Một số phương pháp gần đúng trong cơ học lượng tử

LỜI CẢM ƠN Em xin trân trọng cảm ơn Th.S Nguyễn Thị Thảo, người tận tình giúp đỡ, hướng dẫn em hồn thành khóa luận Em xin trân trọng cảm ơn thầy, cô giáo khoa Vật lý - Trường Đại học Hồng Đức trang bị cho em kiến thức giúp đỡ quý báu suốt trình học tập, nghiên cứu trường Em xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè, giúp đỡ em hồn thành khóa luận Xin chân thành cảm ơn! Thanh Hóa, tháng năm 2017 Sinh viên thực Võ Như Quỳnh MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU………………………………………………………………….1 I CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 Lý thuyết nhiễu loạn trạng thái dừng không suy biến…………………………… .3 1.2 Nhiễu loạn dừng ( trường hợp có suy biến)………………………… 1.3 Nguyên tử hydro điện trường đều( Hiệu ứng Stark )…………8 1.4 Nhiễu loạn phụ thuộc vào thời gian……… 12 1.5 Sự chuyển trạng thái hệ ảnh hưởngcủa nhiễu loạn……… 14 1.5.1 Xác suất chuyển dời……………………………………………….14 1.5.2 Nhiễu loạn phụ thuộc tuần hồn vào thời gian…………………….16 1.5.3 Nhiễu loạn khơng phụ thuộc thời gian…………………………….19 1.6 Phương pháp biến phân…………………………………………… 19 II BÀI TẬP Bài 1.…………………………………………………………………… 21 Bài 2.…………………………………………………………………… 22 Bài 3.…………………………………………………………………… 24 Bài 4.…………………………………………………………………… 27 Bài 5.…………………………………………………………………… 30 Bài 6.…………………………………………………………………… 31 Bài 7.…………………………………………………………………… 32 Bài 8.…………………………………………………………………… 33 Bài 9.…………………………………………………………………… 34 Bài 10.……………………………………………………………………36 Bài 11.……………………………………………………………………39 Bài 12.……………………………………………………………………41 Bài 13.……………………………………………………………………42 KẾT LUẬN…………………………………………………………… 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………………… 45 MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài  Đòi hỏi xác định Một hệ lượng đặt trương Hamiltonian H  Thực tốn tìm hàm hàm riêng trị riêng toán tử Hamilton H riêng trị riêng tốn tử vơ phức tạp giải xác với số trường hợp dơn giản “Hố thế“, “Dao động tử điều hòa“, “Nguyên tử Hidro“ “ion tương tự Hidro”… Nhưng bên cạnh đó, học lượng tử cịn nhiều hệ lượng tử phức tạp mà ta khơng thể giải xác cách hồn tồn Chính phương pháp gần đưa vào sử dụng nhằm giải vấn đề Bản thân em trước làm khóa luận tốt nghiệp việc đầu tư vào phần học lượng tử giải tập học lượng tử chưa thành thạo hiểu sâu Tuy nhiên, lượng tập phương pháp gần học lượng tử chương trình học đưa tương đối nhiều tập thường khó Bản thân em cảm thấy bỡ ngỡ, khó khăn giải dạng tập Xuất phát từ lí trên, với tư cách sinh viên ngành sư phạm vật lý Em chon đề tài “Một số phương pháp gần Cơ học lượng tử” để làm đề tài khóa luận với mong muốn, làm tài liệu tham khảo cho học sinh, sinh viên thầy q trình ơn luyện nâng cao góp phần làm phong phú tài liệu Cơ học lượng tử nói riêng Vật lý nói chung II Mục đích nghiên cứu - Hệ thống hóa sở lí thuyết - Xây dựng tập chương “Một số phương pháp gần học lượng tử” rèn luyện phương pháp giải tập nghiên cứu khoa học III Phạm vi nghiên cứu Chương “Một số phương pháp gần học lượng tử” IV Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu lí thuyết số tập liên quan đến “Một số phương pháp gần học lượng tử” V.Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu chủ yếu phương pháp lí thuyết VI Bố cục Khóa luận gồm phần Phần A: Phần mở đầu Phần B: Phần nội dung Phần C: Phần kết luận NỘI DUNG I CƠ SỞ LÝ THUYẾT Trong chương trước , ta thu nghiệm xác tốn dao động tử điều hịa , tốn giếng sâu vơ hạn … Ta sử dụng kết đế nghiên cứu Hamiltonian hệ lượng tử bao gồm số hạng tương tác khơng thể giải thích cách xác Các số hạng tương tác gọi nhiễu loạn gây trường ngồi hay tương tác hệ lượng tử gây Ngoài lý thuyết nhiễu loạn , chương cịn trình bày thêm phương pháp gần biến phân 1.1 Lý thuyết nhiễu loạn trạng thái dừng không suy biến[1,2,3] Xét hệ lượng tử có Hamiltonian khơng phụ thuộc thời gian viết dạng :  H  V H (1.1)  Hamiltonian khơng nhiễu loạn, có hàm riêng trị Trong H riêng xác định xác : H0 (0) n En(0) (0) n (1.2)  ; gọi toán tử nhiễu loạn , V toán tử V nhỏ so với H Hermite Vấn đề tìm hàm riêng trị riêng ( gần ) phương trình Schrodinger đầy đủ :  (H V ) EK K (1.3) K Đế thuận tiện , người ta thường viết phương trình (1.3) dạng :  (H  V ) K EK sử dụng số thực với tốn khơng nhiễu loạn , (1.4) K 0,1 để thơng số hóa nhiễu loạn, =0 ứng =1 ứng với trường hợp nhiễu loạn cực đại Phương pháp dựa khai triển hàm riêng trị riêng theo chuỗi thông số nhỏ Trong toán nhiễu loạn dừng , người ta giả thiết :  có phổ gián đoạn { E } E (0) với hàm riêng  H i) Cả H K n tương ứng hệ hàm trực giao đầy đủ (0) n , K  ( nhiễu  H ii) Có tương ứng một-một trị riêng H loạn không làm biến xuất trạng thái lượng tử ) Nghiệm (1.4) viết dạng chuỗi theo hàm riêng K ( x) (0) n Cn (0) n : (1.5) ( x) n Thay (1.5) vào (1.4) , nhân hai vế phương trình bên trái với (0)* m Cn En(0) lấy tích phân theo x sử dụng (1.2) ta thu : (0)* m (0) n dx n  V (0)* m Cn (0) n dx EK n Cn (0)* m (0) n dx n Nếu hàm riêng (0) n chuẩn hóa , ta có : Cm Em(0) CnVmn Cm EK (1.6) (0) n (1.7) n Trong : Vmn (0)* m V dx Với số n,m = 1,2,… giá trị số hàm riêng (0) n tốn tử lượng khơng nhiễu loạn Giả sử Cn EK khai triển thành chuỗi lũy thừa sau : Cn Cn(0) Cn(1) Cn(2) (1.8) EK EK(0) EK(1) EK(2) (1.9) Thay chuỗi vào phương trình (3.6) gộp số hạng có bậc lũy thừa , dễ dàng thu ( EK(0) Em(0) ) Cm(0) ( EK(0) Em(0) ) Cm(1) EK(1)Cm(0) Cn(0)Vmn n (E (0) K (0) m E )C (2) m (1) K E C (1) m (2) K E C (0) m (1.10) (1) n mn C V n Ta giải phương trình phương pháp gần liên tiếp Gần bậc không : Bỏ qua tất số hạng chứa , nghĩa coi =0 , ta có : ( Em(0) Nên EK lũy thừa dương EK ) Cm (1.11) EK(0) Cm(0) (1.12) (1.13) mk Gần bậc : Thay giá trị EK(0) Cm(0) vừa tìm gần bậc khơng vào phương trình (1.10) bỏ qua số hạng chứa lũy thừa từ bậc trở lên , ta có : (Vmm EK(1) ) Cm(0) ( Em(0) EK(0) ) Cm(1) Vmn Cn(0) (1.14) m n Vì Cm(0) mk nên lượng dấu ngoặc vuông phải không Thay , ta : (Vmm EK(1) ) mk ( Em(0) EK(0) ) Cm(1) Vmn nk (1.15) n m i) Với m=k , ta rút : EK(1) VKK ii) Với m Cm(1) (1.16) k , ta suy : Vmk E Em(0) (1.17) (0) K Gần bậc hai : Thay kết vừa nhận vào (1.10) bỏ qua số hạng chứa lũy thừa từ bậc ba trở lên , ta có phương trình gần bậc hai Giải , cuối ta thu : EK(2) k Vkn Vkn (0) En(0) n EK (1.18) VKKVnk ( Em(0) EK(0) )2 Cm(2) n m k Vmn Vnk , En(0) )( EK(0) Em(0) ) n k ( EK(0) (1.19) Cứ tiếp tục làm , ta giải (1.10) gần bậc cao Điều kiện để sử dụng lý thuyết nhiễu loạn Nếu dừng lại gần bậc thay biểu thức tìm vào (1.8) (1.9) , ta có : EK EK(0) VKK Cn K (1.20) (0) n Vnk (0) K n n k (0) K E (1.21) En(0) Để cho phép gần có nghĩa số hạng bổ phải thực nhỏ , nghĩa : EK(0) Vnk En(0) ,n (1.22) k Như phương pháp nhiễu loạn mà ta trình bày áp dụng yếu tố ma trận toán tử nhiễu loạn nhỏ so với khoảng cách mức lượng hệ không nhiễu loạn 1.2, Nhiễu loạn dừng ( trường hợp có suy biến ) [2]  bị suy Xét trường hợp giá trị riêng tốn tử khơng nhiễu loạn H biến bội suy biến mức lượng En g Tức ứng với mức lượng En , trạng thái hệ không nhiễu loạn mơ tả g hàm sóng trực giao : (0) n1 , Hàm sóng (0) n2 , , (0) ng ( x) , nghiệm phương trình (1.4) viết sau : Cnr (0) nr (1.23) n ,r Thay cho phương trình (1.6) , ta có phương trình : Em(0) Vml ,ml EK Cml Vml ,nr Cnr n m l r (1.24) En(1) nV n mxn En(2) (0) n (0) m E m e nxn E 0, mxn (e ) m (e )   ( m n) n 1xn n (n 1) n 1xn n (n 1) n 1xn  , n 1xn 2m n (e )2 n  2m ta có En(2) n  2m đây: , En(0) , En(0)1  (e ) , 2m (n 1) 2m Hàm sóng bi nhiễu loạn n (0) n (1) n mV n (1) n m (0) n (0) m E E e 2m ( e )  (0) m (0) n n n 1xn n (n 1) (0) n n (0) n n 1xn n (n 1) (0) n Bài [4] : Một hạt giếng vng góc sâu vơ độ rộng a Tính dịch chuyển mức lượng thứ n đặt vào hệ nhiễu loạn có dạng V ( x) V0 ( x / a) Hướng dẫn Dịch chuyển bậc tính E 2V0 L L2 L V0 n x dxx sin L0 L L duu sin nu V0 duu (1 cos 2nu ) 0 V0 Nghĩa mức lượng dịch chuyển 31 2 2 V0 n 2ma 2 En Bài 7[4] : Một hạt giếng sâu vơ có chiều rộng a Trong khoảng không (0 < x < a) đặt nhiễu loạn: V ( x, t ) a sin t x Tính a Xác suất chuyển trạng thái P(1→2) b Xác suất chuyển lên trạng thái kích thích thứ hai (n=3) c Điều xảy ω→0 Hướng dẫn a.Tính xác suất P(1→2) Trước hết tính a21 T dtei i 21t sin t a a dx sin x x a a x sin a Đánh giá tích phân theo thời gian, cho t = hệ trạng thái được, ta nhận được: dtei 21t sin t dt ei ( 2i 21 )t ei ( Tính tích phân cịn lại theo không gian a 2 x x dx sin sin x a0 a a a 32 21 )t 2 21 a x x cos cos a0 a a a d dx a0 dx a a sin a2 x cos a a x a sin x a a x a x sin a x a a x sin a a a2 x cos a a Xác suất chuyển dời nhận được: P21  16a 2 2 21 ( 2 ) a Dễ thấy P31 với lý hàm dấu tích phân khơng gian phản đối xứng với điểm a/2 Tổng quát ta nhận chuyển dời từ trạng thái chẵn → chẵn, lẻ → lẻ xảy b Khi ω→0, xác suất chuyển dời không Bài 8[4] : Một dao động tử điều hòa trạng thái n, chịu tác dụng nhiễu loạn thời gian cho x cos 1te V (t ) t t t 0 Tính xác suất chuyển dời sang trạng thái m dao động tử Hướng dẫn Biểu diễn nhiễu loạn qua toán tử sinh hủy x  (A A ) 2M Biên độ chuyển dời biểu diễn qua yếu tố ma trận toán tử sinh tích phân theo thời gian 33 Cn m i  (A A ) n 2M m dtei ( m n )t e t cos 1t Ta có : Cn i m 2M  m,n n n m,n i ( m n) i (m n))2 ( Nhận xét : Chuyển dời xảy thỏa mãn điều kiện m = n ± Khi ấy: Pmn 2M  n (n 1) m,n m,n ( 2 2 ) 2 Bài 9[4]: Một hạt ban đầu trạng thái giếng vng góc sâu vơ có độ rộng a a Nếu từ thời điểm t=0 thành giếng dịch chuyển chậm từ vị trí a đến vị trí 8a Tìm lượng hàm sóng hạt giếng Tính cơng thực q trình b Nếu thời điểm t=0, thành giếng dịch chuyển nhanh tới vị trí 8a Tính xác suất để hạt trạng thái bản, trạng thái kích thích thứ thứ hai giếng Hướng dẫn Trong khoảng thời gian t