Định lý phân tích vành và ứng dụng

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN LƯƠNG NHẪN ĐỊNH LÝ PHÂN TÍCH VÀNH VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC NGHỆ AN - 2013 2 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN LƯƠNG NHẪN ĐỊNH LÝ PHÂN TÍCH VÀNH VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành : ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã Số : 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS.TS. NGÔ SỸ TÙNG NGHỆ AN – 2013 3 MỤC LỤC Trang LỜI NÓI ĐẦU 1 CÁC KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN 3 Chương 1. ĐỊNH LÝ PHÂN TÍCH VÀNH TỔNG QUÁT 1.1. Các phần tử đặc biệt trong vành 4 1.2. Định lý phân tích vành tổng quát 7 Chương 2. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ PHÂN TÍCH VÀNH 2.1. Vành các tự đồng cấu 10 2.2. Vành nửa đơn 17 KẾT LUẬN 30 TÀI LIỆU THAM KHẢO 31 4 LỜI NÓI ĐẦU Cùng với sự phát triển của toán học hiện đại nói chung, lý thuyết vành và môđun nói riêng đã được các nhà toán học quan tâm nghiên cứu. Bài toán phân tích môđun và vành thành tổng trực tiếp là vấn đề luôn đặt ra khi nghiên cứu cấu trúc vành và môđun. Trong luận văn này, tác giả chỉ trình bày một nội dung nhỏ về lí thuyết vành, mà cụ thể đó là: định lý phân tích vành trong trường hợp tổng quát (theo nghĩa môđun). Từ đó chúng tôi tìm hiểu, đề cập và trình bày một số ứng dụng của định lý phân tích vành vào vành các tự đồng cấu và vành nửa đơn. Luận văn luôn giả thiết vành là vành kết hợp có đơn vị kí hiệu 1 và không nhất thiết là giao hoán và tất cả các môđun là môđun trái unita. Cấu trúc của luận văn ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn chia làm hai chương: Chương 1. Trình bày định lí phân tích vành tổng quát và một số kiến thức cơ bản chuẩn bị. Các khái niệm được đề cập chủ yếu trong luận văn này là khái niệm phần tử lũy đẳng, lũy linh, hệ lũy đẳng trực giao, tổng trực tiếp các iđêan trái của vành R, một số tính chất, các mệnh đề, bổ đề, định lí, hệ quả và đặc biệt phát biểu và chứng minh định lí phân tích vành. Chương 2. Trên cơ sở đó, chương 2 tiếp tục trình bày những ứng dụng của định lí phân tích vành để nghiên cứu vành các tự đồng cấu và vành nửa đơn, trình bày và chứng minh một số mệnh đề, bổ đề, định lí, hệ quả có liên quan. Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình và chu đáo của PGS.TS. Ngô Sỹ Tùng. Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới 5 thầy giáo hướng dẫn khoa học, người đã dành nhiều thời gian và công sức giúp đỡ cho tôi để hoàn thành luận văn này. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn và gửi lời cảm ơn đến quý thầy cô giáo thuộc chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số, Khoa Toán, Phòng Đào tạo Sau Đại học Trường Đại học Vinh, những người đã tận tình giảng dạy và tạo mọi điều kiện thuận lợi thành công của khóa học. Xin trân trọng cảm ơn Trường Đại học Sài Gòn đã tạo mọi điều kiện tổ chức thuận lợi cho chúng tôi hoàn thành nhiệm vụ học tập của khóa học. Xin chân thành cảm ơn bạn bè, đồng nghiệp, gia đình đã động viên và giúp đỡ tôi trong suốt khóa học. Xin gửi lời cảm ơn đến chủ tịch hội đồng quản trị và Ban giám hiệu Trường Trung học Phổ thông Phùng Hưng - Sở Giáo dục và Đào tạo TP. Hồ Chí Minh, quý thầy cô giáo đồng nghiệp đã động viên và tạo điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành nhiệm vụ học tập. Mặc dù tác giả đã có nhiều cố gắng, song luận văn vẫn còn nhiều thiếu sót, tác giả mong nhận được sự đóng góp của quý thầy cô giáo và các đồng nghiệp. TÁC GIẢ 6 CÁC KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN  : tổng trực tiếp của các môđun A M : A là môđun con của M /M N : môđun thương của M trên N M N : môđun M đẳng cấu với môđun N i A : giao của họ các môđun i A 0 A B : môđun A là môđun con đối cốt yếu của B * A B : A là môđun con cốt yếu của B ( ) R End M : vành các tự đồng cấu của R M ( ) R soc M : tổng của tất cả các môđun con đơn của R M ( ) R Rad M : giao của tất cả các môđun con tối đại của R M  : kết thúc một chứng minh. 7 CHƯƠNG I. ĐỊNH LÝ PHÂN TÍCH VÀNH TỔNG QUÁT Trong luận văn này, vành R chúng ta đang xét là vành có đơn vị kí hiệu 1 và không nhất thiết giao hoán, các môđun là môđun trái unita. 1.1. CÁC PHẦN TỬ ĐẶC BIỆT 1.1.1. Định nghĩa. Cho vành R , e R được gọi là phần tử lũy đẳng nếu 2 e e . 1.1.2. Hệ quả. Cho vành R và e R i ) e lũy đẳng thì 1, n ne e   . ii) e lũy đẳng khi và chỉ khi (1−e) lũy đẳng. 1.1.3. Ví dụ. a) Trong vành R thì phần tử 1 và 0 là lũy đẳng. b) Trong vành 2 ( )M R : ma trận 1 0 0 0         là lũy đẳng. c) Cho môđun M   : ( ) : ,End M f M M tự đồng cấu môđun}. Định nghĩa Phép cộng:       ( )f g x f x g x   và Phép nhân:         . .f g x f x g x , Khi đó :   ( )f End M , f lũy đẳng M Imf Kerf   . 1.1.4. Định nghĩa. Cho vành R khi đó x R được gọi là phần tử lũy linh nếu tồn tại số tự nhiên  1n sao cho  0 n x . 1.1.5. Ví dụ. Trong vành   2 M R ma trận 1 0 0 0         là phần tử lũy linh. 1.1.6. Định nghĩa. Cho vành R và u R . Khi đó : 8 u được gọi là nghịch đảo phải nếu v R : 1uv ; u được gọi là nghịch đảo trái nếu , v R : ' 1v u ; u được gọi là nghịch đảo nếu , u R :  ' ' 1uu u u . 1.1.7. Hệ quả. i) Nếu u có nghịch đảo phải là v và ngịch đảo trái ’v thì ’v v và u có nghịch đảo hai phía là ’u (với ’ ’u v v  ) thì ’ ’ 1.uu u u  ii) Nếu x lũy linh thì(1− x) có nghịch đảo. Chứng minh. (i) u có nghịch đảo phải là v thì 1uv  ; u có nghịch đảo trái là v’ thì ’ 1v u  suy ra  ' 1uv v u . Xét tích   ' 'v uv v u v v  và   ' ' 'v uv v uv v  vì ’v uv duy nhất nên suy ra ’v v . Khi đó lấy ’u v v  thì  ' ' 1uu u u suy ra u có nghịch đảo hai phía là u’. (ii) Giả sử x lũy linh khi đó tồn tại 1n sao cho 0 n x  , từ đó ta có:              1 2 1 1 1 1 n n n x x x x            1 2 1 1 n n x x x , cho nên (1− x) khả nghịch.  9 1.2. ĐỊNH LÝ PHÂN TÍCH VÀNH 1.2.1. Định lý. Cho vành R . a) Nếu R là sự phân tích (trái) : i I R A  với A i là các iđêan trái của vành R , với mọi i I , I là tập chỉ số thì : i) I n , với n là số tự nhiên nào đó. ii) Tồn tại hệ lũy đẳng trực giao   1 2 3 , , , , n e e e e của R tức là :  2 i i e e ,   1,i n ;  0 i j e e ,   ,i j ( , 1, )i j n . và 1 2 1 n e e e      , 1, i i A Re i n . b) Ngược lại: Nếu tồn tại một hệ lũy đẳng trực giao   1 2 3 , , , , n e e e e của R mà 1 2 1 n e e e    thì 1 2 n R Re Re Re    . Chứng minh. a) Do 1 R nên      1 2 1 , n i i a a a a A (*) (i). Với mọi r R ta có 1 2 n r ra ra ra    suy ra     1 2 n R Ra Ra Ra mà  i i a A nên i i Ra A và tồn tại 1 2 n A A A   cho nên     1 2 n R Ra Ra Ra . Ta chứng minh :  , i i A Ra lấy i i b A từ (*) suy ra 1 2i i i i n b b a b a b a    Do biểu thị ở trên là duy nhất (vì là tổng trực tiếp). Suy ra  i i i b b a khi đó  i i b Ra cho nên  i i A Ra . *) i i Ra A (hiển nhiên). 10 Vậy i i A Ra . Từ đó ta có 1 2 n R A A A    suy ra I n . (ii). Đặt   , 1, i i a e i n . Do (*) ta có : 1 2 1 n e e e    Suy ra          1 2 1i i i i i i i n i e e e e e e e e e e e (**), mặt khác    2 , 1, i i e e i n (giả thiết). Từ (**) do biểu thị là duy nhất nên    1 0 i i n e e e e và  0 i j e e với mọi  ( , 1, )i j i j n . b) Với mọi r R ta có 1 2 1 2n n r re re re Re Re Re         , suy ra     1 2 n R Re Re Re . Hơn nữa,     1 0 n k i i Re Re với mọi ( )i k . Thật vậy, giả sử lấy tùy ý      1 , ( ) n k i i x Re Re i k thì Re k x và     1 Re , ( ) n i i x i k , suy ra  , k x re r R và     1 2 Re Re Re n x (không có phần tử Re k ), suy ra 2 k k k x re re x   mặt khác 1 2 R e e R e e R e e k k k n k xe     , suy ra 0 k xe  . Do đó 0x  . Vậy 2i n R Re Re Re    .  1.2.2. Hệ quả. Nếu e R , e lũy đẳng thì   1R Re R e   . Chứng minh. Do e và (1−e) là hệ lũy đẳng trực giao nên       2 2 ; 1 1e e e e và        1 0 ; 1 0e e e e . Mặt khác     1 1e e , vậy theo ý (b) của Định lý 1.2.1 ở trên ta có điều cần chứng minh. Nghĩa là:   1R Re R e   .  [...]... mệnh đề  2.2.12 Định nghĩa Vành R được gọi là vành nửa đơn nếu R R (hay RR ) là môđun nửa đơn Đối với vành Artin, vành Noether có sự phân biệt khái niệm bên trái, bên phải Từ Định lí 2.2.11 và Định nghĩa 2.2.12 ta thấy điều đó không xảy ra đối với vành nửa đơn Ví dụ: Mỗi thể là một vành nửa đơn Mệnh đề dưới đây cho ta một ví dụ khác 2.2.13 Mệnh đề Nếu R là một vành Artin bên phải hoặc vành Artin bên... MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÍ PHÂN TÍCH VÀNH 2.1 VÀNH CÁC TỰ ĐỒNG CẤU 2.1.1 Định nghĩa Cho môđun M, kí hiệu End ( M )   f : M  M , là tự đồng cấu môđun}, thì End ( M ) là một vành và gọi là vành các tự đồng cấu của môđun M Vấn đề đặt ra: là với điều kiện nào của M thì vành các tự đồng cấu này là vành địa phương 2.1.2 Hệ quả Nếu r là phần tử thuộc R i) r là lũy linh khi đó r không khả nghịch và 1- r... theo định lí phân tích vành thì R R  Re  R(1  e) mà giả thiết R R không phân tích được do đó Re = 0 hoặc R(1  e) = 0 suy ra e  0 hoặc e  1 , có iii)  2.1.4 Định lí cho M R và S  End ( M R ) khi đó các mệnh đề sau tương đương: i) M R là môđun không phân tích được; ii) S S là S- môđun không phân tích được; iii) S S là S- môđun không phân tích được; iv) S chỉ có hai phần tử lũy đẳng là 0 và 1 Chứng...  A j và Ai  Aj  0 khi i  j vì vậy từ những đẳng thức trên suy ra A i A j   ij Ai với i, j  1, 2, , n  30 KẾT LUẬN Dựa vào tài liệu [4], nội dung chính của luận văn là: 1 Trình bày các phần tử đặc biệt của vành và một số tính chất của chúng 2 Trình bày và chứng minh chi tiết định lí phân tích vành và hệ quả có liên quan 3 Trình bày về vành các tự đồng cấu và một số bổ đề, mệnh đề, định lí,... trực giao của R mà 1  e  (1  e) nên theo định lí phân tích vành thì RR  eR  (1  e) R mà giả thiết RR là môđun không phân tích được cho nên eR=0 hoặc (1  e)R=0 suy ra e  0 hoặc e  1 ) giả sử RR là môđun phân tích được khi đó: RR  A  B với A và B là các iđêan của RR Theo định lí phân tích vành thì tồn tại phần tử lũy đẳng e  R sao cho A  e R và B  (1  e) R Do điều kiện (iii) e  0 hoặc... không phân tích được (ii )  (iii ) ) giả sử iđêan của R R R là môđun phân tích được khi đó: R R  C  D với C và D là các R Theo định lí phân tích vành thì tồn tại C  Re và D  Rf Với e 2  e, f 2  f , fe  ef  0, e  f  1 Suy ra f  1  e , Do điều kiện iii) nếu e  0 thì 13 C  0 còn nếu e  1 thì f  0 khi đó D  0 (mâu thuẫn RR là môđun phân tích được) Vậy R R là môđun không phân tích được... n 1 là môđun không phân tích được Trái với giả thiết tối đại của C0 Vậy n M R   M i , với M i là môđun không phân tích được i 1 ii) Nếu M R là môđun có độ dài hữu hạn thì nó là môđun Artin Do đó M R có cách phân tích như trong i) Vì M i cũng là môđun có độ dài hữu hạn và không phân tích được nên theo Định lí 2.1.6, End ( M i ) là vành địa phương 2.2 VÀNH NỬA ĐƠN  18 2.2.1 Định nghĩa Một R- môđun... đơn cấu Theo chứng minh trên 1  s khả nghịch Vậy S là vành địa phương  2.1.8 Định nghĩa Ta có M R  0 là môđun không phân tích được thành tổng nếu nó không biểu diễn được thành tổng của hai môđun con thực sự (tức là môđun con khác 0 và khác M R ) 2.1.9 Định lí Giả sử PR  0 là môđun xạ ảnh PR là môđun không phân tích được thành tổng khi và chỉ khi S  End ( PR ) là vành địa phương Chứng minh ) Giả...  i ) Giả sử A là một iđêan tùy ý của vành R (theo iv) A là môđun nội xạ nên phép nhúng chính tắc i : A  RR chẻ ra, do đó A là một hạng tử trực tiếp của RR Vậy RR là môđun nửa đơn Trường hợp bên trái hoàn toàn chứng minh tương tự  2.2.15 Mệnh đề Ảnh toàn cấu của một vành nửa đơn là vành nửa đơn Chứng minh Giả sử p : R  S là một toàn cấu vành và R là một vành nửa đơn Coi S như một R môđun thì theo... sử r lũy đẳng và r khả nghịch Khi đó tồn tại r , sao cho r , r  rr ,  1 và r 2  r suy ra r 2 r ,  r , r 2  1 tương đương r (rr , )  (r , r )r  1 tương đương r.1  1.r  1  Do đó r  1 2.1.3 Định lí Đối với vành R các mệnh đề sau tương đương : i) RR là môđun không phân tích được; ii) R R là môđun không phân tích được; iii) 0 và 1 là những phần tử lũy đẳng duy nhất của vành R Chứng minh (i ) . 3 Chương 1. ĐỊNH LÝ PHÂN TÍCH VÀNH TỔNG QUÁT 1.1. Các phần tử đặc biệt trong vành 4 1.2. Định lý phân tích vành tổng quát 7 Chương 2. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ PHÂN TÍCH VÀNH 2.1. Vành các tự. là: định lý phân tích vành trong trường hợp tổng quát (theo nghĩa môđun). Từ đó chúng tôi tìm hiểu, đề cập và trình bày một số ứng dụng của định lý phân tích vành vào vành các tự đồng cấu và vành. nên (1− x) khả nghịch.  9 1.2. ĐỊNH LÝ PHÂN TÍCH VÀNH 1.2.1. Định lý. Cho vành R . a) Nếu R là sự phân tích (trái) : i I R A  với A i là các iđêan trái của vành R , với mọi i I , I là tập