CÁC ĐỊNH lý PHÂN TÍCH của VÀNH và MÔĐUN

CÁC ĐỊNH lý PHÂN TÍCH của VÀNH và MÔĐUN

LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác. Tác giả luận văn Đà nẵng 2013 MỤC LỤC 3 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Vành và đại số kết hợp là các cấu trúc đại số rất thú vị. Theo một nghĩa chặt chẽ, lý thuyết đại số (đặc biệt đại số không giao hoán) bắt nguồn từ một ví dụ, cụ thể là các số quaternion được tạo bởi William R. Hamilton vào năm 1843. Đây là ví dụ đầu tiên về “hệ thống số” không giao hoán. Trong suốt 40 năm kế tiếp, các nhà toán học giới thiệu các ví dụ khác về đại số không giao hoán để chỉ ra các kiểu đại số cho sự chú ý đặc biệt. Vì vậy, các đại số có số chiều thấp, các đại số chia và các đại số giao hoán được phân loại và đặc trưng. Kết quả đầy đủ đầu tiên trong lý thuyết cấu trúc của đại số kết hợp trên trường thực và phức có được bởi T. Molien, E. Cartan và G. Frobenius. Lý thuyết vành là một chủ đề cực kỳ quan trọng trong đại số. Về mặt lịch sử, nhiều khám phá chính trong lý thuyết vành đã làm cho đại số trừu tượng hiện đại phát triển. Ngày nay, lý thuyết vành là một mảnh đất màu mỡ đối với lý thuyết nhóm, lý thuyết biểu diễn, giải tích hàm, lý thuyết Lie, hình học đại số, số học, đại số phổ dụng và đại số đồng điều. Lý thuyết vành hiện đại bắt đầu khi J.H.M. Wedderburn chứng minh được định lý phân loại nổi tiếng đối với các đại số nửa đơn hữu hạn chiều trên trường. Hai mươi năm sau đó, E. Noether và E. Artin giới thiệu điều kiện dây chuyền tăng (ACC) và điều kiện dây chuyền giảm (DCC) để thay thế tính hữu hạn chiều và Artin đã chứng minh tương tự Định lý Wedderburn cho vành nửa đơn tổng quát. Từ đó lý thuyết Wedderburn-Artin trở thành nền tảng cho lý thuyết vành không giao hoán. Trong một vành, ta có thể cộng, trừ và nhân, nhưng ta không thể “chia” một phần tử cho một phần tử khác. Theo một nghĩa rất tự nhiên, các đối tượng “hoàn hảo” nhất trong lý thuyết vành không giao hoán là các thể (vành chia), 4 nghĩa là vành có đơn vị khác không, trong đó mọi phần tử khác không đều khả nghịch. Từ các thể, ta có thể xây dựng các vành ma trận và tạo thành tích trực tiếp hữu hạn của các vành ma trận như thế. Theo Định lý phân tích của Wedderburn-Artin, các vành có được theo cách này bao gồm tất cả các lớp vành nửa đơn quan trọng. Đây là một trong các định lý phân loại đầy đủ sớm nhất và đẹp nhất trong đại số trừu tượng. Có nhiều cách định nghĩa tính nửa đơn. Wedderburn quan tâm chủ yếu đến đại số hữu hạn chiều trên trường, định nghĩa căn của một đại số R như thế là iđêan lũy linh lớn nhất của R, và định nghĩa R là nửa đơn nếu căn này bằng không. Vì chúng ta quan tâm đến vành nói chung, và không chỉ đại số hữu hạn chiều, chúng ta sẽ theo một cách tiếp cận khác. Ở đây, một vành nửa đơn được định nghĩa là một vành mà tất cả các môđun trên nó là nửa đơn, nghĩa là tổng trực tiếp các môđun đơn. Định nghĩa vành nửa đơn theo lý thuyết môđun này không những dễ làm việc mà còn kéo theo Định lý Wedderburn-Artin một cách nhanh chóng và tự nhiên. Việc xem xét căn cũng đóng một vai trò quan trọng trong lý thuyết vành, trong đó căn Wedderburn đối với đại số hữu hạn chiều được suy rộng đến căn Jacobson đối với vành bất kỳ. Với khái niệm tổng quát hơn về căn này, chúng ta sẽ thấy rằng vành nửa đơn chính là vành Artin với căn Jacobson bằng không. Ở đây, căn Jacobson của một vành R, ký hiệu rad R được định nghĩa là giao của tất cả các iđêan cực đại của R. Xuất phát từ mong muốn nghiên cứu mang tính thời sự của lý thuyết vành và môđun và các ứng dụng của nó, chúng tôi quyết định chọn đề tài với tên gọi Các định lý phân tích của vành và môđun để tiến hành nghiên cứu. Chúng tôi hy vọng tạo được một tài liệu tham khảo tốt cho những người bắt đầu tìm hiểu về phân tích các vành và ứng dụng vào vành Artin và Noether, và chỉ ra được một số ví dụ minh hoạ đặc sắc nhằm góp phần làm phong phú thêm các kết quả trong lĩnh vực này. 5 2. Mục tiêu và nội dung nghiên cứu Mục tiêu của luận văn nhằm nghiên cứu sự phân tích của các vành và môđun qua các định lý cơ bản nổi tiếng và ứng dụng vào lớp vành Artin và Noether, cùng các tính chất của chúng. Nội dung của luận văn được chia thành 3 chương: - Trong Chương 1, các công cụ cơ bản để nghiên cứu vành được giới thiệu, một số định nghĩa cơ sở, nhiều tính chất cơ bản và các ví dụ minh họa được trình bày. Một số khái niệm quan trọng đóng vai trò trung tâm trong lý thuyết vành được nêu ra trong chương này. - Chương 2 nhằm trình bày các định lý phân tích của vành. Đặc biệt, nhiều chú ý được cho đối với phân tích Peirce hai phía của vành. Tiếp đến là việc nghiên cứu các môđun nửa đơn mà tạo thành một trong các lớp quan trọng nhất của môđun và đóng một vai trò nổi bật trong lý thuyết môđun. Đối với vành nửa đơn, giới thiệu Định lý cơ bản Weddeburn-Artin cung cấp sự phân loại đầy đủ của các vành như thế. Trong chương này cũng đưa ra một giới thiệu ngắn gọn về lý thuyết dàn và đại số Boole. Chương 2 còn giới thiệu các vành khả phân hữu hạn và các tính chất chính của chúng. Đối với các vành này, các định lý phân tích sử dụng lý thuyết tổng quát của đại số Boole và lý thuyết về các phần tử lũy đẳng được trình bày. - Chương 3 dành cho việc nghiên cứu vành và môđun Noether và Artin; đặc biệt là định lý nổi tiếng Jordan-Hölder và định lý cơ sở Hilbert. Phần quan trọng nhất của chương này là nghiên cứu căn Jacobson và các tính chất của nó. Chương này cũng trình bày chứng minh Bổ đề Nakayama, đó là một kết quả đơn giản với các ứng dụng mạnh mẽ. Cuối cùng là sự trình bày một tiêu chuẩn của vành là Noether hoặc Artin và xét các vành nửa nguyên sơ, chứng minh một định lý nổi tiếng của Hopkin và Levitzki, mà chứng tỏ một vành Artin bất kỳ cũng là vành Noether. 6 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu của luận văn là lý thuyết vành và môđun. Phạm vi nghiên cứu của luận văn là sự phân tích của vành và môđun và ứng dụng vào vành Artin và Noether qua các định lý phân tích cơ bản nổi tiếng. 4. Phương pháp nghiên cứu 4.1. Thu thập các bài báo khoa học và tài liệu của các tác giả nghiên cứu về các định lý phân tích của vành và môđun, một vấn đề quan trọng trong lý thuyết vành và môđun, trên cơ sở đó phân tích, tổng hợp và chứng minh chi tiết các kết quả liên quan. 4.2. Tham gia các buổi seminar của thầy hướng dẫn để trao đổi các kết quả đang nghiên cứu. Trao đổi qua email, blog, forum với các chuyên gia về lý thuyết vành và môđun. 5. Đóng góp của đề tài 5.1. Tổng quan các kết quả của các tác giả đã nghiên cứu liên quan đến Các định lý cơ bản nổi tiếng về sự phân tích của vành và môđun, nhằm xây dựng một tài liệu tham khảo cho các người bắt đầu nghiên cứu về lý thuyết vành và môđun. 5.2. Chứng minh chi tiết và làm rõ một số mệnh đề, cũng như đưa ra một số ví dụ minh hoạ nhằm làm cho người đọc dễ dàng tiếp cận vấn đề được đề cập. 6. Cấu trúc của luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo trong luận văn gồm có các chương như sau: CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ CHƯƠNG 2. CÁC PHÂN TÍCH CỦA VÀNH CHƯƠNG 3. VÀNH ARTIN VÀ NOETHER. 7 CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ Toàn bộ các khái niệm và kết quả trong chương này có thể tìm thấy trong các tài liệu [1], [2] và [3]. 1.1. KHÁI NIỆM CƠ BẢN VÀ CÁC VÍ DỤ Định nghĩa 1.1.1. Một vành là một tập hợp khác rỗng A cùng với hai phép toán ký hiệu cộng và nhân thỏa mãn các điều kiện sau ∀ a , b,c ∈ A , (1) a+ ( b+c ) = ( a+b ) +c (Tính kết hợp của phép cộng); (2) a+b=b+a (Tính giao hoán của phép cộng); (3) ∃ 0∈ A , a+0=0+a=a (Tồn tại phần tử không); (4) ∃ x ∈ A , a+ x=0 (Tồn tại phần tử đối); (5) ( a+b ) . c=a.c+b.c (Tính phân phối phải); (6) a. ( b+c ) =a.b+a.c (Tính phân phối trái). 8 Chúng ta thường ký hiệu ab thay cho a.b với a,b ∈ A . Phần tử đối x∈ A ở (4) là duy nhất. Phần tử đối x thường được ký hiệu là – a . (A, +) là một nhóm Abel gọi là nhóm cộng của A. Một ví dụ tầm thường của vành là vành chỉ có một phần tử 0. Vành này được gọi là vành tầm thường hay vành không. Ta thường xét vành có nhiều hơn một phần tử và vì vậy có ít nhất một phần tử khác phần tử không. Các vành như vậy được gọi là vành khác không. Vành A được gọi là kết hợp nếu phép nhân thỏa mãn tính kết hợp: ( a 1 a 2 ) a 3 =a 1 ( a 2 a 3 ) , ∀ a 1 ,a 2 , a 3 ∈ A . Vành A được gọi là giao hoán nếu phép nhân có tính giao hoán, nghĩa là, a 1 a 2 =a 2 a 1 ,∀ a 1 ,a 2 ∈ A . Phần tử đơn vị của vành A được định nghĩa là phần tử trung hòa e∈ A đối với phép nhân, tức là ae=ea=a ,∀ a ∈ A. Chú ý rằng nếu một vành khác không có phần tử đơn vị thì nó được xác định duy nhất và thường được ký hiệu là 1. Nói chung, một vành không nhất thiết có phần tử đơn vị. Một vành có phần tử đơn vị đối với phép nhân thường được gọi là vành có phần tử đơn vị. 9 Một tập con khác rỗng S của A được gọi là vành con của A nếu S cùng với phép cộng và phép nhân trong A là một vành. Đối với vành có đơn vị 1, vành con phải có cùng phần tử đơn vị. Để xác định khi nào tập hợp S là vành con của vành A có phần tử 1, chỉ cần kiểm tra các điều kiện sau đây: a. 0 ∈ S và 1∈ S ; b. ∀ x, y ∈ S , x – y∈ S , xy∈ S . Kể từ bây giờ trở đi, nếu không nói khác đi thì một vành được hiểu là vành kết hợp và có phần tử đơn vị 1≠ 0. Cho A là một vành. Phần tử khác không a ∈ A được gọi là ước phải của 0 nếu tồn tại một phần tử khác không b ∈ A để ba=0 . Ước trái của 0 được định nghĩa tương tự. Trong trường hợp vành giao hoán, khái niệm ước phải và ước trái của 0 là trùng nhau và ta chỉ nói về ước của 0. Vành A được gọi là một miền nếu ab ≠ 0 đối với mọi phần tử khác không a, b∈ A . Trong vành như vậy không có ước trái (hay phải) của 0. 10 Một phần tử a ∈ A được gọi là khả nghịch phải nếu tồn tại một phần tử b ∈ A sao cho ab=1 . Một phần tử b như thế được gọi là nghịch đảo phải của a . Khả nghịch trái và phần tử nghịch đảo trái cũng định nghĩa tương tự. Nếu một phần tử a vừa có nghịch đảo phải b , vừa có nghịch đảo trái c thì c=c ( ab ) = ( ca ) b=b. Trong trường hợp này, ta gọi a là khả nghịch và phần tử b=c là nghịch đảo của a . Dễ dàng thấy rằng với phần tử khả nghịch a , nghịch đảo của a xác định duy nhất và thường được ký hiệu là a −1 . Nếu a và b là các phần tử khả nghịch trong vành A , thì a −1 và ab cũng khả nghịch và ( a −1 ) −1 =a , ( ab ) −1 =b −1 a −1 . Các phần tử khả nghịch của vành A tạo thành một nhóm với phép nhân, ký hiệu A ¿ hoặc U ( A).