THUẦN TÚY KHễNG TÁCH ĐƯỢC 2.1. MỞ RỘNG TÁCH ĐƯỢC
Giả sử E là một mở rộng đại số của trường F và :F L là phộp nhỳng chỡm F vào trường đúng đại số L. Ta nghiờn cứu kĩ hơn về cỏc mở rộng của trờn E. Một mở rộng tựy ý như vậy của sẽ ỏnh xạ E lờn trường con của L là mở rộng đại số trờn F. Như vậy ta cú thể giả thiết L là mở rộng đại số trờn F, và do đú, trựng với bao đúng đại số của trường F. Kớ hiệu: Slà tập cỏc mở rộng của tới phộp nhỳng chỡm E vào L.
Giả sử L’ là một trường đúng đại số khỏc, và giả sử :FL' là một phộp nhỳng chỡm. Giống như ở trờn, ta giả thiết L’ là bao đúng đại số của trường F.
Kớ hiệu S là tập cỏc phộp nhỳng chỡm của E vào L’ là mở rộng của . Nhận xột: S và S cú cựng lực lượng, và lực lượng đú chỉ phụ thuộc vào mở rộng E/F, ta kớ hiệu nú bởi E:FS và gọi là bậc tỏch được của E
trờn F. Nú đỏng chỳ ý khi E/F hữu hạn.
2.1.1. Định lý. Với mọi thỏp EF k, ta luụn cú E:k S E:F S.F:kS. Ngoài ra, nếu E hữu hạn trờn k, thỡ E:kS hữu hạn và E:k S E:k. Ngoài ra, nếu E hữu hạn trờn k, thỡ E:kS hữu hạn và E:k S E:k.
Như vậy, bậc tỏch được của E trờn k khụng vượt quỏ bậc của mở rộng E
trờn k.
Chứng minh. Giả sử :k L là phộp nhỳng chỡm trường k vào trường đúng đại số L, i iI là họ cỏc mở rộng khỏc nhau của trờn F, và với mỗi i giả sử
ij
{ } là họ cỏc mở rộng khỏc nhau của itrờn E. Theo điều đó chứng minh ở trờn, mỗi i cú đỳng E:FS cỏc mở rộng tới phộp
26
nhỳng chỡm E vào L. Tập cỏc phộp nhỳng chỡm
ij
{ } chứa đỳng E:FS.F:kS phần tử. Mọi phộp nhỳng chỡm E vào Ltrờn phải là một trong cỏc
j
i
và như vậy, ta thấy cụng thức thứ nhất được thỏa món, tức là cú tớnh chất nhõn của cỏc bậc tỏch được trong cỏc thỏp. Thế thỡ ta cú thể thu được E như một thỏp cỏc mở rộng, mà mỗi tầng sinh bởi một phần tử
Ek k
k k
k (1) (1,2)... (1,2,...,n) .
Nếu như ta định nghĩa một cỏch quy nạp Fv1 Fv(v1) thỡ theo mệnh đề 1.2.9 ta cú
Fv(v1):Fv Fv(v1):Fv.
Như vậy, bất đẳng thức của chỳng ta được thỏa món với mỗi tầng của thỏp. Theo tớnh chất nhõn của cỏc bậc và cỏc bậc tỏch được, từ đú ta suy ra bất đẳng thức đỳng với mở rộng E/k.
2.1.2. Hệ quả. Giả sử E là một mở rộng hữu hạn trờn k, và EFk. Đẳng thức E:k S E:k được thỏa món khi và chi khi đẳng thức tương Đẳng thức E:k S E:k được thỏa món khi và chi khi đẳng thức tương ứng được thỏa món đối với mỗi tầng của thỏp, tức là đối với E/F và
k F/ .
2.1.3. Định nghĩa. Giả sử E là mở rộng hữu hạn trờn trường k. Ta núi E
là mở rộng tỏch được trờn k, nếu E:k S E:k.
Phần tử đại số trờn k được gọi là phần tử tỏch được trờn k, nếu
)( (
k là mở rộng tỏch được trờn k.
Đa thức f(X)k[X] được gọi là tỏch được, nếu nú khụng cú nghiệm bội.
2.1.4. Mệnh đề. Giả sử là phần tử đại số trờn k,k, và giả sử
( ) ( , , )
27
f đều cú bội 1. Nếu chark = p > 0 thỡ tồn tại số nguyờn à ≥ 0 sao cho mọi nghiệm của đa thức f cú bội pà. Hơn nữa,
k( ) : k pk( ) : kSvà phần tử αpà là phần tử tỏch được trờn k. Chứng minh. Giả sử 1,...,rlà cỏc nghiệm khỏc nhau của đa thức f trong
k và m là số bội của nghiệm i trong f . Với mỗi 1ir tồn tại phộp đẳng cấu ) ( ) ( :k k i
trờn k mà i. Ta mở rộng tới đẳng cấu của trường k; ta cũng sẽ kớ hiệu mở rộng đú là như cũ. Vỡ cỏc hệ tử của f nằm trong k, nờn
.f f Chỳ ý rằng f f Chỳ ý rằng ( ) ( ) 1 mi r f X X i i
trong đú mi là số bội của
i
trong f .
Do tớnh duy nhất của việc phõn tớch thành nhõn tử, ta kết luận rằng
mi = m1, và do đú mọi mi đều bằng số nguyờn m.
Ta xột đạo hàm f'(X). Nếu f và f' cú nghiệm chung, thỡ là nghiệm của đa thức bậc bộ hơn deg f . Điều đú khụng thể xảy ra, trừ trường hợp deg f', núi khỏc đi, khi đạo hàm f' đồng nhất bằng 0. Nếu đặc số bằng 0 thỡ điều cuối cựng đú cũng khụng xảy ra. Thành thử nếu f cú nghiệm bội, thỡ ta cú trường hợp đặc số p và f X( )g X( p) đối với đa thức ( )g X k X[ ] nào đú. Vỡ vậy p là nghiệm của đa thức g
mà degg < deg f .
Tiếp tục bằng quy nạp ta được số nguyờn bộ nhất à ≥ 0 sao cho
p
là nghiệm của một đa thức tỏch được thuộc k[X], cụ thể là h mà
( ) ( p )
f X h X . So sỏnh bậc của f và g ta suy ra