- Vành R đợc gọi là vành đơn (simple) nếu nó không có một iđêan không tầm thờng nào cả (tức là chỉ có 0 và R là hai iđêan trong R).
- Môđun MR đợc gọi là môđun đơn nếu nó không có môđun con không tầm thờng nào cả (có nghĩa là chỉ có môđun con là 0 và M)
- Môđun MR đợc gọi là môđun nửa đơn (semisimple) nếu nó là tổng trực tiếp của một họ nào đó các môđun con đơn của nó.
- Vành R đợc gọi là nửa hoàn chỉnh (semiperfect) nếu vành thơng R/ J(R) là vành nửa đơn và lũy đẳng có thể đợc nâng theo J(R) trái (phải).
- Môđun MR đợc goi là môđun không phân tích đợc(indecomposable module) nếu nó không thể phân tích đợc thành tổng trực tiếp các môđun con không tầm thờng nào cả ( hay nói cách khác 0 và M là hai hạng tử trực tiếp duy nhất của MR )
Mệnh đề 2.9. Nếu MR là môđun đơn thì MRlà môđun trơn.
Chứng minh. Theo Bổ đề Schur, nếuMR là môđun đơn thì End(MR) là một thể. Dođó End(MR)là vành trơn . Có nghĩa là MRlà môđun trơn.
Hệ quả 2.9.1. Nếu R là vành đơn thì R là vành trơn.
Thật vậy, Rlà vành đơn thì là môđun RRđơn. Suy ra RRlà môđun trơn. Theo nhận xét 2.5 thì R là môđun trơn.
Mệnh đề 2.10. Nếu R là vành nửa đơn thì R là vành trơn.
Chứng minh. Vì R là vành nửa đơn nên n i
i 1
R R
=
= ⊕ ,Ri là vành đơn , artin (∀ =i 1, n). áp dụng Hệ quả 2.9.1 và Hệ quả 2.6.1 ta suy ra R là vành trơn.
Hệ quả 2.10.1. Nếu R là vành nửa hoàn chỉnh thì R là vành trơn.
Thật vậy, Giả sử R là vành nửa hoàn chỉnh.
Khi đó theo định nghĩa thì R/ J(R) là vành nửa đơn và luỹ đẳng có thể đợc nâng theo J(R). áp dụng Mệnh đề 2.10 và Mệnh đề 1.2.6 ta suy ra R là vành trơn
Chú ý. Ta cũng có thể chứng minh theo cách khác. Đó là bằng cách sử dụng Định lý 27.6 trong [2] và Mệnh đề 1.1.1.1 và Hệ quả 2.3 ta cũng suy ra đợc kết quả cần chứng minh.
Từ Mệnh đề 1.1.1.1 và định nghĩa môđun trơn thì một môđun có vành tự đồng cấu là vành địa phơng thì môđun đó là môđun trơn. Câu hỏi đợc đặt ra liệu điều ngợc lại có đúng không? Kết quả sau đây chỉ ra rằng với môđun không phân tích đợc thì điều đó đúng.
Mệnh đề 2.11. Giả sử MRlà môđun không phân tích đợc và trơn. Khi đó vành End(MR) là vành địa phơng.
Chứng minh. Giả sử MRlà môđun không phân tích đợc. Khi đó theo Mệnh đề 5.10 trong [2] thì 0 và 1Rlà lũy đẳng duy nhất trong End(MR). Mà ta cóMRlà môđun trơn nên End(M )R là vành trơn. Khi đó với ∀f∈End(M )R , theo định nghĩa vành trơn
thì ta có :
⇒
Vậy qua 2 trờng hợp trên ta thấy ∀ ∈f End(M )R , thì f hoặc (1-f) là phần tử khả
nghịch. Do đó End(M )R là vành địa phơng (theo Mệnh đề 15.15 trong [2])
Vậy ta đã chứng minh đợc rằng với môđun không phân tích đợc , và trơn thì vành tự đồng cấu của nó địa phơng. Câu hỏi tự nhiên đợc đặt ra là ta có thể mở rộng thêm các lớp môđun khác nữa không? Câu hỏi đó sẽ đợc nghiên cứu trong thời gian tới.
Kết luận
f=0+f=e+u ( với e=0 là phần tử lũy đẳng và f=u là phần tử khả nghịch trong End(MR) )
f=1+(f-1)=e+u ( với e=1 là phần tử lũy đẳng, f-1=u là phần tử khả nghịch trong End(MR) )
Khái niệm vành trơn (nửa trơn) là một trong những khái niệm mới trong lý thuyết vành, đang đợc nhiều nhà toán học tập trung nghiên cứu. Nh đã đặt ra mục đích ban đầu, khóa luận tốt nghiệp này bớc đầu nhằm giới thiệu và tìm hiểu về lớp vành đặc biệt này.
Luận văn đã giải quyết đợc :
1. Đa ra định nghĩa vành trơn, nửa trơn và một số tính chất liên quan đến lớp vành, môđun này, chẳng hạn Mệnh đề 1.1.1.1, Mệnh đề 1.2.3, Hệ quả
1.2.3.1 và Mệnh đề 1.2.6
2. Đa ra một số kết quả mới về môđun nửa trơn, chẳng hạn Hệ quả 2.7.1, Mệnh đề 2.9, Mệnh đề 2.11
Khóa luận đã đa ra một số vấn đề mở nh sau:
a) Các vành trơn thì cũng là vành nửa trơn. Câu hỏi đợc đặt ra là với điều kiện nào để một vành nửa trơn là một vành trơn? Ngoài ra theo W.K.Nicholson [5] thì vành trơn còn là vành biến đổi (exchange ring). Với điều kiện nào thì ta có điều ngợc lại?
b) Khóa luận đã chỉ ra rằng tính chất trơn (nửa trơn) khép kín với tổng trực tiếp và hạng tử trực tiếp trong sự phân tích tổng trực tiếp hữu hạn của một vành và môđun. Câu hỏi đợc đặt ra là điều đó có còn đúng nữa không trong sự phân tích tổng trực tiếp bất kỳ?
Những vấn đề này đang và sẽ tiếp tục hấp dẫn quá trình nghiên cứu trong thời gian tới.
Tài liệu tham khảo
[1]. Nguyễn Hữu Việt Hng, Đại số đại cơng, NXB GD,1999.
[2]. F.W. Anderson and K.R.Fuller, Rings and Categories of Modules, Graduate Text in Mathematics, 13, Springer-Verlag, NewYork-Heidelberg-Berlin,1974 [3]. V.P. Camillo, H.P. Yu, Exchange ring, units and idempotents, Comm. Algebra
22 (1994): 4737-4749.
[4]. J. Han, W.K. Nicholson, Extension of clean rings, Comm. Algebra 22 (2001): 2589-2595.
[5]. W.K. Nicholson, Lifting Idempotents and exchange rings, Trans. Amer. Math Soc 229 (1977): 269-278.
[6]. W.K. Nicholson, Zhou.Y, Clean endomorphism ring, (Preprint).
[7]. R. Wisbauer, Foundations of module and ring theory, Gordon and Breach . Science Publishers, reading, 1991
[8]. Yuanqing,Ye, Semiclean Rings, Comm. Algebra, 31(2003): 5609 - 5625
Mục lục
Mậ đầU...2
CHơNG 1. V NH TRơN V NệA TRơNΜ Μ ...4
1.1. VΜNHTRơN, NệATRơN...4
Định nghĩa 1.1.2...6
Định nghĩa 1.1.3...7
1.2. CáCTíNHCHấTCơ BảN...13
CHơNG 2. MôđUN TRơN V NệA TRơNΜ ...18
...18
2.8. CáCKHáINIệM...30
KếT LUậN...32