Về mở rộng tách được và thuần túy không tách được

1 Bộ giáo dục đào tạo Tr-ờng đại học Vinh TRỊNH NGỌC SƠN VỀ MỞ RỘNG TÁCH ĐƯỢC VÀ THUẦN TÚY KHễNG TCH C Luận văn thạc sĩ toán học Vinh 2010 Bộ giáo dục đào tạo Tr-ờng đại häc Vinh TRỊNH NGỌC SƠN VỀ MỞ RỘNG TCH C V THUN TY KHễNG TCH C Chuyên ngành đại số Lý thuyết số Mà số: 60 46 05 Luận văn thạc sĩ toán học Ng-ời h-ớng dẫn khoa häc PGS.TS Ngun Thµnh Quang Vinh 2010 MỞ ĐẦU Cho đến đầu kỷ 20, Đại số học chủ yếu nghiên cứu việc giải phương trình đại số Một minh chứng rõ Định lý Đại số học khẳng định rằng, đa thức hệ số phức với bậc dương có nghiệm phức Về sau, Đại số học trở thành khoa học nghiên cứu cấu trúc đại số trừu tượng, mà cấu trúc trường cấu trúc đại số Trong mở rộng trường, người ta chứng minh rằng, trường K có mở rộng đóng đại số hệ quan trọng Định lý Đại số học: Trường số phức C trường đóng đại số Một nội dung quan trọng có nhiều ứng dụng sâu sắc việc xây dựng trường hoàn chỉnh lý thuyết mở rộng trường mở rộng tách tuý không tách Với lý nêu trên, lựa chọn đề tài “Mở rộng tách t khơng tách được” nhằm tìm hiểu kết quả, tính chất ứng dụng loại mở rộng trường Các khái niệm sở mở rộng tách tuý không tách tóm tắt sau: Giả sử E mở rộng hữu hạn trường K Ta nói E mở rộng tách K phần tử E tách K Phần tử a thuộc E gọi tách K đa thức cực tiểu a K đa thức tách K Đa thức f(x) K gọi đa thức tách K f(x) khơng có nghiệm bội K Giả sử K trường có đặc số p > E mở rộng hữu hạn trường K Ta nói E mở rộng tuý không tách K phần tử E tuý không tách K Phần tử a thuộc E gọi tuý không tách K n tồn số tự nhiên n cho a p thuộc K Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung luận văn gồm hai chương Nội dung chương trình bày kiến thức sở mở rộng trường, mở rộng đại số, trường phân rã đa thức, trường đóng đại số, mở rộng đóng đại số, bao đóng đại số trường, mở rộng chuẩn tắc Nội dung chương giới thiệu khái niệm, tính chất, kết ứng dụng mở rộng tách tuý không tách Các nội dung đáng ý là:  Các mở rộng tách lập thành lớp đánh dấu mở rộng  Giả sử E mở rộng đại số trường k Các điều kiện sau tương đương (i)  E : k S  (ii) Mọi phần tử   E túy không tách k (iii) Phương trình bất khả quy phần tử   E k có n dạng X p  a  với n  a  k (iv) Tồn tập phần tử sinh  i iI trường E k , cho phần tử  i túy không tách k Luận văn hoàn thành hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Thành Quang Nhân dịp này, tác giả bày tỏ lòng biết ơn đến thầy giáo hướng dẫn Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến PGS.TS Ngô Sĩ Tùng, PGS.TS Lê Quốc Hán, TS Nguyễn Thị Hồng Loan thầy cô giáo khác chuyên ngành Đại số - Khoa Toán Khoa Đào tạo Sau đại học – Trường Đại học Vinh giúp đỡ tác giả trình học tập Mặc dù cố gắng, luận văn không tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong muốn nhận bảo qúy thầy cô giáo bạn học viên Vinh, tháng 11 năm 2010 Tác giả CHƯƠNG MỞ RỘNG ĐẠI SỐ 1.1 TRƯỜNG ĐÓNG ĐẠI SỐ 1.1.1 Định nghĩa Giả sử F trường Nếu F trường trường E , ta nói E mở rộng trường F Mở rộng trường E trường F kí hiệu E : F hay E / F Ta coi E khơng gian vevtơ F , ta nói E mở rộng bậc hữu hạn hay mở rộng bậc vô hạn F tùy thuộc vào số chiều không gian vectơ hữu hạn hay vơ hạn Ta kí hiệu  E : F  số chiều không gian vectơ E gọi bậc E F Bậc mở rộng  E : F  vơ hạn 1.1.2 Định nghĩa Giả sử E trường mở rộng trường F a) Phần tử   E gọi phần tử đại số F nghiệm đa thức f(x) khác F  x  b) Mở rộng E F gọi mở rộng đại số F phần tử E đại số F c) Nếu α phần tử đại số F tồn đa thức f(x) khác F  x  nhận α làm nghiệm Trong đa thức đó, ta ký hiệu p(x) đa thức đơn hệ có bậc nhỏ Khi đó, p(x) bất khả quy F , p(x) xác định phần tử α gọi đa thức cực tiểu α F Ta cịn kí hiệu p( x)  irr ( , F , x) 1.1.3 Định lý Mọi mở rộng hữu hạn E trường F mở rộng đại số F Chứng minh Giả sử   E,  Vì E hữu hạn nên hệ 1,  ,  ,  ,,  n  khơng thể độc lập tuyến tính F số nguyên dương n Hệ thức tuyến tính lũy thừa chứng tỏ α phần tử đại số F  1.1.4 Mệnh đề Giả sử k trường F  E mở rộng k Thế  E : k    E : F . F : k  Nếu  xi iI sở trường F k  y j  jJ sở trường E F , xi y j (i, j )I J sở trường E k Chứng minh Giả sử z  E Theo giả thiết, tồn phần tử  j  F , hầu hết không, cho z    j y j jJ Với cặp (i; j ) tồn phần tử b ji  k , không hầu hết, cho  j   b ji xi z    b ji xi y j Điều có nghĩa j iI xi y j (i, j ) hệ sinh E i k Ta cần chứng tỏ hệ độc lập tuyến tính Giả sử {cij} họ phần tử thuộc k, hầu hết không, cho   c ji xi y j  Lúc j i với j  cij xi  ( phần tử yj độc lập tuyến tính F ) Cuối cij = với i,  xi  sở trường F k  1.1.5 Hệ Mở rộng E  F  k hữu hạn chi E hữu hạn F F hữu hạn k Giả sử k trường, E mở rộng k   E Ta kí hiệu k(  ) trường bé E chứa k  1.1.6 Mệnh đề Giả sử α phần tử đại số k Thế k ( )  k[ ] k(α) hữu hạn k Bậc k ( ) : k  bậc đa thức cực tiểu α k Chứng minh Giả sử p( x)  irr ( , F , x) đa thức cực tiểu  Giả sử f ( x)  k[x] cho f ( )  Thế f(x) khơng chia hết cho p(x), tồn đa thức g  x  , h  x  k  x cho g ( x) p( x)  h( x) f ( x)  Từ ta h(a) f (a)  , nghĩa f (a) khả nghịch k[α] Do k[α] trường phải k(α) Giả sử d = degp(x) Các lũy thừa: 1, , , d 1 độc lập tuyến tính k Thật vậy, giả sử a0  a1  a2  ad 1 d 1  , thuộc k ngồi khơng phải không Đặt g ( x)  a0  a1 x  a2 x  ad 1x d 1 Thế g  g(α) = 0, g(x) chia hết p(x) mâu thuẫn Cuối cùng, giả sử f ( )  k   , f  x   k[x] Tồn đa thức q( x), r ( x)  k[ x] cho degr < d f ( x)  q( x) p( x)  r ( x) Thế f    r   ta thấy 1,  ,  ,   d 1 sinh k[α] không gian vectơ k  1.1.7 Định nghĩa Giả sử E , F mở rộng trường k Nếu E F chứa trường L đó, ta kí hiệu EF trường bé L chứa E F , gọi hợp tử E F L 1.1.8 Mệnh đề Mọi mở rộng hữu hạn E trường k hữu hạn sinh Chứng minh Giả sử 1 ,  ,,  n  sở trường E coi không gian vectơ k Lúc hiển nhiên E  k 1 ,  ,,  n  Nếu E  k 1 ,  ,,  n  trường hữu hạn sinh F mở rộng trường k cho E F chứa trường L, EF  F 1 ,  ,,  n  trường EF hữu hạn sinh F Giả sử α phần tử đại số trường k F mở rộng k Giả sử hai trường k(α) F chứa trường L Thế α phần tử đại số F Giả sử cho tháp trường k  k (1 )  k (1 ,  )   k (1 ,  , ,  n ) , trường sinh phần tử trường đứng trước Giả sử phần tử , đại số k, i = 1,…,n, ta 1 phần tử đại số k (a1 , , ) Thành thử tầng tháp mở rộng đại số  1.1.9 Mệnh đề Giả sử E  k (a1 , , an ) mở rộng hữu hạn sinh trường k, phần tử đại số trường k với i = 1, 2,…, n Thế E mở rộng đại số hữu hạn trường k 1.1.10 Định nghĩa Giả sử L lớp mở rộng F  E Ta gọi lớp L đánh dấu, thỏa mãn điều kiện sau: i) Giả sử k  F  E tháp trường Mở rộng k  E thuộc L k  F F  E thuộc L ii) Nếu k  E thuộc L , F mở rộng tùy ý trường k E F chứa trường L đó, F  EF thuộc L iii) Nếu k  F k  E thuộc L, E , F trường trường đó, k  EF thuộc L 1.1.11 Định nghĩa a) Một trường K gọi trường đóng đại số đa thức  f ( x)  K[ x] , với degf  có nghiệm K b) Mở rộng trường E K gọi mở rộng đóng đại số K E trường đóng đại số 1.1.12 Mệnh đề Các phát biểu sau tương đương: i) K trường đóng đại số ii) Mọi đa thức  f  K [ x] ,với K [ x] degf  có ước bậc x – u 10 iii) Mọi đa thức  f  K [ x] , với degf  phân tích thành tích nhân tử tuyến tính f ( x)  c( x  u1 )( x  u2 ) ( x  u n ) , c  K *, ui  K , i= 1…n iv) Các đa thức bất khả quy K [ x] gồm đa thức bậc v) Không tồn mở rộng đại số K khác K (nói cách khác khơng có mở rộng đại số thực cả) vi) Mỗi đa thức thuộc vành K [ x] bỏ giá trị, hàm 1.1.13 Định lý Tập A tất số đại số tạo thành trường trường số phức, mở rộng trường số hữu tỉ Q Chứng minh Đặt A  {u  u đại số Q } Ta có Q  A , u  Q nghiệm đa thức x  u  Q[x] Với u, v  A , mở rộng đơn Q(u), Q(v) trường Q mở rộng hữu hạn Q , mở rộng lặp Q(u, u)  Q(u)(v) có bậc hữu hạn Q Do phần tử u  v, uv (với v  ) trường v Q(u, v)(u, v) đại số Q nghĩa thuộc A Vậy A trường trường số phức A chứa Q  1.1.14 Định lý Trường A số đại số trường đóng đại số Chứng minh Xét đa thức khác không f ( x)  u0  u1x   un x n  A[ x] , bậc n  1, có hệ số ui số đại số Ta xét mở rộng lặp F  Q(u0 , u1 , , un ) Khi F mở rộng hữu hạn trường Q Vì hệ số đa thức f (x) thuộc F , nghiệm tùy ý u f (x) đại số F Do mở rộng F (u) F mở 28 [k ( ) : k ( )] = p p Bằng quy nạp ta tìm [k ( ) : k ( p )]  p Vì h có nghiệm bội 1, nên    [k ( p ) : k ]S  [k ( p ) : k ] Và so sánh bậc đa thức f h, ta thấy số nghiệm khác f số nghiệm khác h Thành thử k ( ) : k S    k ( p ) : k  S Từ theo cơng thức nhân bậc ta suy công thức cần chứng minh  2.1.5 Hệ Đối với mở rộng hữu hạn tùy ý E trường k bậc tách E : k S chia hết bậc E : k  Thương trường hợp trường có đặc số 0, lũy thừa p trường hợp có đặc số p > E : k  bậc khơng tách được, kí E : k S hiệu  E : k i Như E : k S E : k i  E : k  Nếu E/k hữu hạn ta gọi 2.1.6 Hệ qủa Một mở rộng hữu hạn tách  E : k i  2.1.7 Hệ Nếu E  F  k hai mở rộng hữu hạn,  E : k i   E : F i  F : k i Nhận xét: Nếu α phần tử tách k F mở rộng tùy ý trường k, α phần tử tách F Thật vậy, f đa thức tách thuộc k[X] cho f(α) = 0, hệ tử f nằm F, nên α phần tử tách F (Có thể nói, nâng trường phần tử tách phần tử tách được) 29 2.1.8 Định lý Giả sử E mở rộng hữu hạn trường k Thế điều kiện cần đủ để E tách k phần tử thuộc E tách k Chứng minh Giả sử E tách k   E Ta xét tháp k  k ( )  E Theo định lý 2.1.1 ta cần có đẳng thức k ( ) : k   k ( ) : k S , có nghĩa phần tử  tách k Đảo lại, giả sử phần tử E tách k Xét tháp k  k (1 )  k (1 , )   k (1 , , n ) Vì phần tử  i tách k nên tách k (1 , ,  i 1 ) với i  Do đó, theo định lý tháp, E tách k  Chú ý: Lý luận cuối chứng minh định lý chứng tỏ E sinh số hữu hạn phần tử, chúng tách k , E tách k 2.1.9 Định nghĩa Giả sử E mở rộng đại số tùy ý trường k Ta nói E tách k , mở rộng hữu hạn sinh tách k 2.1.10 Định lý Giả sử E mở rộng đại số trường k , sinh họ i  iI Nếu phần tử  i tách k , E mở rộng tách k Chứng minh Mọi phần tử thuộc E nằm trường hữu hạn k ( i1 , ,  in ) đó; ta ý trên, trường tách k Do đó, theo định lý 2.1.8 phần tử thuộc E tách k  2.1.11 Định lý Các mở rộng tách lập thành lớp đánh dấu mở rộng 30 Chứng minh Giả sử E mở rộng tách k E  F  k Mọi phần tử thuộc E tách F , phần tử thuộc F , vốn phần tử thuộc E, tách k Dó tầng tháp tách Đảo lại, giả sử E  F  k một mở rộng cho E / F tách F / k tách Ta cần chứng minh E / k tách Thật vậy, E hữu hạn k , ta áp dụng định lý 2.1.1, cụ thể, ta có đẳng thức bậc bậc tách tầng tháp, từ theo tính chất nhân suy đẳng thức bậc E k Bây giả sử E vơ hạn   E Thế  nghiệm đa thức tách f (X ) với hệ tử thuộc F Giả sử hệ tử an,…,a0 Đặt F0  k (an , , a0 ) Thế F0 tách k  tách F0 Bây xét tháp k  F0  F0 ( ) ta thấy F0 ( ) tách k  tách k Điều chứng minh điều kiện (i) định nghĩa lớp đánh dấu Giả sử E tách k F mở rộng tùy ý trường k , hai mở rộng E F trường trường Mọi phần tử thuộc E tách k , nên tách F Vì EF sinh tất phần thử thuộc E F , nên EF tách F theo định lý 2.1.10 Điều chứng minh điều kiện (ii) định nghĩa lớp đánh dấu, định lý chứng minh  2.1.12 Mệnh đề Đa thức f(x) trường K, đa thức tách K f(x) f’(x) nguyên tố Chứng minh Giả sử f(x) đa thức tách (f(x), f’(x)) = d(x) Nếu d(x) có bậc khác khơng d(x) có nghiệm x0 trường nghiệm 31 f(x) K Khi đó, ta có f(x0) = f’(x0) = 0, hay f(x) có nghiệm bội Điều trái với giả thiết f(x) tách Đảo lại, giả sử (f(x),f’(x)) = Khi đó, f(x) tách khơng f(x) có nghiệm bội, f(x) f’(x) có nhân tử chung bậc   2.1.13 Mệnh đề Một đa thức bất khả quy trường K, đa thức không tách K f’(x) = Chứng minh Theo mệnh đề 2.1.12, đa thức f(x) không tách (f(x),f’(x))  Vì f(x) bất khả quy K, nên điều kiện tương đương với điều kiện (f(x),f’(x)) = f(x) Vì f’(x) có bậc nhỏ f(x) nên điều tương đương với f’(x) = 2.1.14 Định nghĩa Một trường K gọi trường hoàn chỉnh đa thức bất khả quy K đa thức tách K Nói cách khác, K trường hồn chỉnh K mở rộng tách 2.1.15 Hệ Mọi trường có đặc số trường hoàn chỉnh Chứng minh Giả sử f ( x)   xi , ta có f '( x)   iai xi1 f’(x) = iai = Nếu K có đặc số từ giả thiết f(x) bất khả quy, ta suy bậc f(x) dương f’(x)  0, theo mệnh đề 2.1.13 f(x) đa thức tách  2.1.16 Bổ đề Cho trường K có đặc số nguyên tố p Khi đó, đa thức bất khả quy f(x) K, đa thức không tách f(x)   b j ( x p ) j  F ( x p ) Chứng minh Giả sử f ( x)   xi , ta có f '( x)   iai xi1 Do đó, f '( x)  iai = với i 32 Vì K có đặc số p, f’(x) = hệ tử = 0, với số i không chia hết cho p Vì theo mệnh đề 2.1.13, ta suy f(x) khơng tách có f(x) dạng  2.1.17 Hệ Mọi trường hữu hạn trường hồn chỉnh Chứng minh Vì ánh xạ  : x  x p tự đẳng cấu trường hữu hạn Fq (q=pn), với y thuộc Fq tồn phần tử x thuộc Fq cho y = x p Nói cách khác, phần tử thuộc Fq có bậc p Giả sử có đa thức f(x) khơng tách Fq Khi đó, theo bổ đề 2.1.16 , ta có f ( x)  F ( x p )  a0  a1x p   ak  x p  k Vì a  b0p , , ak  bkp , ta có: p p p p p k f ( x)  b0  b1 x   bk ( x ) k p  (b  b1x   bk x ) , b  F i q Điều mâu thuẫn với tính bất khả quy f(x) Fq  2.1.18 Mệnh đề Mọi mở rộng hữu hạn trường có đặc số 0, mở rộng tách trường Chứng minh Giả sử E mở rộng hữu hạn trường K, E mở rộng đại số K Do phần tử u thuộc E đại số K Gọi f(x) đa thức tối tiểu u K, f(x) bất khả quy K Theo hệ 2.1.15, trường có đặc số hồn chỉnh, đa thức f(x) tách K  33 2.2 PHẦN TỬ NGUYÊN THỦY 2.2.1 Định nghĩa Nếu E  k ( ) , ta nói  phần tử nguyên thủy trường E (trên k ) 2.2.2 Định lý Giả sử E mở rộng hữu hạn trường k Điều kiện cần đủ để tồn phần tử nguyên thủy trường E k có số hữu hạn trường trung gian F k  F  E Nếu E tách k tồn phần tử ngun thủy Chứng minh Nếu k hữu hạn, nhóm nhân trường E sinh phần tử, phần tử sinh E k Vì vậy, ta giả thiết k vô hạn Giả sử tồn số hữu hạn trường trung gian k E Giả sử  ,   E Khi c chạy qua phần tử thuộc k, ta thu số hữu hạn trường dạng k (  c ) Do tồn phần tử c1 , c2  k , với c1  c2 cho k (  c1 )  k (  c2  ) Vì   c1    c2  nằm trường, nên (c1  c2 )   nằm trường Như  nằm trường đó, ta thấy trường k ( ,  ) sinh phần tử Tiếp tục quy nạp, ta thấy E  k (1 , , n ) tồn phần tử c1 , cn  k cho E  k ( ) ,   1  c2   cn n Đảo lại, giả sử E  k ( )  Giả sử f ( x)  irr ( , k , x) , k  F  E g F ( x)  irr ( , F , x) Thế g F chia hết f Sự phân tích thành nhân tử E[x] nhất, đa thức tùy ý thuộc E[x] với hệ tử cao chia hết f(x) tích 34 số nhân tử dạng ( x   i ) , 1 , , n nghiệm đa thức f Thành thử tồn số hữu hạn đa thức Do ta ánh xạ F  gF từ tập hợp trường trung gian vào tập hợp hữu hạn đa thức Giả sử F0 trường trường F sinh hệ tử đa thức g F ( x) k Thế g F có hệ tử thuộc F0 bất khả quy F0 bất khả quy F Thành thử bậc phần tử  F0 bậc  F , tức F = F0 Như vậy, trường F xác định cách g F tương ứng nó, ánh xạ đơn ánh Điều chứng minh phần cịn lại định lý Còn mệnh đề liên quan đến mở rộng tách được, quy nạp ta giả thiết mà khơng tính tổng qt E  k ( ,  ) ,  ,  tách k Giả sử  , ,  n phép nhúng chìm khác trường k ( ,  ) vào k k Đặt p( x)   ( i  x i    j  x j  ) Rõ ràng p(x) đa thức khác không, tồn phần tử c  k cho p(c)  Lúc phần tử  i (  c ), i  1, , n , khác cả, k (  c ) có bậc khơng bé n k Nhưng n  [k ( ,  ) : k ] , k ( ,  )  k (  c )  35 2.3 MỞ RỘNG THUẦN TÚY KHÔNG TÁCH ĐƯỢC Trong tiết ta giả thiết k trường có đặc số p > E mở rộng đại số trường k 2.3.1 Định nghĩa Phần tử   E gọi túy không tách k n tồn số nguyên n  cho  p nằm k Ta nói E mở rộng t khơng tách k phần tử E tuý không tách k 2.3.2 Mệnh đề Giả sử E mở rộng đại số trường k Khi điều kiện sau tương đương E : k S (I) 1 (II) Mọi phần tử   E túy không tách k (III) Phương trình bất khả quy phần tử   E k n có dạng X p  a  với n  a  k (IV) Tồn tập phần tử sinh {i }iI trường E k , cho phần tử  i túy không tách k Chứng minh Để chứng minh điều kiện tương đương , ta giả thiết (I) thỏa mãn Theo định lý 2.1.1 ta có k ( ) : k S  Giả sử f ( X )  irr ( , k , X ) Thế f có nghiệm, k ( ) : k S số nghiệm khác đa thức f (X ) Đặt m  k ( ) : k  Thế deg f = m, phân tích f k ( ) có dạng f ( X )  ( X   ) m Nhưng m  p nr , r số nguyên, nguyên tố với p Vì  f (X )  X pn  pn  r X n p r  r p n X n p ( r 1)  hạng tử bậc bé Vì hệ tử đa thức f (X ) nằm k , nên r p nằm k , n n r  (trong k ) nên  p nằm k Giả sử a   p ,  36 n nghiệm đa thức X p  a chia hết cho f (X )  X pn f (X ) , từ suy a Một lý luận tương tự chứng tỏ (II) kéo theo (III) Còn (III) kéo theo (IV) tầm thường Cuối giả sử (IV) thỏa mãn Giả sử E mở rộng sinh phần tử túy không tách  i , (i  I ) Một phép nhúng chìm tùy ý trường E k ánh xạ  i nghiệm đa thức f i ( X )  irr ( i , k , X ) n Nhưng f i (X ) chia hết đa thức X p  a đó, có nghiệm (bội) Thành thử, phép nhúng chìm tùy ý trường E k đồng  i đồng E, nên ta suy E : k S  , kết thúc chứng minh  2.3.3 Mệnh đề Các mở rộng túy không tách lập thành lớp đánh dấu mở rộng Chứng minh Mệnh đề tháp suy từ định lý 2.1.1, cịn tính chất nâng trường suy từ điều kiện (IV) định nghĩa  2.3.4 Mệnh đề Giả sử E mở rộng đại số trường k , giả sử E0 hợp tử tất trường F trường E mà F  k F tách k Thế E0 mở rộng tách k , E mở rộng túy không tách E0 Chứng minh Vì mở rộng tách lập thành lớp đánh dấu mở rộng, nên E0 tách k Thực E0 gồm tất phần tử E tách k Theo mệnh đề 2.1.4, phần tử   E n cho, tồn lũy thừa p, chẳng hạn pn, cho  p tách k Do E túy không tách E0  37 2.3.5 Hệ Nếu mở rộng đại số E trường k vừa tách vừa túy không tách được, E = k 2.3.6 Hệ Giả sử K mở rộng chuẩn tắc k , giả sử K0 mở rộng tách tối đại nó, K0 mở rộng chuẩn tắc k Chứng minh Giả sử  phép nhúng chìm K0 vào K k , mở rộng  tới phép nhúng chìm trường K, lúc  tự đẳng cấu trường K Ngoài trường  K0 tách k , chứa K0, K0 trường tách tối đại Như vậy,  K0 = K0  2.3.6 Hệ Giả sử E, F hai mở rộng hữu hạn trường k , E/ k tách cịn F/ k túy không tách Giả sử E F trường trường chung Thế  EF : F    E : k    EF : k  ,  EF : E    F : k    EF : k i S 2.3.7 Hệ Kí hiệu E p trường tất phần tử có dạng x p , x  E Giả sử E mở rộng hữu hạn trường k Nếu E p k  E , E n mở rộng tách k Nếu E tách k E p k  E với n  Chứng minh Giả sử E mở rộng tách tối đại trường E Giả sử E p k  E Đặt E  k (1 , , n ) Vì E túy khơng tách E0 , m m nên tồn m cho i p  E0 với i = 1,…,n Thành thử E p  E m Nhưng E p  E , nên E  E0 tách k Ngược lại, giả sử E tách k Ta có E túy khơng tách E p k Vì đồng thời có E tách E p k , nên suy p E  E k Lặp lại số lần, ta E  E pn k với n   38 2.3.9 Mệnh đề Giả sử K mở rộng chuẩn tắc trường k , G nhóm tự đẳng cấu k , KG trường bất động nhóm G Thế KG túy khơng tách k K tách KG Nếu K0 mở rộng tách tối đại K, K0  K G K  K Ko G k Chứng minh Giả sử   K G  phép nhúng chìm tùy ý trường k ( ) vào K k Mở rộng  tới phép nhúng chìm trường K; ta kí hiệu mở rộng  Thế  tự đẳng cấu trường K, K mở rộng chuẩn tắc trường k Theo định nghĩa,     ánh xạ đồng k ( ) Vì k ( ) : k S   phần tử túy không tách Như vậy, KG túy không tách k Giao K0 KG vừa tách được, vừa túy không tách k , nên phải k Trước hết ta giả thiết K hữu hạn k , theo định lý 2.1.1, nhóm G hữu hạn Giả sử   K giả sử  , ,  n tập tối đại phần tử thuộc G, cho phần tử  1 , ,  n khác Thế  i đồng n nhất,  nghiệm đa thức f ( X )   ( X   i ) i 1 Ta thấy f đa thức tách hệ tử nằm trường bất động KG Vì  tách KG Theo mệnh đề 2.3.4, K túy không tách K0, túy khơng tách K0KG Mặt khác, K tách KG, tách K0KG Như vậy, K = K0KG  39 KẾT LUẬN Luận văn tập trung tìm hiểu mở rộng tách mở rộng túy khơng tách Nội dung trình bày luận văn gồm:  Các mở rộng tách lập thành lớp đánh dấu mở rộng  Giả sử E mở rộng hữu hạn trường k Điều kiện cần đủ để tồn phần tử nguyên thủy trường E k có số hữu hạn trường trung gian F k  F  E Nếu E tách k tồn phần tử nguyên thủy  Giả sử E mở rộng đại số trường k Khi đó, điều kiện sau tương đương (i)  E : k S  (ii) Mọi phần tử   E túy không tách k (iii) Phương trình bất khả quy phần tử   E k có n dạng X p  a  với n  a  k (iv) Tồn tập phần tử sinh  i iI trường E k , cho phần tử  i túy không tách k  Các mở rộng túy không tách lập thành lớp đánh dấu mở rộng Huớng nghiên cứu Luận văn sâu vào tìm hiểu ứng dụng mở rộng tách tuý không tách Lý thuyết Galois 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO A.TIẾNG VIỆT [1] G Birkhoff S Maclane, (1979), Tổng quan đại số đại, NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội [2] Nguyễn Tự Cường, (2003), Giáo trình đại số đại, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Hà Huy Khoái, Phạm Huy Điển, (2003), Số học thuật toán, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [4] S.Lang (1974), Đại số, NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội [5] Nguyễn Thành Quang, (2003), Số học đại, Trường Đại học Vinh [6] Nguyễn Thành Quang (2005), Lý thuyết trường lý thuyết Galois, Trường Đại học Vinh [7] Nguyễn Chánh Tú (2006), Lý thuyết mở rộng trường Galois, NXB Giáo dục B TIẾNG ANH [8] Z I Borevic and R I Safarevic, (1964), Theory of number, Moscow [9] R Hartshorne, (1977), Algebraic Geometry, Springer [10] Van der Waerden, (1995), Algebra, Springer 41 mục lục mở đầu Ch-ơng Mở rộng ®¹i sè 1.1 Tr-êng ®ãng ®¹i sè 1.2 Bao ®ãng đại số tr-ờng 1.3 Tr-ờng phân rà mở rộng chuẩn tắc Ch-ơng Mở rộng tách đ-ợc tuý không tách đ-ợc 2.1 Mở rộng tách đ-ợc 2.2 Phần tử nguyên thuỷ 2.3 Mở rộng tuý không tách đ-ợc Kết luận Tài liệu tham khảo 42 ... CHƯƠNG MỞ RỘNG TÁCH ĐƯỢC VÀ THUẦN TÚY KHÔNG TÁCH ĐƯỢC 2.1 MỞ RỘNG TÁCH ĐƯỢC Giả sử E mở rộng đại số trường F  : F  L phép nhúng chìm F vào trường đóng đại số L Ta nghiên cứu kĩ mở rộng  E Một mở. .. cho  p tách k Do E túy không tách E0  37 2.3.5 Hệ Nếu mở rộng đại số E trường k vừa tách vừa túy không tách được, E = k 2.3.6 Hệ Giả sử K mở rộng chuẩn tắc k , giả sử K0 mở rộng tách tối... k , cho phần tử  i túy không tách k  Các mở rộng túy không tách lập thành lớp đánh dấu mở rộng Huớng nghiên cứu Luận văn sâu vào tìm hiểu ứng dụng mở rộng tách tuý không tách Lý thuyết Galois