Một vài ứng dụng của toán tử giả vi phân giải tích

Bài viết Một vài ứng dụng của toán tử giả vi phân giải tích nghiên cứu một vài ứng dụng sâu sắc của toán tử giả vi phân giải tích đã và đang được một số nhà toán học quan tâm. Không gian các hàm nguyên exponent type bé hơn R và đại số các toán tử giả vi phân giải tích trên không gian.

Transport and Communications Science Journal, Vol 73, Issue (06/2022), 502-513 Transport and Communications Science Journal SOME APPLICATIONS OF ANALYTIC PSEUDO-DIFFERENTIAL OPERATORS Nguyen Sy Anh Tuan University of Transport and Communications, No Cau Giay Street, Hanoi, Vietnam ARTICLE INFO TYPE: Research Article Received: 27/03/2022 Revised: 04/05/2022 Accepted: 08/06/2022 Published online: 15/06/2022 https://doi.org/10.47869/tcsj.73.5.5 * Corresponding author Email: anhtuanns@utc.edu.vn; Tel: +84 903231051 Abstract The theory of analytic pseudo-differential operators is an extension of differential operators, which is a powerful tool to study the application of Fourier analysis to partial differential equations This paper studies some profound applications of the analytic pseudodifferential operator that has been of interest to some mathematicians The space of entire functions of exponential type is less than R and the algebra of pseudo-differential analytic operators on this space are included in Part of the paper The criterion for identifying a function in the space of exponent entire functions of type less than R is stated and proven in Proposition 2.1 In Part of the paper, an application of the analytic pseudo-differential operator is presented, denoted as the exponent generator function of the extended Bernoulli series of numbers, is presented to study the solution of differential equations, where the shift operator and, the constant is the polynomial of the difference (5) introduced in Part The convolution operator is an analytic pseudo-differential operator cleverly used in the inverse Laplace transform problem in the separable Hilbert spaces included at the end of the paper Keywords: Pseudo-differential operator, differential equation, inverse Laplace transform  2022 University of Transport and Communications 502 Transport and Communications Science Journal, Vol 73, Issue (06/2022), 502-513 Tạp chí Khoa học Giao thơng vận tải MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA TOÁN TỬ GIẢ VI PHÂN GIẢI TÍCH Nguyễn Sỹ Anh Tuấn Trường Đại học Giao thông vận tải, Số Cầu Giấy, Hà Nội, Việt Nam THƠNG TIN BÀI BÁO CHUN MỤC: Cơng trình khoa học Ngày nhận bài: 27/03/2022 Ngày nhận sửa: 04/05/2022 Ngày chấp nhận đăng: 08/06/2022 Ngày xuất Online: 15/06/2022 https://doi.org/10.47869/tcsj.73.5.5 * Tác giả liên hệ Email: anhtuanns@utc.edu.vn; Tel: +84 903231051 Tóm tắt Lý thuyết tốn tử giả vi phân giải tích phần mở rộng tốn tử vi phân, cơng cụ mạnh để nghiên cứu ứng dụng Giải tích Fourier vào phương trình đạo hàm riêng Bài báo nghiên cứu vài ứng dụng sâu sắc toán tử giả vi phân giải tích số nhà tốn học quan tâm Khơng gian hàm ngun exponent type bé R đại số toán tử giả vi phân giải tích khơng gian đưa vào Phần báo Tiêu chuẩn để nhận biết hàm thuộc không gian hàm nguyên exponent type bé R phát biểu chứng minh Mệnh đề 2.1 Ở Phần báo trình bày ứng dụng tốn tử giả vi phân giải tích với ký hiệu hàm sinh exponent dãy số Bernoulli mở rộng để nghiên cứu nghiệm phương trình sai phân (5) đưa vào Phần Tốn tử tích chập tốn tử giả vi phân giải tích sử dụng cách khéo léo vào toán biến đổi Laplace ngược không gian Hilbert tách được đưa vào phần cuối báo Từ khóa: Tốn tử giả vi phân, phương trình sai phân, biến đổi Laplace ngược  2022 Trường Đại học Giao thông vận tải 503 Transport and Communications Science Journal, Vol 73, Issue (06/2022), 502-513 ĐẶT VẤN ĐỀ Việc nghiên cứu toán tử giả vi phân năm 1960 với cơng trình Kohn, Nirenberg, Hưmander Bokobza Vào năm 1980, Dubinskii (xem [1]) nghiên cứu tốn tử giả vi phân giải tích với ký hiệu hàm giải tích miền tuỳ ý    n ứng dụng vào toán – lý Cơ sở ứng dụng đại số tốn tử giả vi phân giải tích tác động bất biến liên tục Trong báo này, tác giả ứng dụng toán tử giả vi phân với ký hiệu hàm giải tích miền    để nghiên cứu hai toán Mục Mục Các kết quả, chứng minh ví dụ tác giả hoàn toàn Một số kiến thức hỗ trợ:  Công thức tổng Euler-Maclaurin n 1  B2 r r 1 (2 r 1) nh ( ) ( ) ( ) ( x  nh)  f (2 r 1) ( x)  f x t dt f x nh f x h  f           (2 )! h r k 0 r 1 z z  B     2r z 2r B2 r (r  1, 2, ) số Bernoulli, xác định z e 1 r 1 (2r )! f ( x  kh)   Giả sử X Y không gian Hilbert A : X  X B : Y  Y tốn tử tuyến tính bị chặn Khi nói B tương đương unitary với A tồn toán tử U : X  Y cho B  U AU 1 L  L2 (  ) toán tử bị chặn, ta có  Biến đổi Laplace L2 (  )  L L2  L2   KHÔNG GIAN ExpR ( Z ) VÀ ĐẠI SỐ CÁC TỐN TỬ GIẢ VI PHÂN GIẢI TÍCH Chúng ta xét hàm nguyên u ( z ), z   2.1 Không gian ExpR ( Z ) Giả sử R  S R      :   R miền tròn mở bán kính R Định nghĩa (xem [6]) : Ta đặt   ExpR ( Z )  u ( z ) : u ( z )  M e r z , z   Z , M  số  r  R Như ExpR ( Z ) không gian không gian hàm nguyên exponent type r  R Ví dụ 2.1: + Đa thức P ( z )  ExpR ( Z ) với R  tuỳ ý + Hàm e a z hàm nguyên exponent có type a  e az  ExpR ( Z ) với R  a (xem [7]) + Hàm sin  z hàm nguyên exponent có type   sin  z  ExpR ( Z ) với R   + Hàm f thuộc không gian Paley-Wiener (xem [5]) (nghĩa f hàm bình phương khả tích  supp f    L, L  , với L  f biến đổi Fourier f ) hàm nguyên exponent type 2 L , f  ExpR ( Z ) với R  L 504 Transport and Communications Science Journal, Vol 73, Issue (06/2022), 502-513 Mệnh đề 2.1: Hàm nguyên u ( z ) thuộc ExpR ( Z ) tồn M  0,  r  R cho D u ( z )  M e r  , z   z ,  số nguyên không âm D u ( z ) đạo hàm cấp  rz hàm u ( z ) Điều kiện đủ hiển nhiên Ta chứng minh điều kiện cần Thật vậy, giả sử u ( z )  ExpR ( Z ) Áp dụng cơng thức tích phân Cauchy ta có D u ( z )  ! u ( ) d   2 i   z  a (  z ) n 1 Ta có u ( z )  M er z  M er z era với M  , D u ( z )  M er z e  ! a  M e r z  !min a 0 e a   e e Vì  đạt a  áp dụng công thức Stirling [11]  !   2    nên a 0 a r    tồn M  0; r  r  R cho D u ( z )  M e r z r  , z   z  Điều kiện cần chứng minh xong Sự hội tụ không gian ExpR ( Z ) Ta nói dãy u ( z ) hội tụ đến hàm u ( z )    không gian ExpR ( Z ) thoả mãn hai điều kiện sau: + Dãy u ( z ) hội tụ đến u ( z ) địa phương  Z + Tồn số M   r  R cho u ( z )  M er z , z   z ,   1, 2, Hiển nhiên với hội tụ ExpR ( Z ) khơng gian tơ pơ tuyến tính đầy đủ 2.2 Toán tử giả vi phân với ký hiệu hàm giải tích S R Giả sử A( ) hàm giải tích miền trịn mở S R Ta so sánh hàm A( ) với tốn d tử A( D) , cách thay hình thức biến  toán tử đạo hàm D  (xem [9]) dz Hàm A( ) gọi ký hiệu toán tử A( D) Ta biết hàm A( ) giải tích miền trịn mở S R nên khai triển thành chuỗi Taylor dạng  A( )   a   ,   S R a   0 D A(0) (xem [13]) ! Định nghĩa: Tác động toán tử A( D) xác định công thức  A( D )u ( z )   a D u ( z ), u ( z )  ExpR ( Z )  0 Mệnh đề 2.2: 505 (1) Transport and Communications Science Journal, Vol 73, Issue (06/2022), 502-513 Nếu hàm u ( z ) thuộc ExpR ( Z ) hàm A( D)u ( z ) xác định thuộc không gian ExpR ( Z ) , ánh xạ A( D) : ExpR ( Z )  ExpR ( Z ) liên tục Mệnh đề 2.3: Tập hợp A ( S R ) tất toán tử giả vi phân giải tích A( D) có ký hiệu hàm A( ) giải tích miền trịn mở S R đại số toán tử đẳng cấu với đại số O( S R ) hàm giải tích A( ) S R Khi A( D )  A( ) ,  A( D)   B( D)   A( )   B( ) , A( D) B( D)  A( ) B( ) Đặc biệt A( ) A1 ( ) thuộc O( S R ) A1 ( D) tốn tử nghịch đảo A( D) (xem [14]) Ví dụ 2.2: Như biết số Bernoulli [4] hệ số Bk hàm sinh exponent A( )     e 1 Bk k  k 0 k !  (2) Ta có A( ) giải tích miền trịn mở S R   :   2  , ký hiệu toán tử giả vi phân giải tích A( D) tác động không gian Exp2 ( Z ) xác định công thức  Bk  D k u ( z ) , u ( z )  Exp2 ( Z ) k ! k 0 A( D)u ( z )   Ví dụ 2.3: Xét tốn tử vi - sai phân m Au ( z )   b D  u ( z  a ) (3)  0 m Dễ dàng thấy Au ( z ) toán tử giả vi phân giải tích với ký hiệu A( )   b   e  a  0 Ví dụ 2.4: Xét toán tử dịch chuyển (xem [14]) Au ( z )  u ( z  a ) , a   véc tơ dịch chuyển, z   z  D u ( z )  a  a    D u ( z ) !  0  0  !  Ta có khai triển Taylor Au ( z )  u ( z  a )   Do tốn tử dịch chuyển tốn tử giả vi phân giải tích với ký hiệu hàm  a A( )       e a  0  ! Ví dụ 2.5: Giả sử  (d ) độ đo compact  Xét tốn tử tích chập Au ( z )   u ( z   )  (d  ) ,  u ( z ) hàm nguyên exponent  Theo công thức Taylor ta có 506 (4) Transport and Communications Science Journal, Vol 73, Issue (06/2022), 502-513   ( )  (d )  !  Au ( z )   a D u ( z ) , a   0  Như vậy, tốn tử tích chập tốn tử giả vi phân giải tích với ký hiệu A( )   a     0 TOÁN TỬ GIẢ VI PHÂN GIẢI TÍCH VÀ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN Ký hiệu toán tử dịch chuyển f ( z )  f ( z  1) toán tử đạo hàm Df ( z )  f ( z ) Khi ta có   e D Thật khai triển Taylor hàm f ( z  1) ta có f ( z )  f ( z  1)  f ( z )   D  f ( z ) f ( z ) D2 1  1     1  1   f ( z )  e D f ( z ) 1! 2! 2!  1!  Xét phương trình sai phân (xem [12]) P () f ( z )   ( z ) (5) n f ( z )  f ( z  1) toán tử dịch chuyển P ( )   c  đa thức toán tử sai  0 phân với hệ số số Bổ đề 3.1: Giả sử  ( z )  ExpR ( Z ) z  nghiệm bội m đa thức đặc trưng n P ( z )   c z Khi f ( z )  ExpR ( Z ) nghiệm phương trình vi phân  0 D m f ( z )  A( D) ( z ) (6)  Bk (m) k  D Bk (m) số Bernoulli mở rộng f ( z ) nghiệm k! k 0 phương trình sai phân A( D )   P() f ( z )   ( z ) (7) Chứng minh: Ta biết hàm u ( z )  ExpR ( Z ) tồn M  0,  r  R cho D u ( z )  Me r  , z   Z , Do nguyên hàm hàm u ( z ) rz thuộc ExpR ( Z ) Bây giả sử hàm f ( z ) nghiệm phương trình D m f ( z )  A( D) ( z ) n Ta có đa thức tốn tử sai phân P ()   c  tác động tốn tử giả vi phân giải tích  0 Exp ( Z ) thoả mãn P ()  P(e ) , nghĩa P () ( z )  P (e D ) ( z ) ,  ( z )  Exp ( Z ) D Đặt A( )  m  P (e )  Bk (m) k   , Bk (m) số Bernoulli mở rộng, m số bội k! k 0  nghiệm   Khi hàm A( ) giải tích miền trịn mở S R      :   R ( R khoảng cách bé từ điểm   đến không điểm P (e ) ) Do A( D) tốn tử giả vi phân giải tích xác định khơng gian ExpR ( Z ) 507 Transport and Communications Science Journal, Vol 73, Issue (06/2022), 502-513 Từ suy P (e D ) A( D)  D m Theo giả thiết có D m f ( z )  A( D) ( z ) ⇒ P (e D ) A( D) f ( z )  A( D) ( z ) Nhân hai vế phương trình với toán tử A1 ( D) ta suy P (e D ) f ( z )   ( z ) Như  ( z ) thuộc khơng gian ExpR ( Z ) f ( z ) nghiệm phương trình sai phân P() f ( z )   ( z ) (đpcm) Ví dụ 3.1: Tìm nghiệm phương trình sai phân P () f ( z )   ( z ) , trường hợp  ( z )  e az ,  a  R (8) Ta có  ( z )  ExpR ( Z ) , giả sử m số bội nghiệm z  đa thức đặc trưng P( z ) Áp dụng Bổ đề ta có     B ( m) k B (m) k az B (m) k az B ( m) k Dm f ( z)   k  D  ( z)   k  D (e )   k  a e  eaz  k a  k! k! k! k! k 0 k 0 k 0 k 0  e az  Lấy tích phân hai vế D m f ( z )  e az  am P (e a ) am liên tiếp m lần (m  1) ta có nghiệm P (e a ) phương trình f ( z)  e az  c1 z m 1   cm 1 z  cm , a P (e ) (9) c1 , , cm số tuỳ ý Ví dụ 3.2: Xét tốn Cauchy phương trình dịch chuyển (xem [10]) u ( , z )  u ( , z  a )  (  , z   Z ) ,  u (0, z )   ( z ) ,  ( z )  ExpR ( Z ) u ( , z )  eaD u ( , z )  0, u (0, z )   ( z ) Do  Ta có u ( , z  a )  e aD u ( , z ) nên suy u ( , z )  e  e aD   ( z ) Vậy nghiệm toán u ( , z )    e  n0  u ( , z )   n0    n! n e (10) aD n n!  ( z )     ( z  na)  ( z)   n  naD n 0 n! Trường hợp riêng, nghiệm toán Cauchy cho   ( , z )   n0     ( z  na) n n! TOÁN TỬ GIẢ VI PHÂN GIẢI TÍCH VÀ BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC 508 (11) Transport and Communications Science Journal, Vol 73, Issue (06/2022), 502-513 L  L2 (  ) xác định Trong phần xét phép biến đổi Laplace [3]: L2 (  )   L ( f ( x))( s)   f ( x)e sx dx (12) Biến đổi Laplace hàm thuộc L2 (  ) liên quan mật thiết với hàm thuộc không gian Hardy định nghĩa H (  )   ( x  iy ) , giải tích với x  sup   ( x  iy ) dy  } x0 R L Mệnh đề 4.1: Biến đổi Laplace L2 (  )   L2 (  ) hàm thuộc không gian Hardy H (  )  Thật vậy, áp dụng công thức Fourier L2 (xem [2]) ta có L  Đặt 2 t  v ta có  L   f ( x  iy ) dy   2 e 2 xt f (2 t ) dt   f ( x  iy ) dy  2  e  xv f (v) dv  2  f (v) dv  2 f 2 L2 (   ) (đpcm) Mệnh đề 4.2: Nếu f hàm giải tích nửa mặt phẳng     z  x  iy, x  0 thoả mãn sup  f ( x  iy ) dy   f biến đổi Laplace hàm   L2 (  ) , biến đổi x0  L  H (  ) toán tử unitary (xem [15]) Laplace L2 (  )  Ta đưa vào toán tử U xác định Uf (v)  ev /2 f (ev ) Dễ dàng thấy U toán tử unitary từ L2 (  ) vào L2 () Xét tốn tử tích phân Carleman L2 (  ) xác định  Sf ( x)   f ( y) dy x y Ta có S  L toán tử bị chặn, tự liên hợp với S  L2   (xem [16]) Bây ta xác định toán tử T tác động L () , T  L2 () L2 ()  U 1 , T  UL U 1 U (13) L L2 (  ), L2 (  )  T tốn tử tích phân Carleman xác định tích chập Tf ( x)  K ( x)  f ( x)   K ( x  y ) f ( y )dy ,  K ( x)  x cosh Thấy T toán tử bị chặn, tự liên hợp với T   509 (14) Transport and Communications Science Journal, Vol 73, Issue (06/2022), 502-513 Bổ đề 4.1: Giả sử ɸ  H (  )  L2 (  ) UL  ( x) có thác triển giải tích dải    z   : Im z    Khi L 1  ( x)  U 1  UL ( x  i )  UL ( x  i ) (15) 2 Chứng minh: Trước hết ta chứng minh eix   cosh x dx   cosh (16) Thật vậy, cosh x hàm chẵn nên giả thiết   Tập hợp cực điểm hàm   i 3 i 5 i  nghiệm phương trình cos(ix)  , tập:  , , ,  2 2  Áp dụng tính chất thặng dư ta có cosh x 3 i 5 i  i  i  ei  ei   3 5 e  eix     2 i  ie   ie   ie         dx i      cosh x i 3 i 5 i   cosh    sinh  sinh sinh 2 2   x Thay hình thức  2 x  vào cơng thức (16) ta có  e ix x  cosh dx   cosh  (17) Giả sử f  L2 () với f có giá compact Lấy biến đổi Fourier tích chập (xem [8]) Tf ( x)  K ( x)  f ( x)  x cosh  f ( x) sử dụng (17) ta có  ( )  Tf  cosh    cosh   1 f ( )  (iD)) f ( ) ,  f ( )  T  f ( )  cosh(   d toán tử đạo hàm dx Lấy biến đổi Fourier ngược ta có D  T 1 f ( x)    cos( D) f ( x) Từ công thức (13) suy 510 (18) Transport and Communications Science Journal, Vol 73, Issue (06/2022), 502-513 L 2  U 1.T 1.U  U 1   cos( D).U  L 1   U 1.cos( D).UL   (19) Theo giả thiết   H (  )  L2 (  ) nên tồn   L2 (  ) cho   L  UL = UL 2 Từ (13) (18) dễ thấy UL thuộc miền xác định   H (  )  L2 (  ) ta có   cos( D) , nghĩa cos( D)UL  L2 () Công thức (19) công thức liên hệ trực tiếp phép biến đổi Laplace ngược với tốn tử giả vi phân giải tích Ký hiệu toán tử tịnh tiến Eh g ( x)  g ( x  h) toán tử đạo hàm Dg ( x)  g ( x) Khi áp dụng cơng thức Taylor ta có Eh g ( x )  g ( x  h )  g ( x )   Dh D h  g ( x) g ( x) h   h   1     g ( x)  e hD g ( x) 1! 2! 1! 2!   Do suy E  Ei ei D  e  i D  g ( z )  i  g ( x) 2 g ( x  i )  g ( x  i ) , với điều kiện hàm g xác định  Do cos( D ) g ( x)  có thác triển giải tích dải    z   : Im z    cos( D) g ( x)  Theo giả thiết UL ( x) có thác triển giải tích dải    z   : Im z    nên cos( D)UL ( x)  UL ( x  i )  UL ( x  i ) (20) Từ (19) (20) ta có L 1 ( x)  U 1  UL ( x  i )  UL ( x  i ) (đpcm) 2 (21) Ví dụ 4.1: Xét hàm không gian L2 (  ) xác định  (t )  H (t  2021)  H (t  2022) , 1, t  hàm bước đơn vị Heaviside H (t )   0, t  Áp dụng tính chất tích phân biến đổi Laplace ta có L  L ( L )  L  e  Suy 2021s  e 2022 s s    1   2021s 2022 s     L e e dx       dx  x  2021 x  2022   x x L ( x)  ln( x  2022)  ln( x  2021) x Do UL ( x)  e  ln(e x  2022)  ln(e x  2021)  511 (22) Transport and Communications Science Journal, Vol 73, Issue (06/2022), 502-513 Theo nguyên lý phản xạ Schwartz (xem [16]) dải    z   : Im z    ta có UL ( x  i )  UL ( x  i )  UL ( x  i ) Bởi từ công thức (21) suy cos( D)UL ( x)  Re  UL ( x  i ) Từ ta có  cos( D) UL ( x)    x  Re  Ie ln(2022  e x )  ln(2021  e x )       x e  arg(2022  e x )  arg(2021  e x )   Suy U 1  cos( D)UL (t )   arg(2021  t )  arg(2022  t ) 0 ,  ta có Sử dụng arg     ,   U 1 cos( D )UL (t )  H (t  2021)  H (t  2022)   (t )  KẾT LUẬN Bài báo trình bày tốn tử giả vi phân giải tích với ký hiệu hàm giải tích miền Runge  ứng dụng để đưa công thức nghiệm tường minh cho phương trình sai phân P () f ( z )   ( z ),  ( z )  ExpR ( Z ) công thức biến đổi Laplace ngược không gian Hilbert tách L2 (  ) LỜI CẢM ƠN Tác giả xin trân trọng gửi đến Trường Đại học Giao thông vận tải lời cảm ơn chân thành tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả thực nghiên cứu báo Đặc biệt tác giả bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Tiến sỹ Nguyễn Sĩ Minh cố Giáo sư Tiến sỹ Trần Đức Vân nguyên cán Viện Toán học Việt Nam hướng dẫn tác giả nghiên cứu lý thuyết toán tử giả vi phân với ký hiệu hàm giải tích miền Runge  TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Y A Dubinskii, The algebra of pseudo differential operators with analytic symbols and applications to mathematical physics (Russian), Uspekhi Mat Nauk, 37 (1982) 97-137 [2] P Duren, E A Gallardo-Gutierrez, A Montes-Rodriguez, A Paley-Wiener theorems for Bergman spaces with application to invariant subspaces, Bull Lond Math Soc., 39 (2007) 459-466 https://doi.org/10.1112/blms/bdm026 [3] B Jacob, J R Partington, S Pott, On Laplace-Carleson embedding theorems, J Funct Anal, 264 (2013) 783-814 https://doi.org/10.1016/j.jfa.2012.11.016 [4] Juha Kinnunen, Partial Differential Equations, 2019 [5] J Mashreghi, Representation Theorems in Hardy Spaces, Cambridge University Press, ISBN 9780521517683, 2019 512 Transport and Communications Science Journal, Vol 73, Issue (06/2022), 502-513 [6] Nguyen Si Minh, Tran Duc Van, Nguyen Sy Anh Tuan, The space of exponential functions associated with a class of differential operator and application, Pro Of Inter Conference on Applied analyses and Mechanies of Continuous Media, Ho Chi Minh City (1995) 268-281 [7] Nguyễn Sỹ Anh Tuấn, Phép biến đổi Fourier – Cauchy cho hàm thuộc lớp Holder, Tạp chí Khoa học Giao thơng vận tải, 68 (2019) 17-25 [8] Nguyễn Sỹ Anh Tuấn, Phương pháp biến đổi Fourier nhiều chiều phương trình đạo hàm riêng, Kỷ yếu Hội thảo Giảng dạy Nghiên cứu Khoa học bản, (2020) 41-48 [9] Nguyen Sy Anh Tuan, A Remark on Analytic Pseudodifferential Operators with Singularities, Vietnam Journal of Mathematics, 26 (1998) 91-94 http://www.math.ac.vn/publications/vjm/vjm_26/No.1/91-94_Tuan.PDF [10] Nguyen Sy Anh Tuan, The Fourier transform to distributions and Solutions of Partial Differential Equations, Transport and Communications Science Journal, 72 (2021) 647-660 https://doi.org/10.47869/tcsj.72.5.11 [11] P Agarwal, R.P Agarwal, M Ruzhansky, Special Functions and Analysis of Differential Equations, RC Press (2020) [12] S P Polyakov, Indefitine summation of rational functions with factorization of denominators, Programming and Computer Software, 37 (2011) 322-325 https://doi.org/10.1134/S0361768811060077 [13] E M Stein, R Shakarchi, Fourier Analysis: An Introduction (Princeton Lectures in Analysis I), Princeton: Princeton University Press, ISBN 0-691-11384-X (2003) [14] Tran Duc Van, On the pseudodifferential operators with real analytic symbol and their applications, J Fac Sci Univ Tokyo, Sect IA, Math., 36 (1989) 803-825 https://doi.org/10.15083/00039417 [15] Yaffe, Laurence G, Chapter 6: Symmetries, Physics 226: Particles and Symmetries Retrieved January, 2021 [16] Y-Q Song, L Vanka Taramanan, L Burcaw, Determining the resolution of the Laplace inversion spectrum, Jour of Chem Phys, 122 (2005) 104104 https://doi.org/10.1063/1.1858436 513 ... n ứng dụng vào toán – lý Cơ sở ứng dụng đại số toán tử giả vi phân giải tích tác động bất biến liên tục Trong báo này, tác giả ứng dụng toán tử giả vi phân với ký hiệu hàm giải tích miền   ... tốn tử tích chập tốn tử giả vi phân giải tích với ký hiệu A( )   a     0 TOÁN TỬ GIẢ VI PHÂN GIẢI TÍCH VÀ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN Ký hiệu toán tử dịch chuyển f ( z )  f ( z  1) toán tử. .. riêng Bài báo nghiên cứu vài ứng dụng sâu sắc tốn tử giả vi phân giải tích số nhà toán học quan tâm Không gian hàm nguyên exponent type bé R đại số toán tử giả vi phân giải tích khơng gian đưa vào