Chiều goldie của môđun và lớp môđun đặc biệt

Mục lục Trang Các ký hiệu 3 Mở đầu 4 Chơng I. Các khái niệm cơ bản Đ 1. Vành Nơte. 6 Đ 2. Môđun con cốt yếu, môđun con đều 8 Đ 3. Đế của môđun. 12 Đ 4. Môđun hữu hạn sinh, CS - môđun 14 Chơng II. Chiều Goldie của môđun Đ 1. Khái niệm về chiều Goldie của môđun 17 Đ 2. Đặc trng của vành có chiều Goldie hữu hạn qua các môđun xiclic. 22 Chơng III. Lớp môđun đặc biệt 31 Kết luận 38 Các tài liệu tham khảo. 39 2 Các ký hiệu Các ký hiệu đợc dùng trong luận văn chủ yếu dựa theo M.A. Kamal and B.J.Muller, Nguyễn Việt Dũng, Đinh Văn Huỳnh, Smith và Wisbauer. A B : A là con của B K M : K là môđun con của M. K * M : K là môđun con cốt yếu của M. K M : K là hạng tử trực tiếp của M. Ii M i : Tổng trực tiếp của các môđun M i , i I = n i 1 M i : Tổng trực tiếp của các môđun M i , 1 i n dimM : Số chiều Goldie của môđun M. r(x) : Linh hoá tử phải của x. Soc(M) : Đế của môđun M. M/A : Môđun thơng M trên A, với A là môđun con của M. 3 Mở đầu Việc nghiên cứu lý thuyết môđun cho đến nay đợc phát triển mạnh mẽ và có nhiều ứng dụng quan trọng trong nghiên cứu lý thuyết vành. Một trong các hớng để nghiên cứu vành là đặc trng vành qua tính chất của một lớp xác định nào đó các môđun trên chúng. Năm 1964, Osofsky B. L. đã công bố kết quả của mình về vành mà mọi môđun phải xiclic là nội xạ. Năm 1982, Chatters đã nghiên cứu và đa ra kết quả về vành mà mọi môđun phải xiclic là tổng trực tiếp của một môđun xạ ảnh và một môđun Nơte. Trên cơ sở kết quả của Chatters, năm 1994, Đinh Văn Huỳnh đã mở rộng kết quả của Chatters: Một vành R là Nơte phải nếu mọi R - môđun phải xiclic hoặc là nội xạ hoặc là tổng trực tiếp của một môđun xạ ảnh và một môđun Nơte. Tiếp cận hớng nghiên cứu đó, luận văn của chúng tôi đề cập đến việc thay tính chất nội xạ bởi tính chất CS - môđun của các môđun phải xiclic trong định lý của Đinh Văn Huỳnh, trên cơ sở đó đã đặc trng vành có chiều Goldie hữu hạn qua các môđun xiclic. Mặt khác, nghiên cứu lý thuyết về môđun và vành, đó là nghiên cứu cấu trúc của môđun và từ đó đa ra một số đặc trng của các lớp vành. Việc xét lớp môđun đặc biệt nằm trong hớng nghiên cứu các cấu trúc môđun. Lớp môđun đặc biệt là lớp môđun xiclic chuỗi đều với điều kiện chặt hơn, đây là lớp môđun quan trọng mà việc xét cấu trúc của chúng sẽ dẫn đến việc đặc trng về vành với nhiều thuận lợi. Nh vậy luận văn của chúng tôi đề cập đến việc xét đến các tính chất về chiều Goldie của môđun, từ đó góp phần nghiên cứu về lớp môđun đặc biệt. Để nghiên cứu điều đó, luận văn cũng đề cập đến tổng trực tiếp của các môđun đều và CS - môđun. Cụ thể luận văn đợc chia làm 3 chơng: 4 Chơng I: Các khái niệm cơ bản. Trình bày một số khái niệm, tính chất cơ bản của vành và môđun Nơte, giới thiệu một số kiến thức cơ sở liên quan đến luận văn. Chơng II: Chiều Goldie của môđun. Chơng này đợc chia làm 2 phần: Phần thứ nhất: Khái niệm về chiều Goldie của môđun. Cụ thể trong phần này chúng tôi đa ra điều kiện của một môđun chứa môđun con đều và điều kiện để một tổng trực tiếp các môđun con đều là cốt yếu trong một môđun. Phần thứ hai: Đặc trng của vành có chiều Goldie hữu hạn qua các môđun xiclic. Trong phần này chúng tôi mở rộng nghiên cứu các tính chất về số chiều của môđun. Cụ thể luận văn đa ra một số công thức về số chiều của môđun ( mệnh đề 2.11, bổ đề 2.13). Việc đặc trng vành có chiều Goldie hữu hạn qua các môđun xiclic đợc kết thúc bởi định lý 2.22 - kết quả chính của phần này: Nếu vành R thoả mãn tính chất (P'): Mọi R - môđun phải xiclic hoặc là CS - môđun hoặc là tổng trực tiếp của một môđun xạ ảnh và một môđun Nơte. Khi đó mọi R - môđun phải xiclic có chiều Goldie hữu hạn. Đặc biệt R R có chiều Goldie hữu hạn. Chơng III: Lớp môđun đặc biệt. Trong chơng này chúng tôi chỉ ra sự tồn tại của môđun không đặc biệt ( hệ quả 3.3) và chỉ ra sự tồn tại của môđun đặc biệt đợc rút ra trong định lý chính của phần này ( định lý 3.6). Luận văn đợc thực hiện và hoàn thành tại trờng Đại học Vinh dới sự hớng dẫn của PGS. TS. Ngô Sỹ Tùng. Nhân dịp này, Tác giả xin đợc bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc của mình tới thầy giáo hớng dẫn đã giúp Tác giả trong quá trình nghiên cứu đề tài này. Tác giả xin cảm ơn tất cả các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán, khoa Sau Đại học trờng Đại học Vinh và các bạn đã quan tâm, giúp đỡ trong thời gian Tác giả học tập và nghiên cứu. Cuối cùng chúng tôi mong đợc sự góp ý, chỉ bảo của các thầy, cô giáo cùng các bạn học viên. Vinh, ngày 10 tháng 11 năm 2002 Tác giả 5 Chơng I Các khái niệm cơ bản Trong chơng này chúng tôi đa ra những định nghĩa và kết quả liên quan đến luận văn. Các vành luôn đợc giả thiết là vành có đơn vị, các môđun trên vành luôn đ- ợc hiểu là các môđun phải. Đ 1 Vành Nơte Mệnh đề 1.1: Các điều kiện sau là tơng đơng đối với vành R có đơn vị là 1: i) Mọi dãy tăng các ideal phải đều dừng. ii) Mọi tập khác rỗng các ideal phải đều có phần tử cực đại theo quan hệ bao hàm. iii) Mọi ideal phải của R là hữu hạn sinh. iv) Đối với A là ideal phải của R thì A và R/A có tính chất i). Mệnh đề 1.2: Các điều kiện sau là tơng đơng đối với R - môđun phải M: i) Mọi dãy tăng các môđun con của M đều dừng. ii) Mọi tập khác rỗng các môđun con của M đều có phần tử cực đại theo quan hệ bao hàm. iii) Mọi môđun con của M đều là hữu hạn sinh. iv) Đối với môđun con A của M thì A và M/A có tính chất i). Định nghĩa 1.3: Vành R thoả mãn một trong các điều kiện của mệnh đề 1.1 đ- ợc gọi là vành Nơte phải. 6 Định nghĩa 1.4: Mọi R - môđun phải M thoả mãn một trong các điều kiện của mệnh đề 1.2 đợc gọi là R - môđun Nơte phải. Ví dụ 1.5: i) Z - môđun Z là Nơte ii) Không gian véc tơ hữu hạn chiều là môđun Nơte, không gian véc tơ vô hạn chiều không là môđun Nơte. Hệ quả 1.6: Nếu môđun M là tổng hữu hạn của những môđun con Nơte thì M là Nơte. Chứng minh: Giả sử M = i n i A =1 , ta tiến hành chứng minh qui nạp theo n. Với n = 1 mệnh đề là hiển nhiên. Giả sử mệnh đề đúng với n - 1. Khi đó môđun con N = i n i A = 1 1 là Nơte. Ta có M/A n = ( N+ A n )/A n N/( N A n ). Nếu N Nơte thì N /( NA n ) Nơte và do đó M/A n cũng Nơte. Khi đó M là Nơte. Hệ quả 1.7: Nếu vành R là Nơte phải và M là R - môđun hữu hạn sinh thì M là Nơte. Chứng minh: Với mỗi a M xét ánh xạ a : R M r ar Rõ ràng a là một đồng cấu R - môđun. Theo định lý về đồng cấu môđun ta có R/Ker a Im a = aR 7 Do R là Nơte nên R/Ker a Nơte và do đó aR cũng Nơte. Bây giờ giả sử {a 1 ,a 2 ,a n } là hệ sinh của M, khi đó M = Ra i n n = 1 . Theo hệ quả 1.7 ta suy ra M là Nơte. Đ 2 - Môđun con cốt yếu, môđun con đều. Định nghĩa 1.8: Cho M là một R - môđun và N là môđun con của M. Môđun con N đợc gọi là cốt yếu trong M và ký hiệu là N * M, nếu với mọi môđun K M, K 0 thì N K 0. Nếu N * M thì M đợc gọi là mở rộng cốt yếu của N. Nếu 0 * M thì M = 0. Định nghĩa 1.9: Cho R là vành, một R - môđun U đợc gọi là đều (hay uniform) nếu U 0 và A B 0 đối với mọi môđun con khác không A, B của U. Hay nói cách khác, U là đều nếu U 0 và mọi môđun con khác không là cốt yếu trong U. Ví dụ 1.10: i) Z - môđun Z, Z - môđun Q là đều. ii) Mọi môđun con uniform đều cốt yếu. Mệnh đề 1.11: Cho M là R - môđun. Khi đó ta có: i) A * M khi và chỉ khi 0 x M, xR A 0. ii) Cho A B, B M thì A * M khi và chỉ khi A * B và B * M. 8 iii) Nếu A i * B i ( i=1,2 .,n), A i , B i M thì = n i 1 A i * = n i 1 B i . Đặc biệt nếu A i * M thì = n i 1 A i * M. iv) Cho A B, B M. Nếu B/A * M/A thì B * M v) Nếu f: M N là một đồng cấu môđun và A * N thì f -1 (A) * M. vi) Cho M = i Ii M , A = Ii A i và M i là các môđun con của M, i I, trong đó A i * M i . Khi đó tồn tại Ii M i và A * Ii M i . Chứng minh: i) Giả sử A * M, với 0 x M xR 0, xR M, hiển nhiên xR A 0 ( theo định nghĩa). Ngợc lại, nếu xR A 0, x M, x 0. Khi đó giả sử 0 X M mà A X = 0. Do X 0 x X, x 0 ta có 0 = (A X) xR X 0. Vô lý. Vậy X A 0 hay A * M. ii) Giả sử A * M. Lấy 0 X B X M A X 0 (do A * M) A * B. Lấy 0 X M X A 0 X B 0 ( vì A B) B * M. Ngợc lại, giả sử A * B và B * M. Lấy 0 X M và B * M X B 0, mà (X B) B và A * B (X B) A 0 X A 0 A * M. iii) Lấy 0 X = n i 1 B i X B i mà A i * B i X A i 0. Do đó X = n i 1 A i 0. Hay = n i 1 A i * = n i 1 B i . iv) Lấy 0 X M. Giả sử X B = 0 suy ra tồn tại X B, và ta có (X A)/A M/A. Do B/A * M/A nên ((X A)/A) (B/A) 0 Tồn tại x + a + A = b + A x = b + a (aA). Vô lý . 9 Vậy X B 0 B * M. v) Lấy 0 X M. - Nếu f(X) = 0 X f -1 (A) (X f -1 (A)) = X 0. - Nếu f(X) 0. Vì A * N A f(X) 0. Do đó tồn tại a 0, a A và a f(X) a = f(x) và x X, x 0. Suy ra x = f -1 (a) x f -1 (A) X f -1 (A) 0. Vậy f -1 (A) * M. vi) Trớc hết ta chứng minh cho trờng hợp I hữu hạn. Dùng quy nạp ta chỉ xét với n = 2. Ta có M = M 1 + M 2 , A 1 * M 1 , A 2 * M 2 , tồn tại A 1 A 2 . Theo iii) ta có (A 1 A 2 ) * (M 1 M 2 ) hay 0 * M 1 M 2 M 1 M 2 = 0, do đó tồn tại tổng M 1 M 2 . Tiếp theo xét các phép chiếu: 1 : M 1 M 2 M 1 2 : M 1 M 2 M 2 Do A 1 * M 1 1 -1 (A 1 ) * (M 1 M 2 ) ( theo v) Nhng -1 (A 1 ) = A 1 M 2 (A 1 M 2 ) * (M 1 M 2 ) (1) Do A 2 * M 2 2 -1 (A 2 ) * (M 1 M 2 ) (A 2 M 1 ) * (M 1 M 2 ) (2) Lấy giao từng vế của (1) và ( 2) ta có ( A 1 M 2 ) ( A 2 M 1 ) (M 1 M 2 ) (A 1 A 2 ) * (M 1 M 2 ). Bây giờ ta chứng minh cho trờng hợp I vô hạn. Lấy x Ii M i ta có biểu diễn x = Fi x i , với F hữu hạn thuộc I, theo trờng hợp trên thì tồn tại Fi M i và sử biểu diễn đó là duy nhất. 10 Tiếp theo lấy 0 X Ii M i 0 x X; mà x Fi M i , Fi A i * Fi M i (với F hữu hạn thuộc I) xR Fi A i 0 X Fi A i 0 X Ii A i 0. Vậy Ii A i * Ii M i . Định nghĩa 1.12: Cho M là R - môđun. Môđun A M đợc gọi là đóng trong M nếu A không có mở rộng cốt yếu thực sự trong M, tức là nếu : A * B M A = B Môđun X đợc gọi là bao đóng của U trong M nếu U * X và X đóng trong M. Hệ quả 1.13: i) Nếu A là môđun con đóng trong M thì hạng tử trực tiếp của A cũng đóng trong M. ii) Nếu A là môđun con đóng trong hạng tử trực tiếp của M thì A cũng đóng trong M. iii) Nếu A là môđun con đóng trong X và X đóng trong M thì A là môđun con đóng trong M. 11