Mô đun nội xạ và bao nội xạ của môđun

Lời nói đầu. Trong lý thuyết môđun, lớp môđun nội xạ và lớp môđun xạ ảnh là hai trụ cột chính. Hiện nay ngời ta đã mở rộng các lớp môđun đó và đã thu đợc nhiều kết quả trong việc nghiên cứu đặc trng vành. Luận văn của chúng tôi tập trung nghiên cứu lớp môđun nội xạ với đề tài Mô đun nội xạ và bao nội xạ của môđun, chia thành hai chơng : Chơng I : Môđun nội xạ. Trong chơng này chúng tôi trình bày hệ thống lại về lý thuyết môđun nội xạ theo quan điểm môđun nội xạ là môđun mà nó là hạng tử trực tiếp của các môđun chứa nó. Đặc biệt trong chơng này chúng tôi đã sử dụng khái niệm môđun con cốt yếu để phát biểu và chứng minh một số tính chất của môđun nội xạ. Bên cạnh đó, luận văn cũng mô tả lớp môđun nội xạ theo quan điểm đồng điều. Kết quả chính của chơng này là trình bày hệ thống và chứng minh chi tiết các tính chất và các đặc trng của môđun nội xạ. Trong chơng này, luận văn đã chứng minh một số tính chất của môđun con cốt yếu và môđun con đối cốt yếu ( môđun con bé). Chơng II : Bao nội xạ của môđun. Chơng này nhằm trình bày lời giải bài toán về sự tồn tại bao nội xạ của môđun và ứng dụng để chứng minh một số tính chất của mô đun và vành. Nội dung của chơng chia làm hai phần: Phần 1 (Đ1) : Vấn đề nhúng một môđun vào một môđun nội xạ. Phần này trình bày một cách tờng minh lời giải bài toán nhúng một môđun bất kỳ vào một môđun nội xạ theo quan điểm môđun các đồng cấu và xuất phát từ việc nhúng một nhóm Abel bất kỳ vào một nhóm Abel chia đợc. Phần 2(Đ2) : Bao nội xạ của môđun Trong phần này luận văn đề cập đến hai nội dung chính: Nội dung thứ nhất là trình bày chi tiết và hệ thống lời giải bài toán về sự tồn tại bao nội xạ của một môđun bất kỳ. Kết quả chính của nội dung này là đã dựa vào khái niệm môđun con cốt yếu và chứng minh đợc rằng: Bao nội xạ của một môđun là mở rộng cốt yếu tối đại của môđun đó và cũng là mở rộng nội xạ tối tiểu của môđun đó. Nội dung thứ hai là ứng dụng sự tồn tại của bao nội xạ để chứng minh một số tính chất của một số lớp môđun và vành. Luận văn đợc hoàn thành tại Trờng Đại học Vinh, dới sự hớng dẫn của thầy giáo, PGS TS . Ngô Sỹ Tùng . Nhân dịp này , tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy , ngời đã hớng dẫn tận tình , chu đáo và động viên tôi rất nhiều trong suốt quá trình học tập cũng nh hoàn thành luận văn. Tôi xin cảm ơn tất cả các thầy giáo trong Khoa Toán, các cán bộ Khoa Sau đại học trờng Đại học Vinh và các anh chị học viên cao học ngành Toán đã động viên giúp đỡ và có nhiều ý kiến đóng góp trong quá trình hoàn thành luận văn. Tôi rất mong nhận đợc sự góp ý chỉ bảo của các thầy cô giáo và các bạn. Vinh , tháng 10 năm 2004. Tác giả Chơng I môđun nội xạ. Trong Chơng này chúng tôi trình bày về môđun nội xạ, môđun con cốt yếu và môđun con đối cốt yếu là các khái niệm quan trọng của lý thuyết môđun và vành liên quan đến Chơng II. Đ1.các khái niệm cơ sở . 1.1.1.Định nghĩa. a). Môđun con A của môđun M đợc gọi là môđun con thực sự nếu A không phải là môđun con tầm thờng của M, nghĩa là A 0 và A M. b) R- môđun M đợc gọi là môđun đơn nếu M không chứa môđun con thực sự nào, nghĩa là M chỉ có hai môđun con là 0 và M. c) R - môđun M đợc gọi là môđun nửa đơn nếu mọi môđun con của M là hạng tử trực tiếp . d) Môđun con A của môđun M đợc gọi là tối đại nếu A M và nó không chứa trong một môđun con thực sự nào của M . e) Giả sử X là một tập con của R - môđun M . Môđun con bé nhất A chứa X đợc gọi là mô đun con sinh bởi X và X là một tập sinh hay hệ sinh của A. Trong trờng hợp A = M ta nói X là một hệ sinh của M và M đợc sinh bởi X. Nếu M có một hệ sinh hữu hạn ta nói rằng M là R- môđun hữu hạn sinh . 1.1.2. Định nghĩa. a). Cho hai môđun M và N . Một ánh xạ tuyến tính f : M N thoả mãn các điều kiện : f (x+y) = f (x) + f (y) f (rx) = r f (x). ( x, y M ; rr ) đợc gọi là một đồng cấu R - môđun . Nếu N = M thì f đợc gọi là một tự đồng cấu của M . b) Đồng cấu f : M N đợc gọi là một đơn cấu (tơng ứng toàn cấu, đẳng cấu) nếu f là một đơn ánh (tơng ứng toàn ánh , song ánh) 1.1.3.Định lí. Mỗi đồng cấu R- môđun : M N có sự phân tích : M N M Ker( ) trong đó : M M Ker( ) là toàn cấu tự nhiên, còn là một đơn cấu. Hơn nữa là toàn cấu khi và chỉ khi toàn cấu. 1.1.4. Hệ quả. Cho : M N là đồng cấu R- môđun. Đặt Coker = N Im( )và ; Coim = M Ker( ). Khi đó ta có : Coim Im . 1.1.5. Mệnh đề. Giả sử : M N là đồng cấu R - môđun thì hai tính chất sau là tơng đơng : a) là một đơn cấu . b) giản ớc đợc bên trái, nghĩa là mọi đẳng thức : 1 = 2 đều kéo theo 1 = 2 , trong đó 1 , 2 là những đồng cấu từ R -môđun tuỳ ý X tới M. 1.1.6. Mệnh đề. Giả sử : M N là đồng cấu R môđun thì hai tính chất sau là tơng đơng : a) là một toàn cấu . b) giản ớc đợc bên phải, nghĩa là mọi đẳng thức 1 = 2 đều kéo theo 1 = 2 , trong đó 1 , 2 là những đồng cấu từ N tới một R - môđun bất kì Y. 1.1.7.Định lí. Giả sử :M N là đồng cấu R - môđun và : M P là toàn cấu, ngoài ra Ker Ker . Khi đó tồn tại đồng cấu : P N sao cho: a) = . . b) Im ( ) = Im( ). c) đơn cấu Ker( ) = Ker( ). 1.1.8.Định lí . a). Trong biểu đồ các đồng cấu môđun : Ker( ) i A B D nếu = 0 thì tồn tại đồng cấu duy nhất : D Ker( ) sao cho : = i , với i là phép nhúng chính tắc. b) Trong biểu đồ các đồng cấu môđun : A B p Coker C nếu = 0 thì tồn tại đồng cấu duy nhất : Coker C sao cho = .p , với p là phép chiếu chính tắc. 1.1.9.Định nghĩa: Môđun A đợc gọi là tổng trực tiếp trong một họ các môđun con {A i \ i I } nếu các điều kiện sau đợc thoả mãn : A = I A i A j ij A j = 0 , ( j I ). 1.1.10. Định nghĩa. Môđun A 0 đợc gọi là không phân tích đợc nếu 0 và A là những hạng tử trực tiếp duy nhất trong A . 1.1.11. Định nghĩa. Giao của tất cả các môđun con tối đại của môđun M R đợc gọi là căn Jacobson của môđun M R và kí hiệu là Rad(M R ). Đ2.môđun con cốt yếu, đối cốt yếu. 1.2.1.Định nghĩa. Môđun con N của R - môđun M đợc gọi là môđun con cốt yếu của M , ký hiệu N * M nếu với mọi môđun con khác không K của M ta đều có K N 0 . Khi đó ta cũng nói M là mở rộng cốt yếu của N. Nếu mọi mô đun con của môđun M là cốt yếu thì M đợc gọi là môđun đều ( uniform). 1.2.2. Hệ quả . Nếu M là môđun nửa đơn, K là môđun con của M thì khi đó K là môđun con cốt yếu của M khi và chỉ khi K = M . 1.2.3.Thí dụ : a) Với mọi môđun M thì M * M . b) Q là Z môđun đều. 1.2.4.Bổ đề: Cho A là môđun con của môđun M trên R. Khi đó A * M khi và chỉ khi với mỗi phần tử 0 m M tồn tại r R sao cho 0 mr A. Chứng minh: Giả sử A * M, m 0 và mM thì khi đó mR 0 và A mR 0. Từ đó suy ra sự tồn tại của r R mà 0 mr A. Ngợc lại , nếu B là môđun con khác không của M, lấy 0 m B và tìm đ- ợc r R sao cho 0 mr A thì do mr B nên B A 0. Vậy A * M. 1.2.5.Hệ quả. Cho A là môđun con của môđun M trên R . Khi đó : A * M Rx A 0 , x M. 1.2.6.Mệnh đề. Cho f : M N là đồng cấu môđun , A là môđun con của M và A N thì fạ(A) * M . Chứng minh: Giả sử X là một môđun con khác không của M .Ta phải chứng minh rằng X fạ(A) 0. Nếu f(X) = 0 thì f(X) B X fạ (A). Khi đó X X fạ(A). Vậy X fạ(A) 0 . -Nếu f(X) 0 , khi đó do A * N nên ta có f (X) A 0 , nghĩa là tồn tại x X , x 0 để sao cho f (x) = a với a A , a 0 x fạ(A) . Tức là ta có x X fạ(A) . Suy ra X fạ(A) 0. Vậy fạ(A) * M. 1.2.7.Mệnh đề. Cho K là một môđun con khác không của môđun M , A * M thì khi đó A K là môđun con cốt yếu của K Chứng minh : Giả sử X là một môđun con khác không của môđun K, khi đó X cũng là môđun con của M. Do A * M nên A X 0 , 0 a A X a X và a A, do vậy a K a (A K) X (A K) X 0 (A K) * K. 1.2.8.Mệnh đề. Cho A B M . Nếu ( B / A) * (M / A) thì B * M. Chứng minh: Chọn X là môđun con khác không của M. Nếu B X = 0 thì dĩ nhiên ta có A X= 0 tồn tại một tổng trực tiếp X A A. Vì (B / A )* (M / A) và (X A) / A ( M / A) nên (B / A ) ((XA) / A) 0 c A mà c + A (B / A) ((X A )/ A) c+ A =b + A =x + a +A ( với aA, bB, xX ) x = b - a + a, aA. Ta có : a- a A B nên ( b- a + a ) B x B x = 0 b A c + A = A c A , điều này mâu thuẫn với giả thiết c A. Vậy B X 0, tức là ta có B * M . 1.2.9.Bổ đề. a)Nếu trong môđun M có dãy các môđun con A B C và A * M thì B * C . b)Nếu A i * M, i = 1, 2, , n thì n i 1 = A i * M . Chứng minh: a). Giả sử X là môđun con khác không của C. Khi đó X cũng là môđun con của M. Vì A *M nên A X 0 B X 0 B * C. b)Ta chứng minh bổ đề bằng quy nạp theo n : Với i =1, mệnh đề đúng theo giả thiết. Giả sử mệnh đề đúng với n - 1, tức là ta có : n i 1 = A i * M. Cho X là một môđun con khác không của M. Do A n là cốt yếu trong M nên A n X 0. Lại do giả thiết quy nạp, ta có: n i 1 = A i (A n X) 0 ( n i 1 = A i A n ) X 0 ( n i 1 = A i A n ) * M n i 1 = A i * M . 1.2.10.Hệ quả. Cho M = I M i , A= I A i thì với A i * M i , A M ta có: I M i = I M i I A i * I M i . Chứng minh: +Trờng hợp 1: I là một tập hợp hữu hạn : I = {1,2, .,n}. Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp, ở đây ta chỉ cần chứng minh rằng mệnh đề đúng với i = 2, sau đó quy nạp cho i = n. Giả sử ta có A 1 * M 2 , A 1 * M 2 và tồn tại A = A 1 A 2 . Khi đó nếu M 1 M 2 0 tức là tồn tại x M 1 M 2 , x 0 thì: Rx A 1 = X 0. Do x M 2 nên Rx M 2 , ta lại có A 2 * M 2 nên A 2 X 0 . Mặt khác, X A 1 nên A 1 A 2 0. Nhng theo giả thiết tồn tại tổng trực tiếp A = A 1 A 2 nên điều đó là vô lý . Vậy M 1 M 2 = 0 M 1 M 2 . Bây giờ xét phép chiếu p 1 : M 1 M 2 M 1 . Do A 1 * M 1 nên theo mệnh đề 1.2.6 ta có fạ(A 1 ) M 1 M 2 . Lại do A 1 M 2 fạ(A 1 ) nên suy ra A 1 M 2 * M 1 M 2 . (1) Tơng tự , xét phép chiếu p 2 :M 1 M 2 M 2 ta có : A 2 M 1 * M 1 M 2. (2) Lấy giao 2 vế của (1) và (2) ta có : A 1 A 2 * M 1 M 2 . +)Trờng hợp 2: I bất kỳ . Giả sử X là một môđun con khác không của M và M = I M i . Lấy 0 x X thì x có thể biểu thị hữu hạn: x =x 1 + .+x n ; x i M i . Theo trờng hợp 1, = n i 1 M I và = n i 1 A i * M i nên biểu thị x=x 1 + .+x n là duy nhất = n i 1 M i . Ta xét Rx =Rx 1 +Rx 2 + .+Rx n M 1 M 2 . M n . Rx = n i 1 M i Rx = n i 1 A i 0 X = n i 1 A i 0 = n i 1 A i * = n i 1 M i . 1.2.11.Mệnh đề. Cho A i ,B i là các môđun con của môđun M (với i =1,2, .,n ). Nếu A i * M i thì ta cũng có n i 1 = A i * n i 1 = M i . 1.2.12.Hệ quả. Giả sử M = I M i và B là môđun con của M . Khi đó các phát biểu sau là tơng đơng: a) (B M i ) * M i , i I. b) I (B M i ) * M c) B * M. 1.2.13.Định nghĩa. Cho M là R- môđun . Môđun con K của M đợc gọi là đối cốt yếu (hay môđun con bé) trong M nếu với mỗi môđun con X của M mà X M thì K + X M. Nói cách khác, môđun con K đợc gọi là môđun con bé trong M nếu với mọi môđun con X của M mà K + X = M thì X = M. Khi đó ta ký hiệu : K M. Nếu mọi môđun con trong môđun M đều là bé thì M đợc gọi là môđun trống( hollow). 1.2.14.Thí dụ: a)Với mọi môđun M ta luôn có 0 o M b) Mỗi môđun hữu hạn sinh trong Q z là đối cốt yếu trong Q z . Thật vậy, giả sử X là môđun con của Q sinh bởi tập {q 1 , .,q n } Q và E là mô đun con của Q sao cho X + E = Q .Khi đó {q 1 ,q 2 , .,q n } E là một hệ sinh của Q z Từ đó suy ra E là một hệ sinh của Q và do đó E = Q. Điều này chứng tỏ rằng X Q. 1.2.15.Bổ đề. a) Nếu trong M có dãy những môđun con A B C thì B C kéo theo A M. b) Nếu A i M , i= 1, 2, , n thì = n i 1 A i M. c) Nếu f: M N là đồng cấu môđun và A M thì f(A) N. Chứng minh : a) Giả sử X là môđun con trong M sao cho A + X = M . Khi đó: B +X =M và theo luật môđunla thì : (X C ) + B = (X + B ) C = M C = C. Do B C nên X C = C. Điều này kéo theo C D, suy ra M = A + X = X . Vậy A M. b)Ta chứng minh mệnh đề bằng quy nạp theo n . Với i = 1, mệnh đề hiển nhiên đúng. Giả sử mệnh đề cũng đúng với i = n - 1 , tức là A =(A 1 +A 2 + .+A n-1 ) M. Ta sẽ chứng minh là mệnh đề đúng với i = n.