PHỤ LỤC CƠ SỞ LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN NHÓM

Phụ lục sở lý thuyết biểu diễn nhóm Phụ lục sở lý thuyết biểu diễn nhóm Bởi: Nguyễn Văn Hiệu Trong phụ lục phát biểu chứng minh số định lý lý thuyết biểu diễn nhóm Biểu diễn tương đương Ở đầu chương ta có biểu thức (1) liên hệ hai phép biến đổi tương đương Các biểu diễn tương đương có giống sâu sắc diễn tả mệnh đề Mệnh đề Nếu T(1) T(2) hai biểu diễn tương đương ta chọn hai hệ vectơ sở hai không gian vectơ L1 L2 thực hai biểu diễn để yếu tố ma trận phép biến đổi T(1)(a) T(2)(a) hoàn toàn trùng với aG Chứng minh Giả sử e1, …, en hệ vectơ sở không gian L1 hệ phép biến đổi T(1)(a) có yếu tố ma trận D(1) ij (a): Trong không gian vectơ L2 ta chọn hệ vectơ sở: fi, i = 1, 2, …, n sau ký hiệu yếu tố ma trận phép biến đổi T(2)(a) hệ vectơ sở D(2) ij (a): 1/22 Phụ lục sở lý thuyết biểu diễn nhóm Thay T(2)(a) biểu thức (1) liên hệ với T(1)(a) X T(1)(a) X-1fi = fjD(2) ji (a) nhân hai vế công thức với X-1 , ta có Nhưng theo định nghĩa (40) fi , ta lại có Vậy cơng thức (42) trở thành So sánh hai biểu thức (39) (40) T(1)(a) ei , ta suy (1) D(2) ji (a)= Dji (a), (2) (1) nghĩa yếu tố ma trận D(1) (a) T(2)(a) đối ij (a)và Dij (a)của hai phép biến đổi T với hệ vectơ sở e1, e2, …, en f1, f2, …, fn hồn tồn trùng Chính chọn vectơ sở cách thích hợp biểu diễn tương đương có chung yếu tố ma trận, ta không cần phân biệt biểu diễn tương đương xem chúng biểu diễn Chỉ có biểu diễn khơng tương đương thực biểu diễn khác Biểu diễn unita Các biểu diễn unita có tính chất đặc biệt sau Định lý Trong không gian L thực biểu diễn unita T nhóm G phần phụ trực giao L2 không gian bất biến L T(a) L1L1, ∀ a ∈ G L = L1⊕L2 2/22 Phụ lục sở lý thuyết biểu diễn nhóm khơng gian bất biến, T(a) L2L2, ∀ a ∈ G Chứng minh Ta sử dụng tính chất unita tốn tử T(a) với yếu tố A ∈ G Ký hiệu tích vơ hướng hai vectơ x y (x, y), ta ln ln có đẳng thức Giả sử L1 không gian bất biến tất toán tử T(a): T(a) L1L1, ∀ A ∈ G ký hiệu L2 phần phụ trực giao L1 L: L = L1⊕L2 (x1, x2) = 0, ∀ x1 ∈ L1, ∀ x2 ∈ L2 Ta chọn x = T(a)-1x1, y = x2 với x1, x2 hai vectơ không gian L1 L2 Đẳng thức (45) viết trở thành Vì L1 khơng gian bất biến T(a)-1x1 thuộc vào L1 trực giao với vectơ x2 L2, (T(a)-1x1, x2) = Dùng hệ thức (46) ta suy (x1, T(a)x2) = 0, ∀ x1 ∈ L1, ∀ x2 ∈ L2, ∀ A ∈ G Vậy tất vectơ T(a)x2 với yếu tố a G vectơ x2 L2 trực giao với tất vectơ x1 L1, nghĩa thuộc vào L2, T(a) L2L2, 3/22 Phụ lục sở lý thuyết biểu diễn nhóm L2 khơng gian bất biến biểu diễn T Ta dùng Định lý bổ đề để chứng minh định lý tính chất hồn tồn khả quy biểu diễn unita khả quy Định lý Mọi biểu diễn unita khả quy hoàn toàn khả quy Chứng minh Cho biểu diễn unita khả quy T không gian L giả sử L1 khơng gian bất biến Khi phần phụ trực giao L2 L1 L không gian bất biến, L tổng trực giao hai không gian bất biến L1 L2 Trên hai không gian biểu diễn T quy hai biểu diễn T(1) T(2) hoàn toàn độc lập với Nếu hai biểu diễn hai biểu diễn cịn khả quy khơng gian tương ứng lại chứa không gian bất biến nhỏ lại tổng trực giao hai không gian bất biến nhỏ Cứ tiếp tục thực việc tách không gian thành tổng trực giao hai không gian bất biến khơng cịn tách nữa, cuối ta đến việc tách không gian L thành tổng trực ~ ~ ~ ~ giao không gian bất biến L1, L2, …, Lfthực biểu diễn tối giản T(1), ~ (2) ~ (f) T , …, T ~ (1) ~ (2) Ta cịn nói biểu diễn khả quy T tổng trực giao biểu diễn tối gian T , T ~ (f) , …, T viết ~ (1) ~ (2) ~ (f) T = T ⊕T ⊕ … ⊕T Vì biểu diễn unita có tính chất diễn tả Định lý nghiên cứu biểu diễn unita ta cần xét biểu diễn tối giản Ở đầu chương ta định nghĩa biểu diễn tương đương coi biểu diễn tương đương với biểu diễn Do tính chất đặc biệt biểu diễn unita, có biểu diễn nhóm ta tìm xem có tương đương với biểu diễn unita hay không Đầu tiên ta xét trường hợp G nhóm hữu hạn chứng minh định lý sau Định lý Mọi biểu diễn nhóm hữu hạn tương đương với biểu diễn unita 4/22 Phụ lục sở lý thuyết biểu diễn nhóm Chứng minh Giả sử có nhóm hữu hạn G cấp N biểu diễn T nhóm khơng gian Euclide phức L với tích vơ hướng có dạng cho trước (x, y) Đầu tiên ta chứng minh tìm định nghĩa tích vơ hướng, ký hiệu {x,y}, mà tích vơ hướng tất tốn tử T(a) với aG toán tử unita: {T(a)x,T(a)y} = {x,y}, ∀ A ∈ G, ∀ x ∈ L, ∀ y ∈ L Thực vậy, ta đặt với tổng vế phải tổng theo tất yếu tố b nhóm G Thay x y T(a)x T(a)y, ta có {T(a)x,T(a)y} = N1 ∑b T(b)T(a)x,T(b)T(a)y = N1 ∑b T(ba)x,T(ba)y Ta dùng định nghĩa biểu diễn T(b)T(a) = T(ba) Chú ý b chạy vòng theo tất yếu tố nhóm G với yếu tố a cố định tích b a chạy vịng theo tất yếu tố nhóm này, có điều theo thứ tự khác mà thơi Do ∑b T(ba)x,T(ba)y = ∑ba T(ba)x,T(ba)y = ∑c T(c)x,T(c)y Vậy ta có T(ba)x,T(ba)y = N ∑c T(c)x,T(c)y = {x,y}, nghĩa tích vơ hướng tất tốn tử T(a) hốn tử unita Trong khơng gian L ta chọn hai hệ vectơ đơn vị sở: hệ vectơ đơn vị sở e1, …, en trực giao chuẩn hóa tích vơ hướng cho từ trước (x, y), cụ thể hệ vectơ đơn vị sở f1, …, fn trực giao chuẩn hóa tích, vơ hướng mới, nghĩa 5/22 Phụ lục sở lý thuyết biểu diễn nhóm Ký hiệu phép biến đổi tuyến tính chuyển vectơ e1, e2, …, en thành f1, f2, …, fn X : Với hai vectơ X=xiei,y=yiei ta có X x = x i fi , X y = y i fi Do Với yếu tố a nhóm G ta đặt Ta biết T(a) hốn tử unita tích vơ hướng Bây ta chứng minh ~ tất toán tử T(a) toán tử unita tích vơ hướng {x,y} cho từ trước Thực vậy, áp dụng đẳng thức (51) vừa thu tích vơ hướng (x, y) {Xx,Xy}, dùng công thức ~ XT(a) = T(a) X suy từ định nghĩa (52) tính chất unita tốn tử T(a) tích vơ hướng mới, ta có ~ { ~ ~ ~ } { ~ ~ ( T(a) x, T(a) y) = XT(a)x,XT(a)y = T(a)Xx,T(a)Xy } = {Xx,Xy} = (x, y) ~ Vậy toán tử T(a) tốn tử unita tích vô hướng cho từ trước tạo ~ thành biểu diễn unita T; biểu diễn cho T tương đương với biểu diễn unita 6/22 Phụ lục sở lý thuyết biểu diễn nhóm Khi chứng minh Định lý ta sử dụng đại lượng tích vơ hướng mà tích vơ hướng biểu diễn cho T biểu diễn unita Rất dễ tìm tích vơ hướng trường hợp nhóm G nhóm hữu hạn cấp N Đó giá trị trung bình N ∑a fx,y(a) hàm nhóm G nghĩa hàm mà biến số yếu tố a chạy tất nhóm G Ta ý nhóm hữu hạn ta có cơng thức sau hàm nhóm f(a): với yếu tố b cố định nhóm G Muốn chứng minh định lý tương tự Định lý nhóm vơ hạn, kể nhóm liên tục, ta phải mởi rộng khái niệm giá trị trung bình hàm nhóm cho trường hợp sử dụng đại lượng gọi phiếm hàm trung bình Định nghĩa phiếm hàm trung bình nhóm Cho khơng gian vectơ hàm f (a) nhóm G vơ hạn (có thể nhóm liên tục) Một phiếm hàm tuyến tính F(f) khơng gian vectơ gọi phiếm hàm trung bình tồn hàm giới nội nhóm thỏa mãn điều kiện sau 1) f(a) > 0, ∀ a ∈ G, F(f) > 2) f(a) = 1, ∀ a ∈ G, F(f) = ~ ~ 3) fb(a) = f(ba), f b(a) = f(ba), F(fb) = F( f b) = f(b) Điều kiện 3) có nghĩa ta xê dịch đổi số a hàm nhóm f (a) sau a → ab a → ba, b yếu tố tùy ý G, giá trị F (f) phiếm hàm khơng thay đổi Do ta cịn gọi phiếm hàm tích phần bất biến dùng ký hiệu tích phân 7/22 Phụ lục sở lý thuyết biểu diễn nhóm với đọ đo dμ(a) Tính chất bất biến phiếm hàm thể tính chất bất biến độ đo: với yếu tố cố định bin: args.G Dùng tích phân bất biến hàm nhóm fx,y(a), tức phiếm hàm trung bình F(fx,y), làm giá trị trung bình, ta định nghĩa tích vơ hướng sau trường hợp nhóm G nhóm vơ hạn Vì độ đo dμ(a) bất biến tích vơ hướng nà tất tốn tử T(b) toán tử unita: {(T(b)x,T(b)y} = ∫ (T(a)T(b)x,(T(a)T(b)ydμ(a) G = ∫ (T(ab)x,(T(ab)ydμ(a)= ∫ (T(ab)x,(T(ab)ydμ(ab) G G = ∫ (T(c)x,(T(c)ydμ(c)= {x,y} G Vậy ta có định lý sau Định lý Cho nhóm vơ hạn G (có thể nhóm liên tục) Nếu với hàm giới nội f(a) nhóm G tồn phiếm hàm trung bình F(f), tức tồn tích phân bất biến ∫ (f(a)dμ(a) , G biểu diễn nhóm G tương đương với biểu diễn unita Chứng minh Ta dùng phiếm hàm trung bình F(fx,y) làm tích vơ hướng {x,y} lặp lại tất lập luận giống chứng minh Định lý Trước kết thúc đoạn ta dẫn vài thí dụ phiếm hàm trung bình 8/22 ∀ ∈ Phụ lục sở lý thuyết biểu diễn nhóm G nhóm hữu hạn cấp N Ta định nghĩa F(f) = N1 ∑a f(a) Rõ ràng F(f) thỏa mãn điều kiện 1) 2) Để thử lại điều kiện 3) ta cần dùng ~ định nghĩa fb, f b hệ thức (54) ∑a f(a) = ∑a f(ab)= ∑a f(ba) , ∀ b ∈ G G nhóm phép quay khơng gian ba chiều quanh trục Mỗi phép quay đặc trưng góc quay ϕ, hàm nhóm hàm tuần hoàn ϕ với chu kỳ 2π f(φ) = f(φ + 2π) Ta định nghĩa F(f) = 2π 2π ∫0 f(φ)dφ Rõ ràng F(f) thỏa mãn hai điều kiện 1) 2) Chú ý G nhóm giao hốn ~ fφ(φ)b= f φ(φ)= f( φ + φ) Từ tính chất tuần hồn hàm f suy F(f) thỏa mãn điều kiện 3): F( fφ) = 2π 2π ∫0 f(φ + ψ)dφ = 2π 2π ∫0 f(φ)dφ = F(f) G nhóm quay khơng gian Euclide thực ba chiều Mỗi phép quay đặc trưng ba góc Euler ψ,θ,ϕ với ψ φ thay đổi từ đến π, θ thay đổi từ đến π Hàm nhóm hàm f( ψ,θ,φ) ba góc Euler Phiếm hàm trung bình có dạng F(f) = 8π2 ∫f(ψ,θ,φ)sinθdθdψdφ Có thể chứng minh tích phân bất biến nhóm quay Biểu diễn tối giản Định lý (Bổ đề Shur 1) Nếu không gian L thực biểu diễn tối giản T nhóm G có tốn tử A khác khơng giao hốn với tất tốn tử T(a) biểu diễn T, a G , tốn tử A phải bội toán tử đơn vị 9/22 ∀ ∈ Phụ lục sở lý thuyết biểu diễn nhóm Chứng minh Tốn tử A khác khơng có vectơ riêng r không gian L: A r = αr Tập hợp tất vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng α tạo thành không gian Lα L Ta chứng minh Lα bất biến phép biến đổi T(a) biểu diễn T: T(a) LαLα , a G Thực vậy, cho r vectơ tùy ý Lα xét tất vectơ T(a)r, ∀ a ∈ G Tác dụng toán tử A lên vectơ này, dùng giả thiết giao hoán A với tất toán tử T(a) ý r vectơ riêng A với giá trị riêng α, ta có A(T(a)r) = AT(a)r = T(a)Ar = T(a) αr = α(T(a))r Kết chứng tỏ T(a)r vectơ riêng A giá trị riêng α Vậy Lα thực không gian bất biến Nhưng theo giả thiết biểu diễn T không gian L lại biểu diễn tối giản, L chứa không gian bất biên khác khơng khác L Vậy Lα khác khơng phải trùng với L, nghĩa vectơ không gian cho L đề vectơ riêng toán tử A với giá trị riêng α A phải bội toán tử đơn vị Hàm nhóm sinh biểu diễn Trong khơng gian L thực biểu diễn T ta chọn hệ vectơ sở Khi phép biến đổi T(a) diễn tả ma trận với yếu tố ma trận Tij (a) hàm nhóm G, gọi hàm nhóm sinh biểu diễn T Ta xét trường hợp tích phân bất biến hàm giới nội nhóm tồn tại, có định nghĩa sau Định nghĩa tích vơ hướng hai hàm nhóm Các hàm nhóm coi vectơ khơng gian tuyến tính ta định nghĩa tích vơ hướng hai hàm nhóm ϕ ψ, tức hai vectơ không gian hàm nhóm, sau Áp dụng định nghĩa cho hàm nhóm sinh biểu diễn tối giản, ta có định lý sau 10/22 ∀ ∈ Phụ lục sở lý thuyết biểu diễn nhóm Định lý Một biểu diễn T unita tối giản thứ nguyên d nhóm G sinh d hàm nhóm Tij (a), a G, thỏa mãn hệ thức Chứng minh Hãy lấy toán tử tuyến tính B khơng gian L thực biểu diễn tối giản T thiết lập toán tử T(a) BT(a-1), aG, với yếu tố ma trận hàm nhóm, lấy tích phân (bất biến) tốn tử theo a nhóm G Ta thu toán tử sau Ta chứng minh toán tử A giao hoán với phép biến đổi T(a) Thực vậy, với yếu tố a nhóm G ta có T(a) AT(a)-1 = T(a) AT(a-1) = ∫ (T(a)T(b)BT(b − 1)T(a − 1)dμ(b) G = ∫ (T(ab)BT(b − 1a − 1)dμ(b)= ∫ (T(ab)BT((ab) − 1)dμ(b) G G Vì độ đo dμ(b) bất biến, dμ(b) = dμ(ab), ta thay dμ(ab) đổi biến số tích phân, đặt ab = c, có T(a) AT(a)-1 = ∫ (T(c)BT(c − 1)dμ(c) G nghĩa T(a) AT(a)-1 = A, a G Nhân hai vế hệ thức với T(a) từ bên phải, ta thu T(a) A = AT(a), a G 11/22 Phụ lục sở lý thuyết biểu diễn nhóm Vậy giao hốn A với tốn tử T(a) chứng minh Bây ta áp dụng Bổ để Shur Theo giả thiết T biểu diễn tối giản Toán tử A giao hoán với tất toán tử T(a) biểu diễn phải bội toán tử đơn vị A = αI Phối hợp hệ thức với công thức (60), ta thu hệ thức dạng tường minh yếu tố ma trận Biểu diễn T có thứ nguyên d số i, j,k, l công thức (62) chạy theo số nguyên dương từ đến d Lấy vết hai vế công thức (61), nghĩa đặt i = l hai vế công thức (62) cộng theo i từ đến d ta có Bjk ∫ (Tki(b − 1)Tij(b − 1b)dμ(b)= αd G Chú ý T ki (b -1 )T ij (b) = T kj (b -1 b)=T kj (e) = δkj ∫ dμ(b) = G ta thu α= d Bii = d Tr B Vậy công thức (62) viết lại sau Theo giả thiết T biểu diễn unita, T(b-1) = T(b)-1 = T(b)+ 12/22 Phụ lục sở lý thuyết biểu diễn nhóm nghĩa Tkl(b-1) = Tlk(b)* Thay vào vế trái công thức (63), ta thu Công thức ma trận B Ta chọn B ma trận đặc biệt có yếu tố ma trận Bij i = p j = q với hai số nguyên dương p nhờ d, cịn tất yếu tố ma trận khác không, Ta có Tr B = δpq Khi cơng thức (64) trở thành ∫ Tlq(b) ∗ Tip(b)dμ(b)= d δilδpq G Đó cơng thức (59) Vậy định lý chứng minh Định lý chứng minh cách tương tự nhóm hữu hạn Trong trường hợp tích phân bất biến hàm nhóm thay đại lượng tương tự giá trị trung bình hàm nhóm ∫ Tij(a )* Kkl(a)dμ(a) → G N ∑a Tij(a )* Tkl(a) , N số yếu tố nhóm hữu hạn Theo định lý ta có d2 hàm nhóm Tij(a) trực giao với độc lập tuyến tính với Vì số hàm độc lập tuyến tính nhóm hữu hạn cấp N nhiều N, d N Vậy dịnh lý nhóm hữu hạn có hệ sau Hệ Thứ nguyên d biểu diễn tối giản nhóm hữu hạn cấp N thoả mãn hệ thức 13/22 ∈ Phụ lục sở lý thuyết biểu diễn nhóm d 2N Bây ta mở rộng Định lý cho trường hợp hàm nhóm sinh hai biểu diễn tối giản không tương đương Giống chứng minh Định lý 6, ta cần bổ đề sau Định lý (Bổ đề Shur 2) Cho T(1) T(2) hai biểu diễn tối giản khơng tương đương nhóm G không gian vectơ L1 L2, T(1)(a) T(2)(a) phép biến đổi L1 L2, tương ứng với yếu tố a G, A tốn tử tuyến tính chuyển vectơ trongL2 thành vectơ L1 Nếu với yếu tố a nhóm G tốn tử A thoả mãn hệ thức: A phải không Chứng minh Gọi thứ nguyên không gian L1 d1, thứ nguyên không gian L2 d2 Có thể xảy ba trường hợp 1) d1 > d2 Gọi M miền giá trị toán tử A, nghĩa tập hợp tất vectơ r1 in: args.L1 có dạng r2 vectơ L2 Ta viết Thứ nguyên M phải bé thứ ngun khơng gian L2 phải bé thứ nguyên d1 không gian L1 Ta chứng minh M không gian bất biến tất toán tử T(1)(a), ∀ A ∈ G Thực vậy, vectơ r1 ∈ Mđều có dạng xác định cơng thức (66) theo hệ thức (65) ta có: T(1)(a) r1 = T(1)(a) Ar2 = AT(2)(a) r2 Nhưng T(2)(a) r2 vectơ L2 theo định nghĩa (67) ta có AT(2)(a) r2in: args.M 14/22 Phụ lục sở lý thuyết biểu diễn nhóm Vậy với vectơ r1in: args.M vectơ T(1)(a) r1 vectơ thuộc không gian M, T(1)(a) r1MM, M không gian bất biến tất phép biến đổi T(1)(a) Ta lại biết thứ nguyên M nhỏ thứ nguyên d1 không gian L1 Nhưng theo giả thiết biểu diễn T(1) biểu diễn tối giản, không gian L1 có khơng gian bất biến khác khơng mà có thứ nguyên nhỏ d1 Vậy ta phải có M = 0, nghĩa A = 2) d1 < d2 Vì tốn tử tuyến tính A chuyển vectơ không gian d2 chiều thành vectơ khơng gian có số chiều d1 nhỏ hơn, L2 phải có vectơ r2 mà Gọi N tập hợp tất vectơ không gian L2 thoả mãn điều kiện (68) Vì có vectơ thoả mãn điều kiện nên Nneq: args.0 Ta chứng minh N không gian bất biến biểu diễn T(2) Thực vậy, cho r2 vectơ N Theo giả thiết (65) định nghĩa (68) ta có AT(2)(a) r2 = T(1)(a) A r2 = với yếu tố a nhóm G, tức tất vectơ T(2)(a) r2 thuộc vào N Vậy T(2)(a) NN, ∀ a ∈ G, N không gian bất biến khác không L2 Nhưng theo giả thiết biểu diễn T(2) biểu diễn tối giản Vậy N phải trùng với L2, nghĩa vectơ r2 L2 thỏa mãn điều kiện (68) Ta suy A=0 3) d1=d2 Đầu tiên ta ý A khơng thể có nghịch đảo, A-1 tồn hệ thức (65) cho ta T(2)(a) = A − 1T(1)(a)A,∀ a ∈ G, nghĩa hai biểu diễn T(1) T(2) tương đương với nhau, trái với giả thiết Vì A khơng có nghịch đảo miền giá trị M A phải có thứ nguyên nhỏ d2 = d1 Lý luận giống trường hợp 1), ta thấy M phải không gian 15/22 Phụ lục sở lý thuyết biểu diễn nhóm bất biến khác với L1 Vì biểu diễn T(1) tối giản, theo giả thiết, M phải không, M = Vậy A = Bây ta áp dụng Bổ để Shur để chứng minh định lý sau Định lý Hai biểu diễn unita tối giản không tương đương T ( α ) T ( β ) sinh hai hệ hàm nhóm Tαij(a) Tβkl(a) trực giao với nhau, nghĩa thoả mãn hệ thức Chứng minh Gọi Lα Lβlà hai không gian vectơ thực biểu diễn tối giản T(α) T(β), B toán tử tuyến tính chuyển vectơ Lβ thành vectơ Lα Đặt A = ∫ T(α)BT(β)(b − 1)dμ(b), G xét tích T(α) (a) A, với yếu tố a nhóm G Ta có T(α) (a) A = ∫ T(α)(a)T(α)(b)BT(β)(b − 1)dμ(b) G = ∫ T(α)(a)T(α)(b)BT(β)(b − 1)T(β)(a − 1)dμ(b)T(β)(a) G = ∫ T(α)(ab)BT(β)((ab) − 1)dμ(b)T(β)(a) G = ∫ T(α)(ab)BT(β)((ab) − 1)dμ(ab)T(β)(a) G = ∫ T(α)(c)BT(β)(c − 1)dμ(c)T(β)(a) G Vậy T(α) (a) A = AT(β)(a), ∀ a ∈ G Theo Bổ đề Shur toán tử A phải không Ta thu công thức 16/22 Phụ lục sở lý thuyết biểu diễn nhóm dạng chứa tường minh yếu tố ma trận Nếu chọn B ma trận có yếu tố ma trận Bpq khác khơng, cịn tất yếu tố ma trận khác khơng, cơng thức (71) cho ta −1 ∫ T(α) )dμ(b)= ∫ T(β) ip (b)Tgl(β)(b lq (b )* Tip(α)(b)dμ(b)= α ≠ β G G Đó cơng thức (69) Vậy định lý chứng minh Với nhóm hữu hạn thay cho tích phân bất biến ta dùng giá trị trung bình hàm nhóm có định lý tương tự Ta chứng minh hàm nhóm sinh biểu diễn tối giản không tương đương sinh biểu diễn tối giản hàm trực giao với Bây xét tất biểu diễn tối giản không tương đương với T(α), α = 1, 2, …, f, nhóm hữu hạn G, tập hợp tất hàm T(α) ij (a) sinh biểu diễn này, i, j = 1, 2, …, dα, dα thứ nguyên biểu diễn T( α) Mỗi hàm xem vectơ khơng gian vectơ L tất hàm ψ(a) nhóm G Ta có định lý sau Định lý Tập hợp tất hàm T(α) ij (a) , α = 1, 2, …, f, i, j = 1, 2, …, d α , sinh tất biểu diễn tối giản T ( α ) thứ nguyên d α không tương đương với nhóm hữu hạn G tạo thành hệ đủ vectơ sở trực giao với không gian tất hàm nhóm G Nói cách khác, hàm nhóm G khai triển thành tổ hợp tuyến tính hàm : dấu tổng theo ký hiệu phép cộng tất biểu diễn tối giản không tương đường với nhóm G 17/22 Phụ lục sở lý thuyết biểu diễn nhóm Chứng minh Trong khơng gian L tất hàm nhóm G ta định nghĩa tốn tử tuyến tính T(a) tương ứng với yếu tố a nhóm G sau Các tốn tử tạo thành biểu diễn T nhóm G Thực vậy, ta có T(a')T(a)ψ(b) = T(a')ψ(ba) = T(a')ψa(b) = ψa(ba') = ψ(ba'a) = ψa'a(b) = T(a'a)ψ(b) với hàm , nghĩa T(a’) T(a) = T(a’ a) Biểu diễn T khai triển thành tổng trực giao biểu diễn tối giản T(α) nhóm G mà khai triển biểu diễn lặp lại số lần Ký hiệu số lần mà biểu diễn tối giản T() chứa biểu diễn T Ta ký hiệu tổng trực giao nα biểu diễn giống Tα , có Khơng gian L tách thành tổng trực giao không gian bất biến , v = 1, 2, …, , = 1, 2, …, f, khơng gian , v = 1, 2, …, , thực biểu diễn tối giản T() Trong không gian ta chọn hệ sở , i = 1, 2, …, , vectơ hàm nhóm G Theo định nghĩa yếu tố ma trận ta có (α) (α) (α) (α) T(a) = φ(α) vi = T (a) = φvi = φvi Tji (a) nghĩa (α) (α) T(a) = φ(α) vi (b) = φvi (b)Tji (a) Mặt khác, theo định nghĩa (73) T(a) ta lại có (α) T(a)φ(α) vi (b) = φvi (ba) 18/22 Phụ lục sở lý thuyết biểu diễn nhóm Do (α) α φ(α) vi (ba) = φvj (b)Tji(a) Trong hệ thức ta lấy b yếu tố đơn vị e nhóm G thu cơng thức sau Công thức (74) chứng tỏ hàm (a), vectơ sở không gian L tổ hợp tuyến tính hàm Mọi hàm nhóm triển khai thành tổ hợp tuyến tính theo hàm (a) có dạng tổ hợp tuyến tính hàm Vậy hệ tất hàm hệ đủ không gian L tất hàm nhóm Định lý chứng minh Biểu diễn T mà sử dụng biểu diễn mà ta thiết lập với nhóm G Ta đặt tên cho biểu diễn đặc biệt sau Định nghĩa biểu diễn đặn Biểu diễn T nhóm G khơng gian L hàm nhóm ψ(a), với tốn tử T(a) tác dụng lên hàm sau T(b) ψ(a) = ψ(ab), gọi biểu diễn đặn nhóm Chú ý định nghĩa áp dụng cho nhóm G bất kỳ: hữu hạn, vô hạn, liên tục Trong trình chứng minh Định lý thấy không gian L tách thành tổng trực giao không gian Lα, α= 1, 2, …, f, không gian Lαlại tổng α trực giao nαkhông gian L(α) v , khơng gian Lv có thứ ngun dα Vậy thứ nguyên không gian Lα nαdα Mặt khác, khơng gian có d2α hàm Tαij(a) tạo thành hệ đủ vectơ sở Vậy ta phải có nαdα = d2α nghĩa nα= dα Ta đến định lý sau Định lý 10 Biểu diễn đặn T nhóm hữu hạn G chứa biểu diễn tối giản Tα thứ nguyên dα dα lần 19/22 Phụ lục sở lý thuyết biểu diễn nhóm Nếu nhóm hữu hạn G nhóm cấp N, khơng gian L tất hàm nhóm có nhiều N hàm độc lập tuyến tính Lý luận chứng tỏ thứ nguyên khơng gian L ∑α d2α Vậy ta có định lý sau Định lý 11 Các thứ nguyên dα tất biểu diễn tối giản không tương đương nhóm hữu hạn G cấp N phải thoả mãn hệ thức Các định lý hàm đặc trưng Bây ta chứng minh số định lý hàm đặc trưng Định lý 12 Các hàm đặc trưng χα(a) biểu diễn tối giản khơng tương đương với T(α) nhóm G hàm trực giao chuẩn hố nhóm này: Chứng minh Ký hiệu Tαij(a) Tβkl(a)là yếu tố ma trận toán tử T(α)(a) T(β)(a) Theo Định lý Định lý ta có (Tαij(a),Tβkl(a)) = d1α δikδjl, dαlà thứ nguyên biểu diễn T(α), i, j = 1, 2, …, dα, (Tαij(a),Tβkl(a)) = với α ≠ β Từ định nghĩa hàm đặc trưng χα(a) = Tαii(a), χβ(a) = Tβkk(a), ta suy 20/22 Phụ lục sở lý thuyết biểu diễn nhóm (χα,χα) = (Tαii,Tαkk) = d1α δikδki = (χα,χβ) = (Tαii,Tαkk) = với α ≠ β Vậy công thức (76) chứng minh Ta biết ta coi hàm đặc trưng biểu diễn hàm χ(Ka) tập hợp lớp Ka yếu tố liên hợp Xét hệ tất hàm χ(α)(Ka)được sinh tất biểu diễn tối giản không tương đương với nhóm hữu hạn G tìm xem hàm có phải hệ đủ không gian hàm ψ(Ka) lớp Ka yếu tố liên hợp hay khơng Ta có định lý sau Định lý 13 Các hàm đặc trưng χ(α)(Ka) sinh tất biểu diễn tối giản không tương đương với T(α) , α = 1, 2, …, f, nhóm hữu hạn G tạo thành hệ đủ không gian vectơ hàm ψ(Ka) tập hợp lớp K a yếu tố liên hợp Mọi hàm ψ(Ka) tập hợp lớp K a yếu tố liên hợp khai triển sau Chứng minh Hàm ψ(Ka)trên tập hợp yếu tố liên hợp hàm nhóm ϕ(a)với tính chất sau Áp dụng Định lý (công thức (72)), ta khai triển hàm theo hệ đủ tất hàm nhóm Tαij(a), i, j = 1, 2, …, dα, α= 1, 2, …, f, sinh tất cá biểu diễn tối giản T(a) không tương đương với nhóm G, có Thay hai biểu thức (79) (80) ψ(a) ψ(bab − 1) vào phương trình (78) so sánh hệ số Tαij(a) ta suy hệ thức 21/22 Phụ lục sở lý thuyết biểu diễn nhóm Ta biết Tαki(b) Tαjl(b − 1) yếu tố ma trận ma trận Tα(b) Tα(b − 1) Coi Cαjilà yếu tố ma trận ma trận Cαta viết lại hệ thức (81) dạng hệ thức ma trận Cα = Tα(b − 1)CαTα(b) = Tα(b) − 1CαTα(b), ∀ b ∈ G Ta suy Tα(b)Cα = CαTα(b), ∀ b ∈ G, nghĩa ma trận Cαgiao hoán với tất toán tử Tα(b), ∀ b ∈ G, biểu diễn tối giản Tα Theo Bổ đề Shur ma trận phải bội ma trận đơn vị, Cα = Λ(α)I, nghĩa Thay giá trị (82) C(α) ji vào vế phải công thức (79), ta thu f (α) (α) ψ(a)= ∑fα = Λ(α)T(α) ii (a)= ∑α = Λ χii (a) Đó hệ thức (77) Vậy định lý chứng minh Gọi Nk số lớp yếu tố liên hợp nhóm hữu hạn G Có tất Nk hàm tập hợp lớp Ka mà độc lập tuyến tính Mặt khác, theo Định lý số cực đại hàm tập hợp lớp Ka mà độc lập tuyến tính số f biểu diễn tối giản khơng tương đương với nhóm G Vậy ta có hệ sau Hệ Số f biểu diễn tối giản không tương đương với nhóm hữu hạn G số N k lớp yếu tố liên hợp nhóm này: F = N k Khi ta cho nhóm hữu hạn G, muốn biết nhóm có biểu diễn tối giản khơng tương đương ta cần tìm xem nhóm G có lớp yếu tố liên hợp Cách thường hay dùng nghiên cứu nhóm đối xứng tinh thể 22/22 ... 3/22 Phụ lục sở lý thuyết biểu diễn nhóm L2 khơng gian bất biến biểu diễn T Ta dùng Định lý bổ đề để chứng minh định lý tính chất hồn tồn khả quy biểu diễn unita khả quy Định lý Mọi biểu diễn. .. thành biểu diễn unita T; biểu diễn cho T tương đương với biểu diễn unita 6/22 Phụ lục sở lý thuyết biểu diễn nhóm Khi chứng minh Định lý ta sử dụng đại lượng tích vơ hướng mà tích vơ hướng biểu diễn. .. nghĩa cho hàm nhóm sinh biểu diễn tối giản, ta có định lý sau 10/22 ∀ ∈ Phụ lục sở lý thuyết biểu diễn nhóm Định lý Một biểu diễn T unita tối giản thứ nguyên d nhóm G sinh d hàm nhóm Tij (a),