f So sỏnh bậc của và g ta suy ra
2.1.11. Định lý Cỏc mở rộng tỏch được lập thành lớp được đỏnh dấu cỏc mở rộng.
30
Chứng minh. Giả sử E là mở rộng tỏch được trờn k và EF k. Mọi phần tử thuộc E tỏch được trờn F,vỡ mọi phần tử thuộc F , vốn là phần tử thuộc E, tỏch được trờn k. Dú đú mỗi tầng của thỏp là tỏch được. Đảo lại, giả sử EF k là một một mở rộng nào đú sao cho E F/ tỏch được và F/k tỏch được. Ta cần chứng minh E k/ tỏch được.
Thật vậy, nếu E hữu hạn trờn k, thỡ ta cú thể ỏp dụng định lý 2.1.1, cụ thể, ta cú đẳng thức giữa bậc và bậc tỏch được trong mỗi tầng của thỏp, từ đú theo tớnh chất nhõn suy ra đẳng thức giữa cỏc bậc đối với E
trờn k.
Bõy giờ giả sử E vụ hạn và E. Thế thỡ là nghiệm của một đa thức tỏch được f(X) với hệ tử thuộc F. Giả sử cỏc hệ tử đú là an,…,a0. Đặt F0 k a( n,...,a0).Thế thỡ F0tỏch được trờn k và tỏch được trờn F0.
Bõy giờ nếu xột thỏp
)( ( 0 0 F F k
ta thấy F0()tỏch được trờn k và do đú tỏch được trờn k. Điều đú chứng minh điều kiện (i) trong định nghĩa của lớp được đỏnh dấu.
Giả sử E tỏch được trờn k và F là một mở rộng tựy ý của trường
k, ngoài ra cả hai mở rộng E và F là trường con của một trường nào đú. Mọi phần tử thuộc E tỏch được trờn k, nờn cũng tỏch được trờn F. Vỡ
EF sinh bởi tất cả cỏc phần thử thuộc E trờn F, nờn EF tỏch được trờn
F theo định lý 2.1.10. Điều đú chứng minh điều kiện (ii) trong định nghĩa lớp được đỏnh dấu, và như vậy định lý được chứng minh.