Về mở rộng tách được và thuần túy không tách được

Trong mở rộng trường, người ta đó chứng minh được rằng, mọi trường K đều cú một mở rộng đúng đại số duy nhất và hệ quả quan trọng... Một trong những nội dung quan trọng và có nhiều ứng d

Bộ giáo dục và đào tạo

Trờng đại học Vinh

-TRỊNH NGỌC SƠN

VỀ MỞ RỘNG TÁCH ĐƯỢC VÀ THUẦN TÚY KHễNG TÁCH ĐƯỢC Luận văn thạc sĩ toán học

Vinh 2010

Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học Vinh

-TRỊNH NGỌC SƠN

VỀ MỞ RỘNG TÁCH ĐƯỢC VÀ

THUẦN TÚY KHễNG TÁCH ĐƯỢC

Chuyên ngành đại số và Lý thuyết số

Mã số: 60 46 05 Luận văn thạc sĩ toán học

phương trỡnh đại số Một minh chứng rừ nhất đú là Định lý cơ bản của Đại

số học khẳng định rằng, mọi đa thức hệ số phức với bậc dương đều cú ớtnhất một nghiệm phức Về sau, Đại số học trở thành khoa học nghiờn cứucấu trỳc đại số trừu tượng, mà trong đú cấu trỳc trường là một cấu trỳc đại

số cơ bản Trong mở rộng trường, người ta đó chứng minh được rằng, mọi

trường K đều cú một mở rộng đúng đại số duy nhất và hệ quả quan trọng

là Định lý cơ bản của Đại số học: Trường số phức C là trường đóng đại

số.

Một trong những nội dung quan trọng và có nhiều ứng dụng sâu sắctrong việc xây dựng các trường hoàn chỉnh của lý thuyết mở rộng trường

là mở rộng tách được và thuần tuý không tách được

Với những lý do nêu trên, chúng tôi lựa chọn đề tài “Mở rộng tách

được và thuần tuý không tách được” nhằm tìm hiểu các kết quả, tính

chất cơ bản và ứng dụng của các loại mở rộng trường này

Các khái niệm cơ sở về mở rộng tách được và thuần tuý không tách

1 Giả sử E là mở rộng hữu hạn của trường K Ta nói E là mở rộng

tách được trên K nếu và chỉ nếu mọi phần tử của E đều tách được trên K.

Phần tử a thuộc E được gọi là tách được trên K nếu đa thức cực tiểu của a trên K là đa thức tách được trên K Đa thức f(x) trên K được gọi là đa thức

tách được trên K nếu f(x) không có nghiệm bội trong K.

2 Giả sử K là trường có đặc số p > 0 và E là mở rộng hữu hạn của trường K Ta nói E là mở rộng thuần tuý không tách được trên K nếu và chỉ nếu mọi phần tử của E đều thuần tuý không tách được trên K

Phần tử a thuộc E được gọi là thuần tuý không tách được trên K nếu

Ngoài các phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung luậnvăn này gồm hai chương

Nội dung chương 1 trình bày các kiến thức cơ sở về mở rộngtrường, mở rộng đại số, trường phân rã của đa thức, trường đóng đại số,

mở rộng đóng đại số, bao đóng đại số của trường, mở rộng chuẩn tắc

Nội dung chương 2 giới thiệu về khái niệm, tính chất, kết quả vàứng dụng của mở rộng tách được và thuần tuý không tách được Các nộidung đáng chú ý là:

 Các mở rộng tách được lập thành lớp được đánh dấu các mở

rộng.

là tương đương.

(i) [E k: ]S = 1

(ii) Mọi phần tử α ∈E thuần túy không tách được trên k

(iii) Phương trình bất khả quy đối với mọi phần tử α ∈E trên k có dạng X n − =a 0 với n ≥ 0 và a∈k nào đó.

(iv) Tồn tại một tập các phần tử sinh { }αi ∈I của trường E trên k , sao cho mỗi phần tử αi thuần túy không tách được trên k

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS.TS NguyễnThành Quang Nhân dịp này, tác giả bày tỏ lòng biết ơn đến thầy giáohướng dẫn

Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến PGS.TS Ngô Sĩ Tùng, PGS.TS Lê QuốcHán, TS Nguyễn Thị Hồng Loan và các thầy cô giáo khác trong chuyênngành Đại số - Khoa Toán và Khoa Đào tạo Sau đại học – Trường Đại họcVinh đã giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập

Mặc dù đã hết sức cố gắng, luận văn không tránh khỏi những thiếusót Tác giả mong muốn nhận được sự chỉ bảo của qúy thầy cô giáo và cácbạn học viên

Vinh, tháng 11 năm 2010

Tác giả

CHƯƠNG 1

MỞ RỘNG ĐẠI SỐ

1.1 TRƯỜNG ĐÓNG ĐẠI SỐ

1.1.1 Định nghĩa Giả sử F là một trường Nếu F là trường con của

Ta có thể coi E như một không gian vevtơ trên F , và ta nói rằng E

chiều của không gian vectơ đó là hữu hạn hay vô hạn

tiểu của α trên F. Ta còn kí hiệu p x( ) ir ( , , ) = r α F x .

1.1.3 Định lý Mọi mở rộng hữu hạn E của trường F đều là mở rộng đại số trên F

Chứng minh Giả sử α ∈E, α ≠ 0 Vì E hữu hạn nên hệ {1, , α α α 2 , 3 , , … αn}

1.1.4 Mệnh đề Giả sử k là một trường và F ⊂E là các mở rộng của k Thế thì

[E k: ] [= E F: ] [. F k: ].

Nếu { }x i i I∈ là cơ sở của trường F trên k và { }y j j J

∈ là cơ sở của trường E

trên F , thì { }x y i j ( , )i j I J

∈ × là cơ sở của trường E trên k.

Chứng minh Giả sử z E∈ Theo giả thiết, tồn tại các phần tử αj∈F, hầu

1.1.5 Hệ quả Mở rộng E ⊃ F ⊃k là hữu hạn khi và chi khi E hữu hạn trên F và F hữu hạn trên k.

1.1.6 Mệnh đề Giả sử α là phần tử đại số trên k Thế thì k( )α =k[ ] α và

k(α) hữu hạn trên k Bậc [k( ) : α k] bằng bậc của đa thức cực tiểu của α

k[α] là một trường và vì vậy phải bằng k(α).

Giả sử d = degp(x) Các lũy thừa: 2 1

các đa thức ( ), ( ) q x r x ∈k x[ ] sao cho degr < d và ( ) f x =q x p x( ) ( )+r x( )

1, , α α , … αd− sinh ra k[α] như một không gian vectơ trên k. 

1.1.7 Định nghĩa Giả sử E , F là các mở rộng của trường k Nếu E và F

được chứa trong một trường L nào đó, thì ta kí hiệu EF là trường con bé

1.1.8 Mệnh đề Mọi mở rộng hữu hạn E của trường k là hữu hạn sinh.

Chứng minh Giả sử {α α1, , , 2 … αn} là cơ sở của trường E coi như không

F

Giả sử cả hai trường k(α) và F đều được chứa trong trường L nào đó Thế

) , , , (

) , ( )

k

trong đó mỗi trường sinh bởi một phần tử trên trường đứng trước nó Giả

1.1.9 Mệnh đề Giả sử E k a= ( , , )1 a n là mở rộng hữu hạn sinh của trường k, trong đó ai là phần tử đại số trên trường k với mỗi i = 1, 2,…, n Thế thì E là mở rộng đại số hữu hạn của trường k.

1.1.10 Định nghĩa Giả sử L là một lớp nào đó các mở rộng F ⊂E Ta sẽgọi lớp L là được đánh dấu, nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:

1.1.11 Định nghĩa

1.1.12 Mệnh đề Các phát biểu sau đây là tương đương:

i) K là trường đóng đại số.

ii) Mọi đa thức 0 ≠ ∈f K x[ ],với degf ≥ 1 đều có ước bậc nhất x – u trong K x[ ].

iii) Mọi đa thức 0 ≠ ∈f K x[ ], với degf ≥ 1 đều phân tích được

thành tích của các nhân tử tuyến tính f(x) =c(x−u1)(x−u2) (x−u n), trong

đó c∈K *, và u i∈K , i= 1…n.

iv) Các đa thức bất khả quy của K x [ ] chỉ gồm các đa thức bậc nhất.

v) Không tồn tại một mở rộng đại số nào của K khác K (nói cách khác không có mở rộng đại số thực sự nào cả).

vi) Mỗi đa thức thuộc vành K x [ ] bỏ đi một giá trị, sẽ là hàm hằng.

1.1.13 Định lý Tập A tất cả các số đại số tạo thành một trường con của trường các số phức, và là một mở rộng của trường các số hữu tỉ Q

Chứng minh Đặt A= {u∈ £ u đại số trên Q }

[ ]x

x u Q− ∈ Với u v, ∈A, các mở rộng đơn Q u Q v( ), ( ) của trường Q đều là

1.1.14 Định lý Trường A các số đại số là một trường đóng đại số.

Chứng minh Xét đa thức bất kỳ khác không

số.

1.1.15 Định lý Với mọi số nguyên tố p, tồn tại trường đóng đại số đặc số

p.

Chứng minh Với trường Zp các số nguyên modp, số các đa thức khác

•F0= Z p

•Với n ≥1, F n là trường nghiệm của đa thức f n∈F n−1[x].

Như thế ta thu được một dây chuyền tăng các trường

F

đặc số p.

g x( ) =a0+a x1 + …+a x r r

g(x) trên trường Zp (a 0 , a 1 ,…,a r ), đa thức g(x) phân rã được thành các nhân

tử tuyến tính:

Vì mỗi phần tử u i đều đại số trên Z p, nên u i có đa thức bất khả

quy cực tiểu ( )q x i ∈ZP[x] Đa thức q q q q= 1 2 r∈ Z p[x] nhận các u i (1≤i≤

r) làm nghiệm Do đó q là một bộ khác không của g.

được trong vành

F x m[ ] ⊂ F x[ ]

1.2 BAO ĐÓNG ĐẠI SỐ

1.2.1 Khái niệm phép nhúng chìm

Giả sử E là mở rộng của trường F và σ :F →L là một đơn cấu từ

1.2.2 Nhận xét Cho E/F là một mở rộng trường, f x( )∈F x[ ] và α là

1.2.3 Bổ đề Giả sử E là một mở rộng đại số của trường k và giả sử

quy của nó trên k và E’ là trường con của trường k sinh bởi tất cả các nghiệm của đa thức p(x) nằm trong E Thế thì E’ là hữu hạn sinh và do đó

là mở rộng hữu hạn trên k Ngoài ra, σ phải chuyển mọi nghiệm của đa

thức p(x) thành nghiệm của chính đa thức đó, cho nên ánh xạ E vào chính

∈

α E ’, nên từ đó suy ra α nằm trong ảnh của ánh xạ σ 

1.2.4 Bổ đề Giả sử E 1 , E 2 là các mở rộng của trường k, được chứa trong một trường E lớn hơn nào đó, và giả sử σ là phép nhúng chìm E vào

1 2

(E E )

σ là σ (E1) ( σ E2).

của p(x) cũng là nghiệm của f(x), cho nên ta có thể chỉ xét các đa thức bất

dư của x modp(x) Lúc đó

( ) ( ) ( ( )) 0

Khi thu hẹp trên k, các phép toán đó trùng với các phép toán cộng

1.2.6 Hệ quả Giả sử k là một trường và f 1 , f 2 ,…,f n là các đa thức thuộc k[x] bậc ≥ 1 Thế thì tồn tại mở rộng E của trường k, trong đó mỗi f i có nghiệm,với i = 1,…,n.

Chứng minh Giả sử E 1 là mở rộng, trong đó f 1 có nghiệm Ta có thể coi f 2

1.2.7 Định lý Với mọi trường k tồn tại trường đóng đại số L nhận k làm

trường con.

Chứng minh Trước hết ta xây dựng mở rộng E 1 của trường k, trong đó

trong k[S] không phải là idêan đơn vị Thật vậy, nếu không thì tồn tại một

tổ hợp hữu hạn các phần tử thuộc idêan đó bằng 1:

0

i

= 1 là điều mâu thuẫn.

:

σ k[S]→k[S]/m.

Bằng quy nạp ta có thể xây dựng một chuỗi các trường

E 1⊂E 2⊂…⊂E n⊂…

1.2.8 Hệ quả Với mọi trường k tồn tại mở rộng k là mở rộng đại số trên k và là trường đóng đại số

Chứng minh Giả sử E là mở rộng đóng đại số của trường k, và giả sử k

)

(x

1.2.9 Mệnh đề Số các mở rộng có thể của σtrên ( ) k α không vượt quá

số nghiệm của đa thức p và bằng số các nghiệm khác nhau của p, với p là

đa thức cực tiểu của α .

1.2.10 Định lý Giả sử k là một trường, E là mở rộng đại số của nó và

L

k →

:

σ là phép nhúng chìm k vào trường đóng đại số L Thế thì tồn tại

mở rộng của σ tới phép nhúng chìm E vào L Nếu E là đóng đại số và L

là mở rộng đại số trên σ k, thì mọi mở rộng tùy ý như vậy của σ sẽ là

phép đẳng cấu từ E lên L.

Chứng minh Giả sử S là tập tất cả các cặp ( F, τ ), trong đó F là trường con

(F, τ )≤ (F ,' τ ' ) đối với các cặp ( , )F τ và (F ,' τ ' ), nếu F ⊂F' và τ 'F = τ

cận trên của tập con sắp thứ tự tuyến tính đó Áp dụng bổ đề Zoóc, ta thấy

)

,

)

,

1.2.11 Hệ quả Giả sử k là một trường và E, E’ là các mở rộng đại số trên k, giả sử E, E’ là đóng đại số Thế thì tồn tại phép đẳng cấu τ :E→E'

từ trường E vào E’ cảm sinh ánh xạ đồng nhất trên k.

1.3 TRƯỜNG PHÂN RÃ VÀ CÁC MỞ RỘNG CHUẨN TẮC

1.3.1 Định nghĩa Giả sử k là một trường, f là một đa thức thuộc k[x].

Trường phân rã (trường phân tích) K của đa thức f là một mở rộng K của trường k, trong đó f phân tích được thành các nhân tử tuyến tính, tức là

f(x) = c(x - α 1 )(x - α 2 )…(x - α n), trong đó α ∈i K , i = 1,…,n

α + 1 = 0 Rõ rang (1 + α ) 2 +(1 + α) + 1 = 0, nên f có 2 nghiệm trong

trên Z2

2) Nhiều đa thức khác nhau có thể có cùng một trường phân rã

1.3.2 Định lý Giả sử K là một trường phân rã của đa thức f (X) ∈k[X].

Nếu E là một trường phân rã khác của f , thì tồn tại đẳng cấu σ :E→K

cảm sinh ánh xạ đồng nhất trên k Nếu k⊂ K⊂k , trong đó k là bao đóng đại số của k, thì mỗi phép nhúng chìm tùy ý từ trường E vào k , cảm sinh ánh xạ đồng nhất trên k, phải là phép đẳng cấu từ E lên K.

Chứng minh Giả sử K là bao đóng đại số của trường K Thế thì K là

mở rộng của trường k, và do đó là bao đóng đại số của nó Theo định lý

f X( )= fσ( )X =c X( −σβ1)(X −σβ2) (X −σβn)

) ) (

)(

( )

1.3.3 Định nghĩa Giả sử I là một tập các chỉ số nào đó và { }fi i∈Ilà một

các nhân tử tuyến tính

các đa thức đó

1.3.4 Hệ quả Giả sử K là trường phân rã đối với họ { }f i i I∈ và E là một trường phân rã khác nào đó Mọi phép nhúng chìm E vào K, cảm sinh ánh

xạ đồng nhất trên k sẽ xác định phép đẳng cấu từ E lên K.

Chứng minh Ta giữ nguyên các kí hiệu ở trên Chú ý rằng E chứa duy

lên K i Vì K là hợp tử của các trường K i nên ánh xạ σ phải chuyển E lên

K, và do đó nó cảm sinh một phép đẳng cấu từ E lên K. 

1.3.5 Định lý Giả sử K là mở rộng đại số của trường k, được chứa trong

bao đóng đại số k của k Thế thì các điều kiện sau là tương đương:

CT1: Mọi phép nhúng chìm σ của trường K vào k trên k là tự đẳng cấu

của trường K.

CT2: K là một trường phân rã của một họ nào đó các đa thức thuộc k[X] CT3: Mọi đa thức bất khả quy thuộc k[X], có nghiệm trong K, sẽ phân tích được trong K thành các nhân tử tuyến tính.

Chứng minh Giả sử CT1 thỏa mãn Giả sử α là phần tử thuộc K, pα( )X

β

thành các nhân tử tuyến tính trong K[X] Thành thử K là trường phân rã

như vậy điều kiện CT2 được thỏa mãn

Khi chứng minh CT1 kéo theo CT2 ở trên, đồng thời ta cũng chứng minhđược CT3 thỏa mãn

1.3.6 Định nghĩa Mở rộng K của trường k, thỏa mãn các điều kiện CT1,

CT2, CT3 được gọi là mở rộng chuẩn tắc

1.3.7 Định lý Một mở rộng bậc hữu hạn E của trường K là mở rộng

chuẩn tắc trên K khi và chỉ khi E là trường phân rã của một đa thức nào

đó trên K

Chứng minh Giả sử E là một mở rộng có bậc hữu hạn và chuẩn tắc trên

K Khi đó, vì E là mở rộng bậc hữu hạn của K nên E K u= ( , , )1 u n với u i

trường phân rã của đa thức

Ngược lại, giả sử E là trường phân rã của đa thức g(x) nào đó trên

K với các nghiệm v 1 , …,v k và p(x) là một đa thức bất khả quy trên K có một nghiệm u thuộc E Ta chứng minh p(x) phân rã được trong E[x] Giả

sử ngược lại, p(x) không phân rã được trong E[x], khi đó p(x) có ít nhất một nghiệm v nào đó thuộc E Ta xét các mở rộng đơn K (u) và K (v), tồn tại một và chỉ một K – đẳng cấu trường T từ K(u) lên K(v) sao cho

T(u) = v Ghép các nghiệm v 1 ,…,v k của g(x) vào K(u) và K(v) ta thu được

Vì u thuộc K u v( )( , , )1 v k = K v( , ,1 v k) nên u là một biểu thức hữu

tỉ của v 1 ,…,v k với các hệ tử thuộc K u: =φ( , , )v1 v k Vì ( ) T u =v nên

1

( , , )i ik

v=φ v v , do đó thuộc E Ta gặp phải một mâu thuẫn 

1.3.8 Định lý Khi nâng các trường thì các mở rộng chuẩn tắc vẫn giữ

nguyên là chuẩn tắc Nếu K ⊃E ⊃k và K là mở rộng chuẩn tắc trên k , thì K là mở rộng chuẩn tắc trên E Nếu K1, K2là các mở rộng chuẩn tắc trên k và được chứa trong một trường L nào đó, thì K1K2 là mở rộng chuẩn tắc trên k , và K1 ∩K2 cũng vậy.

Chứng minh Để chứng minh mệnh đề đầu, ta giả thiết K là mở rộng

F

Giả sử K ⊃E⊃k và K là mở rộng chuẩn tắc trên k Giả sử σ là

phép nhúng chìm σ của trường K1K2 trên k, ta có σ (K1K2) = σ (K1) σ (K2)

và mệnh đề của chúng ta lại suy ra từ các giả thiết đã cho Mệnh đề liênquan đến phép giao cũng đúng, vì

) ( ) ( ) (K1 K2 σ K1 σ K2

3 ,

3 2 2 ,

thì F không nhất thiết chuẩn tắc trên K

K = Q vì E là trường phân rã của đa thức f(x) = x 2 - 2∈Q[x]; F là trường

E[x] Tuy nhiên F không chuẩn tắc trên K vì F chỉ gồm các số thực, trong

CHƯƠNG 2

MỞ RỘNG TÁCH ĐƯỢC VÀ THUẦN TÚY KHÔNG TÁCH ĐƯỢC

2.1 MỞ RỘNG TÁCH ĐƯỢC

2.1.1 Định lý Với mọi tháp E ⊃F ⊃k , ta luôn có [E:k] [S = E:F] [S.F:k]S

Ngoài ra, nếu E hữu hạn trên k, thì [E : k]S hữu hạn và [E:k] [S ≤ E:k].

Như vậy, bậc tách được của E trên k không vượt quá bậc của mở rộng E

trên k.

Chứng minh Giả sử σ :k →L là phép nhúng chìm trường k vào trường

nhúng chìm E vào L Tập các phép nhúng chìm { }τij chứa đúng [E : F]S.

tính chất nhân của các bậc tách được trong các tháp Thế thì ta có thể thu

E k

k k

2.1.2 Hệ quả Giả sử E là một mở rộng hữu hạn trên k , và E⊃F ⊃k Đẳng thức [E:k] [S = E:k] được thỏa mãn khi và chi khi đẳng thức tương

ứng được thỏa mãn đối với mỗi tầng của tháp, tức là đối với E / F và

k

F /

2.1.3 Định nghĩa Giả sử E là mở rộng hữu hạn trên trường k Ta nói E

là mở rộng tách được trên k, nếu [E:k] [S = E:k]

f X =irr α k X Nếu char k = 0 thì tất cả các nghiệm của đa thức f

đều có bội 1 Nếu char k = p > 0 thì tồn tại số nguyên µ ≥ 0 sao cho mọi nghiệm của đa thức f có bội p µ Hơn nữa,