Về mở rộng tách được và thuần túy không tách được

1 Bộ giáo dục đào tạo Trờng đại học Vinh TRNH NGC SN V M RNG TCH C V THUN TY KHễNG TCH C Luận văn thạc sĩ toán học Vinh 2010 Bộ giáo dục đào tạo Trờng đại học Vinh TRNH NGC SN V M RNG TCH C V THUN TY KHễNG TCH C Chuyên ngành đại số Lý thuyết số Mã số: 60 46 05 Luận văn thạc sĩ toán học Ngời hớng dẫn khoa học PGS.TS Nguyễn Thành Quang Vinh 2010 M U Cho n u th k 20, i s hc ch yu nghiờn cu vic gii cỏc phng trỡnh i s Mt minh chng rừ nht ú l nh lý c bn ca i s hc khng nh rng, mi a thc h s phc vi bc dng u cú ớt nht mt nghim phc V sau, i s hc tr thnh khoa hc nghiờn cu cu trỳc i s tru tng, m ú cu trỳc trng l mt cu trỳc i s c bn Trong m rng trng, ngi ta ó chng minh c rng, mi trng K u cú mt m rng úng i s nht v h qu quan trng l nh lý c bn ca i s hc: Trng s phc C l trng úng i s Mt nhng ni dung quan trng v cú nhiu ng dng sõu sc vic xõy dng cỏc trng hon chnh ca lý thuyt m rng trng l m rng tỏch c v thun tuý khụng tỏch c Vi nhng lý nờu trờn, chỳng tụi la chn ti M rng tỏch c v thun tuý khụng tỏch c nhm tỡm hiu cỏc kt qu, tớnh cht c bn v ng dng ca cỏc loi m rng trng ny Cỏc khỏi nim c s v m rng tỏch c v thun tuý khụng tỏch c cú th túm tt nh sau: Gi s E l m rng hu hn ca trng K Ta núi E l m rng tỏch c trờn K nu v ch nu mi phn t ca E u tỏch c trờn K Phn t a thuc E c gi l tỏch c trờn K nu a thc cc tiu ca a trờn K l a thc tỏch c trờn K a thc f(x) trờn K c gi l a thc tỏch c trờn K nu f(x) khụng cú nghim bi K Gi s K l trng cú c s p > v E l m rng hu hn ca trng K Ta núi E l m rng thun tuý khụng tỏch c trờn K nu v ch nu mi phn t ca E u thun tuý khụng tỏch c trờn K Phn t a thuc E c gi l thun tuý khụng tỏch c trờn K nu n tn ti s t nhiờn n cho a p thuc K Ngoi cỏc phn m u, kt lun, ti liu tham kho, ni dung lun ny gm hai chng Ni dung chng trỡnh by cỏc kin thc c s v m rng trng, m rng i s, trng phõn ró ca a thc, trng úng i s, m rng úng i s, bao úng i s ca trng, m rng chun tc Ni dung chng gii thiu v khỏi nim, tớnh cht, kt qu v ng dng ca m rng tỏch c v thun tuý khụng tỏch c Cỏc ni dung ỏng chỳ ý l: Cỏc m rng tỏch c lp thnh lp c ỏnh du cỏc m rng Gi s E l m rng i s ca trng k Cỏc iu kin sau õy l tng ng (i) [ E : k] S = (ii) Mi phn t E thun tỳy khụng tỏch c trờn k (iii) Phng trỡnh bt kh quy i vi mi phn t E trờn k cú n dng X p a = vi n v a k no ú (iv) Tn ti mt cỏc phn t sinh { i } iI ca trng E trờn k , cho mi phn t i thun tỳy khụng tỏch c trờn k Lun c hon thnh di s hng dn ca PGS.TS Nguyn Thnh Quang Nhõn dp ny, tỏc gi by t lũng bit n n thy giỏo hng dn Tỏc gi xin gi li cm n n PGS.TS Ngụ S Tựng, PGS.TS Lờ Quc Hỏn, TS Nguyn Th Hng Loan v cỏc thy cụ giỏo khỏc chuyờn ngnh i s - Khoa Toỏn v Khoa o to Sau i hc Trng i hc Vinh ó giỳp tỏc gi quỏ trỡnh hc Mc dự ó ht sc c gng, lun khụng trỏnh nhng thiu sút Tỏc gi mong mun nhn c s ch bo ca qỳy thy cụ giỏo v cỏc bn hc viờn Vinh, thỏng 11 nm 2010 Tỏc gi CHNG M RNG I S 1.1 TRNG ểNG I S 1.1.1 nh ngha Gi s F l mt trng Nu F l trng ca trng E , thỡ ta núi rng E l m rng ca trng F M rng trng E ca trng F c kớ hiu bi E : F hay E / F Ta cú th coi E nh mt khụng gian vevt trờn F , v ta núi rng E l m rng bc hu hn hay m rng bc vụ hn ca F tựy thuc vo s chiu ca khụng gian vect ú l hu hn hay vụ hn Ta kớ hiu [ E : F ] l s chiu ca khụng gian vect E v cng c gi l bc ca E trờn F Bc m rng [ E : F ] cú th vụ hn 1.1.2 nh ngha Gi s E l trng m rng ca trng F a) Phn t E c gi l phn t i s trờn F nu nú l nghim ca mt a thc f(x) khỏc F [ x ] b) M rng E trờn F c gi l m rng i s trờn F nu mi phn t ca E u i s trờn F c) Nu l phn t i s trờn F thỡ tn ti a thc f(x) khỏc F [ x ] nhn lm nghim Trong nhng a thc ú, ta ký hiu p(x) l a thc n h cú bc nh nht Khi ú, p(x) bt kh quy trờn F , hn na p(x) c xỏc nh nht bi phn t v s c gi l a thc cc tiu ca trờn F Ta cũn kớ hiu p ( x ) = irr ( , F , x ) 1.1.3 nh lý Mi m rng hu hn E ca trng F u l m rng i s trờn F n Chng minh Gi s E , Vỡ E hu hn nờn h { 1, , , , , } khụng th c lp tuyn tớnh trờn F i vi mi s nguyờn dng n H thc tuyn tớnh gia cỏc ly tha ú chng t l phn t i s trờn F 1.1.4 Mnh Gi s k l mt trng v F E l cỏc m rng ca k Th thỡ [ E : k ] = [ E : F ] [ F : k ] Nu { xi } iI l c s ca trng F trờn k v { y j } trờn F , thỡ { xi y j } (i, j )I ìJ l c s ca trng E jJ l c s ca trng E trờn k Chng minh Gi s z E Theo gi thit, tn ti cỏc phn t j F , hu j yj ht bng khụng, cho z = jJ Vi mi cp (i; j ) tn ti cỏc phn t b ji k , bng khụng hu b ji xi v ú z = b ji xi y j iu ú cú ngha l ht, cho j = j i iI { xi y j } (i , j ) l h sinh ca E trờn k Ta cn chng t rng h ú c lp tuyn tớnh Gi s {cij} l h cỏc phn t thuc k, hu ht bng khụng, cho j i c ji xi y j = Lỳc ú vi mi j thỡ cij xi = ( vỡ cỏc phn t yj c lp tuyn tớnh trờn F ) Cui cựng cij = vi mi i, vỡ { xi } l c s ca trng F trờn k 1.1.5 H qu M rng E F k l hu hn v chi E hu hn trờn F v F hu hn trờn k Gi s k l mt trng, E l m rng ca k v E Ta kớ hiu k( ) l trng nht E cha k v 1.1.6 Mnh Gi s l phn t i s trờn k Th thỡ k ( ) = k [ ] v k() hu hn trờn k Bc [ k ( ) : k ] bng bc ca a thc cc tiu ca trờn k Chng minh Gi s p ( x ) = irr ( , F , x ) l a thc cc tiu ca Gi s f ( x ) k[x] cho f ( ) Th thỡ f(x) khụng chia ht cho p(x), ú tn ti cỏc a thc g ( x ) , h ( x ) k [ x ] cho g ( x ) p ( x) + h( x) f ( x ) = T ú ta c h(a ) f ( a ) = , ngha l f ( a ) kh nghch k[] Do ú k[] l mt trng v vỡ vy phi bng k() Gi s d = degp(x) Cỏc ly tha: 1, , , d c lp tuyn d tớnh trờn k Tht vy, gi s a0 + a1 + a2 + + ad = , ú thuc k ngoi khụng phi mi u bng khụng d t g ( x) = a0 + a1 x + a2 x + + ad x Th thỡ g v g() = 0, thnh th g(x) chia ht p(x) mõu thun Cui cựng, gi s f ( ) k [ ] , ú f ( x ) k[x] Tn ti cỏc a thc q( x), r ( x) k[ x] cho degr < d v f ( x) = q ( x) p( x) + r ( x) Th thỡ f ( ) = r ( ) v ta thy 1, , , d sinh k[] nh mt khụng gian vect trờn k 1.1.7 nh ngha Gi s E , F l cỏc m rng ca trng k Nu E v F c cha mt trng L no ú, thỡ ta kớ hiu EF l trng nht ca L cha E v F , v gi nú l hp t ca E v F L 1.1.8 Mnh Mi m rng hu hn E ca trng k l hu hn sinh Chng minh Gi s { , ,, n } l c s ca trng E coi nh khụng gian vect trờn k Lỳc ú hin nhiờn E = k ( , ,, n ) Nu E = k ( , ,, n ) l mt trng hu hn sinh v F l mt m rng ca trng k cho c E v F u c cha trng L, thỡ EF = F ( , ,, n ) v trng EF l hu hn sinh trờn F Gi s l phn t i s trờn trng k v F l m rng ca k Gi s c hai trng k() v F u c cha trng L no ú Th thỡ l phn t i s trờn F Gi s ó cho thỏp cỏc trng k k ( ) k ( , ) k ( , , , n ) , ú mi trng sinh bi mt phn t trờn trng ng trc nú Gi s mi phn t , l i s trờn k, i = 1,,n, ta c +1 l phn t i s trờn k (a1 , , ) Thnh th mi tng ca thỏp l m rng i s 1.1.9 Mnh Gi s E = k (a1 , , an ) l m rng hu hn sinh ca trng k, ú l phn t i s trờn trng k vi mi i = 1, 2,, n Th thỡ E l m rng i s hu hn ca trng k 1.1.10 nh ngha Gi s L l mt lp no ú cỏc m rng F E Ta s gi lp L l c ỏnh du, nu nú tha cỏc iu kin sau: i) Gi s k F E l thỏp cỏc trng M rng k E thuc L v ch k F v F E thuc L ii) Nu k E thuc L , cũn F l m rng tựy ý ca trng k v nu c E v F c cha trng L no ú, thỡ F EF thuc L iii) Nu k F v k E thuc L, ú E , F l cỏc trng ca mt trng no ú, thỡ k EF thuc L 1.1.11 nh ngha a) Mt trng K c gi l trng úng i s nu mi a thc f ( x ) K [ x ] , vi degf u cú ớt nht mt nghim K b) M rng trng E trờn K c gi l m rng úng i s trờn K nu E l trng úng i s 1.1.12 Mnh Cỏc phỏt biu sau õy l tng ng: i) K l trng úng i s ii) Mi a thc f K [ x ] ,vi degf u cú c bc nht x u K [ x ] iii) Mi a thc f K [ x ] , vi degf u phõn tớch c thnh tớch ca cỏc nhõn t tuyn tớnh f ( x) = c( x u1 )( x u ) ( x u n ) , ú c K *, v ui K , i= 1n iv) Cỏc a thc bt kh quy ca K [ x ] ch gm cỏc a thc bc nht 10 v) Khụng tn ti mt m rng i s no ca K khỏc K (núi cỏch khỏc khụng cú m rng i s thc s no c) vi) Mi a thc thuc vnh K [ x] b i mt giỏ tr, s l hm hng 1.1.13 nh lý Tp A tt c cỏc s i s to thnh mt trng ca trng cỏc s phc, v l mt m rng ca trng cỏc s hu t Q Chng minh t A = {u Ê u i s trờn Q } Ta cú Q A , vỡ mi u Q u l nghim ca a thc x u Q[x ] Vi u , v A , cỏc m rng n Q(u ), Q(v) ca trng Q u l cỏc m rng hu hn trờn Q , cho nờn m rng lp Q(u, u ) = Q(u )(v) cng cú bc hu hn trờn Q Do ú cỏc phn t u v, uv v (vi v v ) ca trng Q(u, v)(u, v) u i s trờn Q ngha l u thuc A Vy A l trng ca trng s phc Ê v A cha Q 1.1.14 nh lý Trng A cỏc s i s l mt trng úng i s Chng minh Xột a thc bt k khỏc khụng f ( x ) = u0 + u1 x + + un x n A[ x] , bc n 1, cú cỏc h s ui l nhng s i s Ta xột m rng lp F = Q(u0 , u1 , , un ) Khi ú F l m rng hu hn ca trng Q Vỡ cỏc h s ca a thc f (x) thuc F , cho nờn mi nghim tựy ý u ca f (x) u i s trờn F Do ú m rng F (u) ca F cng l m rng bc hu hn ca Q Vỡ vy, phn t u F (u ) l phn t i s trờn Q , hay u l mt s i s, tc u A Vy, trng A l mt trng úng i s. 1.1.15 nh lý Vi mi s nguyờn t p, tn ti trng úng i s c s p 27 [ k ( ) : k ] = p [ k ( ) : k ] S v phn t pà l phn t tỏch c trờn k Chng minh Gi s , , r l cỏc nghim khỏc ca a thc f k v m l s bi ca nghim = i f Vi mi i r tn ti phộp ng cu : k ( ) k ( i ) trờn k m = i Ta m rng ti ng cu ca trng k ; ta cng s kớ hiu m rng ú l nh c Vỡ cỏc h t ca f nm k , nờn f = f Chỳ ý rng r m f ( X ) = ( X i ) i i =1 ú mi l s bi ca i f Do tớnh nht ca vic phõn tớch thnh nhõn t, ta kt lun rng mi = m1, v ú mi mi u bng s nguyờn m Ta xột o hm f ' ( X ) Nu f v f ' cú nghim chung, thỡ l nghim ca a thc bc hn deg f iu ú khụng th xy ra, tr trng hp deg f ' = , núi khỏc i, o hm f ' ng nht bng Nu c s bng thỡ iu cui cựng ú cng khụng xy Thnh th p nu f cú nghim bi, thỡ ta cú trng hp c s p v f ( X ) = g ( X ) i vi a thc g ( X ) k[ X ] no ú Vỡ vy p l nghim ca a thc g m degg < deg f Tip tc bng quy np ta c s nguyờn nht cho p l nghim ca mt a thc tỏch c thuc k[ X ] , c th l h m f ( X ) = h( X pà ) So sỏnh bc ca f v g ta suy p [k ( ) : k ( )] = p Bng quy np ta tỡm c [k ( ) : k ( pà )] = p 28 Vỡ h cú cỏc nghim bi 1, nờn à [k ( p ) : k ]S = [k ( p ) : k ] V nu so sỏnh bc ca cỏc a thc f v h, thỡ ta thy s cỏc nghim khỏc ca f bng s cỏc nghim khỏc ca h Thnh th [ k ( ) : k ] S [ = k ( p ) : k ] S T ú theo cụng thc nhõn ca cỏc bc ta suy cụng thc cn chng minh 2.1.5 H qu i vi m rng hu hn tựy ý E ca trng k bc tỏch c [ E : k ] S chia ht bc [ E : k ] Thng bng trng hp trng cú c s 0, v bng mt ly tha no ú ca p trng hp cú c s p > [E : k] Nu E/k hu hn thỡ ta gi [ E : k ] l bc khụng tỏch c, v kớ S hiu l [ E : k ] i Nh vy [ E : k ] S [ E : k ] i = [ E : k ] 2.1.6 H qa Mt m rng hu hn l tỏch c v ch [ E : k]i = 2.1.7 H qu Nu E F k l hai m rng hu hn, thỡ [ E : k]i = [ E : F]i [ F : k]i Nhn xột: Nu l phn t tỏch c trờn k v F l mt m rng tựy ý ca trng k, thỡ l phn t tỏch c trờn F Tht vy, nu f l a thc tỏch c thuc k[X] cho f() = 0, thỡ vỡ cỏc h t ca f cng nm F, nờn cng l phn t tỏch c trờn F (Cú th núi, nõng cỏc trng thỡ phn t tỏch c l phn t tỏch c) 2.1.8 nh lý Gi s E l mt m rng hu hn ca trng k Th thỡ iu kin cn v E tỏch c trờn k l mi phn t thuc E u tỏch c trờn k 29 Chng minh Gi s E tỏch c trờn k v E Ta xột thỏp k k ( ) E Theo nh lý 2.1.1 ta cn cú ng thc [ k ( ) : k ] = [ k ( ) : k ] S , cú ngha l phn t tỏch c trờn k o li, gi s mi phn t trờn E u tỏch c trờn k Xột thỏp k k (1 ) k (1 , ) k (1 , , n ) Vỡ mi phn t i l tỏch c trờn k nờn cng tỏch c trờn k ( , , i ) vi i Do ú, theo nh lý v thỏp, E tỏch c trờn k Chỳ ý: Lý lun cui cựng chng minh nh lý chng t rng nu E sinh bi mt s hu hn phn t, mi mt chỳng tỏch c trờn k , thỡ E tỏch c trờn k 2.1.9 nh ngha Gi s E l m rng i s tựy ý ca trng k Ta núi E tỏch c trờn k , nu mi m rng hu hn sinh ca nú l tỏch c trờn k 2.1.10 nh lý Gi s E l m rng i s ca trng k , sinh bi h { i } iI Nu mi phn t i tỏch c trờn k , thỡ E l m rng tỏch c trờn k Chng minh Mi phn t thuc E nm mt trng hu hn k ( i1 , , in ) no ú; nh ta ó chỳ ý trờn, mi trng nh vy tỏch c trờn k Do ú, theo nh lý 2.1.8 mi phn t thuc E tỏch c trờn k 2.1.11 nh lý Cỏc m rng tỏch c lp thnh lp c ỏnh du cỏc m rng Chng minh Gi s E l m rng tỏch c trờn k v E F k Mi phn t thuc E tỏch c trờn F , vỡ mi phn t thuc F , l phn t thuc E, tỏch c trờn k Dú ú mi tng ca thỏp l tỏch c o 30 li, gi s E F k l mt mt m rng no ú cho E / F tỏch c v F / k tỏch c Ta cn chng minh E / k tỏch c Tht vy, nu E hu hn trờn k , thỡ ta cú th ỏp dng nh lý 2.1.1, c th, ta cú ng thc gia bc v bc tỏch c mi tng ca thỏp, t ú theo tớnh cht nhõn suy ng thc gia cỏc bc i vi E trờn k Bõy gi gi s E vụ hn v E Th thỡ l nghim ca mt a thc tỏch c f ( X ) vi h t thuc F Gi s cỏc h t ú l an,,a0 t F0 = k (an , , a0 ) Th thỡ F0 tỏch c trờn k v tỏch c trờn F0 Bõy gi nu xột thỏp k F0 F0 ( ) ta thy F0 ( ) tỏch c trờn k v ú tỏch c trờn k iu ú chng minh iu kin (i) nh ngha ca lp c ỏnh du Gi s E tỏch c trờn k v F l mt m rng tựy ý ca trng k , ngoi c hai m rng E v F l trng ca mt trng no ú Mi phn t thuc E tỏch c trờn k , nờn cng tỏch c trờn F Vỡ EF sinh bi tt c cỏc phn th thuc E trờn F , nờn EF tỏch c trờn F theo nh lý 2.1.10 iu ú chng minh iu kin (ii) nh ngha lp c ỏnh du, v nh vy nh lý c chng minh 2.1.12 Mnh a thc f(x) trờn trng K, l a thc tỏch c trờn K nu v ch nu f(x) v f(x) nguyờn t cựng Chng minh Gi s f(x) l a thc tỏch c v (f(x), f(x)) = d(x) Nu d(x) cú bc khỏc khụng thỡ d(x) s cú mt nghim x0 trng nghim ca f(x) K Khi ú, ta s cú f(x0) = v f(x0) = 0, hay f(x) cú nghim bi iu ny trỏi vi gi thit f(x) tỏch c o li, gi s (f(x),f(x)) = Khi ú, f(x) tỏch c vỡ nu khụng th thỡ f(x) cú nghim bi, ú f(x) v f(x) cú nhõn t chung bc 31 2.1.13 Mnh Mt a thc bt kh quy trờn trng K, s l a thc khụng tỏch c trờn K nu v ch nu f(x) = Chng minh Theo mnh 2.1.12, a thc f(x) khụng tỏch c nu v ch nu (f(x),f(x)) Vỡ f(x) bt kh quy trờn K, nờn iu kin ny tng ng vi iu kin (f(x),f(x)) = f(x) Vỡ f(x) cú bc nh hn f(x) nờn iu ny tng ng vi f(x) = 2.1.14 nh ngha Mt trng K c gi l trng hon chnh nu v ch nu mi a thc bt kh quy trờn K u l a thc tỏch c trờn K Núi cỏch khỏc, K l trng hon chnh nu v ch nu K l m rng tỏch c trờn chớnh nú 2.1.15 H qu Mi trng cú c s u l trng hon chnh i i Chng minh Gi s f ( x ) = x , ta cú f '( x ) = iai x ú f(x) = nu v ch nu iai = Nu K cú c s thỡ t gi thit f(x) bt kh quy, ta suy bc ca f(x) dng v ú f(x) 0, vỡ vy theo mnh 2.1.13 thỡ f(x) l a thc tỏch c 2.1.16 B Cho trng K cú c s nguyờn t p Khi ú, a thc bt kh quy f(x) trờn K, s l a thc khụng tỏch c nu v ch nu p j p f(x) = b j ( x ) = F ( x ) i Chng minh Gi s f ( x ) = x , ta cú f '( x ) = iai x i Do ú, f '( x ) = nu v ch nu iai = vi mi i Vỡ K cú c s p, cho nờn f(x) = nu v ch nu h t = 0, vi cỏc ch s i khụng chia ht cho p Vỡ vy theo mnh 2.1.13, ta suy f(x) khụng tỏch c v ch cú f(x) dng trờn 2.1.17 H qu Mi trng hu hn u l trng hon chnh Chng minh Vỡ ỏnh x : x x p l mt t ng cu ca trng hu hn Fq (q=pn), cho nờn vi mi y thuc Fq tn ti nht mt phn t x 32 thuc Fq cho y = x p Núi cỏch khỏc, mi phn t thuc Fq u cú cn bc p Gi s cú mt a thc f(x) khụng tỏch c trờn Fq Khi ú, theo b 2.1.16 , ta cú f ( x) = F ( x p ) = a0 + a1x p + + ak ( x p ) k p p Vỡ a0 = b0 , , ak = bk , cho nờn ta cú: p p p p p k f ( x ) = b0 + b1 x + + bk ( x ) k p = (b + b1 x + + bk x ) , b F i q iu ny mõu thun vi tớnh bt kh quy ca f(x) trờn Fq 2.1.18 Mnh Mi m rng hu hn ca trng cú c s 0, u l m rng tỏch c trờn trng ú Chng minh Gi s E l m rng hu hn ca trng K, ú E l m rng i s trờn K Do ú mi phn t u thuc E u i s trờn K Gi f(x) l a thc ti tiu ca u trờn K, ú f(x) bt kh quy trờn K Theo h qu 2.1.15, mi trng cú c s u hon chnh, ú a thc f(x) tỏch c trờn K 33 2.2 PHN T NGUYấN THY 2.2.1 nh ngha Nu E = k ( ) , thỡ ta núi l phn t nguyờn thy ca trng E (trờn k ) 2.2.2 nh lý Gi s E l m rng hu hn ca trng k iu kin cn v tn ti phn t nguyờn thy ca trng E trờn k l ch cú mt s hu hn trng trung gian F k F E Nu E tỏch c trờn k thỡ tn ti phn t nguyờn thy Chng minh Nu k hu hn, thỡ nhúm nhõn ca trng E sinh bi mt phn t, v phn t ú cng sinh E trờn k Vỡ vy, ta s gi thit k vụ hn Gi s tn ti ch mt s hu hn trng trung gian gia k v E Gi s , E Khi c chy qua cỏc phn t thuc k, ta ch cú th thu c mt s hu hn trng dng k ( + c ) Do ú tn ti cỏc phn t c1 , c2 k , vi c1 c2 cho k ( + c1 ) = k ( + c2 ) Vỡ + c1 v + c cựng nm mt trng, nờn c (c1 c2 ) v cng nm mt trng ú Nh vy cng nm trng ú, v ta thy trng k ( , ) cú th sinh bi mt phn t Tip tc bng quy np, ta thy nu E = k (1 , , n ) thỡ tn ti cỏc phn t c1 , cn k cho E = k ( ) , ú = + c2 + + cn n o li, gi s E = k ( ) i vi no ú Gi s f ( x ) = irr ( , k , x) , k F E v g F ( x) = irr ( , F , x) Th thỡ g F chia ht f S phõn tớch thnh nhõn t E[x] l nht, v a thc tựy ý thuc E[x] vi h t cao nht bng v chia ht f(x) s bng tớch ca mt s nhõn t dng ( x i ) , ú , , n l cỏc nghim ca a 34 thc f Thnh th ch tn ti mt s hu hn cỏc a thc nh vy Do ú ta c ỏnh x F gF t hp cỏc trng trung gian vo hp hu hn cỏc a thc Gi s F0 l trng ca trng F sinh bi cỏc h t ca a thc g F ( x) trờn k Th thỡ g F cú cỏc h t thuc F0 v bt kh quy trờn F0 vỡ nú bt kh quy trờn F Thnh th bc ca phn t trờn F0 cng chớnh l bc ca trờn F , tc l F = F0 Nh vy, trng F c xỏc nh mt cỏch nht bi g F tng ng ca nú, v ú ỏnh x trờn l n ỏnh iu ú chng minh phn cũn li ca nh lý Cũn mnh liờn quan n cỏc m rng tỏch c, thỡ bng quy np ta cú th gi thit m khụng mt tớnh tng quỏt rng E = k ( , ) , ú , tỏch c trờn k Gi s , , n l cỏc phộp nhỳng chỡm khỏc ca trng k ( , ) vo k trờn k t p ( x) = ( i + x i j x j ) Rừ rng p(x) l a thc khỏc khụng, ú tn ti phn t c k cho p(c) Lỳc ú cỏc phn t i ( + c ), i = 1, , n , u khỏc c, v vỡ vy k ( + c ) cú bc khụng hn n trờn k Nhng n = [k ( , ) : k ] , ú k ( , ) = k ( + c ) 35 2.3 M RNG THUN TY KHễNG TCH C Trong tit ny ta gi thit rng k l trng cú c s p > v E l m rng i s ca trng k 2.3.1 nh ngha Phn t E c gi l thun tỳy khụng tỏch c trờn k nu n tn ti s nguyờn n cho p nm k Ta núi E l m rng thun tuý khụng tỏch c trờn k nu v ch nu mi phn t ca E u thun tuý khụng tỏch c trờn k 2.3.2 Mnh Gi s E l m rng i s ca trng k Khi ú cỏc iu kin sau õy l tng ng [E : k]S (I) (II) =1 Mi phn t E thun tỳy khụng tỏch c trờn k (III) Phng trỡnh bt kh quy i vi mi phn t E trờn k n cú dng X p a = vi n v a k no ú (IV) Tn ti mt cỏc phn t sinh { i }iI ca trng E trờn k , cho mi phn t i thun tỳy khụng tỏch c trờn k Chng minh chng minh cỏc iu kin ú tng ng , ta gi thit (I) tha Theo nh lý 2.1.1 ta cú [ k ( ) : k ] S = Gi s f ( X ) = irr ( , k , X ) Th thỡ f ch cú mt nghim, vỡ [ k ( ) : k ] S bng s cỏc nghim khỏc ca a thc f ( X ) t m = [ k ( ) : k ] Th thỡ deg f = m, v s phõn tớch ca f trờn k ( ) cú dng f ( X ) = ( X ) m Nhng m = p n r , ú r l s nguyờn, nguyờn t vi p Vỡ vy ( f (X ) = X pn pn ) r =X n p r r p n X n p ( r 1) + cỏc hng t bc hn Vỡ cỏc h t ca a thc f ( X ) nm k , nờn r p nm k , n n v vỡ r (trong k ) nờn p nm k Gi s a = p , th thỡ l 36 n nghim ca a thc X p a chia ht cho f (X ) = X pn f ( X ) , t ú suy a Mt lý lun tng t chng t (II) kộo theo (III) Cũn (III) kộo theo (IV) l tm thng Cui cựng gi s (IV) tha Gi s E l m rng sinh bi cỏc phn t thun tỳy khụng tỏch c i , (i I ) Mt phộp nhỳng chỡm tựy ý ca trng E trờn k ỏnh x i v nghim ca a thc f i ( X ) = irr ( i , k , X ) n Nhng f i ( X ) chia ht mt a thc X p a no ú, ch cú mt nghim (bi) Thnh th, mt phộp nhỳng chỡm tựy ý ca trng E trờn k ng nht trờn mi i v vỡ vy ng nht trờn E, nờn ta suy [ E : k ] S = , kt thỳc chng minh 2.3.3 Mnh Cỏc m rng thun tỳy khụng tỏch c lp thnh lp c ỏnh du cỏc m rng Chng minh Mnh v thỏp c suy t nh lý 2.1.1, cũn tớnh cht nõng cỏc trng c suy t iu kin (IV) ca nh ngha 2.3.4 Mnh Gi s E l m rng i s ca trng k , v gi s E0 l hp t ca tt c cỏc trng F ca trng E m F k v F tỏch c trờn k Th thỡ E0 l m rng tỏch c trờn k , cũn E l m rng thun tỳy khụng tỏch c trờn E0 Chng minh Vỡ cỏc m rng tỏch c lp thnh mt lp c ỏnh du cỏc m rng, nờn E0 tỏch c trờn k Thc E0 gm tt c cỏc phn t ca E tỏch c trờn k Theo mnh 2.1.4, i vi phn t E ó n cho, tn ti mt ly tha ca p, chng hn pn, cho p tỏch c trờn k Do ú E thun tỳy khụng tỏch c trờn E0 37 2.3.5 H qu Nu m rng i s E ca trng k va l tỏch c va l thun tỳy khụng tỏch c, thỡ E = k 2.3.6 H qu Gi s K l m rng chun tc trờn k , v gi s K0 l m rng tỏch c ti i ca nú, th thỡ K0 cng l m rng chun tc trờn k Chng minh Gi s l phộp nhỳng chỡm K0 vo K trờn k , m rng ti phộp nhỳng chỡm ca trng K, lỳc ú l t ng cu ca trng K Ngoi trng K0 tỏch c trờn k , ú nú c cha K0, vỡ K0 l trng tỏch c ti i Nh vy, K0 = K0 2.3.6 H qu Gi s E, F l hai m rng hu hn ca trng k , ú E/ k tỏch c cũn F/ k thun tỳy khụng tỏch c Gi s E v F l cỏc trng ca mt trng chung no ú Th thỡ [ EF : F ] = [ E : k ] = [ EF : k ] , [ EF : E ] = [ F : k ] = [ EF : k ] i S 2.3.7 H qu Kớ hiu E p l trng tt c cỏc phn t cú dng x p , x E Gi s E l m rng hu hn ca trng k Nu E p k = E , thỡ E l m n rng tỏch c trờn k Nu E tỏch c trờn k thỡ E p k = E vi mi n Chng minh Gi s E l m rng tỏch c ti i ca trng E Gi s E p k = E t E = k ( , , n ) Vỡ E thun tỳy khụng tỏch c trờn E0 , m m p p nờn tn ti m cho i E0 vi mi i = 1,,n Thnh th E E0 Nhng E p = E , nờn E = E0 tỏch c trờn k Ngc li, gi s E tỏch c trờn k Ta cú E thun tỳy khụng tỏch c trờn E p k Vỡ ng thi cú E tỏch c trờn E p k , nờn suy m p n E = E k Lp li mt s ln, ta c E = E p k vi n 38 2.3.9 Mnh Gi s K l m rng chun tc ca trng k , G l nhúm cỏc t ng cu ca nú trờn k , v KG l trng bt ng ca nhúm G Th thỡ KG thun tỳy khụng tỏch c trờn k v K tỏch c trờn KG Nu K0 l m rng tỏch c ti i ca K, thỡ K0 K G G K = K K o v =k Chng minh Gi s K G v l mt phộp nhỳng chỡm tựy ý ca trng k ( ) vo K trờn k M rng ti phộp nhỳng chỡm ca trng K; ta cng kớ hiu m rng ú l Th thỡ l t ng cu ca trng K, vỡ K l m rng chun tc ca trng k Theo nh ngha, = v ú l ỏnh x ng nht trờn k ( ) Vỡ vy [ k ( ) : k ] S = v l phn t thun tỳy khụng tỏch c Nh vy, KG thun tỳy khụng tỏch c trờn k Giao ca K0 v KG va tỏch c, va thun tỳy khụng tỏch c trờn k , nờn phi bng k Trc ht ta gi thit K hu hn trờn k , v ú theo nh lý 2.1.1, nhúm G hu hn Gi s K v gi s , , n l ti i cỏc phn t thuc G, cho cỏc phn t , , n khỏc Th thỡ i no ú l ng n nht, v l nghim ca a thc f ( X ) = ( X i ) i =1 Ta thy f l a thc tỏch c v cỏc h t ca nú nm trng bt ng KG Vỡ vy tỏch c trờn KG Theo mnh 2.3.4, K thun tỳy khụng tỏch c trờn K0, v ú thun tỳy khụng tỏch c trờn K0KG Mt khỏc, K tỏch c trờn KG, v ú tỏch c trờn K0KG Nh vy, K = K0KG 39 KT LUN Lun trung tỡm hiu v m rng tỏch c v m rng thun tỳy khụng tỏch c Ni dung chớnh c trỡnh by lun gm: Cỏc m rng tỏch c lp thnh lp c ỏnh du cỏc m rng Gi s E l m rng hu hn ca trng k iu kin cn v tn ti phn t nguyờn thy ca trng E trờn k l ch cú mt s hu hn trng trung gian F k F E Nu E tỏch c trờn k thỡ tn ti phn t nguyờn thy Gi s E l m rng i s ca trng k Khi ú, cỏc iu kin sau õy l tng ng (i) [ E : k] S = (ii) Mi phn t E thun tỳy khụng tỏch c trờn k (iii) Phng trỡnh bt kh quy i vi mi phn t E trờn k cú n dng X p a = vi n v a k no ú (iv) Tn ti mt cỏc phn t sinh { i } iI ca trng E trờn k , cho mi phn t i thun tỳy khụng tỏch c trờn k Cỏc m rng thun tỳy khụng tỏch c lp thnh lp c ỏnh du cỏc m rng Hung nghiờn cu ca Lun cú th i sõu hn vo tỡm hiu cỏc ng dng ca m rng tỏch c v thun tuý khụng tỏch c Lý thuyt Galois 40 TI LIU THAM KHO A.TING VIT [1] G Birkhoff v S Maclane, (1979), Tng quan v i s hin i, NXB i hc v Trung hc chuyờn nghip, H Ni [2] Nguyn T Cng, (2003), Giỏo trỡnh i s hin i, NXB i hc Quc gia H Ni [3] H Huy Khoỏi, Phm Huy in, (2003), S hc thut toỏn, NXB i hc Quc gia H Ni [4] S.Lang (1974), i s, NXB i hc v Trung hc chuyờn nghip, H Ni [5] Nguyn Thnh Quang, (2003), S hc hin i, Trng i hc Vinh [6] Nguyn Thnh Quang (2005), Lý thuyt trng v lý thuyt Galois, Trng i hc Vinh [7] Nguyn Chỏnh Tỳ (2006), Lý thuyt m rng trng v Galois, NXB Giỏo dc B TING ANH [8] Z I Borevic and R I Safarevic, (1964), Theory of number, Moscow [9] R Hartshorne, (1977), Algebraic Geometry, Springer [10] Van der Waerden, (1995), Algebra, Springer mục lục mở đầu 41 Chơng Mở rộng đại số 1.1 Trờng đóng đại số 1.2 Bao đóng đại số trờng 1.3 Trờng phân rã mở rộng chuẩn tắc Chơng Mở rộng tách đợc tuý không tách đợc 2.1 Mở rộng tách đợc 2.2 Phần tử nguyên thuỷ 2.3 Mở rộng tuý không tách đợc Kết luận Tài liệu tham khảo [...]... lý Các mở rộng tách được lập thành lớp được đánh dấu các mở rộng Chứng minh Giả sử E là mở rộng tách được trên k và E ⊃ F ⊃ k Mọi phần tử thuộc E tách được trên F , vì mọi phần tử thuộc F , vốn là phần tử thuộc E, tách được trên k Dó đó mỗi tầng của tháp là tách được Đảo 30 lại, giả sử E ⊃ F ⊃ k là một một mở rộng nào đó sao cho E / F tách được và F / k tách được Ta cần chứng minh E / k tách được Thật... cβ )  35 2.3 MỞ RỘNG THUẦN TÚY KHÔNG TÁCH ĐƯỢC Trong tiết này ta giả thiết rằng k là trường có đặc số p > 0 và E là mở rộng đại số của trường k 2.3.1 Định nghĩa Phần tử α ∈ E được gọi là thuần túy không tách được trên k nếu n tồn tại số nguyên n ≥ 0 sao cho α p nằm trong k Ta nói E là mở rộng thuần tuý không tách được trên k nếu và chỉ nếu mọi phần tử của E đều thuần tuý không tách được trên k 2.3.2... được trên k , còn E là mở rộng thuần túy không tách được trên E0 Chứng minh Vì các mở rộng tách được lập thành một lớp được đánh dấu các mở rộng, nên E0 tách được trên k Thực ra E0 gồm tất cả các phần tử của E tách được trên k Theo mệnh đề 2.1.4, đối với phần tử α ∈ E đã n cho, tồn tại một lũy thừa của p, chẳng hạn pn, sao cho α p tách được trên k Do đó E thuần túy không tách được trên E0  ... đề Các mở rộng thuần túy không tách được lập thành lớp được đánh dấu các mở rộng Chứng minh Mệnh đề về tháp được suy ra từ định lý 2.1.1, còn tính chất nâng các trường được suy ra từ điều kiện (IV) của định nghĩa  2.3.4 Mệnh đề Giả sử E là mở rộng đại số của trường k , và giả sử E0 là hợp tử của tất cả các trường con F của trường E mà F ⊂ k và F tách được trên k Thế thì E0 là mở rộng tách được trên... MỞ RỘNG TÁCH ĐƯỢC VÀ THUẦN TÚY KHÔNG TÁCH ĐƯỢC 2.1 MỞ RỘNG TÁCH ĐƯỢC Giả sử E là một mở rộng đại số của trường F và σ : F → L là phép nhúng chìm F vào trường đóng đại số L Ta nghiên cứu kĩ hơn về các mở rộng của σ trên E Một mở rộng tùy ý như vậy của σ sẽ ánh xạ E lên trường con của L là mở rộng đại số trên σ F Như vậy ta có thể giả thiết L là mở rộng đại số trên σ F , và do đó, trùng với bao đóng đại... trường thì các mở rộng chuẩn tắc vẫn giữ nguyên là chuẩn tắc Nếu K ⊃ E ⊃ k và K là mở rộng chuẩn tắc trên k , thì K là mở rộng chuẩn tắc trên E Nếu K1 , K 2 là các mở rộng chuẩn tắc trên k và được chứa trong một trường L nào đó, thì K1 K 2 là mở rộng chuẩn tắc trên k , và K1 ∩ K 2 cũng vậy Chứng minh Để chứng minh mệnh đề đầu, ta giả thiết K là mở rộng chuẩn tắc trên k , và F là một mở rộng tùy ý của... ) tách được trên k và do đó α tách được trên k Điều đó chứng minh điều kiện (i) trong định nghĩa của lớp được đánh dấu Giả sử E tách được trên k và F là một mở rộng tùy ý của trường k , ngoài ra cả hai mở rộng E và F là trường con của một trường nào đó Mọi phần tử thuộc E tách được trên k , nên cũng tách được trên F Vì EF sinh bởi tất cả các phần thử thuộc E trên F , nên EF tách được trên F theo định... i là tách được trên k nên cũng tách được trên k (α 1 , , α i −1 ) với i ≥ 2 Do đó, theo định lý về tháp, E tách được trên k  Chú ý: Lý luận cuối cùng trong chứng minh định lý chứng tỏ rằng nếu E sinh bởi một số hữu hạn phần tử, mỗi một trong chúng tách được trên k , thì E tách được trên k 2.1.9 Định nghĩa Giả sử E là mở rộng đại số tùy ý của trường k Ta nói E tách được trên k , nếu mọi mở rộng. .. hai mở rộng hữu hạn, thì [ E : k]i = [ E : F]i [ F : k]i Nhận xét: Nếu α là phần tử tách được trên k và F là một mở rộng tùy ý của trường k, thì α là phần tử tách được trên F Thật vậy, nếu f là đa thức tách được thuộc k[X] sao cho f(α) = 0, thì vì các hệ tử của f cũng nằm trong F, nên α cũng là phần tử tách được trên F (Có thể nói, khi nâng các trường thì phần tử tách được vẫn là phần tử tách được) ... Giả sử E là mở rộng hữu hạn trên trường k Ta nói E là mở rộng tách được trên k , nếu [ E : k ] S = [ E : k ] Phần tử α đại số trên k được gọi là phần tử tách được trên k , nếu k (α ) là mở rộng tách được trên k Đa thức f ( X ) ∈ k[ X ] được gọi là tách được, nếu nó không có nghiệm bội 2.1.4 Mệnh đề Giả sử α là phần tử đại số trên k ,α ∈ k , và giả sử f ( X ) = irr (α , k , X ) Nếu char k = 0 thì ... Springer mục lục mở đầu 41 Chơng Mở rộng đại số 1.1 Trờng đóng đại số 1.2 Bao đóng đại số trờng 1.3 Trờng phân rã mở rộng chuẩn tắc Chơng Mở rộng tách đợc tuý không tách đợc 2.1 Mở rộng tách đợc 2.2... Chơng Mở rộng tách đợc tuý không tách đợc 2.1 Mở rộng tách đợc 2.2 Phần tử nguyên thuỷ 2.3 Mở rộng tuý không tách đợc Kết luận Tài liệu tham khảo