Mệnh đề Đa thức f(x) trờn trường K, là đa thức tỏc- 123docz.net

f So sỏnh bậc của và g ta suy ra

2.1.12. Mệnh đề Đa thức f(x) trờn trường K, là đa thức tỏch được trờn K nếu và chỉ nếu f(x) và f’(x) nguyờn tố cựng nhau.

nếu và chỉ nếu f(x) và f’(x) nguyờn tố cựng nhau.

Chứng minh. Giả sử f(x) là đa thức tỏch được và (f(x), f’(x)) = d(x). Nếu

của f(x) trong K. Khi đú, ta sẽ cú f(x0) = 0 và f’(x0) = 0, hay f(x) cú nghiệm bội. Điều này trỏi với giả thiết f(x) tỏch được.

Đảo lại, giả sử (f(x),f’(x)) = 1. Khi đú, f(x) tỏch được vỡ nếu khụng thế thỡ f(x) cú nghiệm bội, do đú f(x) và f’(x) cú nhõn tử chung bậc 1. 

2.1.13. Mệnh đề. Một đa thức bất khả quy trờn trường K, sẽ là đa thức

khụng tỏch được trờn K nếu và chỉ nếu f’(x) = 0.

Chứng minh. Theo mệnh đề 2.1.12, đa thức f(x) khụng tỏch được nếu và chỉ nếu (f(x),f’(x)) 1. Vỡ f(x) bất khả quy trờn K, nờn điều kiện này tương đương với điều kiện (f(x),f’(x)) = f(x). Vỡ f’(x) cú bậc nhỏ hơn f(x) nờn điều này tương đương với f’(x) = 0.

2.1.14. Định nghĩa. Một trường K được gọi là trường hoàn chỉnh nếu và

chỉ nếu mọi đa thức bất khả quy trờn K đều là đa thức tỏch được trờn K. Núi cỏch khỏc, K là trường hoàn chỉnh nếu và chỉ nếu K là mở rộng tỏch được trờn chớnh nú.

2.1.15. Hệ quả.Mọi trường cú đặc số 0 đều là trường hoàn chỉnh.

Chứng minh. Giả sử f x( ) a xi i

  , ta cú f x'( ) ia xi i1 do đú f’(x) = 0 nếu và chỉ nếu iai = 0.

Nếu K cú đặc số 0 thỡ từ giả thiết f(x) bất khả quy, ta suy ra bậc của

f(x) dương và do đú f’(x)  0, vỡ vậy theo mệnh đề 2.1.13 thỡ f(x) là đa thức tỏch được. 

2.1.16. Bổ đề. Cho trường K cú đặc số nguyờn tố p. Khi đú, đa thức bất

khả quy f(x) trờn K, sẽ là đa thức khụng tỏch được nếu và chỉ nếu f(x) bj(xp j) F x( p).

Chứng minh. Giả sử f x( ) a xi i, ta cú f x'( ) ia xi i1. Do đú, f x'( )0

Vỡ K cú đặc số p, cho nờn f’(x) = 0 nếu và chỉ nếu hệ tử ai = 0, với cỏc chỉ số i khụng chia hết cho p. Vỡ vậy theo mệnh đề 2.1.13, ta suy ra

f(x) khụng tỏch được khi và chỉ khi cú f(x) dạng trờn. 

2.1.17. Hệ quả. Mọi trường hữu hạn đều là trường hoàn chỉnh.

Chứng minh. Vỡ ỏnh xạ  :xxplà một tự đẳng cấu của trường hữu hạn

Fq (q=pn), cho nờn với mọi y thuộc Fq tồn tại duy nhất một phần tử x

thuộc Fq sao cho y = xp. Núi cỏch khỏc, mọi phần tử thuộc Fq đều cú căn bậc p.

Giả sử cú một đa thức f(x) khụng tỏch được trờn Fq. Khi đú, theo bổ đề 2.1.16 , ta cú f x( )F x( p)a0a x1 p ... ak xp k. Vỡ 0 0 p,..., k kp a b a b , cho nờn ta cú: 0 1 ( ) p p p ... p( p k) k f x b b x  b x . 1 0 (b b x ... b xk k) ,p b F i q      .

Điều này mõu thuẫn với tớnh bất khả quy của f(x) trờn Fq.

2.1.18. Mệnh đề. Mọi mở rộng hữu hạn của trường cú đặc số 0, đều là

mở rộng tỏch được trờn trường đú.

Chứng minh. Giả sử E là mở rộng hữu hạn của trường K, khi đú E là mở rộng đại số trờn K. Do đú mọi phần tử u thuộc E đều đại số trờn K. Gọi

f(x) là đa thức tối tiểu của u trờn K, khi đú f(x) bất khả quy trờn K. Theo hệ quả 2.1.15, mọi trường cú đặc số 0 đều hoàn chỉnh, do đú đa thức f(x) tỏch được trờn K. 