˆ ˆ2 ˆ ˆ2

  =  = =

Tương tự như moment xung lượng, ñể mô tả spin người ta dùng 2 toán tử ˆ2 ˆ

, z

S S
với các phương trình trị riêng : 2 2

ˆ

( 1)

S
χ =ℏ s s+ χ và ˆ , ,

S χ =mℏχ ,