LỜI CẢM ƠN Qua 4 năm học tập và rèn luyện tại Trƣờng Đại học Hồng Đức, đƣợc sự quan tâm dạy dỗ của các thầy cô trong nhà trƣờng, đặc biệt là các thầy cô của Bộ môn Vật lý Khoa Khoa học Tự nhiên, đã gi[.]
LỜI CẢM ƠN Qua năm học tập rèn luyện Trƣờng Đại học Hồng Đức, đƣợc quan tâm dạy dỗ thầy cô nhà trƣờng, đặc biệt thầy cô Bộ môn Vật lý - Khoa Khoa học Tự nhiên, giúp em mở rộng kiến thức, nâng cao hiểu biết Công lao to lớn quý thầy cô em quên, em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy cô Ban giám hiệu nhà trƣờng, Khoa Khoa học Tự nhiên Bộ môn Vật lý giảng dạy bảo tận tình cho em suốt q trình học tập nhƣ hồn thành khóa luận Em xin cảm ơn T.S Trần Thị Hải hƣớng dẫn, giúp đỡ em suốt thời gian làm khố luận Do kiến thức cịn hạn hẹp nên khơng tránh khỏi thiếu sót cách hiểu, lỗi trình bày Em mong nhận đƣợc đóng góp ý kiến q thầy cơđể khóa luận đạt đƣợc kết tốt Sau em xin kính chúc quý thầy cô mạnh khoẻ thành công nghiệp giáo dục Xin chân thành cảm ơn! Thanh Hoá, tháng 05 năm 2017 Sinh viên thực Phan Thị Hồng Ngọc MỤC LỤC PHẦN I: MỞ ĐẦU I Lí chọn đề tài II Mục tiêu đề tài III Phạm vi nghiên cứu IV Phƣơng pháp nghiên cứu V Bố cục khoá luận PHẦN II: NỘI DUNG CHƢƠNG I: CƠ SỞ LÝ THUYẾT Spin 1.1 Spin điện tử 1.1.1 Năng lƣợng nguyên tử từ trƣờng 1.1.2 Thí nghiệm Stern-Gerlach 1.2 Toán tử spin 1.2.1 Toán tử spin 1.2.2 Hàm riêng toán tử hình chiếu spin 11 1.3 Mơmen động lƣợng tồn phần 12 1.3.1 Mômen động lƣợng toàn phần 12 1.3.2 Mơmen tồn phần hệ hạt 13 1.4 Phƣơng trình Pauli 13 1.4.1 Mômen từ riêng hạt 13 1.4.2 Phƣơng trình Pauli 14 Hệ hạt đồng 16 2.1 Nguyên lý không phân biệt hạt đồng 16 2.2 Trạng thái đối xứng phản đối xứng 17 2.3 Hàm sóng hệ hạt đồng 17 2.4 Nguyên lý loại trừ (nguyên lý Pauli) 19 2.5 Hàm sóng hệ hai hạt 19 2.6 Tƣơng tác trao đổi 22 2.6.1 Hệ Fermion hệ Boson 22 2.6.2 Tƣơng tác trao đổi 22 Kết luận 23 CHƢƠNG II: BÀI TẬP ÁP DỤNG 24 Bài 1: 24 Bài 2: 25 Bài 3: 25 Bài 4: 26 Bài 5: 28 Bài 6: 29 Bài 7: 32 Bài 8: 33 Bài 9: 34 Bài 10: 34 Bài 11: 39 Bài 12: 40 Bài 13: 41 Bài 14: 42 Bài 15: 43 Bài 16: 45 Bài 17: 47 Bài 18: 48 Bài 19: 50 Phần III: KẾT LUẬN 53 TÀI LIỆU THAM KHẢO 54 PHẦN I: MỞ ĐẦU I Lí chọn đề tài Với phát triển nhiều ngành khoa học dần khám phá điều bí ẩn tồn giới tự nhiên Một ngành khoa học ngày phát triển Vật lý Trong ngành vật lý học có nhiều kiến thức chuyên sâu giúp ta lý giải vấn đề giới mà ngành khoa học khác giải thích rõ ràng đƣợc.Một cơng cụ chủ yếu vật lý học thuyết lƣợng tử mà học lƣợng tử Cơ học lƣợng tử lý thuyết vật lý học, mở rộng bổ sung cho học cổ điển Newton Cơ học lƣợng tử nghiên cứu chuyển động đại lƣợng vật lý liên quan đến chuyển động nhƣ lƣợng xung lƣợng vật có kích thƣớc nhỏ bé, có thể rõ rệt lƣỡng tính sóng hạt Lƣỡng tính sóng hạt đƣợc giả định tính chất vật chất, học lƣợng tử đƣợc coi học Newton cho phép mơ tả xác đắn nhiều tƣợng vật lý mà học Newton khơng thể giải thích đƣợc Chính đời học lƣợng tử giúp giải đƣợc khó khăn mà học cổ điển bế tắc Thông qua việc học tập nghiên cứu học lƣợng tử mà đối tƣợng khơng thể thiếu cần thiết nghiên cứu vật lý đặc biệt với sinh viên sƣ phạm vật lý Việc học tập cần thiết sinh viên để hoàn thành tốt chƣơng trình học tập ngành nhƣ khoa đề Với mơn học có hệ thống kiến thức chuyên biệt học lƣợng tử Do nhằm giúp cho sinh viên học tập tốt phần học lƣợng tử cần có hệ thống kiến thức hệ thống tập phục vụ Để đáp ứng phần nhỏ mục đích em xin chọn đề tài “Tìm hiểu vềspin hệ hạt đồng học lƣợng tử” Chúng ta quan niệm trạng thái vi hạt đƣợc xác định biết đƣợc ba toạ độ hay ba hình chiếu xung lƣợng Nhƣng loạt kiện thực nghiệm chứng tỏ đƣợc vi hạt nhƣ electron, proton, nơtron… cịn có bậc tự nội đặc thù Bậc tự gắn liền với mômen quay riêng hạt, không liên quan đến chuyển động quay Mơmen riêng đƣợc gọi spin kí hiệu S Sự tồn spin electron đƣợc xác nhận trƣớc học lƣợng tử đời Ngƣời ta tìm cách minh hoạ spin nhƣ đại lƣợng đặc trƣng cho chuyển động tự quay hạt quanh trục riêng Nhƣng giải thích nhƣ mâu thuẫn với luận điểm thuyết tƣơng đối Nhƣ thấy sau này, bậc tự nội spin liên quan đến có đặc tính lƣợng tử đặc thù Khi chuyển sang học cổ điển spin khơng Do đó, spin khơng có tƣơng tự cổ điển Lý thuyếtvà tập spin hệ đồng khó, địi hỏi việc phân tích, phân loại rõ ràng, đầy đủ Em chọn đề tài nhằm giúp sinh viên ngành đại học sƣ phạm Vật lý hiểu sâu lý thuyết spin hệ hạt đồng nhất, có hệ thống tập rõ ràng qua nắm đƣợc chất phần spin hệ hạt đồng II Mục tiêu đề tài - Hệ thống hoá sở lý thuyết spin hệ hạt đồng - Xây dựng phân loại tập cho phần spin hệ đồng chƣơng trình học học lƣợng tử - Nghiên cứu để mở rộng kiến thức, rèn luyện phƣơng pháp giải tập spin hệ hạt đồng III Phạm vi nghiên cứu Chƣơng “ Spin hệ hạt đồng nhất” IV Phƣơng pháp nghiên cứu - Phƣơng pháp phân tích tổng hợp lý thuyết - Phƣơng pháp phân loại hệ thống hóa lý thuyết - Phƣơng pháp phân loại hệ thống hóa tập V Bố cục khố luận Khố luận gồm phần: - Phần I: Mở đầu Gồm: lý chọn đề tài, mục tiêu đề tài, phạm vi nghiên cứu, phƣơng pháp nghiên cứu - Phần II: Nội dung Gồm chƣơng: Chƣơng 1: Cơ sở lý thuyết Chƣơng 2: Bài tập áp dụng - Phần III: Kết luận PHẦN II: NỘI DUNG CHƢƠNG I: CƠ SỞ LÝ THUYẾT Spin[1] 1.1 Spin điện tử[1] 1.1.1 Năng lƣợng nguyên tử từ trƣờng Đặt nguyên tử hydro từ trƣờng H Tƣơng tác mômen từ nguyên tử với từ trƣờng làm cho lƣợng nguyên tử có từ trƣờng khác lƣợng khơng có từ trƣờng lƣợng: H (1.1) V e Từ (1.1) mômen từ l 2m0 c L đặt từ trƣờng Hamiltonian nguyên tử có dạng: H H0 e (1.2) HL 2m0 c Trong H Hamiltonian khơng có từ trƣờng ngồi Các tốn tử H , L L Z giao hoán với nhau, chúng có chung hệ hàm riêng n, l , m ứng với giá trị lƣợng E0nl khơng phụ thuộc m, nghĩa khơng có trƣờng mức lƣợng suy biến bậc 2l Đặt lên hệ từ trƣờng H hƣớng theo trục z Toán tử H giao hoán với H l Z , có hệ hàm riêng nhƣ nhƣng ứng với trạng thái n, l , m mức lƣợng: E nlm EOnl m B H (1.3) Ở H độ lớn từ trƣờng ngồi Vì m nhận giá trị từ l đến l mức lƣợng E0nl tách thành 2l , nghĩa là, mặt lý thuyết từ trƣờng ngồi khác khơng ta có: a Mỗi mức lƣợng nguyên tử E0nl tách thành 2l mức b Các mức tách phân bố hai phía E0nl c Khoảng cách mức B H không phụ thuộc nguyên tử xét, tỉ lệ với H 1.1.2 Thí nghiệm Stern-Gerlach Trong thí nghiệm mình, Stern-Gerlach cho chùm hẹp đƣợc tạo thành nguyên tử bạc bay qua từ trƣờng không nam châm điện Để tạo từ trƣờng ngƣời ta phải làm cực nam châm có dạng hình nêm, chùm hạt vào từ trƣờng song song với mép nêm (HìnhH1.1) z Nguồn Nam châm Màn H1.1 Sơ đồ thí nghiệm Stern-Gerlach Ta thấy trục z đƣờng thẳng vuông góc với mép nêm nằm mặt phẳng đối xứng từ trƣờng Lực từ trƣờng tác dụng lên nguyên tử bằng: FZ z H z Hz z (1.4) từ trƣờng H đƣợc tạo cho biến thiên theo trục z lz hình chiếu mơmen từ lên trục Ta có: lz e Lz 2mc e 2mc (1.5) m Mơmen Lz nhận giá trị tập gián đoạn giá trị, từ (1.2) (1.4) ta thấy độ lớn lực tác dụng lên nguyên tử (làm lệch khỏi phƣơng ban đầu) phụ thuộc vào số hình chiếu Lz mơmen trục z Kết chùm nguyên tử từ trƣờng bị tách thành số chùm riêng lẻ, số chùm số hình chiếu mơmen, số già trị mà m nhận ứng với mức lƣợng đƣợc tách nhƣ kết luận (a) Cũng theo kết luận rút từ lý thuyết mục 1, mức lƣợng khơng bị tách Thực tế thí nghiệm Stern-Gerlach lại cho kết khác hẳn: a Các nguyên tử có nguyên tử số Z lẻ số mức tách chẵn, có nghĩa số lƣợng tử l số bán nguyên b Khoảng cách mức g B H g (đƣợc gọi thừa số Lande) biến thiên khoảng rộng Trong thí nghiệm chùm nguyên tử bạc (ở trạng thái bản) qua từ trƣờng khơng đồng nói bị tách làm 2, nghĩa trạng thái nguyên tử bạc suy biến bậc hai, điều xảy mômen xung lƣợng nguyên tử trạng thái số lần bán nguyên Chuyển động gây nên mômen này? Nhƣ vậy, số lƣợng tử n, l , m không đủ mô tả trạng thái điện tử, cần phải có thêm sốlƣợng tử để mô tả phân ly chùm nguyên tử trạng thái s từ trƣờng? Đây vấn khó khăn vật lý lúc ngƣời ta khơng tìm thấy tranh cổ điển tƣơng ứng với mômen nhƣ trƣờng hợp mômen động lƣợng quỹ đạo Vấn đề đƣợc Goldsmid Uhlenbeck giải vào năm 1927 giả thuyết spin 1.1.3 Spin điện tử Số lƣợng tử đƣợc bổ sung vào để mô tả trạng thái điện tử phải có chất mơmen đƣa đến tách chùm nguyên tử từ trƣờng Ban đầu ngƣời ta cố gắn mơmen với tự quay điện tử xung quanh trục giống nhƣ trái đất tự quay quanh trục, lý đómà mơmen đƣợc đặt tên spin Song ngƣời ta nhanh chóng nhận thấy coi spin kết chuyển động quay dẫn đến mâu thuẫn với nguyên lý vật lý Giả thuyết spin Goldsmid Uhlenbeck: “ Mỗi điện tử có mơmen xung lƣợng riêng hay spin s (gọi tắt spin 1/2) gắn với mơmen từ riêng” Mơmen từ riêng đƣợc biểu thị qua spin biểu thức: e s m0 c (1.6) Spin thuộc tính vật lý đặc trƣng cho hạt giống nhƣ khối lƣợng diện tích Việc chùm ngun tử trạng thái s tách thành hai chùm cho thấy spin điện tử có hình chiếu lớn (để đảm bảo biến thiên mômen bội số h) Khi chuyển giới hạn cổ điển , spin hạt không Nhƣ vậy, spin thuộc tính t lƣợng tử, khơng có tƣơng tự cổ điển kết dạng chuyển động biết Vì spin điện tử ln có hình chiếu lên trục z tuỳ ý mà khơng thể nhận giá trị khác ngƣời ta nói spin điện tử s=1/2 Spin đặc trƣng vật lý quan trọng hạt, định thống kê mà hệ hạt đồng tuân theo, nhƣ định tính chất hệ tạo thành từ vi hạt Tất hạt có spin Những hạt có spin bán nguyên (1/2; 3/2; 5/2…) nhƣ điện tử, proton, notron… đƣợc gọi fermion Cịn hạt có spin ngun đƣợc gọi boson nhƣ photon, -meson Khi chuyển qua giới hạn cổ điển, phân biệt hạt femion boson khơng cịn 1.2 Tốn tử spin[1] 1.2.1 Tốn tử spin Hàm sóng hạt có spin không phụ thuộc vào toạ độ không gian mà phụ thuộc vào toạ độ thứ tƣ đặc trƣng cho trạng thái spin hạt, gọi biến số spin Toạ độ thứ tƣ lấy hình chiếu spin lên trục z có định hƣớng tuỳ ý khơng gian Hàm sóng có dạng: (1.7) x, s z , t Với điện tử s z , ta viết hàm sóng thành thành phần: a) Xét hệ có spin 1/2 Tìm trị riêng vectơ riêng chuẩn hoá toán tử ASˆ y BSˆz , Sˆy , Sˆz tốn tử mơmen xung lƣợng góc, A B số thực? b) Giả sử hệ trạng thái tƣơng ứng với trị riêng Tìm xác suất đo S y nhận giá trị Biết ma trận Pauli có dạng: Lời giải: a) Sử dụng định nghĩa tốn tử mơmen xung lƣợng góc, đặt: Tˆ Bsˆz A 2 A B2 Asˆy B y z Ta có: Tˆ 2 A AB y , z B2 Vì: 0 i I , i 1, 2,3 i , j i j j i ij Nhƣ hai trị riêng Tˆ là: T1 A2 B2 A2 T2 B2 Trong sz - biểu diễn, toán tử Tˆ có dạng: Tˆ A y Đặt vectơ riêng Tˆ B iA iA B B B iA z iA B a Phƣơng trình trị riêng Tˆ có dạng: b a b T a b 44 Trong đó: A2 T B2 A2 B2 Hay: Từ suy ra: a : b iA : B A2 B2 Và vectơ riêng chuẩn hoá là: a b iA B A2 A2 B2 B A2 B2 b) Trong sz - biểu diễn, vectơ riêng sˆy là: sy i Vì xác suất tìm thấy s y P a i b ia b 2 là: 2 B A2 B2 B A2 B2 A A2 Chú ý P xác suất tƣơng ứng với hệ trạng thái có trị riêng T A2 trị riêng T B P xác suất tƣơng ứng với hệ trạng thái có A2 B2 Bài 16[4]: 45 Một hạt có momen từ s spin s có độ lớn Đặt hạt từ trƣờng không đổi dọc theo trục Ox Ở thời điểm t=0, hạt có sz Tìm xác thời điểm sau suất thấy hạt với sz Lời giải: Hamiltonian (phần spin) có dạng: Hˆ Vì s x s B ˆxB , nằm theo hƣớng trục Ox Trong a1 a2 trình Schrodinger mà hàm sóng spin i d a1 dt a2 B 1 Ba2 0, Ba1 x - biểu diễn, phƣơng thoả mãn có dạng: a1 a2 Hay d a1 dt d i a2 dt i 0 Khử a1 , a2 từ phƣơng trình trên, ta đƣợc phƣơng trình sau: d2 a1,2 dt 2 B2 a1,2 42 0, Nghiệm có dạng: a1,2 Trong a2 t B1,2e i t , B , A1,2 , B1,2 số Vì: 2 sˆz Và sˆz A1,2 ei x 1 0 1 1 , nên hàm sóng spin ban đầu , nghĩa a1 0 0 Khi phƣơng trình Schrodinger cho ta: 46 1, da1 0, dt da2 i dt B 2 i Bốn điều kiện ban đầu viết cụ thể là: , A2 B2 , A1 B1 0, A1 B1 A2 , B2 Từ suy nghiệm A1 B1 A2 Thay vào biểu thức B2 a1,2 , ta đƣợc: a1 t a2 t cos t i sin t sy 1 i 1 , nên xác suất tìm thấy hạt với s y i bằng: Vì trạng thái riêng s y sy p sy t cos t i i sin t 1 Tƣơng tự, xác suất tìm thấy hạt có s y p sy t sy 1 sin t là: 1 sin t 2 Bài 17[4]: Một electron đặt từ trƣờng định hƣớng dọc theo trục Oz Ở thời điểm t=0 kết phép đo spin electron dọc theo phƣơng y có giá trị dƣơng Tìm hàm sóng spin trị trung bình sx thời điểm t>0 Lời giải: Vì ta quan tâm đến trạng thái spin từ trƣờng không gian nên ta khơng xét phần khơng gian hàm sóng Khi Hamiltonian viết dƣới dạng: Hˆ ˆ B e ˆ B ˆz , 47 Trong e ˆ , B e eB , 2mc e Magneton Bohr e Vì 2mc electron ban đầu có spin dọc theo phƣơng Oy, hàm sóng spin ban đầu là: t 1 i Đặt hàm sóng spin thời điểm t Khi phƣơng trình Schrodinger: d dt Hˆ i i Có dạng: Hay i , i 0 , Phƣơng trình có nghiệm: eit ei t t t t 0 eit ie i t Nhƣ trị trung bình sx bằng: sx t sˆx t ˆx 1 e 22 i i e i t t ie e i t 1 ei iei t t 2i t sin t Bài 18[4]: Hệ hai hạt electron tƣơng tác yếu với bỏ qua Hạt A trạng thái riêng với sz hạt B trạng thái riêng với sx suất để phép đo spin tồn phần hệ khơng 48 Tìm xác Lời giải: Hệ hai electon hệ hai hạt đồng có spin Bỏ qua tƣơng tác yếu spin, trạng thái hệ với spin tồn phần khơng viết dƣới dạng: sBz s Az sBz s Az , Trong sAz sBz thành phần theo phƣơng Oz toán tử spin hạt A B tƣơng ứng Vì hệ hai hạt spin trạng thái: Q sBz s Az , Nên xác suất tìm hệ có spin tồn phần khơng là: P 0Q Trong sˆz sˆ2 biểu diễn, tốn tử hình chiếu spin sˆx có dạng ma trận: sˆx x Giải phƣơng trình trị riêng sˆz , ta tìm đƣợc hàm riêng: sx 2 sz 2 sz Do ta có: sz sx 2 sz sz 2 s Az s Az 2 s Az sz sz sBz sBx 2 sBx 2 Và 0Q sBz s Az sBx 49 2 sBz 2 Vậy xác suất P bằng: P 0Q 25% Bài 19[4]: Giả sử hạt có spin có mơmen từ M s , với số Trạng thái lƣợng tử hạt mô tả không gian spin vectơ riêng biểu thị trạng thái có spin chiều ngƣợc chiều với trục Oz sˆx ; sˆz Ở thời điểm t=0 trạng thái hệ mô tả t o Hạt chuyển động dọc theo trục Oy từ trƣờng B Byˆ định hƣớng dọc theo trục Oy qua vectơ riêng a) Biểu diễn b) Tìm trị trung bình t sx , s y , s z Lời giải: a) Hamiltonion hạt có dạng: Hˆ B sˆy B Trong sz - biểu diễn: sˆy i i Dó hai trạng thái riêng sˆy là: 50 , trạng thái t sy i , sy i Vì: Hˆ s y Hˆ s y B sy B sy , , Nên trạng thái hạt biểu diễn dƣới dạng: t exp C1 s y i Bt exp C2 s y Dùng điều kiện ban đầu: t sz C1 s y Ta có: sz C2 s y i 1 1 i i Từ suy ra: s y sz C1 s y sz C2 i 1 i 1 i Do đó: t i 1 i exp i Bt 2 cos Bt sz 51 sin 1 i i exp 2 1 Bt sz i Bt i Bt cos Bt sin Bt b) Giá trị trung bình sz trạng thái t sˆz sz cos Bt Ta có sy sx sy là: t t Bt sin 1 cos Bt sin Bt 2 cos 1 0 cos Bt sin Bt cos Bt sin Bt Bt thời điểm t=0 sy bảo toàn t sˆx cos sin t Bt sin Bt 1 Bt cos Bt 2 sin Bt 52 1 1 cos Bt sin Bt cos Bt sin Bt Phần III: KẾT LUẬN Tiến hành hệ thống hóa kiến thức lý thuyết xây dựng hệ thống tập “spin hệ hạt đồng nhất”, khóa luận thu đƣợc kết sau: Hệ thống hoá đƣợc kiến thức spin hệ hạt đồng Giải xếp tập theo dạng theo mức độ Rèn luyện kĩ giải toán, phƣơng pháp giải cho dạng tốn Trong có số tốn nhằm hiểu sâu lý thuyết spin hệ hạt đồng Các kết khóa luận giúp ngƣời đọc có hệ thống lý thuyết đầy đủ spin hệ hạt đồng nhất, có hệ thống tập phong phú đƣợc giải chi tiết, đƣợc phân loại xếp theo mức độ… Vì vậy, khóa luận dùng làm tài liệu tham khảo giảng dạy cho sinh viên giáo viên ngành Vật lý 53 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Cơ học lƣợng tử - Nguyễn Huyền Tụng – NXB Khoa học kĩ thuật Hà Nội – Năm 2007 [2] Bài tập học lƣợng tử - Nguyễn Huyền Tụng – NXB Khoa học thuật Hà Nội – Năm 2007 [3] Bài tập vật lý lý thuyết – Tập II – Nguyễn Hữu Mình – NXB Đại học quốc gia Hà Nội – Năm 1998 [4] Bài tập học lƣợng tử - Vũ Văn Hùng –NXB Đại học Sƣ phạm Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2009 [5] Bài tập lƣợng tử - Lƣơng Văn Tùng 54 55 56 57 58