Về bao đóng đại số của trường

Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học Vinh ------------------------------------ trơng thị kim về bao đóng đại số của trờng Luận văn thạc sĩ toán học Vinh 2010 1 Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học Vinh ------------------------------------------ trơng thị kim về bao đóng đại số của trờng Chuyên ngành đại số và Lý thuyết số Mã số: 60 46 05 Luận văn thạc sĩ toán học Ngời hớng dẫn khoa học PGS.TS. Nguyễn Thành Quang Vinh 2010 2 mục lục Trang mở đầu 1 Chơng 1 1.1. Mở rộng bậc hữu hạn và mở rộng đại số 3 1.2. Trờng đóng đại số 10 1.3 Trờng các số đại số 12 Chơng 2 Bao đóng đại số của trờng 2.1. Phép nhúng chìm 16 2.2. Sự tồn tại bao đóng đại số của trờng 27 2.3. Bài tập 29 Kết luận 31 Tài liệu tham khảo 32 3 Mở đầu Việc giải phơng trình đa thức gắn liền với bài toán mở rộng trờng. Một đa thức có thể vô nghiệm trên một trờng K cho trớc. Do đó, có một câu hỏi tự nhiên đợc đặt ra là có tồn tại hay không mở rộng đại số nhỏ nhất của trờng K để cho đa thức đó có nghiệm? Câu hỏi đó đã đợc giải quyết trong trờng hợp K là trờng số thực R và mở rộng đại số nhỏ nhất của R đó chính là trờng số phức C. Đây chính là nội dung của Định lý cơ bản của Đại số. Trờng số phức C đợc gọi là bao đóng đại số của trờng số thực R. Nhờ vậy, có cả một ngành toán học phức đợc phát triển góp phần giải quyết nhiều các vấn đề của khoa học và kỹ thuật. Trong trờng hợp tổng quát, bài toán trên đợc giải quyết nh thế nào? Để trả lời câu hỏi đó, luận văn này nhằm tìm hiểu về bao đóng đại số của trờng và các phép nhúng chìm một trờng vào một trờng khác. Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và T i liệu tham khảo gồm hai ch ơng. Chơng 1 giới thiệu các kết quả về trờng. Mở rộng bậc hữu hạn, mở rộng đại số, mở rộng hữu hạn sinh, trờng đóng đại số. Nội dung đáng chú ý trong Ch- ơng 1 là trình bày các kết quả sau đây kèm theo chứng minh chi tiết: + Giả sử là phần tử đại số trên trờng K. Thế thì K( ) = K[ ] và tr- ờng K( ) có bậc hữu hạn trên K. Bậc [K( ):K] bằng bậc của đa thức cực tiểu Irr( , K, X ) của trên K. + Mọi mở rộng hữu hạn E của trờng K là hữu hạn sinh. + Trờng các số đại số là một trờng đóng đại số. Chơng 2 giới thiệu các kết quả về bao đóng đại số của trờng với các nội dung chính sau đây: + Với mọi trờng K tồn tại trờng đóng đại số L nhận K làm trờng con. + Mọi trờng đều tồn tại bao đóng đại số. 4 Luận văn đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Thành Quang. Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến thầy giáo hớng dẫn đã dành cho tác giả sự hớng dẫn tận tình, chu đáo và nghiêm túc trong quá trình học tập, nghiên cứu. Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến PGS.TS. Ngô Sỹ Tùng, PGS.TS. Lê Quốc Hán, TS. Nguyễn Thị Hồng Loan, TS. Mai Văn T và các thầy cô giáo trong Chuyên ngành Đại số v Lý thuyết số, Khoa Toán và Khoa Đào tạo Sau đại học - Trờng Đại học Vinh đã tận tình giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập. Mặc dù đã hết sức cố gắng, luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả mong muốn nhận đợc sự chỉ bảo của quý thầy cô giáo, các bạn học viên và đồng nghiệp. Vinh, tháng 11 năm 2010 Tác giả TRƯƠNG THị KIM 5 Chơng 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1. Mở rộng bậc hữu hạn và mở rộng đại số 1.1.1. Định nghĩa. Giả sử F là một trờng. Nếu F là trờng con của trờng E, thì ta nói rằng E là mở rộng của trờng F. Ta có thể coi E nh một không gian vectơ trên F, ta nói rằng E là mở rộng hữu hạn hoặc vô hạn của F tuỳ theo số chiều của không gian vectơ đó là hữu hạn hay vô hạn. Giả sử F là trờng con của trờng E. Phần tử thuộc E đợc gọi là phần tử đại số trên F, nếu trong F tồn tại các phần tử 0 , ., n (n 1) không bằng 0 tất cả, sao cho 0 1 . 0 + + + = n n a a a . Đối với phần tử đại số 0 luôn luôn ta có thể tìm đợc các phần tử i a trong đẳng thức trên sao cho 0 a 0 (Bằng cách giản ớc cho một luỹ thừa thích hợp của ). Giả sử X là một biến trên F, cũng có thể nói rằng phần tử là phần tử đại số trên F, nếu đồng cấu F[X] E đồng nhất trên F và chuyển X vào , có hạt nhân khác không. Trong trờng hợp này hạt nhân đó chính là một iđêan chính, sinh bởi một đa thức p(X) mà đối với nó ta có thể giả thiết là hệ tử cao nhất bằng 1. Ta có đẳng cấu F[X]/(p(X)) F[ ]. Vì F[ ] là một miền nguyên vẹn, nên p(X) là bất khả qui trên F. Nếu p(X) đợc chuẩn hóa bởi điều kiện là hệ tử cao nhất của nó bằng 1 thì p(X) đợc xác định một cách duy nhất bởi phần tử và sẽ đợc gọi là đa thức bất khả qui của phần tử trên F. Đôi khi ta sẽ ký hiệu nó bởi Irr(,F,X). 6 Mở rộng E của trờng F đợc gọi là mở rộng đại số trên F, nếu mọi phần tử thuộc E đều là phần tử đại số trên F. 1.1.2. Mệnh đề. Mở rộng bậc hữu hạn E của trờng F là mở rộng đại số trên F . Chứng minh. Cho E là mở rộng bậc n của trờng F. Giả sử E là phần tử tuỳ ý. Khi đó, các luỹ thừa của : 1, , 2 ,, n phụ thuộc tuyến tính trên F, vì nếu ngợc lại thì số chiều của E trên F là vợt quá n. Do đó, tồn tại một hệ thức tuyến tính không tầm thờng trên F giữa các luỹ thừa đó. Hệ thức đó chứng tỏ rằng là phần tử đại số trên F. Ta chú ý rằng mệnh đề đảo của Mệnh đề 1.1.2 không đúng: Tồn tại các mở rộng đại số vô hạn. Dới đây, ta sẽ thấy rằng trờng con của trờng các số phức gồm tất cả các số đại số trên Q là một mở rộng bậc vô hạn của Q. Nếu E là mở rộng của trờng F, thì ta sẽ dùng ký hiệu [E : F] để chỉ số chiều của E coi nh một không gian vectơ trên F. Ta sẽ gọi [E : F] là bậc của E trên F. 1.1.3. Mệnh đề. Giả sử K là một trờng và F E là các mở rộng của K. Thế thì [E : K] = [E : F][F : K]. Nếu {x i } i I là cơ sở của trờng F trên K và {y j } j J là cơ sở của trờng E trên F, thì { } ( , ) . i j i j I J x y sẽ là cơ sở của trờng E trên K. Chứng minh. Giả sử z E. Theo giả thiết, tồn tại các phần tử j F, hầu hết bằng không, sao cho z = j j j J y với mỗi j J tồn tại các phần tử b ji K hầu hết bằng 0 sao cho i ji i i I b x = , 7 và do đó z = ji i j j i b x y . Điều đó có nghĩa là { } i j x y là hệ sinh của E trên K. Ta cần chứng tỏ rằng hệ độc lập tuyến tính. Giả sử {c ij } là họ các phần tử thuộc K, hầu hết bằng 0, sao cho ji i j j i c x y = 0. Lúc đó với mỗi j ij i c x = 0, vì các phần tử y j độc lập tuyến tính trên F. Cuối cùng c ij = 0 với mọi i, vì {x i } là cơ sở của trờng F trên K, nên mệnh đề đợc chứng minh. 1.1.4. Hệ quả. Mở rộng E F K của trờng K là hữu hạn khi và chỉ khi E hữu hạn trên F và F hữu hạn trên K. Nh trong trờng hợp các nhóm, ta sẽ gọi tháp các trờng là chuỗi các mở rộng F 1 F 2 F n . Điều kiện cần và đủ để tháp hữu hạn là mỗi tầng của nó hữu hạn. Giả sử K là một trờng, E là mở rộng của nó và E. Ta sẽ ký hiệu K( ) là trờng con bé nhất trong E chứa K và . Nó gồm tất cảc các phân thức f( )/g( ), trong đó f và g là các đa thức với hệ tử thuộc K và g( ) 0. 1.1.5. Mệnh đề. Giả sử là phần tử đại số trên K. Thế thì K( ) = K[ ] và trờng K( ) hữu hạn trên K. Bậc [K( ):K] bằng bậc của đa thức Irr( ,K,X). Chứng minh: giả sử p(X) = Irr ( , K, X ). Giả sử đa thức f(X) K[X] sao cho: f( ) 0. Thế thì f(X) không chia hết cho p(X). Và do đó tồn tại các đa thức g(X), h(X) K[X] sao cho 8 g(X)p(X) + h(X)F(X) = 1. Từ đó ta đợc h( )F( ) = 1, nghĩa là f( ) khả nghịch trong K[ ]. Thành thử K[ ] không những là một vành mà là một trờng và vì vậy phải bằng K( ). Giả sử d = degp(X), các luỹ thừa 1, , ., d-1 độc lập tuyến tính trên K. Thật vậy, giả sử a 0 + a 1 + + a d-1 d-1 = 0, trong đó a i K, ngoài ra không phải mọi a i = 0. Ta đặt g(X) = a 0 + .+a d-1 X d-1 . Thế thì g 0 và g( ) = 0. Thành thử g(X) chia hết cho p(X), mâu thuẫn. Cuối cùng, giả sử f( ) K[ ], trong đó f(X) K[X]. Khi đó, tồn tại các đa thức q(X), r(X) K[X] sao cho degr < d và f(X) = q(X)p(X) + r(X). Do đó f( ) = r( ) và ta thấy 1, ,, d-1 sinh ra K[ ] nh không gian vectơ trên K. Giả sử E, F là các mở rộng của trờng K. Nếu E và F đợc chứa trong một trờng L nào đó, ta ký hiệu EF là trờng con bé nhất của L chứa E và F, và gọi nó là hợp tử của E và F trong L. Nếu không cho trớc các phép nhúng chìm E và F vào tr- ờng chung L, thì ta không thể xác định hợp tử của chúng. Giả sử K là trờng con của trờng E, 1 ,, n là các phần tử thuộc E. Ta ký hiệu K( 1 ,, n ) là trờng con bé nhất của E chứa K và 1 ,, n . Các phần tử của nó là tất cả các phân thức 1 n 1 n f ( , ., ) g( , ., ) , trong đó f và g là các đa thức của n biến với các hệ tử thuộc K và g( 1 ,, n ) 0. 9 Thật vậy, tập tất cả các phân thức đó lập thành một trờng, chứa K và 1 ,, n . Ngợc lại, mọi trờng chứa K và 1 ,, n đều phải chứa các phân thức đó. Chú ý rằng E là tập của cả các trờng con K( 1 ,, n ) của nó khi ( 1 ,, n ) trải qua tất cả các họ con hữu hạn các phần tử thuộc E. Có thể định nghĩa hợp tử của một họ con tuỳ ý các trờng con của trờng L là trờng con bé nhất chứa tất cả các trờng của họ đó. Ta nói E hữu hạn sinh trên K, nếu tồn tại một họ hữu hạn các phần tử 1 , ., n thuộc E sao cho E = K( 1 , ., n ). Ta sẽ thấy E là hợp tử của tất cả các trờng con hữu hạn sinh của nó trên K. 1.1.6. Mệnh đề. Mọi mở rộng hữu hạn E của trờng K là hữu hạn sinh. Chứng minh. Giả sử { 1 ,, n } là cơ sở của trờng E coi nh mọi không gian vectơ trên K. Lúc đó hiển nhiên E = K( 1 ,, n ). Nếu E = K( 1 ,, n ) là một trờng hữu hạn sinh và F là một mở rộng của trờng K sao cho cả F và E đều đợc chứa trong L, thì EF = F( 1 ,, n ). Và trờng EF là hữu hạn sinh trên F. Ta sẽ thờng vẽ nhng hình nh sau: 10