Cơ sở lý thuyết biểu diễn trong cơ học lượng tử

TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN HUỲNH THỊ PHƢƠNG THẢO CƠ SỞ LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN TRONG CƠ HỌC LƢỢNG TỬ KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP CỬ NHÂN ĐẠI HỌC NGÀNH : SƢ PHẠM VẬY LÝ THANH HOÁ, THÁNG NĂM 2017 LỜI CẢM ƠN Lời cho phép em đƣợc bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc tới cô giáo – T.S Trần Thị Hải, ngƣời ln tận tình hƣớng dẫn, bảo, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho em suốt thời gian thực khóa luận Em xin đƣợc bày tỏ lịng biết ơn, lời cảm ơn chân thành đến ban giám hiệu trƣờng Đại học Hồng Đức, khoa khoa học tự nhiên thầy cô giáo tổ môn Vật lý nhiệt tình giảng dạy em suốt bốn năm qua nhƣ tạo điều kiện thuận lợi cho em làm khố luận Cuối em xin kính chúc q thầy cô mạnh khoẻ thành công nghiệp giáo dục Em xin chân thành cảm ơn! Thanh Hoá, tháng 05 năm 2017 Sinh viên thực Huỳnh Thị Phƣơng Thảo MỤC LỤC PHẦN I: MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài: II Mục đích nghiên cứu: III Phạm vi nghiên cứu: IV Phƣơng pháp nghiên cứu: V Bố cục khoá luận PHẦN II: NỘI DUNG CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 : TOÁN TỬ VÀ MA TRẬN 1.1.1 Hàm sóng F-biểu diễn 1.1.2 Toán tử F-biểu diễn 1.1.3 Ma trận giá trị trung bình đại lƣợng vật lý 1.2 : MỘT VÀI KHÁI NIỆM CƠ SỞ VỀ MA TRẬN VÀ ĐẠI SỐ MA TRẬN 1.2.1 Những khái niệm sở 1.2.2 Một số phép tính ma trận 1.3 KÝ HIỆU DIRAC 10 1.3.1 Ket-vectơ 10 1.3.2 Bra-vectơ 11 1.3.3 Tích vô hƣớng 12 1.3.4 Các hệ thức đóng 14 1.3.5 Yếu tố ma trận viết ký hiệu Dirac 16 1.4 CHUYỂN BIỂU DIỄN 16 1.4.1 Chuyển biểu diễn vectơ trạng thái 17 1.4.2 Chuyển biểu diễn toán tử ma trận 19 1.4.3 Các tính chất biến đổi unitan 20 1.5 BIỂU DIỄN TỌA ĐỘ, BIỂU DIỄN XUNG LƢỢNG VÀ BIỂU DIỄN NĂNG LƢỢNG 21 1.6 TRỊ RIÊNG CỦA TOÁN TỬ CHO DƢỚI DẠNG MA TRẬN 28 1.7 BIỂU DIỄN SCHRODINGER, BIỂU DIỄN HEISENBERG VÀ BIỂU DIỄN TƢƠNG TÁC 31 1.7.1 Biểu diễn Schrodinger 31 1.8 TRẠNG THÁI THUẦN KHIẾT VÀ TRẠNG THÁI HỖN TẠP – MA TRẬN MẬT ĐỘ (DENSITY MATRIX) 37 1.8.1 Trạng thái khiết trạng thái hỗn tạp 37 1.9 TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG VÀ CÁC ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN 42 1.9.1 Đối xứng suy biến 47 1.11 PHẦN TỬ MA TRẬN CỦA TỐN TỬ MƠMEN 52 1.12 CỘNG MÔMEN 56 CHƢƠNG II: BÀI TẬP ÁP DỤNG 60 Phần III: KẾT LUẬN 75 TÀI LIỆU THAM KHẢO 76 PHẦN I: MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài: Với phát triển nhiều ngành khoa học dần khám phá điều bí ẩn tồn giới tự nhiên Một ngành khoa học ngày phát triển Vật lý Trong ngành vật lý học có nhiều kiến thức chuyên sâu giúp ta lý giải vấn đề giới mà ngành khoa học khác khơng thể giải thích rõ ràng đƣợc.Một công cụ chủ yếu vật lý học thuyết lƣợng tử mà học lƣợng tử Cơ học lƣợng tử lý thuyết vật lý học, mở rộng bổ sung cho học cổ điển Newton.Cơ học lƣợng tử nói cách tóm tắt lý thuyết tƣợng trình vật lý giới vi mô Thế giới vi mô tập hợp hạt có kích thƣớc nhỏ vào cỡ từ nhỏ Đi vào giới vi mô, quy luật cổ điển đƣợc thay quy luật lƣợng tử, quy luật tổng quát bao gồm quy luật cổ điển nhƣ trƣờng hợp riêng Cơ học lƣợng tử lý thuyết vật lý học Cơ học lƣợng tử phần mở rộng bổ sung học Newton, sở nhiều chuyên nghành khác vật lý nhƣ vật lý chất rắn, vật lý hạt nhân Khái niệm lƣợng tử để đại lƣợng vật lý không liên tục mà rời rạc Cơ học lƣợng tử đƣợc coi học Newton cho phép mơ tả xác đắn nhiều tƣợng vật lý mà học Newton khơng thể giải thích đƣợc.Chính đời học lƣợng tử giúp giải đƣợc khó khăn mà học cổ điển cịn bế tắc Thơng qua việc học tập nghiên cứu học lƣợng tử mà đối tƣợng khơng thể thiếu cần thiết nghiên cứu vật lý đặc biệt với sinh viên khoa vật lý Việc học tập cần thiết sinh viên để hồn thành tốt chƣơng trình học tập ngành nhƣ khoa đề Với mơn học có hệ thống kiến thức chuyên biệt học lƣợng tử Do nhằm giúp cho sinh viên học tập tốt phần học lƣợng tử cần có hệ thống kiến thức hệ thống tập phục vụ Để đáp ứng phần nhỏ mục đích em xin chọn đề tài “Cơ Sở Lý Thuyết Biểu Diễn học lƣợng tử” Ngoài cách biểu diễn qua toán tử, học lƣợng tử, đại lƣợng vật lý cịn biểu thị qua ma trận Hermite Hình thức ma trận học lƣợng tử đƣợc Heisenberg-Jordan-Born đƣa gần nhƣ đồng thời với học sóng Schrodinger Sau Dirac chứng minh đƣợc tƣơng đƣơng hai hình thức Ngày hai hình thức đƣợc sử dụng để giải vấn đề khác học lƣợng tử Để thấy đƣợc tƣơng đƣơng hai hình thức đó, cần biết khái niệm sở lý thuyết biểu diễn Các tiên đoán học lƣợng tử chƣa bị thực nghiệm sai sau kỷ Cơ học lƣợng tử kết hợp chặt chẽ ba loại tƣợng mà học cổ điển khơng tính đến lƣợng tử hóa số đại lƣợng vật lý, lƣỡng tính sóng hạt, nguyên lý bất định Trong trƣờng hợp định định luật học lƣợng tử định luật học cổ điển mức độ xác cao Việc học lƣợng tử đƣợc rút học cổ điển nhờ nguyên lý gọi nguyên lý tƣơng ứng Nhƣ học lƣợng tử có tầm quan trọng lớn nên việc nghiên cứu môn học lƣợng tử quan trọng sinh viên, đặc biệt với sinh viên vật lý Ngoài việc cố niềm tin vào khoa học cho sinh viên, học lƣợng tử cịn giúp sinh viên có sở để nghiên cứu chuyên ngành khác vật lý Nhằm tạo điều kiện thuận lợi cho sinh viên trình nghiên cứu mơn học lƣợng tử Mục đích nghiên cứu: II - Hệ thống hóa sở lý thuyết sở lý thuyết biểu diễn - Ôn tập, củng cố kiến thức xây dựng hệ thống tập chƣơng “cơ sở lý thuyết biểu diễn” học lƣợng tử - Nghiên cứu để mở rộng kiến thức, rèn luyện phƣơng pháp giải tập vềcơ sở lý thuyết biểu diễn III Phạm vi nghiên cứu: - Chƣơng “ Cơ sở lý thuyết biểu diễn” IV Phƣơng pháp nghiên cứu: - Phƣơng pháp đọc tham khảo tài liệu - Phƣơng pháp chủ yếu phƣơng pháp lý thuyết - Phƣơng pháp thực hành giải tập - Nghiên cứu lí luận dạy học tập vềlý thuyết biểu diễn - Lựa chọn tập sách học lƣợng tử, sách tập, sách tham khảo phù hợp với nội dung kiến thức chƣơng V Bố cục khoá luận Khoá luận gồm phần: - Phần I: Mở đầu Gồm: lý chọn đề tài, mục đích nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu, phƣơng pháp nghiên cứu - Phần II: Nội dung Gồm chƣơng: Chƣơng 1: Cơ sở lý thuyết Chƣơng 2: Bài tập áp dụng - Phần III: Kết luận PHẦN II: NỘI DUNG CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 : TOÁN TỬ VÀ MA TRẬN 1.1.1 Hàm sóng F-biểu diễn Cho tốn tử có nghĩa cho biết kết thu đƣợc tác dụng phép tốn lên hàm ψ : ψ=Φ (1.1) Giả sử ψ Φ hai hàm trạng thái vi hạt (để đơn giản ta không viết tập số lƣợng tử xác định trạng thái) Trƣớc hết ta xét hàm trạng thái nói phụ thuộc tọa độ hạt (có thời gian), nghĩa ψ = ψ(x) Φ = Φ(x) Khi ngƣời ta nói hàm sóng đƣợc cho biểu diễn tọa độ hay q-biểu biễn Các giá trị độ xác suất tìm thấy hạt trạng thái cho điểm x Giả sử tập hàm riêng toán tử ứng với trị riêng cho mật , , …, …Theo kết chƣơng trƣớc, hàm sóng ψ(x) Φ(x) khai triển theo hệ sở hàm Các hệ số khai triển : đƣợc xác định qua biểu thức: Tập hệ số đƣợc gọi hàm sóng ψ Φ F-biểu diễn, đƣợc viết dƣới dạng vectơ cột: c= Các đại lƣợng ; b= (1.4) xác suất đo đƣợc giá trị khác đại lƣợng F trạng thái ψ Φ Nhƣ vậy, việc mô tả trạng thái hạt hàm ψ , Φ hay tập số mặt vật lý hoàn toàn tƣơng đƣơng, biểu diễn giải thích thống kê hàm sóng khơng thay đổi 1.1.2 Toán tử F-biểu diễn Thay hàm ψ Φ từ (1.2) (1.3) vào (1.1) ta có: Nhân hai vế từ phía trái biểu thức với lấy tích phân theo x ta nhận đƣợc: đây: = (1.7) Nhƣ vậy, không gian trạng thái cho hệ sở đƣợc biểu qua tập hợp số đại lƣợng toán tử , xếp thành bảng gọi ma trận R đƣợc gọi yếu tố hay phần tử ma trận R Biểu thức (1.6) cho ta cách xác định hàm Φ từ hàm ψ dƣới tác dụng Nhƣ vậy, ma trận R toán tử F-biểu diễn Các yếu tố ma trận nói ứng với chuyển từ trạng thái m sang trạng thái l Thực vậy, giả sử ban đầu hệ trạng thái k đặc trƣng tác dụng = Dƣới chuyển sang trạng thái Φ(x) Từ (1.2) ta có , thay vào (4.6) ta đƣợc , từ định nghĩa toán tử ta = thu đƣợc: Trong khai triển nhƣ biên độ xác suất hệ trạng thái n, xác suất chuyển từ trạng thái k sang trạng thái n 1.1.3 Ma trận giá trị trung bình đại lƣợng vật lý Toán tử đại lƣợng vật lý R tốn tử Hermite, ta có: Điều có nghĩa ma trận tốn tử đƣợc xác định hệ sở phải ma trận Hermite Giá trị trung bình đại lƣợng vật lý: Trƣờng hợp hàm riêng toán tử , trình: nghiệm phƣơng (1.10) Thay vào (1.7) ta đƣợc: (1.11) Thay vào (1) ta đƣợc Chú ý x p hai biến độc lập x nên biểu thức biến đổi thành Lấy tích phân phần theo p với ý ta thu đƣợc Do đó: Hay Biểu thức dấu móc vng liên hợp phức hàm sóng p-biểu diễn Nên ta thu đƣợc Vậy toán tử tọa độ p- biểu diễn 62 Phƣơng trình hàm riêng toán tử tọa đọ biểu diễn xung lƣợng Trong A hệ số chuẩn hóa Biểu thức cho thấy trị riêng a tốn tử tọa độ biểu diễn xung lƣợng nhận giá trị tùy ý (phổ liên tục) Bài 3 Cho hạt lƣợng tử nằm trƣờng V Trong A số Hãy xác định hàm riêng toán tử lƣợng biểu diễn xung lƣợng Lời giải : Hamiltonian hạt lƣợng tử biểu diễn xung lƣợng Phƣơng trình trị riêng tốn tử lƣợng biểu diễn xung lƣợng dƣới dạng Phân li biến số thu đƣợc : Tích phân thu đƣợc kết hàm riêng toán tử lƣợng biểu diễn xung lƣợng : Trong C số đƣợc xác định nhờ điều kiện chuẩn hóa sau : dp 63 Chú ý : dy Từ rút hệ số chuẩn hóa : C Hàm riêng tốn tử lƣợng chuẩn hóa : Hàm riêng cho thấy trị riêng E nhận giá trị liên tục Bài Tìm hàm riêng trị riêng cho toán tử lƣợng dao động tử điều hòa chiều biểu diễn xung lƣợng Lời giải : toán tử lƣợng dao động tử diều hòa chiều biểu diễn xung lƣợng : Từ ta viết đƣợc phƣơng trình trị riêng tốn tử lƣợng dao động tử điều hòa chiều biểu diễn xung lƣợng nhƣ sau hàm riêng thứ n ứng với trị riêng không thứ nguyên đặt Nếu ta đƣa vào biến phƣơng trình đƣợc viết lại 64 Phƣơng trình có dạng hồn tồn giống phƣơng trình trị riêng tốn tử lƣợng dao động điều hòa chiều biểu diễn tọa độ nên nghiệm : Với đa thức Hermite, n số nguyên (n Bài Tìm trị riêng tốn tử lƣợng dao động tử điều hòa chiều biểu diễn lƣợng dựa vào hệ thức giao hoán toán tử xung lƣợng suy rộng tọa độ suy rộng Lời giải : Toán tử lƣợng dao động điều hịa chiều (1) Từ suy lƣợng dao động tử điều hòa chiều Biểu thức cho thấy lƣợng dao động tử điều hịa khơng âm Ta đƣa vào tốn tử cách đặt ta có (2) (3) ta sử dụng giao hoán tử tọa độ xung lƣợng (2), (3) ta thu đƣợc : 65 Từ (1) Thiết lập giao hoán tử thu đƣợc trị riêng ứng với hàm riêng Nếu gọi tốn tử lƣợng ta Từ viết đƣợc có hàm riêng toán tử lƣợng Biểu thức chứng tỏ ứng với trị riêng Tƣơng tự ta có |n |n Biểu thức chứng tỏ ứng với trị riêng |n〉 |n〉 hàm riêng toán tử lƣợng Vì lƣợng khơng âm nên phải tồn hàm riêng thứ l cho ứng với trị riêng nhỏ lƣợng Từ ta có Cuối ta thu đƣợc biểu thức lƣợng dao động tử điều hòa ћ Bài Cho hạt lƣợng tử chuyển động giếng chiều có hàm sóng mơ tả trạng thái hạt khơng ngồi miền Hãy tìm phân bố theo lƣợng hạt tính trị trung bình 66 Lời giải : Trƣớc hết ta chuẩn hóa hàm sóng dx A Hàm sóng chuẩn hóa là: Hàm riêng toán tử lƣợng hạt lƣợng tử chuyển động giếng xác định theo biểu thức: Chuyển hàm sóng sang biểu diễn lƣợng ta thu đƣợc Tính tích phân ta có : Phân bố hạt theo lƣợng W Theo cơng thức tính trị trung bình ta có dx Tƣơng tự : Chú ý tốn tử lƣợng toán tử Hermite thực nên ta có 67 Vậy : dx Cuối thu đƣợc: Bài Tìm hàm sóng biểu diễn tọa độ biểu diễn xung lƣợng hạt lƣợng tử trƣờng hợp sau: Hạt có tọa độ định xứ vị trí Hạt có xung lƣợng xác định Lời giải: Khi hạt định xứ tọa độ theo tiên đề học lƣợng tử hàm sóng trùng với hàm riêng tốn tử tọa độ ứng với trị riêng tọa độ toán tử tọa độ phép nhân Trong biểu diễn nên phƣơng trình trị riêng là: x Biểu thức cho thấy x điều kiện cho phép viết hàm sóng dƣới dạng x Từ Với A hệ số đƣợc xác định từ điều kiện chuẩn hóa hàm sóng dx Vậy hàm sóng chuẩn hóa Trong biểu diễn xung lƣợng tốn tử tọa độ trị riêng tƣơng ứng là: iћ xác định hệ số A từ điều kiện chuẩn hóa: 68 nên phƣơng trình dp Chú ý hàm sóng chuẩn hóa biểu diễn xung lƣợng Nên ta có A Trong trƣờng hợp hạt có xung lƣợng xác định hàm sóng phải trùng với hàm riêng toán tử xung lƣợng ứng với trị riêng Khi xét biểu diễn tọa độ tốn tử xung lƣợng phƣơng trình trị riêng Từ điều kiện chuẩn hóa ta tìm đƣợc A Khi xét biểu diễn xung lƣợng nên hàm sóng chuẩn hóa nên ta tìm đƣợc hàm sóng Bài Cho hàm sóng hạt lƣợng tử biểu diễn tọa độ trạng thái là: b) 69 Trong a, Tìm hàm sóng hạt số, trạng thái biểu diễn xung lƣợng Lời giải : Hàm riêng toán tử xung lƣợng biểu diễn tọa độ Thay vào cơng thức chuyển hàm sóng từ biểu diễn tọa độ sang biểu diễn xung lƣợng ta có: dx Tƣơng tự ta xết cho trƣờng hợp thứ hai dx Tính tích phân ta đƣợc: Bài Cho hàm sóng hạt lƣơng tử biểu diễn tọa độ Trong A hệ số chuẩn hóa, sóng hạt - biểu diễn Với lƣợng trục Oz Lời giải : Trƣớc hết ta chuẩn hóa hàm sóng Hàm sóng chuẩn hóa 70 Hãy viết hàm hình chiếu moment xung Tốn tử hình chiếu moment xung lƣợng nên phƣơng trình trị riêng là: Do tọa độ góc có chu kỳ nên ta có: nên , với m Chuẩn hóa hàm riêng ta có : Hàm riêng tốn tử chuẩn hóa Thay vào cơng thức chuyển hàm sóng biểu diễn ta có: tính tích phân ta có kết Do m số nguyên tử số chứa nên hàm sóng khác khơng trƣờng hợp mẫu số không, nghĩa m nhận giá nghiệm phƣơng trình Nhƣ m nhạn giá trị để hàm sóng khác khơng m ; Chú ý rằng: ; ; Từ kết ta viết lại hàm sóng 71 - biểu diễn Bài 10 Hàm sóng hạt lƣợng tử giếng sâu vô hạn bề rộng a biểu diễn tọa độ có dạng Hãy viết hàm sóng biểu diễn lƣợng Lời giải: Chuẩn hóa hàm sóng ta có dx Hàm sóng chuẩn hóa là: Hàm riêng chuẩn hóa hạt lƣợng tử giếng Hàm sóng biểu diễn lƣợng là: dx Tính tích phân thu đƣợc: 72 Bài 11 – ( Ψ =A Ψ Ψ : =A =A =A =A ; d =1 d = = – : = riêng φ =m = d 73 =A φ Bài 12: : n = 1,2,3… - ) : d , dx = d : 74 n = 1,2,3… Phần III: KẾT LUẬN Hệ thống tập khóa luận giúp sinh viên vận dụng kiến thức từ dễ đến khó, hệ thống kiến thức học từ đónắm đƣợc chất phần sở lý thuyết biểu diễn Khóa luận đạt đƣợc số kết quả: Hệ thống hoá đƣợc kiến thức vềcơ sở lý thuyết biểu diễn Giải xếp tập theo dạng theo mức độ Rèn luyện kĩ giải toán, phƣơng pháp giải cho dạng toán Trong có số tốn nhằm hiểu sâu vềcơ sở lý thuyết biểu diễn 75 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Cơ học lƣợng tử - Nguyễn Huyền Tụng – NXB Khoa học kĩ thuật Hà Nội – Năm 2007 [2] Bài tập vật lý lý thuyết – Tập II – Nguyễn Hữu Mình – NXB Đại học quốc gia Hà Nội – Năm 1998 [3] Bài tập lƣợng tử - Lƣơng Văn Tùng 76