Phương pháp giải một số dạng bài toán một chiều trong cơ học lượng tử : Khoá luận tốt nghiệp đại học

Với số lượng bài tập tương đối nhiều và khá đa dạng, tuy nhiên phần kiến thức toán học được dùng để giải các bài tập về chúng thì lại khá phức tạp.. Chính vì vậy mà việc tìm hiểu, tập hợ

MỞ ĐẦU

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Trong quá trình học tập và lĩnh hội kiến thức Vật lý thì việc giải bài tập giữ

một vai trò khá quan trọng Nó giúp ta củng cố, nắm vững và hiểu sâu sắc hơn phần

lý thuyết đã học, bởi lẽ chỉ có thể giải được bài tập khi đã tìm hiểu cặn kẽ phần kiến

thức lý thuyết về nó

Một trong những học phần trong chuyên ngành Vật lý được học ở Đại học đó

là môn Cơ học lượng tử, đây là bộ môn mới được hình thành vào đầu những năm 30

của thế kỷ XX Với số lượng bài tập tương đối nhiều và khá đa dạng, tuy nhiên phần

kiến thức toán học được dùng để giải các bài tập về chúng thì lại khá phức tạp Chính vì vậy mà việc tìm hiểu, tập hợp, phân loại các bài tập cơ bản trong phạm vi

kiến thức đã học là rất cần thiết và có tính chất tích cực, và trong đó việc giải các

bài toán một chiều để nghiên cứu tính chất của hạt chuyển động theo phương Ox là

một dạng bài toán rất hay và hữu ích

Từ những đặc điểm nêu trên là lí do mà em lựa chọn đề tài: “Phương pháp

giải một số dạng bài toán một chiều trong Cơ học lượng tử”

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Nghiên cứu một số dạng bài toán một chiều trong Cơ học lượng tử

3 NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

Phân loại và giải một số bài toán một chiều thuộc các dạng bài tập cơ bản của

Cơ học lượng tử,

4 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

Bài tập Cơ học lượng tử

5 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Phương pháp Vật lý lý thuyết và phương pháp Vật lý - toán.

CHƯƠNG 1 TÌM XÁC SUẤT ĐỀ ĐO GIÁ TRỊ CỦA XUNG LƯỢNG CỦA DAO

ĐỘNG TỬ

1.1 Cơ sở lí thuyết

Phương trình cho hàm riêng và trị riêng của toán tủ F

Fa (art)= fv, (at)

Với ự= >'y,C, thi C, = [yiydq={y,.y}

Ic, f là xác suất để hệ lượng tử chuyển về nằm ở trạng thái y,

Íw'Êwdq={w.Êy}- Khi gđãchuẩnhoá

F= CCE, » “\J w'Fydq _{wFy} Khi chưa chuẩn hoá F

CHƯƠNG 2 GIẢI CÁC BÀI TOÁN MỘT CHIỀU 2.1.Các tính chất của chuyển động một chiều

2.1.1 Các mức năng lượng của phổ gián đoạn không suy biến

Ta giả sử ngược lại, ứng với mức năng lượng E, của phổ gián đoạn có hai hàm sóng, ự, và ự, độc lập tuyến tính, nghĩa là:

Thành thử ự(+x) và ự(-x) đều mô tả trạng thái ứng với năng lượng E, của hạt,

Và VÌ w(-x) = +w(x) nên hàm ự(z) phải là hàm chắn (hoặc lẻ) của toạ độ

2.2 Hạt chuyển động trong “giếng thế” sâu vô han

Ta có:

(0) = Asino =0 nên =0 y(a) = Asin(ka) =0 nên ka=nz (k>0 ta lay n = 1,2,3 )

Ta có: năng lượng của hạt ứng với số lượng tử n

Năng lượng của hạt trong “giếng thế” bị lượng tử hoá, nó có phổ gián đoạn va

tỉ lệ với bình phương số lượng tử n.Vậy hàm sóng của hạt ứng với số lượng tử n là:

Tìm hàm sóng của hạt trong biểu diễn năng lượng khi hạt ở trong “giếng

thế” một chiều có thành cao vô hạn có bề rộng d và ở trong trạng thái:

x’ -4d* O<x<d

Bai giai Trong biểu diễn tạo độ hàm sóng của hạt và năng lượng hạt trong giếng thế một chiều cao vô hạn bề rộng d là:

Chia hai vế của phương trình cho w(x)w(y)w(z) ta được:

TT 2m|w(x) @x? yy) dy? = wz) 3z Put

Do C,,C, là hằng số tích phân tuỳ ý nên ta đặt:

C, = Acosg, C, = Asing=> (x)= Asin(kx +0) Dùng điều kiện bién (x = 0,y,z);(x,y =0,z);(x,y,z=0)

Ta có: y(0,y,z) = y(x,0,z) = w(x, y,0)=0

Áp dụng điều kiện chuẩn hoá: —> A =, |“ a

Các giá trị n, =0, dẫn đến =0 do đó xác suất tìm thấy hạt tại mọi điểm

trong giếng thế bằng 0, điều này mâu thuẫn với bài toán là cho hạt trong giếng thế

Vậy n, =0 bị loại trừ, các giá trị ứng với n=—1,-2 thì hàm sóng đổi dấu so với các hàng song tương ứng với n = 1,2, Như vậy hai hàm sóng khác dấu cùng mô

tả một trạng thái của hạt Vì vậy chỉ cần lấy các giá trị dương và nguyên của n

Vậy nghiệm của (2) là:

U(x)= U, O<x<a (mién II)

lo x>a (mién II)

Theo cơ học cổ điển, một hạt truyền từ phía trái sang phải có năng lượng

E>U, sẽ truyền qua hang rào thế, không bị phản xạ trở lại Nếu năng lượng của hạt E<U, hat bi phan xạ toàn phần bởi hàng rào thế

Phương trình Schrodinger mô tả chuyển động của hạt ở miền có dạng:

k(Be* — Ce) =ik,De**

Giải hệ phương trình tìm các giá trị của 4 ẩn A, B, C, D

Cường độ sóng phản xạ

Goi R= =

Cường độ sóng tới

= Hệsố phản xạ bởi hàng rào thế

Tinh todn hé sé D: De™* = (ik, +k) e™ (ik, -k) e* 5 5

Trong các trường hợp hay gặp ka 1 có thể bỏ qua e ** so với e™ va:

Bài giải Như vậy ở bên trái và bên phải gốc toạ độ thì hạt chuyển động tự do: Khi đi qua gốc toạ độ từ phải sang trái động năng của hạt tăng thêm U, ngược lại muốn cho hạt có thể đi qua gốc toạ độ từ trái sang phải thì phải tốn một công bằng Uạ

Ta xét chuyển động của một hạt có cơ năng toàn phần là E (bằng động năng

T cộng với thế năng U) đi từ trái qua phải

Theo cơ học cổ điển nếu E > U, thì hạt có thể đi qua O Tại điểm này đông

năng của hạt giảm: trước khi đi qua O động năng có gía trị bằng E— U, như vậy

hạt có thể hoàn toàn đi qua O (không có phan xa)

Cũng theo cơ học cổ điển nếu E< Uạ thì hạt không thể đi qua O vì tại miền

x<0 động năng T của hạt có giá trị âm E—U,<0 Điều này không thể xảy ra được Hạt bị phản xạ hoàn toàn tại Ô

Bây giờ ta xét chuyển động của hạt trong cơ học lượng tử:

Phương trình Schrodinger đối với chuyển động của hạt có dạng:

Ta phân biệt hai trường hợp E > Uạ và E< Ủạ và xét riêng từng trường hop:

Và nghiệm có dang yw) = e** + Ae (6)

Ở vế phải của (6) ta chọn hệ số bên cạnh e của số hạng thứ nhất bằng 1 để cho đơn giản phép tính, điều này cho thấy có thể làm được vì hàm riêng (x) được

xác định sai khác nhau một hằng số nhân

Số hạng e”“* biểu diễn sóng với (đi từ trái sang phải)

Số hạng Ae “* biểu diễn hàm sóng truyền theo chiều từ phải sang trái, đó là

sóng phản xạ

Trong miền x > 0, hàm sóng phải thoả mãn phương trình

dˆự 3x2 (x) +kiy (x) = 0 2y S—

Và nghiệm có dạng Vix) = Be” (7)

Tại điểm x =0 nghiệm và dao hàm của nó phải liên tục, tức là:

2

—Ikạx

Vox [Ae R= | “=

_ 8E’ -8EU, - 8EE(E )+Uô+4U ›^JE( E-U,)

Hệ số truyền qua hàng rào thế là:

Ta thấy theo cơ học lượng tử có sự phản xạ ở điểm x =0 (khác với cơ học cổ

năng lượng có thể có giá trị liên tục

thì khác không, nhưng xác suất này chỉ đáng kể gần điểm x = 0 Khi x tăng thì mật

độ tìm thấy hạt giảm nhanh theo định luật hàm số mũ F(x ) = Ic} eo

2.4 Dao động tử điều hoà

Khi š đủ lớn, có thể kéo qua số hạng cự (Š) trong vế trái của (2)

y= Sa

k=0

y'= J ka,E =) '(k+1)a, + 1É

% y"=Š (k+1)ka, É"! = Š'(k+2)(k+1)a, +2£* = ko củ

Thay vào (5) ta được:

>[&+2)(k+ 1)a,,;T—(2k+1—e)a,}&* =0

Hệ thức truy toán: a, „ = max

=>a,;=0 vàẽg=2n+l=e, -—

Biểu thức của năng lượng: E„ = hol + › (n = 0,1,2, )

Năng lượng của dao động tử bị lượng tử hoá, nó phụ thuộc vào số lượng tử n Trạng thái ứng với n=0 gọi là trạng thái cơ bản của dao động tử lượng tử Thay

H,(š)=4£7 -2

H, (§) =8&° -12&

2

Ta có nghiệm: (&) =A, exo SIH, (§)

Đổi từ biến về biến x thì hàm sóng của dao động tử điều hoà là hàm:

«(3)-(#8] Fern Bee fae ff |

Phương trình Schrodinger của dao động tử một chiều dưới tác dụng của điện

trường không đổi e:

CHƯƠNG 3 DANG BAI TOAN CHUYEN DONG BA CHIEU DUA VE DANG

MOT CHIEU

3.1 Cơ sở lí thuyết

Xét bài toán chuyển động trong trường xuyên tâm trong đó thế năng phụ

thuộc vào khoảng cách r =.jx?+y?+z? đến 1 điểm cố định nào đó

Toán tử Hamilton của hạt:

hr Oo Ũ H=- —(r —)+

Thì có thể chứng minh được rằng các toán tử #,!?,L, giao hoán với nhau

Hàm riêng chung của 2 toán tử L_ và /? ứng với các giá trị xác định cua

Trùng với phương trình Schrodinger cho chuyển động một chiều trong trường

y=øx trong miền c£øe <0 xác định những giá trị của k tương ứng với các mức

năng lượng ( biết k ta xác định được

Bài tập 3.2

Tìm năng lượng và hàm sóng của một hạt chuyển động trong một trường thế

ba chiều (giả thiết các chiều độc lập nhau)

v(x y.z)=w(x)y(y)w(z) va E=E,+E,+E, và thế vào phương trình schrodinger trên ta được:

Eno, =H, +E, +E, = ham +n, +n, + ; = hon + 3) =E

Với (n=n, +n, +n, )

Ứng với một giá trị n sé cé g, ham song Wann, (x,y,z) phân biệt bởi hệ số n;,

n,, n, khác nhau Cố định n,, n cho n, thay đổi từ 0 đến (n —n,) khi d6 n, sé thay đổi từ (n—n,) ->0 các giá trị có thể có của n, là 0, 1, 2, 3, (n —n,) và tất cả có (n —n,+ 1) gia tri

Số giá trị của n, có thể ứng với mọi giá trị khác nhau của n;, từ giá trị n, = 0 đến giá trị n, =n cho ta bội suy biến ø,

g,='(n—n, +1)=2(n+2)(n+1)

n, =0

Mức không suy biến duy nhất ứng với =0

29

KẾT LUẬN

Trong quá trình hoàn thành bài khoá luận tốt nghiệp của mình em đã thu được một số kết quả sau: Phân loại và giải được một số dạng bài toán một chiều trong cơ học lượng tử cơ bản trong giáo trình Cơ học lượng tử mà chúng em đã được học ở trường Đại học Qua đó giúp em rèn luyện kĩ năng giải bài tập và hiểu được sâu sắc hơn về tính chất của hạt chuyển động theo phương ox đã được trình

bày trong giáo trình Cơ học lượng tử một cách ki hon

Tuy nhiên do thời gian có hạn nên số lượng bài tập đưa ra chưa nhiều.Hơn

nữa đây là lần đầu tiên em bắt tay vào việc nghiên cứu môn Vật lý lí thuyết nên trong quá trình viết bài cũng như in ấn không tránh khỏi những thiếu sót và chưa thật đầy đủ Em kính mong quí thầy giáo, cô giáo và các bạn sinh viên đóng góp ý kiến giúp em hoàn thành bài luận văn của mình được tốt hơn