Về tính trơn, nửa trơn của vành và môđun

1 Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học vinh Khoa toán Đặng thanh hng Về tính trơn, nửa trơn của vành và môđun chuyên nghành: đạI số Khóa luận tốt nghiệp đại học Ngành cử nhân s phạm toán Vinh - 2006 2 Mục lục Mậ đầU .2 CHơNG 1. V NH TRơN V NệA TRơN .4 1.1. VNH TRơN, NệA TRơN 4 Định nghĩa 1.1.2 .6 Định nghĩa 1.1.3 .7 1.2. CáC TíNH CHấT Cơ BảN 13 CHơNG 2. MôđUN TRơN V NệA TRơN 18 .18 2.8. CáC KHáI NIệM .30 KếT LUậN .32 T I LIệU THAM KHảO .34 Mở đầu Trong một vài thập niên gần đây, lý thuyết vành và môđun đã có những bớc phát triển rực rỡ. Và đã trở thành một trong những lý thuyết giữ vai trò hết sức quan trọng trong việc nghiên cứu bộ môn Đại số và Lý thuyết số nói chung, đặc biệt là đại số không giao hoán nói riêng. Trong sự phát triển rực rỡ đó, việc tập trung nghiên cứu các lớp vành, môđun đã và đang thu hút sự quan tâm của rất nhiều nhà toán học trên thế giới. Đã xuất hiện nhiều hớng khác nhau khi nghiên cứu điều này. Một trong những hớng không kém phần hấp dẫn, thú vị và cũng gặp không ít khó khăn, đó là tập trung nghiên cứu các cấu trúc có tính chất cổ điển, các điều kiện thu hẹp của vành, môđun. Trong khi nghiên cứu về lớp các vành thỏa mãn tính chất biến đổi (exchange property), W. K. Nicholson (1977) lần đầu tiên đã đa ra khái niệm vành trơn nh là một ví dụ về vành thỏa mãn tính chất này (xem [5]). Khái niệm này tuy cha có sự giải 3 thích rõ ràng về thuật ngữ nhng nó đã thu hút sự quan tâm chú ý của nhiều nhà toán học. Yuanquing.Ye (2003) đã có sự mở rộng khái niệm vành trơn thành khái niệm vành nửa trơn, và đạt đợc một số kết quả đáng chú ý (xem [8]). Khóa luận tập trung tìm hiểu để tiến tới có sự hiểu biết sâu hơn về lớp vành (môđun) thỏa mãn tính chất trơn này. Khóa luận gồm 2 chơng, có bố cục đợc trình bày nh sau: Chơng 1: Vành trơn và nửa trơn trình bày các khái niệm về vành thỏa mãn tính chất trơn, nửa trơn. Mỗi một định nghĩa đều có các ví dụ minh hoạ cụ thể. Khóa luận cũng đã đa ra những tính chất cơ bản có liên quan đến lớp vành này. Tất cả các chứng minh đều đợc trình bày chứng minh rõ ràng, chi tiết. Chơng 2: Môđun trơn, nửa trơn. Nội dung chính của chơng này đa ra khái niệm môđun trơn, nửa trơn, để từ đó nghiên cứu lớp các vành (nửa) trơn một cách dễ dàng tiện lợi hơn. Với việc đa ra Định lý 2.1 và Định lý 2.2 (những định lý đóng vai trò quan trọng trong việc mở rộng vành (nửa) trơn), khóa luận đã đạt đợc các kết quả liên quan đến tính trơn, nửa trơn của vành ma trận cấp (n ì n), môđun đơn, vành (nửa) đơn, vành nửa hoàn chỉnh. Do khuôn khổ của khóa luận tốt nghiệp, trong quá trình chứng minh các tính chất, khóa luận chỉ trích dẫn mà không chứng minh lại một số tính chất cơ bản. Những tính chất đó ta có thể tìm thấy trong các giáo trình cơ bản về Vành và Môđun, chẳng hạn nh [2], [7], [1]. Luận văn đợc thực hiện tại Trờng Đại Học Vinh dới sự hớng dẫn tận tình của pgs.ts. Ngô Sỹ Tùng. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo hớng dẫn, ngời đã dành cho tôi sự chỉ bảo tận tình, nghiêm khắc và đầy lòng nhân ái. Tôi cũng xin bày tỏ lời cảm ơn tới các thầy cô giáo trong tổ Đại số và khoa Toán đã giảng dạy, giúp đỡ và tạo điều kiện học tập trong thời gian theo học tại lớp 43 1 A Toán ,vừa qua. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới các thành viên trong nhóm Seminar Đại số, các thành viên trong tập thể lớp 43 1 A Toán đã động viên giúp đỡ trong thời gian qua. Cuối cùng, với năng lực còn nhiều hạn chế nên không thể tránh 4 khỏi những sai sót và khiếm khuyết, tôi mong nhận đợc những sự chỉ bảo của quý thầy cô và các bạn. Vinh, tháng 5/2006. Tác giả Chơng 1. Vành trơn và nửa trơn Chơng này sẽ đa ra những định nghĩa xung quanh những khái niệm trơn, nửa trơn. Đó là hai đối tợng chính mà khóa luận tập trung tìm hiểu, nghiên cứu. Đồng thời khóa luận cũng cung cấp một số ví dụ cụ thể và các tính chất cơ bản đạt đợc liên quan đến những đối tợng này. Các khái niệm, tính chất cơ bản và các thuật ngữ, kí hiệu liên quan đén vành (môđun) chủ yếu dựa theo Anderson-Fuller [2], Wisbauer [7] và Nguyễn HữuViệt H- ng [1]. Trong khóa luận này các vành luôn luôn đợc giả thiết là vành kết hợp có đơn vị. Các môđun luôn luôn đợc coi là môđun phải unita. Kí hiệu R M là môđun phải trên vành R. 1.1. Vành trơn, nửa trơn. Định nghĩa 1.1.1: Cho R là một vành 5 i) Một phần tử r R đợc gọi là trơn (clean) nếu ta có thể biểu diễn r=e+u, trong đó e là một phần tử lũy đẳng ( nghĩa là e 2 =e) và u là một phần tử khả nghịch trong R. -Nếu nh cách biểu diễn đó là duy nhất thì r đợc gọi là phần tử trơn một cách duy nhất (uniquely clean). - Nếu e và u là nhân giao hóan đợc với nhau ( có nghĩa là e.u=u.e) thì r đợc gọi là phần tử trơn mạnh ( strongly clean). Ví dụ 1, +) Một phần tử x R đợc gọi là phần tử luỹ linh (nilpotent) nếu n Ơ sao cho n x 0= . Ta có x là phần tử trơn trong R. Thật vậy vì n x 0= nên ta có ( ) ( ) ( ) ( ) n 1 n 1 1 x 1 x . x 1 x . x 1 x 1 + + + = + + + = . Do đó (1-x)=u là phần tử khả nghịch trong R. Từ đó ta suy ra x=(1-u )là phần tử trơn (theo định nghĩa). +) Một phần tử r R đợc gọi là tựa chính quy (quasi-regular) nếu (1-r) là phần tử khả nghịch trong R. Khi đó r là phần tử trơn. ii) Một vành R đợc gọi là trơn nếu mọi phần tử của nó đều là những phần tử trơn. Sau đây là một số ví dụ minh họa: Ví dụ 2. Một thể là vành trơn . Thật vậy, giả sử R là một thể, một phần tử r bất kỳ của R + nếu r=0 thì ta viết r= 0 = (1-1) là phần tử trơn (vì 1 là phần tử luỹ đẳng, -1 là phần tử khả nghịch trong R). + Nếu r 0 thì r là phần tử khả nghịch, ta có r =(0 +r) là phần tử trơn . Vậy mọi phần tử thuộc R đều là phần tử trơn. Do dó vành R là vành trơn. Ví Dụ 3. Vành Boolean là một vành trơn . Thật vậy, vành Boolean R là một vành mà mọi phần tử của nó đều là phần tử luỹ đẳng.Với mọi x R thì x là phần tử luỹ đẳng .Ta có 2 2 (1 x) 1 2x x 1 2x 2x 1 x = + = + = .Suy ra (1-x) là phần tử luỹ đẳng . (1) Mặt khác x= (1-x)+(2x-1).Ta có ( ) 2 2 2x 1 4x 4x 1 4x 4x 1 1 = + = + = . Suy ra (2x-1) là phần tử khả nghịch trong R (2) Từ (1) và (2) ta có x là phần tử trơn. 6 Vậy R là vành trơn. Ta có kết luận sau đây về tính trơn của một vành địa phơng (local). Nhng trớc hết ta định nghĩa về vành địa phơng nh sau : +> Vành địa phơng (local) là vành có tập các phần tử không khả nghịch trong nó, khép kín đối với phép cộng. Có nghĩa là nếu là R vành địa phơng, a,b R mà a,b không khả nghịch thì (a+b) không khả nghịch. Hay ta cũng có thể nói cách khác, nếu (a+b) khả nghịch trong R thì hoặc a hoặc là b khả nghịch trong R. Tính chất: Nếu R là vành địa phơng, với mọi x R thì hoặc x hoặc (1-x) khả nghịch trong R. Thật vậy, R là một vành địa phơng, x R (1-x) R.Ta có 1=[x+(1-x)] là một phần tử khả nghịch trong R. Suy ra x hoặc (1-x) khả nghịch trong R (do R là vành địa phơng). Mệnh đề1.1.1.1. Vành địa phơng là một vành trơn Chứng minh . Cho vành R là vành địa phơng . Với mỗi x R thì hoặc x hoặc (1-x) khả nghịch trong R (theo tính chất trên) +) nếu x là khả nghịch thì x= 0 + x là phần tử trơn . +) nếu (1-x) khả nghịch thì (x-1) cũng khả nghịch trong R. Ta có x= [ 1+(x-1)] là phần tử trơn. Vậy với mọi x thuộc vành địa phơng đều là phần tử trơn. Do đó ta suy ra vành địa phơng là vành trơn. Mở rộng khái niệm trơn cho ta một khái niệm mới. Đó là khái niệm nửa trơn. Hãy xem xét trong định nghĩa sau đây: Định nghĩa 1.1.2. i ) Một phần tử r R đợc gọi là nửa trơn nếu ta có thể biểu diễn r=a+u, trong đó a là một phần tử chu kỳ ( có nghĩa là tồn tại k, l Z + sao cho a k =a l ), u là một phần tử khả nghịch trong R. -Nếu a=0 thì r=a+u=0+u=u, đợc gọi là phần tử trơn (nửa trơn) tầm thờng 7 ii) Một vành R đợc gọi là vành nửa trơn nếu mọi phần tử của nó đều là những phần tử nửa trơn. Ta xét ví dụ về vành nửa trơn. Định nghĩa 1.1.3. i) giả sử X là một tập hợp và Rlà một vành Gọi Map (X,R) là tập hợp tất cả các ánh xạ từ X vào R. Map (X,R) cùng với hai phép tóan sau đây lập thành một vành. +) ( )(x) (x) (x)+ = + . ) ( . )(x) = (x). (x) , Map(X, R) , x X Dễ dàng nhận thấy nếu R có đơn vị (hoặc giao hóan ) thì Map (X,R) cũng có đơn vị (t.ứ. giao hóan). ii) Vành nhóm: Giả sử G là một nhóm (hữu hạn), R là một vành. Map(G,R) là tập tất cả các ánh xạ từ G vào R. Mỗi phần tử của Map(G,R) có thể viết dới dạng Gg g gr Trong đó: ánh xạ r g g: G R biến g thành r g , và mọi phần tử khác g thành 0. Đặt R[G]=Map(G,R) và trang bị cho tập này 2 phép toán Phép cộng +: g)rr(grgr gggg += + Phép nhận g : )'gg)(r.r()'gr()gr( 'gg'g*g = Khi đó R[G] trở thành một vành, gọi là vành nhóm của G với hệ số trong R - Kí hiệu (p) m { / m,n , n 0 n =   , n không chia hết cho p } Ta thờng gọi (p)  là địa phơng hóa của Z tại p với p là số nguyên tố. Mệnh đề1.1.4. Giả sử G là nhóm xiclic cấp 3 sinh bởi a Khi đó các phần tử lũy đẳng trong (p) Z [G] , với p nguyên tố 3 8 gồm : 0, 1 , 2 1 1 1 ( a a ) 3 3 3 + + , 2 2 1 1 ( a ) 3 3 3 . Chứng minh. Giả sử (x+ya+za 2 ) (p) Z [G], là phần tử lũy đẳng (với x,y, z (p) Z ) (x+ya+za 2 ) 2 = x+ya+za 2 (x 2 +2yz)+( z 2 +2xy)a+ (y 2 +2xz)a 2 =x+ya+za 2 Đồng nhất hệ số 2 vế ta đợc: yyx2z zxz2y xyz2x 2 2 2 =+ =+ =+ giải ra ta đợc x 0, y 0,z 0 x 1, y 0,z 0 1 1 1 x , y ,z 3 3 3 2 1 1 x , y ,z 3 3 3 = = = = = = = = = = = = Suy ra phần tử lũy đẳng trong (p)  [G] là: 0, 1, 2 2 1 1 1 2 1 1 ( a a ), ( a a ) 3 3 3 3 3 3 + + Mệnh đề1.1.5. Nếu G là nhóm xiclic cấp q sinh bởi a. Và cho vành nhóm (p) [G] = q 1 i i i (p) i 0 k a / k =  Một phần tử x (p)  [G] là khả nghịch trong (p)  [G] nếu và chỉ nếu p không chia hết định thức sau: 0 2 1 3q2q1q 1q01 2q1q0 k . k k .kkk .kkk .kkk = Chứng minh. Cho x= 1q 1q10 ak akk +++ là một phần tử khả nghịch trong (p)  [G] y = 1q 1q10 al all +++ với i (p) l ,i 0,q 1 =  sao cho xy=yx=1. 9 Ta xét xy=1 (1) Khai triển (1) ta đợc: q 1 0 0 0 1 0 q 1 q 1 1 0 1 1 1 q 1 q 1 q 1 q 1 0 q 1 1 q 1 q 1 (k l k l a k l a ) (k l k l a k l a )a . . . (k l k l a k l a )a 1 . + + + + + + + + + + + = Đồng nhất hệ số 2 vế của phơng trình trên ta đợc hệ phơng trình q ẩn 1q0 l, ,l là: 0 0 q 1 1 1 q 1 1 0 0 1 2 q 1 q 1 0 q 2 1 0 q 1 k l k l k l 1 k l k l k l 0 . . . k l k l k l 0 + + + = + + + = + + + = Theo công thức Crame thì định thức của ma trận hệ số ở mẫu số của nghiệm )1q,0i(l i = là: 0 2 1 3q2q1q 1q01 2q1q0 k . k k .kkk .kkk .kkk = Ta thấy nghiệm i (p) l ( i 0,q 1) =  nếu và chỉ nếu p Hệ quả1.1.5.1 Cho G là nhóm xilic cấp 3 sinh bởi a, x=k+la+m 2 a (k,l,m  ). Khi đó x khả nghịch trong (p) [G]  p không chia hết định thức sau klm3mlk klm mkl lmk 333 ++== Chứng minh. Suy ra trực tiếp từ Mệnh đề 1.1.5. 10 Định lý1.1.6. Nếu G là nhóm xiclic cấp 3 thì vành nhóm (p)  [G] là vành nửa trơn (với p nguyên tố) Chứng minh. Giả sử G là nhóm xiclic cấp 3 sinh bởi a G= { 1, a, a 2 } (a 3 =1) Vành nhóm (p)  [G] có dạng i i (m ,n ) 1= 2 3 1 2 (p) i i i 1 2 3 m m m [G] a a / m , n ,n n n n = + +  MZ p, i 1,3 = ( (p)  [G] là vành giao hóan) Giả sử 2 3 1 2 (p) 1 2 3 m m m a a [G] n n n + +  , với i i i m , n ,n MZ p, i 1,3 = và i i (m ,n ) 1= k,l,m,n sao cho p n. và n malak a n m a n m n m 2 2 3 3 2 2 1 1 ++ =++ TH1. p 2 ( p nguyên tố). Ta có n a)nm(lak a n maa)nl(k a n mala)nk( 1 n a)nm(lak a n maa)nl(k a n mala)nk( 1 n malak 2 2 2 2 2 2 2 22 +++ += +++ += +++ += ++ += ++ += ++ += ++ Dễ dàng nhận thấy các phần tử {1, a, a 2 ,-1, -a, - a 2 } ở cột đầu tiên của vế phải phơng trình trên là những phần tử chu kỳ. Do vậy để chứng minh n malak 2 ++ là