MỤC LỤC
Một trong các khái niệm quan trọng nhất của đại số hiện đại là khái niệm về môđun, có thể xem như là sự tổng quát hóa của không gian vectơ. Lưu ý rằng nếu A là một trường thì A -môđun phải chính là một không gian vectơ phải. Cho G là một nhóm Abel nguyên sơ, tức là, mỗi phần tử g∈ G có cấp pk với p là số nguyên tố cố định và k là số nguyên.
Cho A=I1⊕…⊕Im⊕… là một phân tích của vành A thành một tổng trực tiếp của các iđêan phải khác không (số các hạng tử không nhất thiết. phải hữu hạn). Ta sẽ ký hiệu HomA(M,N) tập tất cả các đồng cấu từ một A-môđun M đến một A- môđun N. Tập tất cả các tự đồng cấu của môđun M với hai phép toán này tạo thành một vành.
Một vai trò quan trọng của lý thuyết cấu trúc các vành là trường hợp. Phân tích này được gọi là phân tích Piere hai phía của một vành, hoặc phân tích Piere của vành A. Lưu ý rằng, theo Định lý 2.1.2, các phần tử của eiAej được đồng nhất một cách tự nhiên.
Cho M=M1⊕…⊕Mn là một phân tích của một A-môđun M thành một tổng trực tiếp các đẳng cấu của các môđun con M1≃M2≃…≃Mn. Rừ ràng, phộp chiếu πi của mụđun M lờn hạng tử trực tiếp thứ i Mi là lũy đẳng của vành EndA( M ) , và hơn nữa với. Các phần tử φij được xét một cách tự nhiên như các đồng cấu môđun Mj đến môđun Mi.
Ta sẽ chứng minh định lý cơ bản Wedderburn-Artin cùng các mô tả đầy đủ của các vành này, và đây là một trong các định lý phân loại sớm nhất của lý thuyết vành không giao hoán. Một môđun khác không M được gọi là đơn (hoặc bất khả qui) nếu nó có đúng hai môđun con (hai môđun con tầm thường. M và môđun không). Một môđun M được gọi là nửa đơn (hoặc hoàn toàn khả quy) nếu nó có thể phân tích được thành tổng trực tiếp các môđun đơn.
Một vành A được gọi là nửa đơn phải (tương ứng trái) nếu nó là nửa đơn như môđun phải (tương ứng trái) trên chính nó. Vì A có phần tử đơn vị và môđun con phải bất kỳ của A chính là iđêan phải, A là nửa đơn phải nếu A là tổng trực tiếp của một số hữu hạn các iđêan phải đơn. (b) A là đẳng cấu với tổng trực tiếp của một số hữu hạn các vành ma trận đầy đủ trên các vành chia;.
Theo định nghĩa, vành A cũng là A -môđun phải chính quy phân tích thành một tổng trực tiếp hữu hạn các môđun phải đơn. Theo định lý này, ta sẽ nói rằng A là một vành nửa đơn nếu các điều kiện tương đương của Định lý 2.2.2 được thỏa mãn. Một vành được gọi là đơn nếu nó không có các iđêan hai phía khác với vành không và chính nó.
Hơn nữa, môđun con bất kỳ và môđun thương bất kỳ của môđun nửa đơn là nửa đơn.
Nếu A là một vành nửa đơn thì vành ma trận đầy đủ Mn (A) cũng là nửa đơn. Cho S là một tập được sắp thứ tự bộ phận và cho T là một tập con của S. Nói chung một tập có thể có nhiều chặn trên, hoặc có thể không có chặn trên nào.
Vì vậy, phần tử lớn nhất (tương ứng nhỏ nhất), nếu nó tồn tại là duy nhất và là một cận trên. Nếu tập các chặn trên của T có phần tử nhỏ nhất thì nó được gọi là cận trên hay supremum của T và ký hiệu là ¿(T ). Nếu tập các chặn dưới có phần tử lớn nhất thì nó được gọi là cận dưới hay infimum của T và ký hiệu là inf (T ).
Rừ ràng, nếu tập con T cú cận trên (tương ứng cận dưới) thì nó được xác định duy nhất. Một được sắp thứ tự bộ phận S , mà mỗi cặp phần tử của nó vừa có supremum và infimum trong S được gọi là một dàn. Cho A là một vành và X là một tập tất cả các iđêan của vành A được sắp thứ tự bởi quan hệ bao hàm.
Phép ¿ và inf không thực sự là các phép toán hai ngôi đối với tập được sắp thứ tự bộ phận tùy ý.
Ta nói rằng môđun M thỏa mãn điều kiện cực tiểu nếu mỗi họ các môđun con khác rỗng của M có một phần tử cực tiểu đối với phép bao hàm. Với một môđun M các điều kiện sau là tương đương:. 2) Họ khác rỗng bất kỳ các môđun con của M có một phần tử cực tiểu. Tương tự, theo một cách đối ngẫu, ta nói rằng môđun M thỏa mãn điều kiện dây chuyền tăng (A.C.C) nếu không tồn tại dây chuyền đơn điệu tăng thực sự vô hạn. Một môđun M thỏa mãn điều kiện dây chuyền tăng (A.C.C) nếu mỗi dây chuyền tăng các môđun con của M. Nhắc lại rằng một môđun con N của một môđun M được gọi là cực đại nếu N≠M và không có môđun con L , khác với M và. Ta nói rằng một môđun M thỏa mãn điều kiện. cực đại nếu mỗi họ khác rỗng các môđun con của M có một phần tử cực đại. Mệnh đề sau là dựa vào Mệnh đề 3.1.1 và vì vậy việc chứng minh nó sẽ được bỏ qua. Với một môđun M , các điều kiện sau là tương đương:. 2) Họ khác rỗng bất kỳ các môđun con của M có một phần tử cực đại.
Một tổng trực tiếp của một số hữu hạn các môđun là một môđun Artin (Noether) nếu và chỉ nếu hạng tử bất kỳ là Artin (Noether). Một tự đồng cấu φ của một môđun Artin (tương ứng Noether) là một tự đẳng cấu nếu và chỉ nếu φ là một đơn cấu (tương ứng toàn cấu). Mệnh đề 3.1.8 (Bổ đề Fitting) Với bất kỳ một tự đồng cấu φ của một môđun Artin và Noether M , tồn tại một số nguyên n sao cho.
Nếu M là bất khả phân và đồng thời là môđun Artin, Noether thì một tự đồng cấu bất kỳ của M hoặc là một tự đẳng cấu hoặc là lũy linh. Một vành A được gọi là Artin (tương ứng Noether) phải (trái) nếu môđun phải chính quy AA (môđun trái chính quy. ) là Artin (tương ứng Noether). R là một không gian không vô hạn chiều trên Q , không khó để xây dựng một dây chuyền tăng (giảm) thực sự vô hạn các iđêan trái.
Vì F đẳng cấu với một tổng trực tiếp của một số hữu hạn các bản sao các môđun Noether (tương ứng Artin) AA thì nó là Noether(tương ứng Artin), theo Hệ quả 3.1.4.
Chứng minh có ngay từ định lí trước bằng cách qui nạp theo số biến n.
Theo Mệnh đề 1.1.3, trong vành khác không bất kỳ có phần tử đơn vị luôn luôn tồn tại iđêan phải (tương ứng trái) thực sự cực đại. Trong định nghĩa căn của một vành, ta đã sử dụng các iđêan phải cực đại. Vì vậy nó thực sự được gọi là căn phải của một vành và tương tự như vậy ta đưa ra khái niệm căn trái của một vành.
Tiếp theo cần chứng tỏ rằng radA trùng với giao của tất cả các iđêan trái cực đại của vành A. Căn R của một vành A trùng với tập tất cả các phần tử r ∈ A sao cho phần tử 1−ra là khả nghịch phải với mọi. Căn của một vành là iđêan hai phía R lớn nhất (với phép bao hàm) trong số tất cả các iđêan hai phía I sao cho 1−i.
Ta sẽ chứng tỏ rằng với bất kỳ a=ebe∈eAe , các phần tử e−ra là khả nghịch phải trong vành eAe. Để chứng minh kết quả này chỉ cần áp dụng bổ đề Nakayama cho môđun thương M / N.
Khi đó trong vành thương A=A ́ /J iđêan sinh bởi ảnh (dưới phép chiếu tự nhiờn A→ A ́ ) cỏc đa thức khụng cú số hạng hằng, rừ ràng, một iđờan linh nhưng nó không phải là lũy linh. Căn Jacobson của một vành Artin phải là iđêan lũy linh lớn nhất chứa tất cả các iđêan lũy linh một phía. Khi đó theo Định lí 2.2.5 và Mệnh đề 3.1.10 mỗi môđun này có thể phân tích thành một tổng trực tiếp của một số hữu hạn các môđun bất khả phân.
Một vành Artin phải A là đơn nếu và chỉ nếu nó đẳng cấu với vành các ma trận vuông trên một vành chia. Vì vậy, theo định lí Wedderburn-Artin, A là đẳng cấu với một tổng trực tiếp của một số hữu hạn cỏc vành ma trận đầy đủ trờn vành chia. Lưu ý rằng vì căn của một vành Artin phải là lũy linh, ta có một bổ đề tương tự bổ đề Nakayama đối với môđun bất kỳ trên một vành như vậy.
Trong phần này ta đưa ra một tiêu chuẩn hữu ích giúp ta quyết định đâu là vành Artin (hay Noether). Khi đó vành A là Noether (Artin) phải nếu và chỉ nếu các vành eAe và fAf là Noether (Artin) phải, X là một fAf -môđun hữu hạn sinh và Y là một. Vì một vành Artin phải cũng là một vành Noether phải, theo Mệnh đề 3.1.10, môđun hữu hạn sinh bất kỳ trên vành này đồng thời là Artin và Noether.
Theo Hệ quả 3.6.2 vành này là Artin phải (và vì vậy là Noether phải) nhưng không phải là Artin trái.