Tài liệu Chương 1: Cơ học chất điểm và chất rắn - Vật lý đại cương pdf

ðể khảo sát sự thay ñổi vị trí của vật trong không gian khi chuyển ñộng, người ta gắn vào hệ quy chiếu một hệ toạ ñộ.. Muốn xác ñịnh quỹ ñạo chuyển ñộng ta phải xác lập phương trình quỹ

Chương 1

CƠ HỌC CHẤT ðIỂM VÀ VẬT RẮN

§ 1.1 ðỘNG HỌC CHẤT ðIỂM

1.1.1 Một số khái niệm:

a) Chuyển ñộng và hệ quy chiếu

Chuyển ñộng là khái niệm cơ bản của cơ học Chuyển ñộng của một vật là sự dời vị trí của vật này ñối với vật khác hoặc giữa các phần của một vật ñối với nhau trong không gian và theo thời gian

Muốn xác ñịnh vị trí của một vật trong không gian ta phải xác ñịnh khoảng cách từ vật

ñó ñến một vật khác ñược quy ước là ñứng yên Vật

ñược quy ước là ñứng yên, chọn là mốc ñể xác ñịnh vị

trí của các vật trong không gian gọi là hệ quy chiếu

Thường chọn hệ quy chiếu sao cho bài toán trở nên

ñơn giản nhất ðể khảo sát sự thay ñổi vị trí của vật

trong không gian khi chuyển ñộng, người ta gắn vào hệ

quy chiếu một hệ toạ ñộ Thường người ta hay sử dụng

hệ toạ ñộ Descartes Oxyz gồm ba trục Ox, Oy, Oz

vuông góc nhau từng ñôi một (hình 1.1) Vị trí một

ñiểm trong hệ toạ ñộ ðề các ñược xác ñịnh bởi 3 toạ ñộ

x,y,z Ta viết M(x,y,z)

ðể khảo sát thời gian chuyển ñộng của vật, người ta gắn vào hệ quy chiếu một cái ñồng hồ Mốc tính thời gian cũng ñược chọn sao cho bài toán ñơn giản nhất

Rõ ràng tuỳ thuộc vào hệ quy chiếu ta chọn mà một vật có thể ñứng yên với hệ quy chiếu này nhưng lại chuyển ñộng với hệ quy chiếu khác - ðiều ñó cho thấy chuyển ñộng hay ñứng yên chỉ có tính chất tương ñối

b) Chất ñiểm

ðể ñơn giản khi khảo sát chuyển ñộng của vật người ta ñưa ra khái niệm chất ñiểm: Là một vật có khối lượng nhưng kích thước của vật rất nhỏ hơn khoảng cách ta khảo sát

c) Véc tơ toạ ñộ và phương trình chuyển ñộng

ðể xác ñịnh tọa ñộ của chất ñiểm người ta cũng ñưa ra khái niệm véc tơ tọa ñộ rr: Là véc tơ ñược vẽ từ gốc tọa ñộ ñến chất ñiểm ñược khảo sát Giữa x,y,z và rr có mối liên hệ:

k j y i x r

r r r r

+ +

=

quỹ ñạo

Z

X

Y

M

r i

v

j

vk

v

x

y

z

Hình 1.1

Vuihoc24h.vn

Trong quá trình chất ñiểm chuyển ñộng vec tơ toạ ñộ luôn thay ñổi theo thời gian Phương trình liên hệ giữa tọa ñộ không gian của chất ñiểm và thời gian chuyển ñộng ñược gọi là phương trình chuyển ñộng Chẳng hạn: x = x(t); y = y(t); z = z(t)

Hay: rr = rr(t)

d) Quỹ ñạo chuyển ñộng

Quỹ ñạo chuyển ñộng của chất ñiểm là ñường tạo bởi tất cả các vị trí của chất ñiểm trong không gian trong suốt quá trình chuyển ñộng

Muốn xác ñịnh quỹ ñạo chuyển ñộng ta phải xác lập phương trình quỹ ñạo bằng cách khử tham số thời gian trong các phương trình chuyển ñộng của chất ñiểm

e) Hoành ñộ cong

Giả sử chất ñiểm chuyển ñộng trên quỹ ñạo

cong bất kỳ, trên quỹ ñạo ñó ta chọn một ñiểm M0

cố ñịnh và một chiều dương Khi ñó tại mỗi thời

ñiểm, vị trí của chất ñiểm M ñược xác ñịnh bởi giá

trị ñại số

cung M0M =S, ñược gọi là hoành ñộ cong của chất

ñiểm M (hình 1.2)

1.1.2 Vận tốc chuyển ñộng

Vận tốc chuyển ñộng là ñại lượng ñặc trưng cho phương, chiều và ñộ nhanh chậm của chuyển ñộng

Xét một chất ñiểm chuyển ñộng, ở thời ñiểm t1 chất ñiểm ở vị trị M1 có véc tơ toạ ñộ

1

rr, ở thời ñiểm t2 chất ñiểm ở vị trí M2 có véc tơ toạ ñộ

2

rr Như vậy trong khoảng thời gian ∆t=t2−t1 véc tơ toạ

ñộ thay ñổi một lượng là ∆rr=rr2−rr1 (hình 1.3) Khi ñó

tỷ số

t

r

∆

∆r ñược gọi là vận tốc trung bình của chuyển ñộng

cho biết mức ñộ nhanh chậm trung bình của chuyển ñộng

trong cả khoảng thời gian chất ñiểm chuyển ñộng Muốn

xác ñịnh ñộ nhanh chậm của chuyển ñộng tại từng thời

ñiểm ta phải xét khoảng thời gian chuyển ñộng vô cùng

nhỏ, tức là ∆t→0, khi ñó tỉ số

t

r

∆

∆r

dần tới một giới hạn

+

Mo

M

Hình 1.2

1

rv

2

rv

rv

∆

vv

M1

M2

Hình 1.3

Vuihoc24h.vn

xác ñịnh ñược gọi là vận tốc của chuyển ñộng

Tức là

dt

r d t

r v

t

r r r

=

∆

∆

=

→

∆lim0 Vậy: Vận tốc chuyển ñộng của chất ñiểm là ñại lượng ñược xác ñịnh bằng ñạo hàm của véc tơ toạ ñộ chất ñiểm theo thời gian

Ta nhận thấy khi ∆t→0 thì ∆rr trùng với tiếp tuyến của quỹ ñạo chuyển ñộng, nên véc tơ vận tốc có phương tiếp tuyến với qũy ñạo và có chiều cùng chiều với chuyển ñộng

Trong hệ toạ ñộ Descartes, nếu chọn i j k

r r r , , là véc tơ ñơn vị hướng theo ba trục Ox,

Oy, Oz, ta có: r x i y j z k

r r r r

+ +

dt

d v

r r r r

+ +

r r r r

+ +

lớn:

2 2 2

z y

v

vr = + +

Trong ñó :

dt

dz v dt

dy v dt

dx

v x = , y = , z = là các thành phần vận tốc theo các trục Ox, Oy, Oz ðơn vị vận tốc là m/s

1.1.3 Gia tốc chuyển ñộng

Gia tốc chuyển ñộng là ñại lượng ñặc trưng cho sự thay ñổi của véc tơ vận tốc

Xét một chất ñiểm chuyển ñộng, ở thời ñiểm t1 vận tốc chất ñiểm là vr1, ở thời ñiểm t2

vận tốc chất ñiểm là vr2 Như vậy trong khoảng thời

gian ∆t=t2−t1 vận tốc chất ñiểm thay ñổi một

lượng ∆vr=vr2−vr1 (hình 1.4), khi ñó tỷ số

t

v

∆

∆r

ñược gọi là gia tốc trung bình của chuyển ñộng

Muốn xác ñịnh gia tốc chuyển ñộng tại từng

thời ñiểm, ta phải xét khoảng thời gian vô cùng nhỏ,

tức là ∆t→0, khi ñó tỷ số

t

v

∆

∆r

sẽ dần tới một giới hạn xác ñịnh, gọi là gia tốc chuyển ñộng

Nghĩa là:

dt

v t

v a

t

r r r

=

∆

∆

=

→

∆lim0

Hình 1.4

1

V

V

∆

Vuihoc24h.vn

Vậy: Gia tốc chuyển ñộng của chất ñiểm là ñại lượng ñược xác ñịnh bằng ñạo hàm vận tốc chuyển ñộng của chất ñiểm theo thời gian

Ta nhận thấy trong chuyển ñộng cong bất kỳ, khi ∆t→0 thì ∆vr luôn hướng về phía lõm của qũy ñạo nên véc tơ gia tốc có phương hướng về phía lõm của quỹ ñạo

Trong hệ toạ ñộ Descartes ta có: (v i v j v k)

dt

d

a x y z

r r r r

+ +

=

Hay: a a x i a y j a z k

r r r r

+ +

z y

a

ar = + +

2 2

2 2

2

, ,

dt

z d dt

dv a dt

y d dt

dv a dt

x d dt

dv

z y

y x

ðơn vị gia tốc là: m/s2

ðể thấy rõ hơn ñặc trưng cho sự thay ñổi véc tơ vận tốc của gia tốc, ta phân tích gia tốc ra hai thành phần: ar=art+arn

Thành phần art có phương tiếp tuyến với quỹ ñạo chuyển ñộng, ñược gọi là gia tốc tiếp tuyến, cùng chiếu vận tốc khi vận tốc tăng và ngược chiều vận tốc khi vận tốc giảm, Kết quả tính toán tìm ñược ñộ lớn

dt

dv

a t = Thành phần arn có phương vuông góc với tiếp tuyến của quỹ ñạo có chiều hướng về phía lõm của quỹ ñạo, gọi là gia tốc pháp tuyến hay gia tốc hướng tâm, ñộ lớn tính ñược:

R

v

a n

2

= , với R là bán kính quỹ ñạo cong tại ñiểm ta ñang xét

Từ các kết quả trên ta dễ dàng nhận thấy gia tốc tiếp tuyến ñặc trưng cho sự thay ñổi

về ñộ lớn còn gia tốc pháp tuyến ñặc trưng cho sự thay ñổi về phương của véc tơ vận tốc

1.1.4 Vận tốc góc và gia tốc góc

Giả sử một chất ñiểm chuyển ñộng trên quỹ ñạo

tròn bán kính R (hình 1.5), sau khoảng thời gian ∆t

chất ñiểm vạch ñược một cung ∆s tương ứng bán kính

quét ñược một góc ∆θ Khi ñó vận tốc góc của chất

ñiểm ñược ñịnh nghĩa:

dt

d t

t

θ θ

∆

∆

=

→

∆

R

M’

M

S

∆

θ

∆

O

Hình 1.5

Vuihoc24h.vn

Nếu trong khoảng thời gian ∆t, vận tốc góc của chất ñiểm thay ñổi một lượng ∆ω , khi ñó gia tốc góc của chất ñiểm ñược ñịnh nghĩa:

dt

d t

t

ω ω

∆

∆

=

→

∆

lim

0 ðơn vị của vận tốc góc là rad/s, của ra tốc góc là rad/s2

Người ta có thể biểu diễn vận tốc góc bằng một

véc tơ (nằm trên trục của vòng tròn quỹ ñạo có chiều

thuận chiều quay của chuyển ñộng theo quy tắc vặn

ñinh ốc) và biểu diễn gia tốc góc bằng một véc tơ (nằm

trên trục qua của quỹ ñạo tròn, cùng chiều véc tơ vận

tốc góc nếu ω tăng và ngược chiều với véc tơ vận tốc

nếu ω giảm (hinh 1.6)

Từ công thức liên hệ của hình tròn (∆s=R∆θ

và từ các khái niệm về vận tốc, gia tốc và vận tốc góc,

gia tốc góc ta có thể suy ra mối liên hệ:

β ω

R

s= ∆ = t =

ω

R

a n=

1.1.5 Một số dạng chuyển ñộng ñơn giản

ðây là chuyển ñộng có quỹ ñạo thẳng và véc tơ

gia tốc không thay ñổi , do ñó:

const a

a

a n =0 và t = =

Kết quả sau những khoảng thời gian bằng nhau, vận tốc thay ñổi những lượng bằng nhau

t

v v

Từ ñó ta suy ra phương trình chuyển ñộng của chất ñiểm 2

0 2

1

at t v

s= +

b) Chuyển ñộng tròn biến ñổi ñều

ðây là chuyển ñộng có quỹ ñạo tròn và gia tốc góc không thay ñổi, tức là sau những khoảng thời gian như nhau vận tốc góc thay ñổi những lượng bằng nhau

t

tω ω ω β

ω

t

a

βv

ωv

R

βv

ωv

R

t

a

Hình 1.6

Vuihoc24h.vn

Từ ñó ta có phương trình chuyển ñộng của chất ñiểm: 2

0

2

1

t

t β ω

§ 1.2 ðỘNG LỰC HỌC CHẤT ðIỂM

1.2.1 Nội dung các ñịnh luật Newton

a) ðịnh luật Newton thứ nhất

Một chất ñiểm cô lập ñang ñứng yên sẽ tiếp tục ñứng yên, nếu ñang chuyển ñộng sẽ chuyển ñộng thẳng ñều

Như vậy ñịnh luật 1 Newton cho thấy một chất ñiểm cô lập sẽ bảo toàn trạng thái chuyển ñộng Tính bảo toàn trạng thái chuyển ñộng ñược gọi là tính quán tính Hệ quy chiếu

mà ñịnh luật Newton thứ nhất ñược nghiệm ñúng gọi là hệ quy chiếu quán tính

b) ðịnh luật Newton thứ hai

Bằng thực nghiệm Newton ñã ñưa ra ñịnh luật:

Gia tốc chuyển ñộng của chất ñiểm tỷ lệ thuận với lực tác dụng và tỷ lệ nghịch với khối lượng của chất ñiểm, tức là

m

F k a

r r

Trong hệ ñơn vị SI, hệ số tỷ lệ k = 1.Ta có:

m

F a

r r

=

Từ ñịnh luật Newton ta nhận thấy khối lượng của chất ñiểm ñặc trưng cho tính quán tính của chất ñiểm

c) ðịnh luật Newton thứ ba

Nghiên cứu mối tương tác giữa các chất ñiểm, Newton ñã ñưa ra ñịnh luật:

Nếu chất ñiểm 1 tác dụng lên chất ñiểm 2 một lực F12

r

, thì ñồng thời chất ñiểm 2 cũng tác dụng lên chất ñiểm 1 một lực F21

r

Hai lực này có phương, ngược chiều và cùng ñộ lớn Tức là: F21

r

= - F12

r

hay F12

r

+ F21

r

= 0

ñặt ở hai ñiểm khác nhau

1.2.2 ðộng lượng và ñịnh luật bảo toàn ñộng lượng

a) Khái niệm ñộng lượng

Vuihoc24h.vn

Xét chất ựiểm thứ nhất chuyển ựộng ựến và chạm với chất ựiểm thứ hai ựang ựứng yên, giả sử sau va chạm chất ựiểm thứ hai chuyển ựộng

Thực nghiệm cho thấy vận tốc chất ựiểm thứ hai thu ựược phụ thuộc vào khối lượng

và vận tốc chất ựiểm thứ nhất

để ựặc trưng cho quá trình ựó người ta ựưa ra khái niệm ựộng lượng: động lượng của chất ựiểm là ựại lượng ựặc trưng cho khả năng truyền chuyển ựộng của chất ựiểm và ựược xác ựịnh bằng tắch số giữa khối lượng và vận tốc chuyển ựộng của chất ựiểm

Tức là: pr=m vr

b) định lý về ựộng lượng

Từ ựịnh nghĩa về gia tốc và ựịnh luật hai Newton có:

dt

v m F

r r

=

dt

p v m dt

d F

r r r

=

=

đây là ựịnh lý về ựộng lượng ựược phát biểu: đạo hàm véc tơ ựộng lượng của chất ựiểm theo thời gian bằng tổng hợp lực tác dụng lên chất ựiểm

c) định luật bảo toàn ựộng lượng

Xét một hệ cô lập gồm hai chất ựiểm, giả sử chất ựiểm thứ nhất tác dụng lên chất ựiểm thứ hai một lực F12

r

và chất ựiểm thứ hai tác dụng lên chất ựiểm thứ nhất một lực F21

r

Theo ựịnh luật ba Newton thì: F12+ F21=0

r r

Theo ựịnh lý ựộng lượng thì:

dt

p F

dt

p

F12 2, 21 1

r r

r r

=

=

dt

d

= +

=

r

Tổng quát, với hệ cô lập nhiều chất ựiểm pr1+ pr2+ pr3+L=const

đây là nội dung ựịnh luật bảo toàn ựộng lượng ựược phát biểu:

Tổng ựộng lượng của hệ chất ựiểm cô lập là không ựổi

dụng lên hệ bằng không thì tổng ựộng lượng của hệ theo phương ựó ựược bảo toàn đó là ựịnh luật bảo toàn ựộng lượng theo các phương

1.2.3 Nguyên lý tương ựối Galileo

a) Nguyên lý

Vuihoc24h.vn

Bằng thực nghiệm Galileo ñã rút ra nguyên lý ñược phát biểu theo các cách như sau:

- Mọi hệ quy chiếu chuyển ñộng thẳng ñều so với hệ quy chiếu quán tính cũng là hệ quy chiếu quán tính

- Các hiện tượng, các quá trình cơ học ñều xảy ra giống nhau trong các hệ quy chiếu quán tính khác nhau

- Các phương trình ñộng lực học ñều có dạng giống nhau trong các hệ quy chiếu quán tính

b) Phép biến ñổi Galileo

Xét hai hệ quy chiếu quán tính Oxyz ñứng yên, O’x’y’z’ chuyển ñộng thẳng ñều dọc theo Ox với vận tốc V, trên mỗi hệ quy chiếu gắn một ñồng hồ và giả sử ở thời ñiểm ban ñầu hai gốc toạ ñộ trùng nhau

Xét một chất ñiểm M bất kỳ trong không gian Toạ ñộ không gian và thời gian của M trong hai hệ là: x, y, z, t và x’, y’, z’, t’ (hình 1.7)

Theo quan ñiểm của Newton, thời gian

trôi trong hai hệ là như nhau, tức là t=t′

Toạ ñộ không gian giữa hai hệ ñược xác

ñịnh:

/ / /

/ / oo x Vt,y y ,z z

x

x= + = + = =

Từ ñó ta có phép biến ñổi Galileo:

t t z z y y Vt x

x= ′+ ; = ′ ; = ′ và = ′ hay

t t z

y y

Vt

x

x′= − ; ′= ; ′=z và ′=

c Lực quán tính

Từ phép biến ñổi Galileo ta thấy, nếu hệ quy chiếu O’x’y’z’ chuyển ñộng thẳng, ñều

so với hệ quy chiếu quán tính Oxyz ñứng yên thì gia tốc chuyển ñộng của chất ñiểm ở hai hệ là: ar=ar′

Xét trường hợp hệ quy chiếu O’x’y’z’ chuyển ñộng với gia tốc A =

dt

dV

so với hệ quy chiếu quán tính Oxyz ñứng yên Từ phép bién ñổi Galileo, ta có:

A a a

r r r +

′

=

Vì hệ O là hệ quy chiếu quán tính nên F m ar

r

= , nếu gọi Fr′=m ar′ là lực tác dụng lên chất ñiểm trong hệ không quán tính O’ thì F F ( m A)

r r

r

− +

=

′

O O’

x, x ’

y’

y

z z ’

M

x ’

v x

x

Hình 1.7

Vuihoc24h.vn

ðiều này chứng tỏ chất ñiểm trong hệ quy chiếu không quán tính còn chịu thêm lực

A

m

F qt

r

r

−

= ñươc gọi là lực quán tính Lực quán tính luôn ngược chiều với gia tốc của hệ không quán tính và là lực ảo không ño ñược Lực quán tính ñược sử dụng ñể giải thích sự tăng giảm trọng lượng của vật trong hệ chuyển ñộng có gia tốc so với traí ñất

§ 1.3 CÔNG VÀ NĂNG LƯỢNG

1.3.1.Công và công suất

Khi tác dụng lực lên chất ñiểm hay vật làm

chúng chuyển dời, ta nói rằng lực tác dụng ñã thực

hiện công trong chuyển dời

Giả sử dưới tác dụng của lực F

r

, chất ñiểm chuyển dời một ñoạn d sr Khi ñó công của lực F

r

trong chuyển dời ñược ñịnh nghĩa:

ds F Fds

s d F

dA= r r= cosα= s

Trong ñó α là góc hợp bởi lực F

r

và d sr,F s

là hình chiếu của lực F

r

lên phương chuyển dời

s

dr(hình 1.8)

Nếu chất ñiểm chuyển dời từ vị trí M ñến N thì công của lực thực hiện trong quá trình

→

→ =

C

B

C

A cosα

Tùy thuộc vào góc giữa lực và phương chuyển dời mà công của lực có thể nhận giá trị dương, âm hoặc bằng không

ðơn vị tính công là Jun: 1J = 1N.1m

ðể ñánh giá sức mạnh hay tốc ñộ sinh công của các nguồn ñộng lực người ta ñưa ra khái niệm công suất ñược ñịnh nghĩa: Công suất của nguồn ñộng lực là ñại lượng có giá trị bằng công của nguồn ñộng lực sinh ra trong một ñơn vị thời gian

Tức là:

dt

dA

P= ðơn vị công suất là Oát (W)

1.3.2 Năng lượng

a) Khái niệm

Năng lượng của một hệ (vật) là ñại lượng ñặc trưng cho mức ñộ vận ñộng và mức ñộ tương tác của các hệ

C

B

M

M’

s

dv

α

Fv

Hình 1.8

Vuihoc24h.vn

Mỗi một hình thức vận ñộng cụ thể sẽ có một dạng năng lượng cụ thể; như: Cơ năng, nhiệt năng, ñiện năng…Mặt khác, một hệ ở một trạng thái nhất ñịnh sẽ có giá trị năng lượng xác ñịnh, khi trạng thái thay ñổi thì năng lượng của hệ thay ñổi

Trong cơ học, cách thay ñổi năng lượng của hệ thường là do hệ tác dụng lực lên hệ khác, khi ñó hệ thực hiện công Thực nghiệm cho thấy ñộ thay ñổi năng lượng của hệ trong một quá trình có giá trị bằng công vật thực hiện trong quá trình ñó

b) ðịnh luật bảo toàn năng lượng

Giả sử một hệ, sau quá trình tương tác với bên ngoài, hệ thưc hiện một công A và năng lượng của hệ thay ñổi từ W1 thành W2, tức là biến ñổi một lượng là ∆W= W2−W1

Theo mối liên hệ thực nghiệm giữa công và năng lượng thì: ∆W = A

Như vậy nếu hệ nhận công từ bên ngoài (A>0) thì năng lượng của hệ tăng, nếu hệ sinh công cho môi trường (A<0) thì năng lượng của hệ giảm và nếu hệ không trao ñổi với bên ngoài (hệ cô lập) thì năng lượng của hệ không thay ñổi ðây là nội dung của ñịnh luật bảo toàn năng lượng ñược phát biểu:

Với hệ cô lập năng lượng của hệ ñược bảo

toàn, hay năng lượng không tự sinh ra, không tự

mất ñi mà chỉ chuyển từ dạng này sang dạng khác

hoặc từ vật này sang vật khác

Trong cơ học, năng lượng của hệ gọi là cơ

năng gồm ñộng năng và thế năng

c) ðộng năng

ðộng năng là thành phần năng lượng tương

ứng với sự chuyển dời của vật

Xét một chất ñiểm khối lượng m, chịu tác dụng của lực F

r

và chuyển rời từ vị trí 1 ñến vị trí 2, ở vị trí 1 chất ñiểm có vận tốc v1, ở vị trí 2 chất ñiểm có vận tốc v2 (hình 1.9)

Khi ñó công của lực F

r

thực hiện là:

ds dt

dv m ds

F s

d F A

N M N M s N

M N

→

→

→

2

1 2

1

2

1

mv mv

mvdv A

v

v

N

1

2

1

v

2

v

Fv S

Hình 1.9

Vuihoc24h.vn