Môđun con đóng và bao đóng của môđun

MỤC LỤC Mục lục 1 Lời nói đầu 2 Danh mục ký hiệu 5 Chương 1 Một số kiến thức cơ sở 6 1.1. Môđun con cốt yếu 6 1.2. Môđun đều - môđun nửa đơn - môđun phân phối 7 1.3. Môđun con đóng và bao đóng của môđun 7 1.4. Đồng cấu môđun .8 1.5. Một số bổ đề 9 Chương 2 Môđun con đóng và bao đóng của môđun 13 §1. Tính chất của môđun con đóng và bao đóng của môđun .13 §2. UC-môđun. Điều kiện cần và đủ để một R-môđun phải trở thành một UC-môđun 17 Kết luận 39 Tài liệu tham khảo 40 1 I. LỜI NÓI ĐẦU Môđun con đóng, bao đóng của môđun và UC-môđun là các lớp môđun đang được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu. Trong những năm gần đây, kết quả và số lượng các bài báo về môđun con đóng, bao đóng của môđun và UC-môđun là rất lớn, nhưng chúng tôi tập trung xem xét công trình của Patrick F.Smith - Khoa Toán - Đại học Glasgow, Scotlen. Trong bài báo của ông, ngoài một số kết quả về UC-môđun còn chứa đựng rất nhiều thông tin về môđun con cốt yếu, các môđun con R-đóng và các môđun có chiều uniform hữu hạn địa phương. Đặc biệt, ông đã đưa ra 19 điều kiện cần và đủ để một R-môđun phải trở thành một UC-môđun, trong đó một số điều kiện đã được chứng minh, một số điều kiện khác hoặc là không chứng minh, hoặc chỉ là gợi ý chứng minh không chi tiết. Đối với các lớp môđun đã biết, R.E.Johnson đã chứng minh rằng môđun không suy biến là UC-môđun. Sẽ không cần thiết nếu lặp lại chứng minh của R.E.Johnson, ở đây chúng tôi đưa ra một số kết quả khác, đó là mọi môđun đều, môđun nửa đơn, môđun phân phối đều là các UC-môđun. Mở rộng cốt yếu của UC-môđun, ảnh đồng cấu của UC-môđun không phải bao giờ cũng là UC-môđun. Ngoài ra trong quá trình nghiên cứu chúng tôi cũng đã chứng minh được một số tính chất của môđun con cốt yếu mà những tính chất này không được đề cập đến trong hàng loạt các tính chất của môđun con cốt yếu. Chẳng hạn, chúng ta đều biết rằng qua đồng cấu môđun f thì nghịch ảnh của môđun cốt yếu là môđun cốt yếu nhưng ảnh của môđun cốt yếu không phải là môđun cốt yếu. Chúng tôi đã chứng minh được rằng nếu f là đơn cấu thì không chỉ nghịch ảnh mà ảnh của môđun cốt yếu cũng là môđun cốt yếu. Mặt khác, chúng ta cũng đã biết rằng: cho A là môđun con của B, B môđun con của M, nếu môđun thương B/A cốt yếu trong M/A thì B cốt yếu trong M. Điều 2 ngược lại không đúng, nhưng nếu bổ sung thêm điều kiện A đóng trong M thì chiều ngược lại luôn đúng. Đó là những kết quả đẹp. Trong phạm vi của luận văn này, chúng tôi tập trung nghiên cứu các tính chất của môđun con đóng, bao đóng của môđun và UC-môđun. Đồng thời chúng tôi cũng xem xét, chứng minh một cách chi tiết một số điều kiện cần và đủ để R-môđun phải trở thành UC-môđun mà Patrick F.Smith đã đưa ra bằng một hệ thống các bổ đề, mệnh đề và hệ quả. Ngoài mở đầu và kết luận, luận văn được chia làm 2 chương. Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị. Dựa vào tài liệu tham khảo [1], [3], [8] và [9] chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ sở về môđun con cốt yếu, môđun con đóng, các môđun R-đóng và bao đóng của môđun. Đặc biệt, để nghiên cứu một số tính chất của UC-môđun chúng tôi đưa ra một loạt các bổ đề, trong đó một vài bổ đề hay sử dụng chúng tôi chỉ nêu kết quả, những bổ đề còn lại được chứng minh chi tiết và chặt chẽ. Đây là những kiến thức cơ sở để chúng tôi xem xét một vài điều kiện cần và đủ để một R-môđun phải trở thành một UC-môđun. Chương 2: Môđun con đóng và bao đóng của môđun. Chương này được chia làm 2 tiết: Tiết 1 trình bày một số tính chất của môđun con đóng và bao đóng của môđun, chúng tôi đã chứng minh chi tiết được sự tồn tại bao đóng của một môđun bất kì. Tiết 2 chúng tôi trình bày về UC-môđun và một số điều kiện cần và đủ để R-môđun phải trở thành một UC-môđun. Luận văn được thực hiện từ tháng 2 năm 2010 và hoàn thành tại Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn của PSG.TS. Ngô Sỹ Tùng. Tôi xin được bày tỏ lòng 3 biết ơn chân thành và sâu sắc của mình đến thầy giáo hướng dẫn, người đã đặt ra vấn đề, thường xuyên giúp đỡ tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu để hoàn thành luận văn.này. Cũng trong dịp này, tôi xin chân thành cảm ơn các thầy giáo cô giáo thuộc khoa Toán, trường Đại học Vinh - những người thầy đã trang bị cho tôi một nền kiến thức cơ sở vững chắc. Mặc dù đã rất cố gắng, song luận văn không thể tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót, chúng tôi rất mong nhận được những đóng góp quý báu từ các thầy cô giáo và bạn bè đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn. Vinh, tháng 12 năm 2010. 4 DANH MỤC KÝ HIỆU Trong toàn bộ luận văn, trừ các trường hợp đặc biệt được nói rõ ở các mục, còn lại chúng tôi sử dụng các ký hiệu sau: N ⊆ M: N là môđun con của M N ⊆ e M: N là môđun con cốt yếu của M. Trong một số tài liệu còn được ký hiệu là N * ⊆ M. N ⊆ c M: N là môđun con đóng của M. N ⊆ r M: N là môđun con R-đóng của M. I ⊕ M i : Tổng trực tiếp các môđun con M i (i ∈ I). U(M): Chiều đều của môđun M. Z/pZ: Các lớp đồng dư theo môđun p. 5 CHƯƠNG I MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ Trong chương này chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản liên quan đến luận văn. Các khái niệm, tính chất cơ bản và kí hiệu chúng tôi chủ yếu dựa theo F.W.Anderson và K.R.Fuller [1]; N.V. Dung, D.V. Huynh, P.F. Smith và R. Wisbauer [3]; S.H. Mohamed và B.J. Muller [8]. Các vành luôn được hiểu là các vành kết hợp có đơn vị, các môđun trên một vành luôn được hiểu là môđun phải unita (nếu không nói gì thêm). 1.1. Môđun con cốt yếu Cho R-vành kết hợp, có đơn vị và M là một R- môđun phải unita, N là môđun con của M. 1.1.1 Định nghĩa ([1]). Môđun con N được gọi là cốt yếu trong M và ký hiệu N ⊆ e M, hoặc N * ⊆ M nếu với mọi 0 MX ⊆≠ thì N  X ≠ 0. Ta quy ước 0 ⊆ e M ⇔ M= 0. Nói cách khác, N được gọi là cốt yếu trong M nếu với mọi môđun MA ⊆ mà N  A = 0 thì A= 0. 1.1.2 Định nghĩa ([1]). Nếu N ⊆ e M thì M được gọi là mở rộng cốt yếu của N. 1.1.3 Ví dụ. Môđun M ⊆ e M; nZ ⊆ e Z, với mọi số nguyên n khác 0. 1.1.4 Định nghĩa quan hệ tương đương ρ trên dàn các môđun con của M ([9]). Cho K, L ⊆ M, K ρ L khi và chỉ khi K  L ⊆ e K và K  L ⊆ e L. 6 1.1.5 Mệnh đề ([1]). Giả sử M là R-môđun phải và MA ⊆ . Khi đó, luôn tồn tại B ⊆ M sao cho A ⊕ B ⊆ e M. Nói cách khác, mọi môđun con luôn tồn tại phần bù cốt yếu. 1.2. Môđun đều - môđun nửa đơn - môđun phân phối 1.2.1 Định nghĩa ([1]). Môđun U được gọi là môđun đều nếu U ≠ 0 và A  B ≠ 0 với mọi môđun con A, B khác không của U. Nói cách khác, U là đều nếu U ≠ 0 và mọi môđun con khác không của U đều cốt yếu trong U. 1.2.2 Ví dụ. Z môđun Z là đều, vì bất kì môđun con A, B khác không của Z thì A = nZ, B = mZ với n, m ∈ * N và A  B = [m, n]Z ≠ 0 ([m, n] là bội chung nhỏ nhất của m và n). 1.2.3 Định nghĩa ([1]). Môđun M được gọi là môđun nửa đơn nếu mỗi môđun con của M đều là hạng tử trực tiếp của M. 1.2.4 Nhận xét ([1]). Giả sử M là môđun nửa đơn. Khi đó A ⊆ e M ⇔ A = M 1.2.5 Định nghĩa ([9]). Một môđun M được gọi là phân phối nếu N  (K + L) = (N  K) + (N  L) với mọi N, K, L ⊆ M. 1.3. Môđun con đóng và bao đóng của môđun 1.3.1 Định nghĩa ([1]). Môđun con N được gọi là đóng trong M, ký hiệu là N ⊆ c M nếu N không có mở rộng cốt yếu thực sự trong M. Nói cách khác, N được gọi là đóng trong M nếu với mọi môđun con K của M mà N ⊆ e K thì N = K. 7 1.3.2 Định nghĩa ([9]). Môđun con K của M được gọi là bao đóng của môđun con N trong M nếu K đóng trong M và N ⊆ e K. Nói cách khác, môđun con K được gọi là bao đóng của N trong M nếu K là môđun con tối đại trong M sao cho N ⊆ e K. 1.3.3 Nhận xét ([8]). Bao đóng của một môđun con N trong M là luôn tồn tại. Nhận xét này được chứng minh trong tiết 1 của chương 2. 1.3.4 Định nghĩa ([9]). Môđun con K của M được gọi là R-đóng nếu K  mR không cốt yếu trong mR, với mọi m ∈ M \ K, viết K  mR ⊄ e mR. Ký hiệu K ⊆ r M. 1.4. Đồng cấu môđun 1.4.1 Định nghĩa ([1]). Cho hai môđun M và N. Một đồng cấu R-môđun f: M → N là một ánh xạ f thỏa mãn điều kiện f(x + y) = f(x) + f(y) và f(xr) = f(x)r, với mọi x, y ∈ M, r ∈ R. Nếu N = M thì f được gọi là một tự đồng cấu của M. 1.4.2 Mệnh đề ([1]). Giả sử f : M → N là đồng cấu môđun và U, V tương ứng là môđun con của M và N. Khi đó 1) f(U) là môđun con của N. 2) f 1 − (V) = {x ∈ M: f(x) ∈ V} là môđun con của M. Đặc biệt, Imf và Kerf là những môđun con tương ứng của N và M. 1.4.3 Định lý (Định lý thứ nhất về đẳng cấu [1]). Nếu B, C là hai môđun con của A thì (B + C) / C ≅ B/(B  C). 1.4.4 Định lý (Định lý thứ hai về đẳng cấu [1]). Nếu C ⊆ B ⊆ A thì A/B ≅ (A/C) / (B/C). 8 1.5. Một số bổ đề 1.5.1 Bổ đề ([1]). Các khẳng định sau đúng cho một R- môđun phải M (i) A ⊆ e M khi và chỉ khi xR  A ≠ 0, với mọi 0 ≠ x ∈ M. (ii) Nếu A ⊆ B ⊆ M thì A ⊆ e M ⇔      ⊆ ⊆ MB BA e e (iii) Nếu A ⊆ e M và K ⊆ M thì A  K ⊆ e K. (iv) Nếu A i ⊆ M, B i ⊆ M và A i ⊆ e B i , với i = n,1 thì  n i 1 = A i ⊆ e  n i 1 = B i Đặc biệt, nếu A i ⊆ e M với mọi i = n,1 thì  n i 1 = A i ⊆ e M. Kết luận trên nói chung không còn đúng cho giao vô hạn. (v) Nếu A ⊆ B ⊆ M và B/A ⊆ e M/A thì B ⊆ e M. Điều ngược lại nói chung không đúng. (vi) Nếu f : M → N là đồng cấu môđun và B ⊆ e N thì f -1 (B) ⊆ e M. Tuy nhiên, ảnh của môđun cốt yếu nói chung không là môđun cốt yếu. Nghĩa là, nếu A ⊆ e M thì chưa hẳn f(A) ⊆ e f(M). (vii) Nếu A i , M i ⊆ M, A i ⊆ e M i với mọi i ∈ I sao cho M = ∑ ∈ Ii i M và tồn tại i Ii A ⊕ ∈ thì ∑ I i M = ⊕ I M i ⊕ I A i ⊆ e ⊕ I M i . 9 1.5.2 Hệ quả. (i) Nếu A ⊆ c M, A ⊆ B ⊆ e M thì B/A ⊆ e M/A. (ii) Cho f : M → N là đơn cấu môđun. Nếu A ⊆ e M thì f(A) ⊆ e f(M). Chứng minh. (i) Lấy môđun N sao cho A ⊆ N ⊆ M và B/A  N/A = 0. Để chứng minh B/A ⊆ e M/A ta cần chứng minh N/A = 0. Thật vậy, do B/A  N/A = 0 nên B  N = A. Lại vì B ⊆ e M và N ⊆ M nên B  N ⊆ e N (theo Bổ đề 1.5.1 iii)). Do đó A ⊆ e N ⊆ M. Mà A ⊆ c M nên A = N, suy ra N/A = 0. (đpcm). (ii) Do f : M → N là đơn cấu nên f : M →f(M) là đẳng cấu. Do đó tồn tại đẳng cấu g: f(M) → M. Mặt khác, do A ⊆ e M nên theo Bổ đề 1.5.1 (vi) ta có g -1 (A) ⊆ e f(M) tức là f(A) ⊆ e f(M). 1.5.3 Bổ đề ([9]). Giả sử K ⊆ M. Khi đó, các mệnh đề sau tương đương (i) K ⊆ c M. (ii) K là cực đại trong {L ⊆ M : L  N = 0}. (iii) Nếu K ⊆ L ⊆ e M thì L/K ⊆ e M/K. Với K và N ở (ii) ta có K ⊕ N ⊆ e M. 1.5.4 Bổ đề. (i) Nếu K ⊆ r M thì K ⊆ c M. (ii) Nếu K ⊆ r H ⊆ r M thì K ⊆ r M. (iii) Nếu K ⊆ L ⊆ r M thì L/K ⊆ r M/K. (iv) Nếu K ⊆ L, K ⊆ r M, L/K ⊆ r M/K thì L ⊆ r M. (v) Nếu K λ ⊆ r M, với mọi λ ∈ Λ thì  Λ∈ λ K λ ⊆ r M. (vi) Nếu N ⊆ M, K ⊆ r M thì K  N ⊆ r M. 10