Chiều krull của vành và môđun

Trờng Đại học Vinh khoa toán ---------------------- Nguyễn thị ngọc tú chiều krull của vành và môđun khóa luận tốt nghiệp đại học ngành cử nhân khoa học toán VInh - 2006 1 Mục lục Trang Mở đầu . 2 Chơng 1. Kiến thức cơ sở 3 Đ1. Vành và iđêan 3 Đ2. Môđun . 6 Đ3. Môđun Noether và môđun Artin 11 Đ4. Iđêan nguyên tố liên kết . 13 Đ5. Sự phân tích nguyên sơ 14 Chơng 2: Vành và Môđun phân bậc . 16 Đ1. Vành và môđun phân bậc 16 Đ2. Đa thức Hilbert . 19 Chơng 3. Chiều Krull của vành và môđun 22 Đ1. Định nghĩa chiều Krull của vành và môđun . 22 Đ2. Chiều trên vành địa phơng . 26 Đ3 Một số ví dụ . 34 Kết luận 37 Tài liệu tham khảo 38 2 mở đầu Chiều là một khái niệm quan trọng trong hình học đại số và đại số giao hoán. Chẳng hạn khái niệm chiều Krull có thể đặc trng đợc "độ lớn" của tập nghiệm phơng trình đa thức khi tập này vô hạn. Để đo "độ lớn" của vành Noerther ngời ta cũng dùng khái niệm chiều. Trong luận văn này chúng tôi đa ra khái niệm chiều Krull của vành và môđun; xây dựng các phơng pháp xác định chiều Krull của môđun hữu hạn sinh trên vành Noerther. Luận văn đợc chia làm 3 chơng: Chơng 1, chúng tôi trình bày các kiến thức cơ sở về vành và môđun cần dùng cho chứng minh của các chơng tiếp theo. Chơng 2, khái niệm vành và môđun phân bậc đợc đa ra làm cơ sở xây dựng đa thức Hilbert. Chơng 3, là nội dung chính của luận văn. Trong chơng này chúng tôi trình bày khái niệm chiều Krull của vành và môđun và chứng minh các tính chất của nó; Xây dựng cách xác định chiều của môđun hữu hạn sinh trên vành Norther bằng nhiều cách, đặc biệt đa ra nhiều ví dụ cụ thể minh hoạ. Để hoàn thành luận văn này tôi đã nhận đợc sự hớng dẫn nhiệt tình của TS. Nguyễn Thị Hồng Loan và các thầy cô giáo trong tổ Đại số. Tôi xin chân thành cảm ơn TS. Nguyễn Thị Hồng Loan, cùng các thầy cô giáo đã giúp đỡ tôi hoàn thành khoá luận này. Mặc dù hết sức cố gắng nhng không thể tránh khỏi thiếu sót, mong đợc sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn. Tác giả 3 Chơng I. Kiến thức cơ sở Trong chơng này chúng tôi đa ra các khái niệm và kết quả cần dùng cho các chứng minh ở chơng sau. Đ1. Vành và Iđêan 1.1. Khái niệm 1.1.1. Định nghĩa. Ta gọi vành là một tập hợp R cùng với hai phép toán gọi là phép cộng và phép nhân sao cho các điều kiện sau đây thoả mãn: (i) R cùng với phép toán cộng là một nhóm aben (ii) R cùng với phép toán nhân là một nửa nhóm (iii) Phép nhân phân phối đối với phép cộng x(y + z) = xy + xz, (y + z)x = yx + zx Với mọi x, y, x R. Phần tử đơn vị của phép cộng ký hiệu là 0 và gọi là phần tử không của vành. Nếu phép nhân có tính chất giao hoán thì ta gọi R là vành giao hoán. Nếu phép nhân có phần tử đơn vị thì ta gọi đó là phần tử đơn vị của vành R và thờng kí hiệu là 1. 1.1.2. Ví dụ. Tập hợp  các số nguyên cùng với phép toán cộng và nhân số thông thờng là một vành giao hoán có đơn vị và gọi là vành các số nguyên. Ta cũng có vành các số hữu tỉ Ô , vành số thực Ă , vành số phức Ê đối với phép toán cộng và nhân thông thờng. Để thuận tiện từ nay về sau ta luôn giả thiết vành giao hoán, có đơn vị. 1.2. Iđêan. 1.2.1. Định nghĩa. Cho R là một vành và I là một vành con của R. Khi đó I đợc gọi là iđêan của R nếu ra I và ar I, a I và r R. 1.2.2. Ví dụ. Xét vành số nguyên  . I là iđêan của  khi và chỉ khi I = m  = {mz z  }, trong đó m là số nguyên nào đó. Iđêan này đợc gọi là iđêan sinh bởi m. 1.3. Một số lớp iđêan 4 1.3.1. Iđêan sinh bởi một tập, iđêan hữu hạn sinh. Cho R là một vành và S là tập con của R. Khi đó giao của tất cả các iđêan của R chứa S là iđêan bé nhất của R chứa S. Iđêan đó đợc gọi là iđêan sinh bởi tập S. Ký hiệu là I = <S> Nếu S là tập hữu hạn phần tử thì iđêan sinh bởi tập S đợc gọi là iđêan hữu hạn sinh. Giả sử S = {s 1 , , s n } thì I = S = <s 1 , , s n > = { n i i i 1 rs = r i R, s i S} Chú ý. Có những iđêan không hữu hạn sinh. Chẳng hạn xét vành C [0,1] . Cho f n là một hàm liên tục tùy ý sao cho f n (x) > 0 nếu 1/n < x 1 và f n (x) = 0 với mọi 0 x 1/n. Đặt J = (f 1 , f 2 , ). iđêan này không hữu hạn sinh. 1.3.2. Iđêan nguyên tố, iđêan cực đại. Iđêan thực sự I của vành R đợc gọi là iđêan nguyên tố nếu với mọi a, b R sao cho ab I thì suy ra a I hoặc b I. Iđêan thực sự I của vành R đợc gọi là cực đại nếu nó không thực sự chứa trong một iđêan J thực sự của R. Tập tất cả các iđêan nguyên tố của R đợc ký hiệu là specR và gọi là phổ của vành R. Cho I là một iđêan của vành R. Ta ký hiệu: V(I) = {p p specR, p I} Vành R đợc gọi là vành nửa địa phơng nếu R chỉ có hữu hạn iđêan cực đại ; R đợc gọi là vành địa phơng nếu R chỉ có một iđêan cực đại. 1.3.3. Ví dụ. Trong vành các số nguyên  , iđêan n  là nguyên tố nếu và chỉ nếu n là một số nguyên tố. 1.3.4. Chú ý. (i) I là một iđêan nguyên tố của vành R khi và chỉ khi R/ I là miền nguyên. (ii) I là iđêan cực đại của vành R khi và chỉ khi R/ I là một trờng. Do đó trong một vành (giao hoán, có đơn vị) mọi iđêan cực đại đều nguyên tố. 5 1.3.5. Iđêan nguyên sơ. Cho R là vành giao hoán chứa đơn vị, I là một iđêan của vành R, I đợc gọi là iđêan nguyên sơ nếu với mọi x, y R, xy I và nếu x I thì tồn tại số tự nhiên n sao cho y n I. Ví dụ. Trong vành các số nguyên  , iđêan n  là nguyên sơ nếu và chỉ nếu n = p k , trong đó p là số nguyên tố. 1.3.6. Căn của iđêan. Căn của I là một iđêan của R, đợc ký hiệu là I và I = {x R n: x n I}. 1.3.7. Iđêan bất khả quy. Cho I là một iđêan, ta nói rằng I bất khả quy nếu I không phân tích đợc thành giao của hai iđêan thực sự chứa nó. Nghĩa là nếu I = I 1 I 2 thì I 1 = I hoặc I 2 = I. 1.3.8. Iđêan đơn thức. Iđêan I K[x 1 , , x n ] gọi là iđêan đơn thức nếu nó sinh bởi các đơn thức. Ví dụ. I = ( 2 2 4 1 2 3 1 2 3 x x x , x ,x x ) K[x 1 , x 2 , x 3 ] là iđêan đơn thức. 6 Đ2. môđun 2.1. Khái niệm môđun 2.1.1. Định nghĩa. Cho R là một vành giao hoán có đơn vị. Một tập hợp M đợc gọi là R - môđun nếu trên M có phép toán cộng và phép nhân với vô h- ớng thỏa mãn các điều kiện sau: (i) M với phép cộng là một nhóm Aben; (ii) phép nhân với vô hớng thỏa mãn các tính chất sau : r(x + y) = rx + ry, r R, x, y M, (r + )x = (r + )x, r, R, x M, (r)x = r(x), r R, x M, 1. x = x, x R. 2.1.2. Ví dụ. Cho V là một không gian vectơ trên trờng K. Khi đó V là K - môđun hay V là một môđun trên trờng K. 2.2. Môđun con và môđun thơng 2.2.1. Môđun con 1) Định nghĩa. Cho M là R - môđun, A là tập con khác rỗng của M. A đợc gọi là môđun con của M nếu với các phép toán cảm sinh của M thì A là một R - môđun. 2) Ví dụ. n  (n  ) là môđun con của  - môđun  . 2.2.2. Môđun thơng 1) Định nghĩa. Nếu A là môđun con của M, xét tập M/ A = {x + A x M}. Trên M/A, định nghĩa 2 phép toán - Phép cộng: (x + A) + (y + A) = (x + y) + A - Phép nhân với vô hớng: (x + A) = x + A. Khi đó với hai phép toán này M/ A là một R - môđun và gọi là môđun thơng của môđun M theo môđun con A. 2) Ví dụ.  / 4  = {z + 4  z  } 7 = {0 + 4  , 1 + 4  , 2 + 4  , 3 + 4  }. 2.3. Định lý đồng cấu, đẳng cấu môđun 2.3.1. Định lý đồng cấu môđun. Giả sử f: M N là một đồng cấu R - môđun. Khi đó Imf M/ Kerf. 2.3.2. Định lý đẳng cấu môđun Định lý 1. Cho M là R - môđun, N và p là hai môđun con của M. Khi đó ta có N P N P N P + . Định lý 2. Giả sử M là R - môđun. Cho N và P là hai môđun con của M sao cho N P. Khi đó: M / N N P P / N . 2.4. Dãy khớp ngắn các môđun. Giả sử M, M', M'' là các R - môđun. Một dãy khớp có dạng 0 M' M M'' 0 (1) đợc gọi là dãy khớp ngắn. Chú ý rắng dãy (1) là dãy khớp ngắn khi và chỉ khi f là đơn cấu, g là toàn cấu và Imf = Ker(g). 2.5. Độ dài của môđun. 2.5.1. Định nghĩa. Cho M là R - môđun và dãy các môđun con của M: M = M 0 M 1 M 2 M n = 0 (*) Khi đó (*) gọi là có độ dài n và (*) đợc gọi là dãy hợp thành của môđun M nếu M i+1 / M i là môđun đơn. 2.5.2.Định lý. Giả sử M có dãy hợp thành. Khi đó mọi dãy hợp thành của M có cùng độ dài. 2.5.3. Định nghĩa. Nếu M có dãy hợp thành có độ dài bằng n thì ký hiệu là l R (M) hoặc l(M) = n gọi là độ dài của môđun M. 8 2.5.4. Mệnh đề. Hàm độ dài có tính chất cộng tính trên lớp các môđun có độ dài hữu hạn. Nghĩa là nếu dãy sau là dãy khớp các R - môđun có độ dài hữu hạn: 0 M' M M'' 0 thì l (M) = l(M') + l(M'') Tổng quát, nếu có dãy khớp các môđun có độ dài hữu hạn: 0 M p M p-1 M 0 0 thì p i i i 1 ( 1) l(M ) 0 = = . Mệnh đề sau đây không cần giả thiết độ dài hữu hạn. 2.5.5. Mệnh đề. Giả sử K N là các môđun con của R - môđun M. Khi đó: l(M/ K) = l(M/ N) + l(N/ K). 2.5.6. Hệ quả. Giả sử M là R - môđun có độ dài hữu hạn và N là môđun con của M. Khi đó l(N) l(M); dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi M = N. 2.6. Một số khái niệm khác 2.6.1. Căn Jacobson của vành Căn Jacobson của vành R, ký hiệu là J(R) là giao của tất cả các iđêan cực đại của R. 2.6.2. Bổ đề Nakayama. Cho R là vành, M là R - môđun hữu hạn sinh ( M 0) và a là iđêan của R chứa trong căn Jacobson của R. Khi đó ta có aM M. Chú ý. Giả sử N 1 , N 2 là hai môđun con của R - môđun M, I là một iđêan của R. Trong luận văn này chúng tôi sử dụng các ký hiệu N 1 : M I = {x M/ xI N 1 } = {x M rx N 1 , r I} N 1 : R N 2 = {a R/ aN 2 N 1 } = {a R ax N 1 ; x N 2 } Dễ kiểm tra đợc rằng N: M I là một môđun con của M và N 1 : R N 2 là một iđêan của vành R. 9 2.6.3. Linh hoá tử của môđun. Giả sử M là R - môđun. Ký hiệu: Ann R (M) = {a RaM = 0} = {a Rax = 0, x M} Khi đó Ann R (M) là một iđêan của R và đợc gọi là linh hoá tử của môđun M. Giả sử x M. Ký hiệu Ann R (x) = {a Rax = 0} Ta có Ann R (x) cũng là một iđêan của R. 2.7. Môđun các thơng 2.7.1. Định nghĩa. Một tập hợp S R đợc gọi là tập nhân đóng nếu 1 S và ab S, a, b S. Cho M là một R - môđun và S' là tập nhân đóng của R Ta ký hiệu: S -1 R ={a/ s a R, s S} S -1 M = {x/ s x M, s S} Khi đó S -1 R là một vành giao hoán với hai phép toán. Phép toán cộng (+) a b at bs s t st + + = Phép toán nhân (.) a b ab . s t st = . S -1 M là S -1 R - môđun với phép nhân với vô hớng nh sau: a x ax . s t st = , trong đó a s S -1 R và x t S -1 M. Môđun S -1 M đợc gọi là môđun các thơng của M theo tập nhân đóng S. Nếu P là một iđêan nguyên tố của vành R. Khi đó S = R\P là một tập nhân đóng của R. Trong trờng hợp này, thay cho việc viết S -1 R ta viết R p và thay cho việc viết S -1 M ta viết M p . 2.7.2. Mệnh đề. Cho S là một tập nhân đóng của vành giao hoán R. Khi đó S -1 (*) là một hàm tử khớp từ phạm trù R - môđun vào phạm trù các R - môđun. 10 . 3. Chiều Krull của vành và môđun. . 22 Đ1. Định nghĩa chiều Krull của vành và môđun. 22 Đ2. Chiều. bày khái niệm chiều Krull của vành và môđun và chứng minh các tính chất của nó; Xây dựng cách xác định chiều của môđun hữu hạn sinh trên vành Norther bằng