Tài liệu ôn thi Cơ học lượng tử

TÀI LIỆU THAM KHẢO Ôn tập Cơ học lượng tử Biên soạn: Triệu Đoan An Sinh viên khóa 44 - Khoa Vật lý Đại học Sư phạm TP.HCM Phiên - Ngày 28 tháng 12 năm 2019 Mục lục Lời nói đầu Một số lưu ý Lịch sử phiên Lý thuyết tiền lượng tử 1.1 Bức xạ vật đen - lý thuyết Planck 1.1.1 Vật đen 1.1.2 Sự bất lực lý thuyết cổ điển 1.1.3 Lý thuyết Planck lượng tử lượng 1.2 Hiện tượng quang điện lý thuyết Einstein 1.2.1 Hiện tượng quang điện định luật quang điện 1.2.2 Khó khăn lý thuyết cổ điển 1.2.3 Lý thuyết Einstein lượng tử ánh sáng 1.3 Hiệu ứng Compton 1.3.1 Thí nghiệm tán xạ Compton 1.3.2 Khó khăn lý thuyết cổ điển 1.4 Quang phổ vạch nguyên tử Hydro lý thuyết Bohr 1.4.1 Quang phổ vạch nguyên tử Hydro 1.4.2 Khó khăn lý thuyết cổ điển 1.4.3 Lý thuyết Bohr lượng tử hóa khơng gian 1.5 Đặc điểm chung lý thuyết tiền lượng tử 1.5.1 Hoàn chỉnh 1.5.2 Không chặt chẽ 7 7 8 8 8 9 9 9 Hàm sóng - Phương trình Schrodinger 2.1 Lưỡng tính sóng hạt 2.1.1 Giả thuyết Louis de Broglie 2.1.2 Thí nghiệm Davisson-Germer kiểm chứng giả thuyết Louis de Broglie 2.2 Ý nghĩa thống kê hàm sóng 2.3 Nguyên lý chồng chất trạng thái 2.3.1 Bản chất chồng chất trạng thái 2.3.2 Điều kiện chuẩn hóa hàm sóng trạng thái chồng chất 2.3.3 Hệ số khai triển hàm sóng 2.4 Tính chất hàm sóng vật lý 2.5 Phương trình Schrodinger 11 11 11 12 13 13 13 13 14 14 14 Toán tử đại lượng vật lý 3.1 Một số biểu thức toán tử 3.2 Một số đẳng thức toán tử thường dùng 3.3 Tính chất tốn tử tuyến tính tự liên hợp 3.4 Đo đại lượng vật lý 3.4.1 Các toán tử 3.4.2 Bài toán hàm riêng - trị riêng 3.5 Hai đại lượng vật lý xác định đồng thời 3.6 Đại lượng bảo toàn - Bộ đủ mô tả hệ vật lý 3.7 Nguyên lý bất định 3.7.1 Độ bất định 16 16 16 18 18 19 20 21 21 22 22 (toán tử Hermitic) 3.7.2 3.7.3 Hệ thức bất định 22 Hệ thức bất định cho cặp tắc 22 Bài tập 23 4.1 Hàm sóng - Hàm riêng, trị riêng, trị trung bình 23 4.2 Nguyên lý bất định 34 Chuyển động chiều 5.1 Hố vng góc thành cao vơ hạn 5.1.1 Giải phương trình Schrodinger - hàm sóng tốn học 5.1.2 Điều kiện hàm sóng vật lý 5.1.3 Hiệu ứng lượng tử 5.1.4 Các giá trị trung bình đại lượng vật lý 5.2 Hố vng góc thành cao hữu hạn 5.2.1 Giải phương trình Schrodinger 5.2.2 Hàm sóng vật lý 5.2.3 Hiệu ứng lượng tử 5.2.4 Bài tập 5.3 Rào bậc thang 5.3.1 Giải phương trình Schrodinger 5.3.2 Trường hợp lượng thấp rào 5.3.3 Trường hợp lượng cao rào 5.3.4 Hiệu ứng lượng tử 5.4 Rào chữ nhật 5.4.1 Giải phương trình Schrodinger 5.4.2 Trường hợp lượng thấp rào 5.4.3 Trường hợp lượng hạt lớn chiều cao rào 5.4.4 Hiệu ứng lượng tử 5.5 Hiệu ứng lượng tử chuyển động chiều 5.6 Phương pháp tách biến mở rộng cho chuyển động ba chiều 5.6.1 Quy trình 5.6.2 Bài tập 38 38 38 39 39 40 41 42 42 42 43 43 43 43 45 46 46 46 47 47 48 49 49 49 50 Dao động tử điều hòa chiều 6.1 Thiết lập phương trình khơng thứ ngun 6.2 Tóm tắt quy trình giải phương pháp giải tích 6.3 Hiệu ứng lượng tử 6.4 Dao động tử điều hòa ba chiều 6.5 Phương pháp đại số 6.5.1 Toán tử sinh - toán tử hủy 6.5.2 Các tính chất quan trọng 6.5.3 Bra-vector ket-vector 6.5.4 Hàm sóng chân không 6.5.5 Phương trình hàm riêng - trị riêng 6.5.6 Điều kiện chuẩn hóa hàm sóng 6.5.7 Ý nghĩa toán tử sinh - tốn tử hủy 6.5.8 Tính tốn đại số 51 51 52 54 54 55 55 55 56 56 56 57 58 59 Moment động lượng - Hàm cầu 7.1 Biểu thức toán tử moment động lượng quỹ đạo hệ tọa độ Descartes 7.2 Biểu thức giao hoán tử 7.3 Thiết lập biểu thức toán tử hệ tọa độ cầu 7.4 Hàm riêng - trị riêng toán tử moment động lượng quỹ đạo 7.4.1 Hình chiếu moment động lượng trục Oz 7.4.2 Bình phương moment động lượng quỹ đạo 7.5 Phương pháp đại số 7.5.1 Toán tử bậc thang 7.5.2 Các tính chất quan trọng 7.5.3 Hàm riêng - trị riêng 7.5.4 Tác dụng lên hàm cầu 7.5.5 Tính tốn đại số 7.6 Chuyển động trường xuyên tâm 7.6.1 Thiết lập Hamiltonian 7.6.2 Đại lượng bảo toàn 61 61 61 62 64 64 65 65 65 66 67 67 68 69 69 70 71 71 71 71 73 73 74 74 76 76 76 77 80 83 khảo thúc học phần - Học kỳ II - năm học 2018-2019 thúc học phần - Học kỳ I - Năm học 2018-2019 thúc học phần - Học kỳ II - Năm học 2017-2018 84 84 90 95 Nguyên tử Hydro 8.1 Phương trình Schrodinger 8.1.1 Thiết lập Hamiltonian 8.1.2 Đưa toán hạt 8.1.3 Phương trình Schrodinger 8.1.4 Phương trình khơng thứ ngun 8.2 Tóm tắt quy trình giải phương pháp giải tích 8.3 Bài tốn ngun tử Hydro lý thuyết Bohr Spin 9.1 Thí nghiệm Stern-Gerlach 9.2 Tính chất tốn tử spin 9.3 Ma trận Pauli 9.4 Phương trình hàm riêng - trị 9.5 Bài tập 10 Lời giải tham 10.1 Đề thi kết 10.2 Đề thi kết 10.3 Đề thi kết riêng Lời nói đầu Gửi bạn đọc, Tơi Triệu Đoan An, sinh viên lớp Sư phạm Vật lý A - khóa 44, thuộc khoa Vật lý - trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh Nhằm tăng hiệu ôn thi lưu trữ tài liệu học tập môn Cơ học lượng tử, tổng hợp kiến thức học thành tài liệu nhỏ chia sẻ đến bạn sinh viên theo học môn học Mong liệu giúp bạn sinh viên ôn tập tốt vượt qua kỳ thi kết thúc học phần Tôi xin chân thành cảm ơn Hồng Đỗ Ngọc Trầm - giảng viên môn Vật lý lý thuyết, khoa Vật lý, trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh, hướng dẫn tiếp cận môn Cơ học lượng tử cách hiệu Quyển tài liệu viết từ gần toàn kiến thức tơi tích góp q trình học tập môn Cơ học lượng tử cô học kỳ Em xin chân thành cảm ơn cô nhiều! Tuy nhiên, trình tiếp xúc với Cơ học lượng tử tơi cịn ngắn nên tơi nghĩ tồn lỗ hỏng phần kiến thức tơi có Mặt khác, tồn sai sót soạn thảo điều khơng thể tránh khỏi Vì vậy, tơi mong nhận góp ý thảo luận từ bạn đọc, dù góp ý nhỏ nhất, thơng qua email: kehy.antrieu@gmail.com Tơi xin chân thành cảm ơn bạn đọc nhiều! Tác giả Để sử dụng hiệu tài liệu tham khảo Nhằm giúp bạn đọc sử dụng tài liệu tham khảo cách hiệu quả, đồng thời tránh tình khơng hay xảy ra, tác giả xin lưu ý bạn đọc số điều sau: Giới hạn trách nhiệm tác giả nội dung tài liệu Nội dung tài liệu hồn tồn tác giả tự tổng hợp, khơng theo yêu cầu cá nhân, tổ chức khác Tài liệu viết chỉnh sửa tác giả, chưa qua kiểm duyệt giảng viên hay cá nhân, tổ chức Với lượng kiến thức thời lượng tiếp xúc môn học học kỳ, tác giả đảm bảo tính xác tuyệt đối cho nội dung tài liệu Vì vậy, mong bạn đọc sử dụng tài liệu với mục đích tham khảo, khơng nên dùng làm sở cho việc làm kiểm tra, thi thảo luận chuyên môn Tác giả không chịu trách nhiệm cho trường hợp sử dụng tài liệu mục đích tham khảo Tuy nhiên, tác giả mong nhận góp ý thảo luận từ bạn đọc để giúp hoàn thành tài liệu tốt Tài liệu khơng dùng cho mục đích thương mại Tác giả soạn tài liệu khơng mục đích lợi nhuận Vui lịng khơng in ấn, chép để bán hay phục vụ cho hoạt động thương mại tương tự Tác giả buồn biết bạn làm chuyện Một số lưu ý trình tiếp nhận nội dung: - Một số cách ký hiệu, thuật ngữ tác giả sử dụng khác với nguồn tài liệu khác Bạn đọc nên thường xuyên so sánh, đối chiếu với nguồn tài liệu tham khảo khác - Tác giả xây dựng lại lý thuyết theo cách hiểu riêng theo mục tiêu ôn thi nên số phần khác so với cách xây dựng lý thuyết theo lịch sử phát triển Cơ học lượng tử, cách xây dựng từ tài liệu liên quan đến môn - Mục "Yêu cầu" tài liệu mang ý nghĩa xây dựng lý thuyết công thức quan trọng Bạn đọc nên làm theo hướng dẫn từ mục Yêu cầu liên tiếp để xây dựng lại kiến thức học Hiển nhiên, cách dẫn dắt chủ quan, bạn tự xây dựng theo cách riêng bạn Mục "Bài tập" tài liệu giải tập liên quan cốt yếu, mang ý nghĩa ứng dụng lý thuyết xây dựng - Với quan điểm "học-hết", tác giả bỏ qua số phần giải phương trình Schrodinger địi hỏi cao kiến thức toán học Tài liệu cập nhật cần Nhằm khắc phục lỗi sai bổ sung nội dung, tài liệu cập nhật thay đổi đủ lớn Bạn đọc theo dõi tải tài liệu Trang bìa lần cập nhật có ghi rõ phiên ngày cập nhật Xin cảm ơn bạn đọc ý! Lịch sử phiên Phiên - Ngày 28 tháng 12 năm 2019 Phiên thứ hai tài liệu bổ sung số phần sau: Bài tập giá trị trung bình đại lượng vật lý Phương pháp giải tích dao động tử điều hòa chiều Phương pháp tách biển giải toán dao động tử điều hòa ba chiều Phương pháp đại số moment động lượng quỹ đạo - toán tử bậc thang Lời giải tham khảo đề thi kết thúc học phần học kỳ gần Tác giả thay đổi thứ tự nội dung tài liệu để đạt hiệu tốt việc ôn thi Xin chân thành cảm ơn bạn Phan Quang Sơn - lớp Sư phạm Vật lý B - K42 chia sẻ đề thi đến tác giả Nếu khơng có nhiều thay đổi quan trọng, phiên cuối tài liệu học kỳ phiên cập nhật vào học kỳ Chúc bạn thi tốt! Phiên - Ngày 22 tháng 12 năm 2019 Phiên tài liệu gồm hầu hết kiến thức quan trọng q trình ơn thi Cơ học lưởng tử, tổ Vật lý lý thuyết, khoa Vật lý, trường Đại học Sư phạm TP.HCM, phụ trách Tác giả bỏ qua phần giải phương trình Schrodinger trường hợp địi hỏi cao kiến thức Tốn học: hố độ cao hữu hạn, rào thế, dao động tử điều hòa chiều, hàm cầu nguyên tử Hydro Bạn đọc nên bám theo đề cương ôn thi giảng viên cung cấp để có định hướng ơn thi tốt Lý thuyết tiền lượng tử 1.1 1.1.1 Bức xạ vật đen - lý thuyết Planck Vật đen Vật đen vật hấp thụ hoàn tồn xạ chiếu tới Vật đen xạ sóng điện từ Phổ xạ vật đen đường biểu diễn cường độ lượng xạ vật đen phát theo bước sóng (hoặc theo tần số) xạ Vật lý thực nghiệm thời kỳ tiền lượng tử vẽ phổ xạ nhiệt vật đen tuyệt đối Người ta mong đợi lý thuyết giải thích phổ xạ 1.1.2 Sự bất lực lý thuyết cổ điển Công thức mô tả phổ xạ vật đen mà lý thuyết cổ điển đưa khơng trùng khớp hồn tồn với thực nghiệm: Công thức Wien đưa phù hợp với thực nghiệm miền bước sóng ngắn, khơng phù hợp bước sóng dài c1 c2 exp − λ5 λT ρ(λ, T ) = Việc chọn hệ số c1 , c2 Wien để phù hợp với thực nghiệm mà không dựa sở lý thuyết Rayleigh dùng lý thuyết xạ điện từ cổ điển phân bố Boltzmann thu công thức phân bố lượng xạ vòng bước sóng dài Jeans phát triển ý tưởng thành cơng thức: ρ(λ, T ) = 8π kB T λ4 Tuy nhiên, cơng thức phá sản hồn tồn vùng bước sóng ngắn Người ta gọi khủng hoảng vùng tử ngoại 1.1.3 Lý thuyết Planck lượng tử lượng Lý thuyết Planck cho rằng: Năng lượng vật đen phát xạ không liên tục gián đoạn theo lượng tử ε = nε0 hc λ Công thức mà Planck đưa trùng với công thức Wien vùng bước sóng ngắn trùng với cơng thức Rayleigh-Jeans vùng bước sóng dài với n = 0, 1, 2, ε0 = ρ(λ, T ) = 2hc2 × λ5 exp hc λkB T −1 1.2 Hiện tượng quang điện lý thuyết Einstein 1.2.1 Hiện tượng quang điện định luật quang điện Hiện tượng quang điện tượng electron phát chiếu ánh sáng lên bề mặt kim loại Các định luật quang điện: Hiện tượng quang điện xảy bước sóng ánh sáng chiếu tới nhỏ giá trị ngưỡng: λ ≤ λ0 Vận tốc electron không phụ thuộc vào cường độ sáng chiếu tới phụ thuộc vào bước sóng chùm ánh sáng chiếu tới Cường độ dòng quang điện bão hịa khơng phụ thuộc vào bước sóng mà tỉ lệ thuận với cường độ ánh sáng tới 1.2.2 Khó khăn lý thuyết cổ điển Theo lý thuyết cổ điển xạ điện từ, electron tích tụ lượng thoát khỏi bề mặt kim loại bước sóng ánh sáng chiếu tới, khơng bị ràng buộc điều kiện λ < λ0 thực nghiệm Lập luận dẫn đến: cường độ ánh sáng chiếu tới mạnh electron tích tụ nhiều lượng bứt với vận tốc đầu lớn Lý thuyết cổ điển khơng giải thích tỉ lệ cường độ dòng bão hòa theo cường độ ánh sáng tới 1.2.3 Lý thuyết Einstein lượng tử ánh sáng Lý thuyết Einstein cho rằng: Sóng điện từ tương tác với vật chất thể c dòng lượng tử ánh sáng có lượng ε = hν = h λ 1.3 1.3.1 Hiệu ứng Compton Thí nghiệm tán xạ Compton Tia X tán xạ tinh thể graphite theo nhiều phương xuất xạ có bước sóng dài bước sóng xạ tới Bước sóng khơng phụ thuộc vào cấu trúc tinh thể mà phụ thuộc vào góc tán xạ: ∆λ = λ − λ = 1.3.2 h (1 − cosθ) 2mc Khó khăn lý thuyết cổ điển Theo lý thuyết sóng ánh sáng cổ điển, tia X truyền đến tinh thể graphite làm cho hạt mang điện dao động với tần số với tia X Do đó, các hạt mang điện phải phát xạ theo phương có tần số (hay bước sóng) với tia tới Hiệu ứng Compton giải thích hoàn chỉnh lý thuyết Einstein ˆ x, L ˆ y ], [L ˆ x, L ˆ ] từ suy giao hốn tử (b) Hãy tính giao hốn tử [L 2 ˆy, L ˆ z ], [L ˆz, L ˆ x ], [L ˆy, L ˆ ], [L ˆz, L ˆ ] [L + Xét giao hoán tử: ˆ x, L ˆ y ] = [y pˆz − z pˆy , z pˆx − xˆ [L pz ] = [y pˆz , z pˆx ] − [y pˆz , xpˆz ] − [z pˆy , z pˆx ] + [z pˆy , xˆ pz ] Xét số hạng thứ nhất: [y pˆz , z pˆx ] = y[ˆ pz , z pˆx ] + [y, z pˆx ]ˆ pz = yz[ˆ pz , pˆx ] + y[pˆz , z]ˆ px + z[y, pˆx ]ˆ pz + [y, z]ˆ px pˆz ∂ =0−i y , z pˆx + + ∂z = −i y pˆx Tương tự, số hạng thứ tư: [z pˆy , xˆ pz ] = i xˆ py Xét số hạng thứ hai: [y pˆz , xˆ pz ] = y[ˆ pz , xˆ pz ] + [y, xˆ pz ]ˆ pz = yx[ˆ pz , pˆz ] + y[ˆ pz , x]ˆ pz + x[y, pˆz ]ˆ pz + [y, x]ˆ p2z =0 Tương tự, số hạng thứ ba: [z pˆy , z pˆx ] = Từ đó, ta được: ˆ x, L ˆ y ] = i [xˆ ˆz [L py − y pˆx ] = i L ˆy, L ˆz] = i L ˆ x [L ˆz, L ˆ x] = i L ˆy Chứng minh tương tự: [L + Xét giao hoán tử: ˆ x, L ˆ ] = [L ˆ x, L ˆ 2x + L ˆ 2y + L ˆ 2z ] = [L ˆ x, L ˆ 2x ] + [L ˆ x, L ˆ 2y ] + [L ˆ x, L ˆ 2z ] [L ˆ y [L ˆ x, L ˆ y ] + [L ˆ x, L ˆ y ]L ˆy + L ˆ z [L ˆ x, L ˆ z ] + [L ˆ x, L ˆ z ]L ˆz =0+L ˆyL ˆz + i L ˆzL ˆy − i L ˆzL ˆy − i L ˆyL ˆz =i L =0 ˆy, L ˆ ] = [L ˆz, L ˆ ] = Chứng minh tương tự: [L (c) Nêu ý nghĩa hệ thức giao hoán ˆ x, L ˆ y ], [L ˆy, L ˆ z ], [L ˆz, L ˆ x ] khác khơng chứng tỏ hình chiếu Các giao hốn tử [L moment động lượng quỹ đạo trục Ox, Oy, Oz đại lượng không xác định đồng thời Các tốn tử hình chiếu khơng có chung hàm riêng ˆ x, L ˆ ] = [L ˆy, L ˆ ] = [L ˆz, L ˆ ] = chứng tỏ bình phương moment Các giao hốn tử [L động lượng quỹ đạo hình chiếu moment động lượng trục hai đại lượng xác định đồng thời Hai toán tử tương ứng có chung hàm riêng 86 (d) Hamiltonian chuyển động electron nguyên tử hydro viết tọa đồ cầu sau: ˆ =− H ∂ 2m r2 ∂r r2 ∂ ∂r + ˆ2 L e2 − 2mr2 r Khơng cần tính tốn, biện luận để chứng minh hình chiếu moment động lượng quỹ đạo lên trục Oz bình phương moment động lượng quỹ đạo đại lượng bảo toàn Tách Hamiltonian thành hai phần:  ∂ e2  ∂  ˆ=−  R r − 2m r2 ∂r ∂r r ˆ =R ˆ + Yˆ với H ˆ    Yˆ = L 2mr2 ˆ z L ˆ phụ thuộc vào biến góc θ, ϕ - độc lập với bán kính r Tốn tử L nên: ˆ z , R] ˆ = [L2 , R] ˆ =0 [L Mặt khác: ˆ z , Lˆ2 ] = [L2 , Lˆ2 ] = [L ˆ z L ˆ không phụ thuộc r nên: Mà L ˆ z , Yˆ ] = [L2 , Yˆ ] = [L Từ kết trên, ta thu được: ˆ z , H] ˆ = [L2 , H] ˆ =0 [L Vậy Lz L2 đại lượng bảo toàn Câu 4: Spin (a) Về chất, spin gì? Nêu tính chất giao hốn spin Spin moment động lượng liên quan đến chuyển động quay nội electron (hạt vi mơ) Vì chất với moment động lượng quỹ đạo nên ta có: sˆ = sˆx i + sˆy j + sˆz k sˆ2 = sˆ2x + sˆ2y + sˆ2z Đối với giao hoán tử: [ˆ sj , sˆk ] = i εjkl sˆl 87 ; [ˆ sj , sˆ2 ] = (b) Từ tính chất đó, chứng minh σj σk = 2iεjkl σl (εjkl ký hiệu Leni-Civita) Từ tính chất giao hoán tử toán tử spin, ta xét: [ˆ sx , sˆy ] = i sˆz 1 [σx σy − σy σx ] = i σz ⇔ ⇔ σx σy − σy σx = 2iσz Nhân hai vế cho σy : σx σy2 − σy σx σy = 2iσz σy Vì σy2 = I σx σy = 2iσz + σy σx chứng minh, nên: σx − 2iσy σz − σy2 σx = 2iσz σy ⇔ σy σz + σz σy = Áp dụng tương tự, thu được: σx σy + σy σx = Sử dụng hai kết quả: σx σy − σy σx = 2iσz ⇒ σx σy = iσz σx σy + σy σx = Ở dạng tổng quát: σj σk = iεjkl σl Lưu ý: Kết thu khác với đề (c) Xác định hàm riêng tốn tử hình chiếu moment spin sˆy hạt có spin 1/2, biết: sˆy = 1 σy = 2 −i +i Gọi hàm riêng sˆy χ, ứng với trị riêng sy , ta có phương trình hàm riêng trị riêng: sˆy χ = sy χ ⇔ Suy hàm riêng phải có dạng: χ = −ib ia = sy a b 88 ⇔ −i +i a b χ = sy χ Thay vào biến đổi, thu được: a = −ib sy = + ∨ sy = − b = ia + Ứng với trị riêng sy = + , hàm riêng có dạng χ↑ = −ib b Theo điều kiện chuẩn hóa χχ+ = I: −ib b = (bb∗ + bb∗ ) = (1) ⇒ |b|2 = ib∗ b∗ 1 ⇒ chọn b = √ 2 , hàm riêng có dạng χ↓ = a ia Sử dụng điều kiện chuẩn hóa tương tự, ta tìm a = √ + Ứng với trị riêng sy = − Vậy tốn tử sˆy có: + Hàm riêng χ↑ = √ + Hàm riêng χ↓ = √ −i ứng với trị riêng sy = + 1 ứng với trị riêng sy = − i 89 10.2 Đề thi kết thúc học phần - Học kỳ I - Năm học 2018-2019 Câu 1: Quang phổ vạch nguyên tử hydro (a) Nêu khó khăn lý thuyết cổ điển giải thích quang phổ nguyên tử hydro Theo thuyết điện động lực học cổ điển, electron chuyển động quanh hạt nhân xạ sóng điện từ, dần lượng rơi vào hạt nhân Như vậy, phổ xạ phải quang phổ liên tục, thực nghiệm cho thấy quang phổ nguyên tử hydro quang phổ vạch (b) Ai đề xuất cách giải bế tắc trên, lý thuyết nào? Bohr đưa tiên đề để giải bế tắc: + Electron chuyển động quỹ đạo dừng xung quanh hạt nhân Trên quỹ đạo dừng, electron khơng phát xạ sóng điện điện từ có lượng xác định Tập hợp mức lượng tạo thành phổ lượng xác định + Electron phát xạ hay hấp thụ lượng chuyển tử quỹ đạo dừng sang quỹ đạo dừng khác Năng lượng hấp thụ hay phát xạ đại lượng gián đoạn độ chênh lệch hai mức lượng Từ tiên đề trên, Bohr đưa quy tắc lượng tử hóa khơng gian: Moment động lượng quỹ đạo electron gián đoạn theo lượng tử: L=n với (n = 1, 2, 3, ) số Planck thu gọn (c) Nêu ý nghĩa hạn chế lý thuyết Lý thuyết Bohr đưa giải bế tắc vật lý cổ điển khơng chặt chẽ Bohr khơng giải thích chất vật lý lượng tử hóa khơng gian giới vi mơ (d) Tại lý thuyết gọi "tiền lượng tử"? Như đề cập, lý thuyết Bohr không sâu vào giải thích chất vật lý giới vi mơ ý tưởng mang tính đột phá, tiền đề cho phát triển học lượng tử Vì lý thuyết Borh gọi "tiền lượng tử" Câu 2: Nguyên lý bất định (a) Viết nêu ý nghĩa hệ thức bất định Heisenberg Hệ thức bất định Heisenberg: δxδp ≥ với δx, δp độ bất định tọa độ xung lượng hạt, Planck thu gọn số Ý nghĩa: Vị trí hạt xác định (sai số nhỏ), xung lượng hạt bất định (sai số lớn), ngược lại Vì vậy, khái niệm quỹ đạo khơng có ý nghĩa học lượng tử 90 (b) Sử dụng nguyên lý bất định để ước tính mức lượng thấp hạt giam giếng chiều thành cao vô hạn: +∞ x < −a ∨ x > a − a ≤ x ≤ a V (x) = Theo định lý Ehrenfest, lượng trung bình hạt: E =T +V Sử dụng tiên tiền tương ứng với quan điểm cổ điển T = thức thống kê (δp)2 = p2 − p2 , ta có: T = p2 , kết hợp với cơng 2m (δp)2 + p2 (δp)2 p2 = ≥ 2m 2m 2m Theo hệ thức bất định Heisenberg: δxδp ≥ ⇒ δp = 2δx ≥ 2δxmax Vì hạt bị giam hố thành cao vô hạn nên: δxmax = a ⇒ δp ≥ 2a ⇒T ≥ 8ma2 Vì giếng cao vô hạn, hạt tồn giếng với điểm nên V = 0, ta lại: E=T ≥ 8ma2 Điều với trạng thái hạt, bao gồm trường hợp hạt trạng thái có lượng cực tiểu Emin , mà hạt trạng thái riêng lẻ lượng trung bình lượng ứng với trạng thái Vì vậy, mức lượng thấp hạt có dạng: Emin = 8ma2 Câu 3: Rào bậc thang Cho rào thế: V (x) = x < V0 x ≥ (a) Tính hệ số truyền qua phản xạ hạt qua rào theo chiều dương trục tọa độ E > V0 Vì hàm khơng phụ thuộc thời gian nên ta tiến hành giải phương trình Schrodinger dừng: ∂ ψ(x) 2m ˆ Hψ(x) = Eψ(x) ⇔ + [E − V (x)]ψ(x) = ∂x2 91 Xét vùng (I) (x < 0): V (x) = 0, phương trình Schodinger trở thành: ∂ ψ(x) 2mE + ψ(x) = ∂x2 √ Đặt k1 = 2mE , nghiệm phương trình có dạng: ψI (x) = A1 eik1 x + B1 e−ik1 x Xét vùng (II) (x ≥ 0): V (x) = V0 , phương trình Schrodinger trở thành: ∂ ψ(x) 2m(E − V0 ) + ψ(x) = ∂x2 Đặt k2 = 2m(E − V0 ) , nghiệm phương trình có dạng: ψII (x) = A2 eik2 x + B2 e−ik2 x Hàm sóng tốn học thu được: ψ(x) = A1 eik1 x + B1 e−ik1 x x < A2 eik2 x + B2 e−ik2 x x ≥ Các điều kiện hàm sóng vật lý: + Điều kiện đơn trị: Đã thỏa mãn + Điều kiện chuẩn hóa: Ta chọn hệ số A1 = suy hệ số lại + Điều kiện hữu hạn thay điều kiện truyền sóng: Vì vùng x > khơng tồn sóng phản xạ nên B2 = + Điều kiện liên tục: Hàm sóng phải liên tục tạo rào thế, tức x = 0, ta hệ phương trình:  = ψ(x)|x→0+  ψ(x)|x→0− ∂ψ(x) ∂ψ(x) ⇒ =  ∂x x→0− ∂x x→0+ Đặt η = k2 = k1 1− + B1 = A2 ik1 − ik1 B1 = ik2 A2  k − k2   B1 = k1 + k2 ⇒ 2k1   A2 = k1 + k2 V0 1−η B1 = A2 = E 1+η 1+η Thành phần eik1 x sóng phản xạ ứng với xung lượng k1 Thành phần B1 e−ik1 x sóng phản xạ ứng với xung lượng − k1 Thành phần A2 eik2 x sóng truyền qua ứng với xung lượng k2 Sử dụng cơng thức mật độ dịng xác suất: j=− ∂ψ(x) ∂ψ ∗ (x) i ψ ∗ (x) − ψ(x) 2m ∂x ∂x 92 ta tính mật độ dịng xác suất sóng tới, sóng phản xạ, sóng truyền qua là: k1 i eik1 x −ik1 e−ik1 x − e−ik1 x ik1 eik1 x = m m i jR = B1 e−ik1 x B1∗ ik1 eik1 x − B1∗ eik1 x −B1 ik1 e−ik1 x m i jT = A2 eik2 x −A∗2 ik2 e−ik2 x − A∗2 e−ik2 x A2 ik2 eik2 x m j0 = k1 m k2 = |A2 |2 m = |B1 |2 Hệ số phản xạ: jR R= = |B1 |2 = j0 1−η 1+η Hệ số truyền qua: k2 jT = T = = |A2 |2 × j0 k1 √ η 1+η (b) Xét trường hợp giới hạn E → +∞ E → V0 , nêu ý nghĩa kết thu Khi E → +∞ η → 1, dẫn đến R → T → 1: Hạt khơng bị phản xạ có lượng cao so với chiều cao rào thế, tương tự lý thuyết cổ điển Khi E → V0 η → 0, dẫn đến R → T → 0: Hạt bị phản xạ toàn phần rào Câu 4: Moment động lượng (a) Thiết lập toán tử moment động lượng quỹ đạo hình chiếu lên trục tọa độ hệ tọa độ Descartes Theo tiên đề tương ứng, biểu thức toán tử xây dựng tương tự học cổ điển: L = Lx i + Ly j + Lz k = r × p ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ⇒L=L x i + Ly j + Lz k = r × p ⇒           ˆ x = y pˆz − z pˆy = −i L ˆ y = z pˆx − xˆ L pz = −i    ˆ z = xˆ  L py − y pˆz = −i      ˆ2 ˆ2 ˆ2 ˆ2 L = Lx + Ly + Lz ∂ ∂ −z ∂z ∂y ∂ ∂ z −x ∂x ∂z ∂ ∂ x −y ∂y ∂z y (b) Chứng minh cơng thức giao hốn tốn tử trên: ˆ x, L ˆy] = i L ˆ z , [L ˆy, L ˆz] = i L ˆ x, [L ˆ x, L ˆ ] = [L ˆy, L ˆ ] = [L ˆz, L ˆ 2] = [L 93 ˆz, L ˆ x] = i L ˆy [L + Xét giao hoán tử: ˆ x, L ˆ y ] = [y pˆz − z pˆy , z pˆx − xˆ [L pz ] = [y pˆz , z pˆx ] − [y pˆz , xpˆz ] − [z pˆy , z pˆx ] + [z pˆy , xˆ pz ] Xét số hạng thứ nhất: [y pˆz , z pˆx ] = y[ˆ pz , z pˆx ] + [y, z pˆx ]ˆ pz = yz[ˆ pz , pˆx ] + y[pˆz , z]ˆ px + z[y, pˆx ]ˆ pz + [y, z]ˆ px pˆz ∂ =0−i y , z pˆx + + ∂z = −i y pˆx Tương tự, số hạng thứ tư: [z pˆy , xˆ pz ] = i xˆ py Xét số hạng thứ hai: [y pˆz , xˆ pz ] = y[ˆ pz , xˆ pz ] + [y, xˆ pz ]ˆ pz = yx[ˆ pz , pˆz ] + y[ˆ pz , x]ˆ pz + x[y, pˆz ]ˆ pz + [y, x]ˆ p2z =0 Tương tự, số hạng thứ ba: [z pˆy , z pˆx ] = Từ đó, ta được: ˆ x, L ˆ y ] = i [xˆ ˆz [L py − y pˆx ] = i L ˆy, L ˆz] = i L ˆ x [L ˆz, L ˆ x] = i L ˆy Chứng minh tương tự: [L + Xét giao hoán tử: ˆ x, L ˆ ] = [L ˆ x, L ˆ 2x + L ˆ 2y + L ˆ 2z ] = [L ˆ x, L ˆ 2x ] + [L ˆ x, L ˆ 2y ] + [L ˆ x, L ˆ 2z ] [L ˆ y [L ˆ x, L ˆ y ] + [L ˆ x, L ˆ y ]L ˆy + L ˆ z [L ˆ x, L ˆ z ] + [L ˆ x, L ˆ z ]L ˆz =0+L ˆyL ˆz + i L ˆzL ˆy − i L ˆzL ˆy − i L ˆyL ˆz =i L =0 ˆy, L ˆ ] = [L ˆz, L ˆ ] = Chứng minh tương tự: [L (c) Nêu ý nghĩa hệ thức giao hoán ˆ x, L ˆ y ], [L ˆy, L ˆ z ], [L ˆz, L ˆ x ] khác khơng chứng tỏ hình chiếu Các giao hoán tử [L moment động lượng quỹ đạo trục Ox, Oy, Oz đại lượng không xác định đồng thời Các tốn tử hình chiếu khơng có chung hàm riêng ˆ x, L ˆ ] = [L ˆy, L ˆ ] = [L ˆz, L ˆ ] = chứng tỏ bình phương moment Các giao hoán tử [L động lượng quỹ đạo hình chiếu moment động lượng trục hai đại lượng xác định đồng thời Hai tốn tử tương ứng có chung hàm riêng 94 10.3 Đề thi kết thúc học phần - Học kỳ II - Năm học 2017-2018 Câu 1: Dao động tử điều hòa chiều Nêu hiệu ứng lượng tự xảy chuyển động dao động tử điều hịa chiều Giải thích ý nghĩa Các hiệu ứng lượng tử: + Năng lượng dao động tử điều hòa nhận giá trị gián đoạn: En = n+ ω với n = 0, 1, 2, + Mức lượng cực tiểu lớn không: E0 = ω + Tồn xác suất hạt xuất vùng cấm cổ điển Ở mức kích thích cao (n 1), lý thuyết lượng tử tiệm cận với lý thuyết cổ điển Mơ hình dao động tử điều hịa dùng để giải thích lý thuyết Planck lượng tử hóa lượng: Mỗi nút mạng mạng tinh thể vật đen mơ hình hóa dao động tử điều hịa Vì lượng dao động tử điều hịa nhận giá trị gián đoạn cách lượng ∆E = ω nên photon phát chuyển trạng thái có lượng số nguyên lần ∆E, giả thuyết Max Planck ε = N ∆E = N ω Câu 2: Nguyên lý bất định (a) Viết nêu ý nghĩa hệ thức bất định Heisenberg Hệ thức bất định Heisenberg: δxδp ≥ với δx, δp độ bất định tọa độ xung lượng hạt, Planck thu gọn số Ý nghĩa: Vị trí hạt xác định (sai số nhỏ), xung lượng hạt bất định (sai số lớn), ngược lại Vì vậy, khái niệm quỹ đạo khơng có ý nghĩa học lượng tử (b) Sử dụng nguyên lý bất định để ước lượng mức lượng thấp có hạt bị giam giếng vng góc chiều thành cao vơ hạn: V (x) = +∞ x < −a ∨ x > a − a ≤ x ≤ a Theo định lý Ehrenfest, lượng trung bình hạt: E =T +V 95 Sử dụng tiên đề tương ứng theo quan điểm cổ điển T = thức thống kê (δp)2 = p2 − p2 , ta có: T = p2 , kết hợp với công 2m p2 (δp)2 + p2 (δp)2 = ≥ 2m 2m 2m Theo hệ thức bất định Heisenberg: δxδp ≥ ⇒ δp = ≥ 2δx 2δxmax Vì hạt bị giam hố thành cao vô hạn nên: δxmax = a ⇒ δp ≥ 2a ⇒T ≥ 8ma2 Vì giếng cao vơ hạn, hạt tồn giếng với điểm nên V = 0, ta lại: E=T ≥ 8ma2 Điều với trạng thái hạt, bao gồm trường hợp hạt trạng thái có lượng cực tiểu Emin , mà hạt trạng thái riêng lẻ lượng trung bình lượng ứng với trạng thái Vì vậy, mức lượng thấp hạt có dạng: Emin = 8ma2 Câu 3: Nguyên tử hydro (a) Thiết lập phương trình Schrodinger cho chuyển động electron nguyên tử Hydro đưa phương trình phương trình chuyển động khối tâm phương trình chuyển động tương đối electron hạt nhân Hamiltonian nguyên tử Hydro: ˆ = H với: pˆh = −i pˆe = −i e2 pˆh + pˆe − 2mh 2me 4πε0 |rh − re | ∂ ∂ ∂ i+ j+ k ∂xh ∂yh ∂zh ∂ ∂ ∂ i+ j+ k ∂xe ∂ye ∂ze toán tử xung lượng hạt nhân toán tử xung lượng electron rh = xh i + yh j + zh k vector tọa độ hạt nhân re = xe i + ye j + ze k vector tọa độ electron Để chuyển sang hệ tọa độ khối tâm, đặt: R= mh rh + me re mh + me 96 ; r = re − rh với: R = X i + Y j + Z k vector tọa độ khối tâm r = xi + y j + z k vector vị trí tương đối hạt nhân electron Chiếu R, r lên trục Ox, Oy, Oz: X= mh xh + me xe mh + me ; Y = x = xe − xh ; mh yh + me ye mh + me y = ye − yh ; ; Z= mh zh + me ze mh + me z = ze − zh Các đạo hàm riêng: ∂ mh ∂ ∂ =− + ∂xh ∂x mh + me ∂X ∂ ∂ mh ∂ =− + ∂yh ∂y mh + me ∂Y ∂ ∂ mh ∂ =− + ∂zh ∂z mh + me ∂Z ; ; ; ∂ ∂ me ∂ = + ∂xe ∂x mh + me ∂X ∂ ∂ me ∂ = + ∂ye ∂y mh + me ∂Y ∂ ∂ me ∂ = + ∂ze ∂z mh + me ∂Z Toán tử xung lượng hạt nhân electron trở thành: pˆh = −i pˆh = −i Đặt: pˆc = −i pˆ = −i − ∂ ∂ mh ∂ ∂ ∂ ∂ i+ j+ k + i+ j+ k ∂x ∂y ∂z mh + me ∂X ∂Y ∂Z ∂ ∂ me ∂ ∂ ∂ ∂ i+ j+ k + i+ j+ k ∂x ∂y ∂z mh + me ∂X ∂Y ∂Z ∂ i ∂X ∂ i ∂x + + ∂ ∂Y ∂ j ∂y j+ + ∂ k ∂Z ∂ k ∂z toán tử xung lượng khối tâm toán tử xung lượng cho chuyển động tương đối hạt nhân electron Vì pˆ pˆc độc lập nên tốn tử bình phương dễ dàng biểu diễn: pˆ2h = pˆ2 − 2mh pˆpˆc + pˆ2c mh + me ; pˆ2e = pˆ2 + 2me pˆpˆc + pˆ2c mh + me Thành phần động Hamiltonian viết: pˆ2h pˆ2 + e = 2mh 2me Đặt: 1 + mh me pˆ2 + 1 pˆ2 mh + me c 1 = + với m khối lượng rút gọn hệ m mh me M = mh + me tổng khối lượng hệ r = |r| = |rh − re | khoảng cách tương đối hạt nhân electron Hamiltonian viết lại: ˆ = pˆ2 + pˆ2 − e H 2m 2M c 4πε0 r Phương trình chuyển động cho khối tâm gồm thành phần phụ thuộc vào R: pˆ ψc (R) = Ec ψc (R) 2M c 97 Phương trình chuyển động tương đối hạt nhân electron gồm thành phần phụ thuộc vào r: e2 pˆ − 2m 4πε0 r ψ(r = Eψ(r) (b) Trong nguyên tử hydro, electron trạng thái bản, tương ứng với hàm sóng chuẩn hóa Ψ100 (r, θ, ϕ) = √ e−r/a0 Tìm vị trí mà mật độ xác suất tìm 3/2 π(a0 ) thấy electron lớn Giải thích ý nghĩa kết thu so với lý thuyết Bohr Vì hàm sóng phân bố cầu nên mật độ xác suất phân bố theo bán kính: ρ(r) = |Ψ(r, θ, ϕ)|2 × r2 = A2 r2 × e−2r/a0 π(a0 )3/2 Điều kiện cần cho vị trí có xác suất tìm thấy electron lớn nhất: với A = √ 2r2 −2r/a0 ∂ρ(r) = ⇒ 2re−2r/a0 − e =0⇔ ∂r a0 r=0 r = a0 Kiểm tra thấy ρ(r) đạt cực đại r = a0 Vậy mật độ xác suất tìm thấy electron lớn r = a0 , bán kính Borh So với lý thuyết Bohr, ta thấy: Bán kính quỹ đạo dừng lý thuyết Borh vị trí có mật độ xác suất tìm thấy electron lớn theo lý thuyết lượng tử Tuy nhiên, lý thuyết lượng tử electron xuất vị trí khác với xác suất nhỏ - điều khơng có lý thuyết Bohr Câu 4: Dao động tử điều hòa ba chiều Dao động tử điều hịa ba chiều có Hamiltonian sau: ˆ =− H ∆ + mω (x2 + y + z ) 2m (a) Từ hàm sóng lượng dao động tử điều hòa chiều, xác định lượng hàm sóng dao động tử điều hịa ba chiều nêu Vì Hamiltonian khơng phụ thuộc thời gian nên ta tiến hành giải phương trình Schrodinger dừng: ˆ = Eψ HΨ Hamiltonian có dạng tách biến:  ∂2  ˆx = −  H + mωx2    2m ∂x2  ∂ ˆ =H ˆx + H ˆy + H ˆ z với ˆy = − H H + mωy  2m ∂y 2    ∂2  ˆz = −  H + mωz 2 2m ∂z 98 Vì vậy, hàm sóng có dạng tách biến: ψ(x, y, z) = X(x) × Y (y) × Z(z) Phương trình Schrodinger trở thành: ˆ x X + XZ H ˆ y Y + XY H ˆ z Z = EXY Z Y ZH Chia hai vế cho XY Z đặt E = Ex + Ey + Ez , ta được: ˆyY ˆzZ ˆ xX H H H + + = Ex + Ey + Ez X Y Z Ở dạng tách biến, ta đưa phương trình ba phương trình Schrodinger ba dao động tử điều hòa chiều theo ba phương Ox, Oy, Oz Sử dụng kết có dao động tử điều hòa chiều, gọi Xl (x), Ym (y), Zn (z) hàm sóng dao động tử điều hòa phương tương ứng, ứng với số lượng tử l, m, n số tự nhiên Hàm sóng dao động tử điều hịa ba chiều có dạng: ψlmn = Xl (x) × Ym (y) × Zn (z) ứng với trị riêng: Elmn = Ex + Ey + Ez = l+m+n+ ω (b) Sự suy biến lượng gì? Nêu định nghĩa bậc suy biến Tính bậc suy biến lượng dao động tử điều hòa ba chiều Các định nghĩa: + Sự suy biến lượng tượng hệ lượng tử có nhiều trạng thái có mức lượng (nhiều hàm sóng ứng với trị riêng) + Bậc suy biến ứng với mức lượng số trạng thái có mức lượng (số hàm sóng ứng với trị riêng) Ứng với mức lượng Es tổng s = l + m + n không đổi Vì vậy, bậc suy biến gs mức lượng Es số cách chọn ba số tự nhiên (l, m, n) cho tổng chúng ln s Theo cơng thức thống kê tốn học, bậc suy biến tính tổ hợp: gs = Cs+2 Xem giải thích cách làm trang 54 Câu 5: Spin Xác định hàm riêng toán tử hình chiếu moment spin sˆy hạt có spin 1/2, biết: sˆy = 1 σy = 2 99 −i +i Gọi hàm riêng sˆy χ ứng với trị riêng sy , ta có phương trình hàm riêng - trị riêng: sˆy χ = sy χ ⇔ a b Suy hàm riêng phải có dạng: χ = −ib ia = sy + Ứng với trị riêng sy = + a b −i +i ⇔ χ = sy χ Thay vào biến đổi, thu được: a = −ib sy = + sy = − ∨ b = ia , hàm riêng có dạng χ↑ = −ib b Theo điều kiện chuẩn hóa χχ+ = I: −ib b ib∗ b∗ + Ứng với trị riêng sy = − 1 ⇒ chọn b = √ 2 = (bb∗ + bb∗ ) = (1) ⇒ |b|2 = , hàm riêng có dạng χ↓ = a ia Sử dụng điều kiện chuẩn hóa tương tự, ta tìm a = √ Vậy toán tử sˆy có: + Hàm riêng χ↑ = √ + Hàm riêng χ↓ = √ −i 1 i ứng với trị riêng sy = + ứng với trị riêng sy = − 100 ... Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh Nhằm tăng hiệu ôn thi lưu trữ tài liệu học tập môn Cơ học lượng tử, tổng hợp kiến thức học thành tài liệu nhỏ chia sẻ đến bạn sinh viên theo học môn học. .. Chí Minh, hướng dẫn tơi tiếp cận mơn Cơ học lượng tử cách hiệu Quyển tài liệu viết từ gần toàn kiến thức tơi tích góp q trình học tập môn Cơ học lượng tử cô học kỳ Em xin chân thành cảm ơn cô nhiều!... Planck: lượng tử lượng Lý thuyết Einstein: lượng tử ánh sáng Lý thuyết Bohr: lượng tử không gian ý tưởng đột phá, tiền đề cho học lượng tử Vì vậy, lý thuyết gọi "lý thuyết tiền lượng tử" 10 Hàm