ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ***************** MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN CỦA NHÓM HỮU HẠN Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60.46.05 Người hướng dẫn khoa học: TS VŨ THẾ KHÔI Người thực hiện: TRẦN DANH TUYÊN Thái Nguyên - 2009 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ▼ô❝ ❧ô❝ ▲ê✐ ♥ã✐ ➤➬✉ ✷ ✶ ✹ ▼ét sè ✈Ý ❞ơ ✈Ị ♥❤ã♠ ✈➭ t➳❝ ➤é♥❣ ♥❤ã♠ ✶✳✶ ✷ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹ ✶✳✷ ❚➳❝ ➤é♥❣ ♥❤ã♠ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺ ✶✳✸ ◆❤ã♠ ➤è✐ ①ø♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽ ❈➳❝ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ➤➵✐ sè ❝➡ së ❝đ❛ ♣❤Ð♣ ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ ♥❤ã♠ ✷✳✶ P❤Ð♣ ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ✷✳✷ ❇✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✷✳✸ ✷✳✹ ✸ ◆❤ã♠ ♠❛ tr❐♥ ❈➳❝ ✈Ý ❞ô ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✷ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✸ ❚ỉ♥❣ ✈➭ tÝ❝❤ t❡♥①➡ ❝đ❛ ♣❤Ð♣ ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ ✲ P❤Ð♣ ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ t❤➢➡♥❣ ✶✻ ✷✳✹✳✶ ❚ỉ♥❣ ❝đ❛ ♣❤Ð♣ ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ ✷✳✹✳✷ ❚Ý❝❤ t❡♥①➡ ❝đ❛ ♣❤Ð♣ ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✻ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✼ ✷✳✹✳✸ P❤Ð♣ ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ ➤è✐ ♥❣➱✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✽ ✷✳✹✳✹ P❤Ð♣ ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ t❤➢➡♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✽ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✾ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✸ ✳ ✷✳✺ P❤➞♥ tÝ❝❤ ❜✃t ❦❤➯ q✉② ❝đ❛ ♠ét ♣❤Ð♣ ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ ✷✳✻ ➜➷❝ tr➢♥❣ ❝đ❛ ♣❤Ð♣ ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ ❤÷✉ ❤➵♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ❇✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ ❝đ❛ ♥❤ã♠ ❤÷✉ ❤➵♥ ✈➭ ❝➠♥❣ t❤ø❝ ❋r♦❜❡♥✐✉s ✸✳✶ ✸✳✷ ✸✳✸ ✸✳✹ ➜➷❝ tr➢♥❣ ❤Ư trù❝ ❝❤✉➮♥ ❇✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ ❝❤Ý♥❤ q✉② ✳ ✳ ✷✹ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✹ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✽ ✳ ✷✾ ❍Ö trù❝ ❝❤✉➮♥ ❝➳❝ ➤➷❝ tr➢♥❣ ✈➭ sè ❝➳❝ ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ ❜✃t ❦❤➯ q✉② ø ♥❣ ❞ô♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✷ ❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✺ ✶ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ✷ ▲ê✐ ♥ã✐ ➤➬✉ ▲ý t❤✉②Õt ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ ♥❤ã♠ ❝ã ♥❣✉å♥ ❣è❝ tõ ❧ý t❤✉②Õt ➤➷❝ tr➢♥❣ ❝đ❛ ♥❤ã♠ ❛❜❡❧ ➤➢ỵ❝ ♣❤➳t ❜✐Ó✉ ❝❤♦ ❝➳❝ ♥❤ã♠ ❝②❝❧✐❝ ❜ë✐ ●❛✉ss✱ ❉✐r✐❝❤❧❡t ✈➭ s❛✉ ➤ã ♠ë ré♥❣ s❛♥❣ ❝❤♦ ♥❤ã♠ ❛❜❡❧ ❤÷✉ ❤➵♥ ❜ë✐ ❋r♦❜❡♥✐✉s ✈➭ ❙t✐❝❦❡❧❜❡r❣❡r✳ ▲ý t❤✉②Õt ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ ❝đ❛ ♥❤ã♠ ❤÷✉ ❤➵♥ ➤➢ỵ❝ ♣❤➳t ❜✐Ĩ✉ ✈➭♦ ❝✉è✐ t❤Õ ❦û ❳■❳ tr♦♥❣ ❝➳❝ ❝➠♥❣ tr×♥❤ ❝đ❛ ❋r♦❜❡♥✐✉s✱ ❙❝❤✉r ✈➭ ❇✉r♥s✐❞❡✳ ◆ã✐ ♠ét ❝➳❝❤ ➤➡♥ ❣✐➯♥✱ ❧ý t❤✉②Õt ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ ♥❤ã♠ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❝➳❝ ❝➳❝❤ ♠➭ ♠ét ♥❤ã♠ t➳❝ ➤é♥❣ tr➟♥ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ✈Ð❝t➡ ❜➺♥❣ ❝➳❝ tù ➤➻♥❣ ❝✃✉ t✉②Õ♥ tÝ♥❤✳ ▲ý t❤✉②Õt ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ ♥❤ã♠ ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø ❧➭ ♠ét ♣❤➬♥ q✉❛♥ trä♥❣ tr♦♥❣ ➤➵✐ sè ❤✐Ư♥ ➤➵✐ ♠➭ ❝ß♥ ❝ã ♥❤✐Ị✉ ø♥❣ ❞ơ♥❣ q✉❛♥ trä♥❣ tr♦♥❣ ❧ý t❤✉②Õt sè✱ tỉ ❤ỵ♣ ✈➭ ❝➯ ✈❐t ❧ý✳ ▼ơ❝ ➤Ý❝❤ ❝đ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ❧➭ ➤ä❝ ❤✐Ĩ✉ ✈➭ tr×♥❤ ❜➭② ❧➵✐ ♠ét sè ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➡ ❜➯♥ tr♦♥❣ ❧ý t❤✉②Õt ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ ♥❤ã♠ ❤÷✉ ❤➵♥ ✈➭ tr×♥❤ ❜➭② ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❝đ❛ ❇✳❩❛❣✐❡r ❝➠♥❣ t❤ø❝ ❋r♦❜❡♥✐✉s✳ ❇è ❝ơ❝ ❝đ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ❝đ❛ ❝❤ó♥❣ t➠✐ ❣å♠ ❜❛ ❝❤➢➡♥❣✿ ❈❤➢➡♥❣ ✶ ▼ét sè ✈Ý ❞ơ ✈Ị ♥❤ã♠ ✈➭ t➳❝ ➤é♥❣ ♥❤ã♠✳ ❝❤ó♥❣ t➠✐ ♥❤➽❝ ❧➵✐ ♠ét sè ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ ❝➡ ❜➯♥ ♥❤➢✿ ❚r♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭② ◆❤ã♠ ♠❛ tr❐♥✱ t➳❝ ➤é♥❣ ♥❤ã♠✱ ♥❤ã♠ ➤è✐ ①ø♥❣✳ ◆❤÷♥❣ ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ♥➭② sÏ ợ sử ụ tr ò ủ ❈❤➢➡♥❣ ✷ ❈➳❝ ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ ➤➵✐ sè ❝➡ së ❝đ❛ ♣❤Ð♣ ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ ♥❤ã♠✳ ❚r♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭② ❝❤ó♥❣ t➠✐ tr×♥❤ ❜➭② ❝➳❝ ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ ✈➭ ♠ét sè ✈Ý ❞ơ ➤➡♥ ❣✐➯♥ ➤Ĩ ♠✐♥❤ ❤♦➵ ❝❤♦ ❝➳❝ ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ ❝đ❛ ♣❤Ð♣ ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ ♥❤ã♠✳ ❈❤➢➡♥❣ ✸ ❇✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ ❝đ❛ ♥❤ã♠ ❤÷✉ ❤➵♥ ✈➭ ❝➠♥❣ t❤ø❝ ❋r♦❜❡♥✐✉s✳ ❝❤➢➡♥❣ ❝❤Ý♥❤ ❝ñ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥✳ ➜➞② ❧➭ ❚r♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭② ❝❤ó♥❣ t➠✐ tr×♥❤ ❜➭② ❧➵✐ ♠ét sè ❦Õt q✉➯ ❝➡ ❜➯♥ ❝đ❛ ❧ý t❤✉②Õt ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ ❝đ❛ ♥❤ã♠ ❤÷✉ ❤➵♥ ✈➭ ➤➷❝ ❜✐Ưt ❧➭ ❝❤ó♥❣ t➠✐ ❞➲ tr×♥❤ ❜➭② ❧➵✐ ♠ét ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❝đ❛ ❝➠♥❣ t❤ø❝ ❋r♦❜❡♥✐✉s t❤➠♥❣ q✉❛ ❧ý t❤✉②Õt ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ ♥❤ã♠✳ ◗✉❛ t ũ ợ tỏ ò ết ➡♥ s➞✉ ①➽❝ tí✐ ♥❣➢ê✐ t❤➬②✱ ♥❣➢ê✐ ❤➢í♥❣ ❞➱♥ ❦❤♦❛ ❤ä❝ ❝đ❛ ♠×♥❤✱ ❚❙✳ ❱ị ❚❤Õ ❑❤➠✐✱ ♥❤ê sù ❤➢í♥❣ ❞➱♥ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ✸ ❝❤Ø ❜➯♦ t❐♥ t×♥❤ ✈➭ ♥❣❤✐➟♠ ❦❤➽❝ ❝đ❛ t❤➬② ♠➭ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ➤➲ ➤➢ỵ❝ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ♠ét ❝➳❝❤ ❦❤♦❛ ❤ä❝ ✈➭ ➤ó♥❣ t✐Õ♥ ➤é✳ ❳✐♥ ❝❤➞♥ t❤➭♥❤ ❝➯♠ ➡♥ ❝➳❝ t❤➬② ❝➠ ❝➠♥❣ t➳❝ t➵✐ ❱✐Ö♥ ❚♦➳♥✱ t➵✐ ❝➳❝ tr➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ t❤✉é❝ ➜➵✐ ❤ä❝ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥ ➤➲ trù❝ t✐Õ♣ ❣✐➯♥❣ ❞➵② ✈➭ q✉❛♥ t➞♠✳ ❳✐♥ ❝➯♠ ➡♥ ❛♥❤ P❤➵♠ ❍å♥❣ ◆❛♠✱ ❣✐➯♥❣ ✈✐➟♥ ❦❤♦❛ ❚♦➳♥ ✲ ❚✐♥ tr➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❑❤♦❛ ❤ä❝ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱ ❝➯♠ ➡♥ ❜➵♥ ❜❒ ➤å♥❣ ♥❣❤✐Ư♣ ✈➭ ❣✐❛ ➤×♥❤ ➤➲ ➤é♥❣ ✈✐➟♥✱ ❣✐ó♣ ➤ì t➳❝ ❣✐➯ tr♦♥❣ s✉èt t❤ê✐ ❣✐❛♥ ❤ä❝ t❐♣ ✈➭ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉✳ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱ t❤➳♥❣ ✵✾ ♥➝♠ ✷✵✵✾ ❍ä❝ ❱✐➟♥ ❚r➬♥ ❉❛♥❤ ❚✉②➟♥ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ❈❤➢➡♥❣ ✶ ▼ét sè ✈Ý ❞ơ ✈Ị ♥❤ã♠ ✈➭ t➳❝ ➤é♥❣ ♥❤ã♠ ❚❛ ♥❤➽❝ ❧➵✐ ♠ét sè ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➬♥ ❞ï♥❣ tr♦♥❣ ❧✉❐♥ ✈➝♥✳ ✶✳✶ ◆❤ã♠ ♠❛ tr❐♥ ❈❤♦ ❝✃♣ ❈ ❧➭ tr➢ê♥❣ sè ♣❤ø❝✱ ❦Ý ❤✐Ư✉ m×n tr➟♥ ❈✳ tr♦♥❣ trờ ợ ị ợ ột Mm,n (C) m = n Mm,n (C) ❧❐♣ ♥➟♥ ♠ét t❤× t❛ ❦Ý ❤✐Ư✉ ❧➭ t❐♣ ❤ỵ♣ t✃t ❝➯ ❝➳❝ ♠❛ tr❐♥ ❈✲❦❤➠♥❣ Mn (C) ❣✐❛♥ ✈Ð❝ t➡ t❤❛② ❝❤♦ m×n Mn,n (C) ✳ ❝❤✐Ị✉✱ ❚❛ ①➳❝ ♥❤ã♠ t✉②Õ♥ tÝ♥❤✿ GL(n, C) := {A ∈ Mn (C), detA = 0} ❚❛ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ♥❤ã♠ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ➤➷❝ ❜✐Öt✱ SL(n, C) := {A ∈ Mn (C); detA = 1} ❚❛ ❝ị♥❣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ♥❤ã♠ trù❝ ❣✐❛♦✿ O(n) := {A ∈ Mn (R); t AA = En }, ✈➭ ❝❤♦ n=p+q ✱ t❤× t❛ ❝ã✿ O(p, q) := {A ∈ Mn (R); t ADp,q A = Dp,q }, tr♦♥❣ ➤ã Dp,q ❧➭ ❝➳❝ ♠❛ aii = −1, ∀i = p + 1, n tr❐♥ ➤➢ê♥❣ ✳ ❱➭ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❝❤Ð♦ ♠➭ aii = 1, ∀i = 1, p ♥❤ã♠ ✉♥✐t❛✿ U (n) := {A ∈ Mn (C); t AA = En } ✹ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ✈➭ ó ị n=p+q tì ♥❤ã♠ U (p, q) := {A ∈ Mn (R); t ADp,q A = Dp,q } ❚õ ♥❤ã♠ O(n) t❛ ①➳❝ ị ợ ó SO(n) ủ ó O(n) s SO(n) := {A ∈ O(n); detA = 1} A(n) := {D(a1 , , an ); a1 , , an ∈ C∗ } ♣❤➬♥ tö ✶✳✷ a1 , , an ❧➭ ♠❛ tr❐♥ ➤➢ê♥❣ ❝❤Ð♦ ✈í✐ ❝➳❝ ♥➺♠ tr➟♥ ➤➢ê♥❣ ❝❤Ð♦✳ ❚➳❝ ➤é♥❣ ♥❤ã♠ ❚r♦♥❣ ♣❤➬♥ ♥➭② ❧✉➠♥ ❝❤♦ G ❧➭ ♠ét ♥❤ã♠✱ ♣❤➬♥ tư ➤➡♥ ✈Þ ❧➭ e ✈➭ χ ột t ị ĩ G ợ ọ t➳❝ ➤é♥❣ tr➳✐ tr➟♥ χ ♥Õ✉ tå♥ t➵✐ ➳♥❤ ①➵ G×χ→χ (g, x) → g · x t❤♦➯ ♠➲♥ ❝➳❝ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ s❛✉✿ ✐✮ ✐✐✮ g · (g · x) = (gg ) · x e·x=x ✈í✐ ♠ä✐ g, g ∈ G, x ∈ χ ❈❤ó ý✿ ➜➷t Autχ ✳ ❧➭ t❐♣ ❤ỵ♣ t✃t ❝➯ ❝➳❝ s♦♥❣ ➳♥❤ tõ χ tì từ ị ĩ t ợ ♥❤ã♠ ϕ :G → Autχ g →g·x • ❚r♦♥❣ tr➢ê♥❣ ợ ã ộ ó ợ ọ s G t➳❝ ➤é♥❣ tr➳✐ tr➟♥ ❜➽❝ ❝➬✉ χ t❛ ❝ò♥❣ ❣ä✐ ♥Õ✉ ♠ä✐ ❝➷♣ χ ❧➭ x, x ∈ χ G−t❐♣ tr➳✐ t❤× tå♥ t➵✐ x =g·x Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ✳ g∈G ✻ • ❱í✐ ♠ä✐ x0 ∈ χ t❛ ị ợ t G Ã x0 ủ ✿ G · x0 := {g · x0 ; g G}, G Ã x0 ã ợ ọ ♠ä✐ x0 ∈ χ G q✉ü ➤➵♦ ✭❝❤ø❛ x0 ✮✳ t ị ợ ó ủ Gx0 := {g ∈ G, g · x0 = x0 } ✈➭ ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ❱Ý ❞ơ ✶✳✷✳✷✳ tr➳✐ tr➟♥ χ ♥❤ã♠ ➤➻♥❣ ❤➢í♥❣ ❈❤♦ ❤❛② G = GL(n, C) ✈➭ ♥❤ã♠ ỉ♥ ➤Þ♥❤ ❝đ❛ χ ⊆ Cn x0 ✳ ✱ t❛ ị ợ ột t ộ Gì (A, x) → A · x ✈í✐ ♠ä✐ x ∈ Cn ị ĩ ó G ợ ọ ❧➭ t➳❝ ➤é♥❣ ❜➽❝ ❝➬✉ tr➟♥ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✷✳✹✳ ➤➵♦ tr♦♥❣ x∈χ ▼ét t❐♣ χ ✈➭ s❛♦ ❝❤♦ ❈❤ó ý✿ χG ❱í✐ ♠ä✐ χ t❐♣✱ t❛ ①➳❝ ➤Þ♥❤ χ/G G ❝ã ❝✃✉ tró❝ ➤➵✐ sè✱ ✈Ý ❞ơ ♥Õ✉ χ t❐♣ ❝➳❝ ➤✐Ĩ♠ ❜✃t ➤é♥❣ ✈í✐ ♠ä✐ ♥Õ✉ ❝ã ♠ét ✳ ❝ñ❛ ❧➭ g·x=x ◆Õ✉ G− χ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ t❤✉➬♥ ♥❤✃t ❤❛② χG ❧➭ t❐♣ ❝➳❝ G− q✉ü ✱ ♥❣❤Ü❛ ❧➭ t❐♣ ❝➳❝ ♣❤➬♥ tö g∈G ✳ ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ✈Ð❝ t tì tr trờ ợ :G xgÃx tế tí ỗ ị ĩ ✶✳✷✳✺✳ ①➵✳ ➳♥❤ ①➵ x∈χ f g∈G ❈❤♦ ✳ χ ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ✈➭ χ ❧➭ ❝➳❝ ➤➻♥❣ ❜✐Õ♥ G− ❤❛② t❐♣ tr➳✐ ✈➭ G−➤å♥❣ ❝✃✉ f :χ→χ ❧➭ ♠ét ➳♥❤ ♥Õ✉ ✈í✐ ♠ä✐ g∈G ✱ t❛ ❝ã ✿ g · f (x) = f (g · x) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ✈➭ ✼ ❈❤♦ H ❧➭ ♠ét ♥❤ã♠ ❝♦♥ ❝ñ❛ G ✱ t❛ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ♥❤ã♠ ❝♦♥ ❝đ❛ G tr♦♥❣ H ❧➭ NG (H) := {g ∈ G; gHg −1 = H} ❘â r➭♥❣ Aut(G/H) ❝❤✉➮♥ t➽❝ ❤♦➳ ❝ñ❛ NG (H) ❧➭ ♥❤ã♠ ❝♦♥ ❝❤✉➮♥ t➽❝ tè✐ ➤➵✐ ❝ñ❛ ❧➭ ➤➻♥❣ ❝✃✉ ✈í✐ NG (H)/H ✳ G tr♦♥❣ ✱ ➤➢ỵ❝ ọ tr ó ũ ị ợ ♥❤ã♠ ❝♦♥ CG (H) := {g ∈ G; ghg −1 = h, ∀h ∈ H} H H ♥❤ã♠ t➞♠ G ✳ ❚r♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ➤➷❝ ❜✐Ưt H=G ♥❤ã♠ t➞♠ ❤♦➳ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❜ë✐✿ CG (G) = {g ∈ G; gh = hg, ∀h ∈ H} =: C(G) ❍♦➭♥ t♦➭♥ t➢➡♥❣ tù ♥❤➢ ✈❐② t❛ ❝ò♥❣ ❝ã ♥❤ã♠ t➳❝ ➤é♥❣ ♣❤➯✐ ❝đ❛ ♠ét ♥❤ã♠ G tr➟♥ t❐♣ χ ✿ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✷✳✻✳ G ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ t➳❝ ➤é♥❣ ♣❤➯✐ tr➟♥ χ ♥Õ✉ tå♥ t➵✐ ➳♥❤ ①➵ G×χ→χ (g, x) → x · g t❤♦➯ ♠➲♥ ❝➳❝ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ s❛✉✿ ✐✮ ✐✐✮ (x · g) · g = x · (gg ) x · e = x ∀x ∈ χ, g, g ∈ G ❈❤ó ý✿ ✱ ✳ ❚❛ ❝ã t❤Ĩ ➤➢❛ ♥❤ã♠ t➳❝ ➤é♥❣ ♣❤➯✐ ✈Ị t➳❝ ➤é♥❣ tr➳✐ ✈➭ ♥❣➢ỵ❝ ❧➵✐ ♥❤ê ♣❤➯♥ ➤➻♥❣ ❝✃✉✿ G→G g → g −1 ó G t tì ợ t➳❝ ➤é♥❣ tr➳✐ ❝❤♦ ❜ë✐✿ g · x := x · g −1 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ✽ ✶✳✸ ◆❤ã♠ ➤è✐ ①ø♥❣ Sn ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✸✳✶✳ ◆❤ã♠ ➤è✐ ①ø♥❣ n ♥❤ã♠ t➵♦ ❜ë✐ ❝➳❝ s♦♥❣ ➳♥❤ ❝ñ❛ ❘â r➭♥❣ Autχ {1, 2, , n} tì ó ị ♥❣❤Ü❛ ❧➭ ♣❤➬♥ tö✳ ❧➭ ♥❤ã♠ s♦♥❣ ➳♥❤ tõ t❐♣ Sn = Autχn ❝ñ❛ χ ✈➭♦ ❝❤Ý♥❤ t❐♣ χ ❞➵♥❣ ❝➳❝ ✱ ❝❤ä♥ χn := ✳ ❈❤ó ý✿ • ❙è tử ủ ó ã ỗ tử Sn ∈ Sn #Sn = n! ❧➭ ➤Ị✉ ❝ã t❤Ĩ ✈✐Õt ❞➢í✐ tÝ❝❤ ❝đ❛ ❝❤✉②Ĩ♥ ✈Þ✱ ♥❣❤Ü❛ ❧➭ ❤♦➳♥ ✈Þ ë ó ỉ ó tử ể ỗ • ❈❤♦ σ ∈ Sn ✱ t❛ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❤➭♠ ❞✃✉ ❝đ❛ Sign(σ) := ε(σ) := • σ ❜ë✐✿ σ(i) − σ(j) i − j 1≤i:= (1/m) tG ũ ị ợ s tế tí ❝❤♦ ❜ë✐✿ u(t−1 )v(t) (u, v) := (1/m) t∈G ◆Õ✉ u = χπ ❧➭ ➤➷❝ tr➢♥❣ t❤× s✉② r❛ u(t) = u(t−1 ) ❞♦ ➤ã (χπ , v) =< χπ , v >, v ∈ H ➜Þ♥❤ ❧ý ✸✳✶✳✶ q✉② ❝đ❛ ✭❬✹❪✱ ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✶✮ G ✳ ➜➷t χ = χπ ✈➭ ✳ ❈❤♦ χ = χπ π ✈➭ π ❧➭ ❝➳❝ ♣❤Ð♣ ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ ❜✃t ❦❤➯ ❧➭ ❝➳❝ ➤➷❝ tr➢♥❣✳ ❑❤✐ ➤ã < χ, χ >= 0✱ ♥Õ✉ π ∼ π < χ, χ >= ❚r➢í❝ ❦❤✐ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➤Þ♥❤ ❧ý t❛ sÏ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❤❛✐ ♠Ư♥❤ ➤Ị s❛✉✿ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.Lrc-tnu.edu.vn ✷✻ π ✈➭ π ▼Ư♥❤ ➤Ị ✸✳✶✳✷✳ ❈❤♦ ❧➭ ❝➳❝ ♣❤Ð♣ ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ ❜✃t ❦❤➯ q✉②✱ F :V →V ❧➭ ➳♥❤ ①➵ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ✈➭ π (g −1 )F π(g) F := (1/m) g∈G ❑❤✐ ➤ã ✶✮ F = 0✱ ♥Õ✉ π ∼ π ✷✮ F = λid✱ ♥Õ✉ V = V , π = π ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚❛ ❝ã F0 tr♦♥❣ ➤ã ❧➭ t♦➳♥ tư ❜Ư♥ ❝đ❛ π (g)−1 F π(g) = (1/m) π λ = (1/❞✐♠V )T rF ✈➭ π ✳ ❑❤✐ ➤ã π (g)−1 π (t)−1 F π(t)π(g) t∈G = (1/m) ➳♣ ❞ơ♥❣ ❇ỉ ➤Ị ❙❝❤✉r✬s✱ s✉② r❛ t∈G π F0 = ❤♦➷❝ (tg)−1 F π(tg) = F F = λid ✱ ♥➟♥✿ T r(π(t−1 )F π(t)) = T rF T rF = (1/m) t∈G ✈➭ T r id = n = dim V ▼Ư♥❤ ➤Ị ✸✳✶✳✸ ❤❛✐ ♠❛ tr❐♥ ✈í✐ λ = (1/n)T rF ✭❬✹❪✱ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✷✳✷✮ ✳ ❈❤♦ π ✈➭ π ♥❤➢ tr♦♥❣ ♠Ư♥❤ ➤Ị tr➟♥✱ ❝❤♦ π(g) = A(g) ✈➭ π (g) = B(g)✱ t❤× ❝ã✿ Bij (t−1 )Akl (t) = ∀i, j, k, l ∈ (1), (1/m) t∈G (1/m) ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❱í✐ t∈G Aij (t F = (Fij ) −1 )Akl (t) = (1/n)δil δjk , ∀i, j, k, l ∈ (2) ♥❤➢ tr♦♥❣ ❇ỉ ➤Ị ✸✳✶✳✷ t❤× t❛ ❝ã Bij (t−1 )Fjk Akl (t) = Fil0 (1/m) t∈G jk ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ (1/m) t∈G jk Bij (t−1 )Fjk Akl (t) = 0, ∀ i, l ∈ (1) Aij (t−1 )Fjk Akl (t) = λδil = (1/n) (1/m) t∈G ik Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Fjk δjk δil jk http://www.Lrc-tnu.edu.vn ✷✼ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚❛ ❝ã✿ ➜Þ♥❤ ❧ý χ (t) = Bii (t) ✈➭ χ(t) = Aii (t) ✈➭ s✉② r❛ χ(t−1 )χ(t) = (1/m) < χ, χ >= (1/m) t∈G = (1/n) t∈G ij δij δij =1 G✱ ✭❬✹❪✱ ❍Ö q✉➯ ✶✮ ✈í✐ ➤➷❝ tr➢♥❣ ➤➷❝ tr➢♥❣ χi := χπi Bii (t−1 )Ajj (t) t∈G t∈G ❝ñ❛ ij χ (t−1 )χ(t) = (1/m) < χ, χ >= (1/m) ❍Ö q✉➯ ✸✳✶✳✹ Aii (t−1 )Ajj (t) ✳ ❈❤♦ χ := χπ ✈➭ (π, V ) (πi , Vi ) ij ❧➭ ♣❤Ð♣ ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ ❤÷✉ ❤➵♥ ❝❤✐Ị✉ ❧➭ ♣❤Ð♣ ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ ❜✃t ❦❤➯ q✉② ✈í✐ ✈➭ V = V1 ⊕ ⊕ Vk ❈❤♦ (π , V ) ❧➭ ♣❤Ð♣ ❜✐Ó✉ ❞✐Ơ♥ ❜✃t ❦❤➯ q✉② ✈í✐ ➤➷❝ tr➢♥❣ χ = χπ ✳ ❑❤✐ ➤ã✿ V } =< χ , χ > #{Vi , Vi ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚❛ ❝ã χ= i χi s✉② r❛ < χ, χ >= < χ , χi > i ❤♦➷❝ ❧➭ ❤♦➷❝ ❧➭ ♥Õ✉ χ ∼ χi t❤➭♥❤ ♣❤➬♥ ❜✃t ❦❤➯ q✉② πi ❍Ö q✉➯ ✸✳✶✳✺ q✉➯ χπ = χπ t❤× π ❍Ư q✉➯ ✸✳✶✳✻ ❦❤➯ q✉② ✭❬✹❪✱ ✈➭ π ❍Ö ❝❤ø❛ tr♦♥❣ ✸✮ χ ∼ χi π ✳ ❙✉② r❛ < χ ,χ > ✈➭ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐ ✳ ◆Õ✉ ❤❛✐ ♣❤Ð♣ ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ô♥ π π ✈➭ ❧➭ sè ❝➳❝ ✳ π t❤♦➯ ♠➲♥ ❧➭ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣✳ ✭❬✹❪✱ ❍Ö q✉➯ ✹✮ π1 , , πh ❤♦➷❝ ✳ ◆Õ✉ π ♣❤➞♥ tÝ❝❤ t❤➭♥❤ ❝➳❝ ♣❤Ð♣ ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ ❜✃t ✈í✐ sè✭❜é✐✮ ❝➳❝ t❤➭♥❤ ♣❤➬♥ πi ①✉✃t ❤✐Ö♥ ❧➭ mi ✱ ♥❣❤Ü❛ ❧➭ ✿ V = m1 V1 ⊕ ⊕ mh Vh , ❤♦➷❝ ❝ã t❤Ó ✈✐Õt V = V1m1 ⊕ ⊕ Vhmh , Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ✷✽ ❦❤✐ ➤ã h m2i < χ, χ >= i=1 ❍Ö q✉➯ ✸✳✶✳✼ ✸✳✷ π ✳ ✭❬✹❪✱ ❍Ö q✉➯ ✼✮ ❧➭ ❜✃t ❦❤➯ q✉② ♥Õ✉ < χ, χ >= ❇✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ ❝❤Ý♥❤ q✉② ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✸✳✷✳✶✳ ▼ét ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ λ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ✈Ð❝ t➡ V et ❣ä✐ ❧➭ ❝❤Ý♥❤ q✉② ✈í✐ ❝➡ së ❧➭ ❝đ❛ ♥❤ã♠ ❤÷✉ ❤➵♥ ♠➭ t∈G G ✱ ♥❣❤Ü❛ ❧➭ #G = m tr♦♥❣ V =< et >t∈G ➤➢ỵ❝ ✈í✐ ♥Õ✉ λ(g)et := egt , ♥❣❤Ü❛ ❧➭ t❛ ❝ã z(g−1 t) et , ∀ zt ∈ C λ(g)v = t∈G ✈í✐ v= V t∈G zt et , zt ∈ C ✳ ❝ã t❤Ĩ ➤å♥❣ ♥❤✃t ✈í✐ H t❤× t❛ ❝ã u(g −1 t)et , ∀ u = λ(g)u = t∈G ◆Õ✉ ❝❤Ð♦ g =e ❝❤Ý♥❤ ✱ t❛ ❝ã ❝ñ❛ λ(g) t∈G gt = t ❧➭ u(t)t ∈ H ✈í✐ ♠ä✐ ❜➺♥❣ ✵✳ ❈ơ t∈G ✱ ❞♦ ➤ã ❝➳❝ ♣❤➬♥ tư tr➟♥ ➤➢ê♥❣ t❤Ĩ✱ t❛ ❝ã T rλ(g) = ✈í✐ g = e ✈➭ T rλ(e) = T rEm = m ✳ ❱❐② t❛ ➤➲ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➤➢ỵ❝ ♠Ư♥❤ ➤Ị s❛✉✿ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✸✳✷✳✷ q✉② ✳ ➜➷❝ tr➢♥❣ ✭❬✹❪✱ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✷✳✸✮ χλ ❝đ❛ ♣❤Ð♣ ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ ❝❤Ý♥❤ λ ❝đ❛ G ➤➢ỵ❝ ❝❤♦ ❜ë✐✿ χλ (e) = #G = m, χλ (g) = 0, ∀ g = e ▼Ư♥❤ ➤Ị ✸✳✷✳✸ ✳ ▼ä✐ ♣❤Ð♣ ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ ❜✃t ❦❤➯ q✉② ✭❬✹❪✱ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✷✳✹✮ ❝❤ø❛ tr♦♥❣ ♣❤Ð♣ ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ ❝❤Ý♥❤ q✉② ✈í✐ sè ❜é✐ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun πi ➤➢ỵ❝ mult(πi , λ) = ni = dim Vi http://www.Lrc-tnu.edu.vn ✷✾ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ➳♣ ❞ơ♥❣ ❍Ư q✉➯ ✸✳✹✳✶ t❛ ❝ã M ult(πi , λ) =< χπi , χλ > ▲➵✐ ❝ã χλ (t−1 )χπi (t) M ult(πi , λ) = (1/m) t∈G s✉② r❛ M ult(πi , λ) = (1/m) · m · χπi (e) = ni ▼Ư♥❤ ➤Ị ✸✳✷✳✹ ✭❬✹❪✱ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✷✳✺✮ ❞✐Ơ♥ ❜✃t ❦❤➯ q✉② ❝đ❛ h i=1 ni i) ✳ ❈❤♦ G✳ ❑❤✐ ➤ã ✈í✐ ni = dim Vi ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ h i=1 ni χπi (t) = 0✳ ❚❤❡♦ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✸✳✷✳✸ t❛ ❝ã ni χi (t), ∀ t ∈ G χλ (t) = t=e t❤×✿ = m ii) ◆Õ✉ t ∈ G, t = e t❤× ❝❤♦ π1 , , πh ❧➭ ❤Ư ➤➬② ➤đ ❝➳❝ ♣❤Ð♣ ❜✐Ó✉ ✱ s✉② r❛ n2i = m ❈❤♦ t=e ✱ s✉② r❛ ni χi (t) = ✸✳✸ ❍Ö trù❝ ❝❤✉➮♥ ❝➳❝ ➤➷❝ tr➢♥❣ ✈➭ sè ❝➳❝ ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ ❜✃t ❦❤➯ q✉② ◆❤➽❝ ❧➵✐ r➺♥❣ ❤➭♠ ✈í✐ ♠ä✐ f tr♦♥❣ G ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ❤➭♠ ❧í♣ ♥Õ✉ f (g) = f (tgt−1 ) g, t ∈ G ▼Ư♥❤ ➤Ị ✸✳✸✳✶ ✳ ✳ ❈❤♦ ✭❬✹❪✱ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✷✳✻✮ ❧➭ ♣❤Ð♣ ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ ❝đ❛ G✳ ❈❤♦ πf f ❧➭ ♠ét ❤➭♠ ❧í♣ tr♦♥❣ ❧➭ tù ➤➻♥❣ ❝✃✉ ❝đ❛ πf := V G ✈➭ (π, V ) ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❜ë✐✿ f (t)π(t) t∈G Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ✸✵ ◆Õ✉ π ❧➭ ❜✃t ❦❤➯ q✉② ✈í✐ ①➵ ➤å♥❣ ♥❤✃t✱ ♥❣❤Ü❛ ❧➭ dim V = n ✈➭ ➤➷❝ tr➢♥❣ χ✱ t❤× πf ❧➭ ❜é✐ ❝đ❛ ➳♥❤ πf = λidV ✱ ✈í✐ λ = (1/n) χ(t)f (t) = (m/n) < χ, f > t∈G ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚❛ ❝ã f (t)π(s)−1 π(t)π(s) = π(s)−1 πf π(s) = f (t)π(s−1 ts) t∈G t∈G ❱× f ❧➭ ❤➭♠ ❧í♣✱ t❛ ❝ã ➳♥❤ ①➵ t → s−1 ts = t π(s)−1 πf π(s) = ✱ s✉② r❛ f (t )π(t ) = πf t ∈G ❚❤❡♦ ❇ỉ ➤Ị ❙❝❤✉r✬s T rλid = nλ t❛ ❝ã πf = λid ❧➭ ❜é✐ ❝ñ❛ ➳♥❤ ①➵ ➤å♥❣ ♥❤✃t ✳ ❚❛ ❝ã ✈➭ T rπf = f (t)T rπ(t) = f (t)χ(t) s✉② r❛ λ = (1/n) f (t)χ(t) = (m/n) < χ, f > ❧➭ ➤➷❝ tr➢♥❣ ❝đ❛ ❧í♣ ❤➭♠✱ ➤ã ❧➭ ♣❤➬♥ tư ❝đ❛ ➜Þ♥❤ ❧ý ✸✳✸✳✷ ✭❬✹❪✱ ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✷✮ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❈➬♥ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ f ∈ H0 ▲✃② t✉ú ý π ❝ñ❛ G ✱ ➤➷t π (χi ) ❧➭ ❤Ư s✐♥❤ ❝đ❛ trù❝ ❣✐❛♦ tí✐ t✃t ❝➯ πf = t q ì ỗ f = , , χh ①➳❝ ➤Þ♥❤ ♠ét ❝➡ së trù❝ H0 ❝❤✉➮♥ ❝đ❛ ❞✐Ơ♥ ✳ ➜➷❝ tr➢♥❣ H0 f (t)π(t) ✳ χi ❚❤❡♦ ✳ ❧➭ ❜➺♥❣ ✵✳ ❇ỉ ➤Ị ✸✳✸✳✶✳ s✉② r❛ ➤ã ❧➭ ♣❤Ð♣ ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ ❝❤Ý♥❤ q✉②✱ ♥❣❤Ü❛ ❧➭ πf e = f (t)λ(t)e1 = t f = s r ỗ é ể f = ♥Õ✉ π ❧➭ ♣❤➞♥ tÝ❝❤ ➤➢ỵ❝ t❤➭♥❤ ❝➳❝ ♣❤Ð♣ ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ ❜✃t ❦❤➯ q✉②✱ ♠ét ❝➡ së ✈Ð❝ t➡ ❝đ❛ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ ❝❤♦ ❱× H0 πf e = s✉② r❛ π=λ ✈➭ ①➳❝ ➤Þ♥❤ λ f (t)et t f (t) = 0, ∀t ∈ G Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ✳ ❙✉② r❛ f =0 ✳ http://www.Lrc-tnu.edu.vn ✸✶ ❍Ư q✉➯ ✸✳✸✳✸ ✳ ❙è ❝➳❝ ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ ❜✃t ❦❤➯ q✉② ❝đ❛ ✭❬✹❪✱ ❍Ư q✉➯ ✶✮ G ❜➺♥❣ sè ❧í♣ ❧✐➟♥ ❤ỵ♣✳ ❍Ư q✉➯ ✸✳✸✳✹ ✳ ❈❤♦ ✭❬✹❪✱ ❍Ö q✉➯ ✷✮ h i=1 χi (g)χi (g ) = m/c(g) ♥Õ✉ g h i=1 χi (g)χi (g ) = ♥Õ✉ g ∼ g ✳ ✐✮ ✐✐✮ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ✈➭ ❈❤♦ fg fg (g ) = ✈➭ c(g) := #{g ; g ∼ g} = g✳ ❧➭ ❤➭♠ ➤➷❝ tr➢♥❣ ❝đ❛ ❧í♣ ❝đ❛ ♥Õ✉ g ∼g ❧➭ sè g tì tử tr ợ ❝đ❛ g ∼g g ∈G fg ∈ H0 ✳ ❱× g ✱ ♥❣❤Ü❛ ❧➭ fg (g ) = ♥Õ✉ ✱ t❤❡♦ ➤Þ♥❤ ❧ý tr➟♥ t❛ ❝ã t❤Ĩ ✈✐Õt✿ h fg = λ i χi i=1 ✈í✐ λi =< χi , fg >= (c(g)/m)i (g) ỗ tG tì h fg (t) = (c(g)/m) χi (g)χi (t) i=1 ❱× fg (t) = ❈❤ó ý✿ ✈í✐ ❈❤♦ ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥✳ ❈❤♦ t∼g s✉② r❛ π1 , , πh (i) U1 , , Uk V = U1 ⊕ ⊕ Uk ✱ ỗ Ui fg (t) = tg s r ❧➭ ❝➳❝ ♣❤Ð♣ ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ ❜✃t ❦❤➯ q✉②✱ ♣❤Ð♣ ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ ❜✃t ❦❤➯ q✉②✳ ❈❤♦ ❝đ❛ ✈➭ ❧➭ ➤➻♥❣ ❝✃✉ ✈í✐ Vi ✱ ①➳❝ ➤Þ♥❤ Wi ✳ (π, V ) ❧➭ tỉ♥❣ trù❝ t✐Õ♣ ♣❤➞♥ tÝ❝❤ ❝đ❛ i = 1, , h (ii) V ❧➭ ♣❤Ð♣ t❤➭♥❤ ❝➳❝ ❧➭ tæ♥❣ trù❝ t✐Õ♣ ✳ ❚❤× V = W1 ⊕ ⊕ Wh ➜Þ♥❤ ❧ý ✸✳✸✳✺ ✳ P❤➞♥ tÝ❝❤ ✭❬✹❪✱ ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✸✮ t❤✉é❝ ✈➭♦ ❝➳❝❤ ❝❤ä♥ ♣❤➞♥ tÝ❝❤ ❝đ❛ ➜Þ♥❤ ❧ý ✸✳✸✳✻ V ❦❤➠♥❣ ♣❤ô t❤➭♥❤ ❝➳❝ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ ❜✃t ❦❤➯ q✉②✳ ✳ ❈❤♦ ✭❬✺❪✱ ➜Þ♥❤ ❧ý ❆✳✶✳✺✮ ❝✃✉ ➤➵✐ sè ➤➻♥❣ ❜✐Õ♥ V = W1 ⊕ ⊕ Wh G ó ữ tì tồ t G × G ❝❤Ý♥❤ t➽❝ ∼ C[G] = EndC (Vi ) i∈I Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ✸✷ [g] −→ (πi )i∈I tr♦♥❣ ➤ã ✸✳✹ πi ❧➭ ➳♥❤ ①➵ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ πi (g) : Vi −→ Vi ✳ ø♥❣ ❞ô♥❣ ◆❤➢ t❛ ➤➲ ❜✐Õt tr♦♥❣ ➤ã N (G, C1 , , Ck ) := #{(c1 , , ck ) ∈ C1 × Ck | c1 ck = 1} C1 , , Ck ❧➭ ❝➳❝ ❧í♣ ❧✐➟♥ ❤ỵ♣ t✉ú ý t❤✉é❝ G tr♦♥❣ ❤Ư sè ➤➷❝ tr➢♥❣ ❝đ❛ ♠ét ♣❤Ð♣ ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ ❜✃t ❦❤➯ q✉②✳ ❈❤ó ý r➺♥❣ N (G, C1 , , Ck ) ì t ó tể t ị Ci ✈➭ Ci+1 ❦❤➠♥❣ ♣❤ơ t❤✉é❝ ✈➭♦ t❤ø tù ❝đ❛ Ci Ci+1 ✈➭ ✱ −1 Ci Ci+1 = Ci+1 (Ci+1 Ci Ci+1 ) ✳ ❉♦ ➤ã t❛ ➤➢ỵ❝ ♣❤Ð♣ ❤♦➳♥ ✳ ị ý ó ữ tứ C1 , , Ck rs ị ợ tr♦♥❣ N (G, C1 , , Ck ) = | C1 | | Ck | |G| χ ❧ý ✳ ❈❤♦ ❆✳✶✳✾✮ G ❧➭ ♠ét G t❤× χ(C1 ) χ(Ck ) χ(1)k−2 χ ❝❤➵② ❦❤➽♣ t❐♣ ➤➷❝ tr➢♥❣ ❝ñ❛ ♣❤Ð♣ ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ ❜✃t ❦❤➯ q✉② ❝đ❛ G ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ C ế ợ ủ G tì tư eG = [g] ❧➭ g∈G t➞♠✳ ❚❤❡♦ ❜ỉ ➤Ị ❙❝❤✉r ❝➳❝ t➳❝ ➤é♥❣ tr♦♥❣ ♣❤Ð♣ ❜✐Õ♥ ➤æ✐ ❜✃t ❦❤➯ q✉② G ❧➭ ❜é✐ ❜ë✐ ♠ét ✈➠ ❤➢í♥❣ r❛ χπ (g) = χπ (C), | C | χπ (C) = v (G) ì ỗ gC ủ ó ết ❣✐è♥❣ ♥❤❛✉✱ s✉② t❛ t×♠ χπ (g) = tr(π(eC ), V ) = tr(vπ (C).Id, V ) = vπ (C) dim π g∈C vπ (C) = |C| χπ (C) χπ (C) = |C| dim π χπ (1) ❱í✐ Ng (G, C1 , , Ck ) := #{(a1 , , ag , b1 , , bg , c1 , , ck ) ∈ G2g × C1 × Ck | [a1 , b1 ] [ag , bg ]c1 ck = 1} t❤× t❛ ❝ã ❝➠♥❣ t❤ø❝ ♠ë ré♥❣ ❝ñ❛ ❝➠♥❣ t❤ø❝ ❋r♦❜❡♥✐✉s✿ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.Lrc-tnu.edu.vn ✸✸ ➜Þ♥❤ ❧ý ✸✳✹✳✷ ♠ä✐ ✳ ❱í✐ ữ ý ệ ị ý tr ị ❧ý ❆✳✶✳✶✵✮ g ≥ t❛ ❝ã Ng (G, C1 , , Ck ) =| G |2g−1 | C1 | | Ck | χ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚❛ ❝ã χ(C1 ) χ(Ck ) χ(1)g−2 −1 −1 [a1 , b1 ] [ay , by ] = a1 (b1 a1 b−1 ) ag (bg ag bg ) Ng (G; C1 , , Ck ) = A1 , ,Ag ∈C ❈❤♦ G G −1 N (G; A1 , A−1 , , Ag , Ag , C1 , , Ck ) A1 Ag ➳ ♣ ❞ô♥❣ ❝➠♥❣ t❤ø❝ ❋r♦❜❡♥✐✉s t❛ ❝ã Ng (G; C1 , , Ck ) =| G |g−1 | C1 | | Ck | | A1 | | Ag | A1 , ,Ag ∈C χ g−1 =| G | χ(A1 )χ(A1 ) χ(Ag ).χ(Ag )χ(C1 ) χ(Ck ) χ(1)k+2g−2 | C1 | | Ck | χ χ(C1 ) χ(Ck ) χ(1)k+2g−2 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên g | A | χ(A)χ(A) A∈C http://www.Lrc-tnu.edu.vn ✸✹ ❑Õt ❧✉❐♥ ❚r♦♥❣ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭②✱ ❝❤ó♥❣ t➠✐ ➤➲ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ệ í ọ ể trì ữ ❤➵♥✳ ❧➵✐ ❈❤ó♥❣ ♠ét t➠✐ sè ❦Õt ❝ị♥❣ q✉➯ tr×♥❤ ❝➡ ❜➯♥ ❜➭② ❧➵✐ ❝đ❛ ❧ý t❤✉②Õt ❜✐Ĩ✉ ♠ét sè ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❞✐Ơ♥ ❝đ❛ ❝đ❛ ❝➠♥❣ ❋r♦❜❡♥✐✉s t❤➠♥❣ q✉❛ ❧ý t❤✉②Õt ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ ♥❤ã♠✳ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ♥❤ã♠ http://www.Lrc-tnu.edu.vn t❤ø❝ ❚➭✐ ❧✐Ư✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ❬✶❪ ◆❣✉②Ơ♥ ❍÷✉ ❱✐Ưt ❍➢♥❣✱ ➜➵✐ sè ➤➵✐ ❝➢➡♥❣✱ ◆❤➭ ①✉✃t ❜➯♥ ➜➵✐ ❤ä❝ q✉è❝ ❣✐❛✱ ❍➭ ♥é✐✱ ✶✾✾✾✳ ❬✷❪ ❍♦➭♥❣ ❳✉➞♥ ❙Ý♥❤✱ ➜➵✐ sè ➤➵✐ ❝➢➡♥❣✱ ◆❤➭ ①✉✃t ❜➯♥ ❣✐➳♦ ❞ô❝✱ ❍➭ ♥é✐✱ ✶✾✾✾✳ ❬✸❪ ➜➵✐ sè t✉②Õ♥ tÝ♥❤✱ ◆❣➠ ❱✐Öt ❚r✉♥❣✱ ◆❤➭ ①✉✃t ❜➯♥ ➜➵✐ ❤ä❝ q✉è❝ ❣✐❛✱ ❍➭ ♥é✐✱ ✷✵✵✷✳ ❬✹❪ ❇❡r♥❞t✱ ❘♦❧❢ ❘❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥s ♦❢ ❧✐♥❡❛r ❣r♦✉♣s✳ ❆♥ ✐♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❜❛s❡❞ ♦♥ ❡①❛♠♣❧❡s ❢r♦♠ ♣❤②s✐❝s ❛♥❞ ♥✉♠❜❡r t❤❡♦r②✳ ❬✺❪ ❉♦♥ ❇✳ ❩❛❣✐❡r✱ ❱✐❡✇❡❣✱ ❲✐❡s❜❛❞❡♥✱ ✷✵✵✼✳ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ ❘❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ❚❤❡♦r② ♦❢ ❋✐♥✐t❡ ●r♦✉♣s✱ ❛♥ ❛♣♣❡♥❞✐① ✐♥ ▲❛♥❞♦✱ ❙❡r❣❡✐ ❑✳❀ ❩✈♦♥❦✐♥✱ ❆❧❡①❛♥❞❡r ❑✳ ●r❛♣❤s ♦♥ s✉r❢❛❝❡s ❛♥❞ t❤❡✐r ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s✱ ❊♥❝②❝❧♦♣❛❡❞✐❛ ♦❢ ▼❛t❤❡✲ ♠❛t✐❝❛❧ ❙❝✐❡♥❝❡s✱ ✶✹✶✳ ▲♦✇✲❉✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ❚♦♣♦❧♦❣②✱ ■■✳ ❙♣r✐♥❣❡r✲❱❡r❧❛❣✱ ❇❡r❧✐♥✱ ✷✵✵✹✳ ✸✺ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ... ➤ä❝ ❤✐Ĩ✉ ✈➭ trì ữ ú ột t số ết ❝ị♥❣ q✉➯ tr×♥❤ ❝➡ ❜➯♥ ❜➭② ❧➵✐ ❝đ❛ ❧ý t❤✉②Õt ❜✐Ĩ✉ ♠ét sè ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❞✐Ơ♥ ❝đ❛ ❝đ❛ ❝➠♥❣ ❋r♦❜❡♥✐✉s t❤➠♥❣ q✉❛ ❧ý t❤✉②Õt ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ ♥❤ã♠✳ Số hóa Trung tâm Học liệu –... ➡♥ s➞✉ ①➽❝ tí✐ ♥❣➢ê✐ t❤➬②✱ ♥❣➢ê✐ ❤➢í♥❣ ❞➱♥ ❦❤♦❛ ❤ä❝ ❝đ❛ ♠×♥❤✱ ❚❙✳ ❱ị ❚❤Õ ❑❤➠✐✱ ♥❤ê sù ❤➢í♥❣ ❞➱♥ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ✸ ❝❤Ø ❜➯♦ t❐♥ t×♥❤ ✈➭... tr♦♥❣ s✉èt t❤ê✐ ❣✐❛♥ ❤ä❝ t❐♣ ✈➭ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉✳ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱ t❤➳♥❣ ✵✾ ♥➝♠ ✷✵✵✾ ❍ä❝ ❱✐➟♥ ❚r➬♥ ❉❛♥❤ ❚✉②➟♥ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.Lrc-tnu.edu.vn ❈❤➢➡♥❣ ✶ ▼ét sè ✈Ý ❞ơ ✈Ị