Bao đầy đủ của vành và môđun

bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học vinh trơng đức thanh bao đầy đủ của vành và môđun chuyên ngành: đại số & lý thuyết số mã số: 60.46.05 luận văn thạc sĩ toán học Ngi hng dn khoa hc: ts. nguyễn thị hồng loan Vinh - 2009 1 Mục lục Trang Mở đầu . 1 Chơng I. Kiến thức chuẩn bị . 4 1.1. Iđêan nguyên tố, iđêan cực đại . 4 1.2. Các phép toán trên các iđêan 4 1.3. Không gian tôpô. 5 1.4. Giới hạn ngợc 7 1.5. Vành địa ph- ơng. 9 1.6. Căn Jacobson 10 1.7. Môđun hữu hạn sinh . 10 1.8. Môđun Noether . 10 1.9. Môđun phẳng 11 Chơng II. Bao đầy đủ của Vành và môđun 13 2.1. Định nghĩa 13 2.2 Bao đầy đủ I - adic 14 2.3 Một số tính chất . 16 Kết luận . 28 Tài liệu tham khảo . 29 2 Mở đầu Bao đầy đủ của vành và môđun đã đợc nhiều nhà toán học trên thế giới nh Krull, Zariski, I.S. Cohen quan tâm và nghiên cứu. Cho A là một vành, M là một A - môđun, là một tập định hớng. Giả sử { } M là một họ các môđun con của M đợc chỉ số hoá bởi sao cho nếu à < thì M M à . Ta lấy { } M nh là một hệ các lân cận của 0 . Khi đó M trở thành một nhóm tôpô đối với phép cộng. Trong tôpô này, với x M thì hệ các lân cận của x là { } x M + . Trong ,M phép cộng, phép trừ và phép nhân với vô hớng x axa với a A là các ánh xạ liên tục. Khi M A= thì mỗi M là một iđêan nên phép nhân: ( )( )a M b M ab M + + + là ánh xạ liên tục. Tôpô này đợc gọi là tôpô tuyến tính trên M và nó là tôpô tách (tức là Hausdorff) khi và chỉ khi 0M = I . Với à < ta có một ánh xạ tuyến tính tự nhiên : à M M M M à . Do đó có thể xây dựng một hệ ngợc { } ; M M à các A - môđun. Khi đó giới hạn ngợc lim M M uuus đợc gọi là bao đầy đủ của M và ký hiệu là M . Cho : M M là ánh xạ A - tuyến tính tự nhiên. Khi đó là ánh xạ liên tục và ( )M trù mật trong M . Với mỗi phép chiếu : M p M M , đặt * ker r p M = . Dễ thấy rằng tôpô của M trùng với tôpô tuyến tính xác định bởi 3 họ { } * M . Vì p là toàn ánh nên * M M M M và bao đầy đủ của M lại trùng với M . Nếu : M M là một đẳng cấu thì ta nói môđun M là đầy đủ (theo tôpô đã cho). Khi M A= thì { } , M M à trở thành một hệ ngợc các vành, M A= là một vành và : A A là một đồng cấu vành. * M A không phải là một A - môđun con nhng lại là một iđêan của A . Trong số những tôpô tuyến tính thì những tôpô đợc xác định bởi các iđêan là đặc biệt quan trọng. Cho I là một iđêan của A và M là một A - môđun, tôpô trên M xác định bởi { } 1,2 . n n I M = đợc gọi là tôpô I - adic. Với tôpô này thì A và M của A và M tơng ứng đợc gọi là bao đầy đủ I - adic của A và M . Dễ thấy rằng M là một A - môđun. Mục đích của luận văn là dựa vào các tài liệu tham khảo để tìm hiểu, tổng hợp và từ đó trình bày một cách có hệ thống về bao đầy đủ A và M của vành A và môđun M . Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung của luận văn đ- ợc chia thành 2 chơng. Để dễ theo dõi nội dung chính của luận văn, chơng đầu tiên chúng tôi trình bày (không chứng minh) các kiến thức cơ sở về Đại số giao hoán và Tôpô liên quan đến các kết quả và chứng minh ở chơng sau. Trong Ch- ơng 2, chúng tôi trình bày nội dung chính của luận văn. Trong chơng này chúng tôi sẽ trình bày về khái niệm và chứng minh một số tính chất của bao đầy đủ A và M của vành A và môđun M . Luận văn này đợc hoàn thành tại trờng Đại học Vinh nhờ sự hớng dẫn, giúp đỡ, chỉ bảo tận tình của TS. Nguyễn Thị Hồng Loan. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành và sự biết ơn sâu sắc tới cô, ngời đã tận tình giúp 4 đỡ chúng tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu. Chúng tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới các thầy giáo, cô giáo trong Bộ môn Đại số và lý thuyết số đã giảng dạy và chỉ bảo những vấn đề liên quan đến đề tài nghiên cứu. Chúng tôi xin cảm ơn các thầy giáo, cô giáo khoa Toán, khoa Sau đại học, Ban giám hiệu Trờng Đại học Vinh, trờng THPT 1-5 Nghĩa Đàn, các đồng nghiệp, bạn bè và các bạn học viên lớp Cao học 15 chuyên ngành Đại số và lý thuyết số đã giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn này. Vinh, ngày 05 tháng 12 năm 2009. Tác giả: Trơng Đức Thanh 5 Chơng 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chơng này chúng tôi nhắc lại một số kiến thức cơ sở của Đại số giao hoán và tôpô liên quan đến các chứng minh của chơng tiếp theo. Sau đây ta luôn xét là vành l giao hoán, có đơn vị, Noether. 1.1 Iđêan nguyên tố, iđêan cực đại Định nghĩa. Cho I là một iđêan của vành A . Khi đó (i) I đợc gọi là iđêan nguyên tố nếu I A và với mọi ,x y A mà xy I thì x I hoặc y I . (ii) I đợc gọi là iđêan cực đại nếu I A và không tồn tại iđêan J A sao cho J thực sự chứa I . 1.2 Các phép toán trên các iđêan 1.2.1 Tổng các iđêan. (i) Cho ,I J là các iđêan của vành A . Khi đó { } | ,I J a b a I b J+ = + là iđêan của vành A và đợc gọi là tổng của hai iđêan I và J ; (ii) Cho { } j j S I là một họ tuỳ ý các iđêan của vành A . Khi đó { | , 0 j j j j j j S j S I a a I a = = hầu hết chỉ trừ một số hữu hạn 0} j a là iđêan của vành A và đợc gọi là tổng của họ các iđêan { } j j S I . 6 1.2.2 Định nghĩa. Cho ,I J là các iđêan của vành A . Nếu I J A+ = thì ta nói ,I J nguyên tố cùng nhau. 1.2.3 Tích của các iđêan. Cho ,I J là các iđêan của vành A . Khi đó kí hiệu IJ là iđêan sinh bởi tất cả các phần tử dạng ab , trong đó ,a I b J . Tức là 1 | , , n i i i i i IJ a b a I b J n = = Ơ . Iđêan IJ đợc gọi là tích của iđêan I và J . Đặc biệt, cho I là iđêan của A và n Ơ thì 1 2 1 . | , n j m n i i i i i I a a a a I m = = Ơ . 1.2.4 Định lý. Nếu 1 2 , , ., n I I I là các iđêan đôi một nguyên tố cùng nhau thì 1 1 . . n n A I I A I A I ì ì . 1.3 Không gian tôpô 1.3.1 Định nghĩa. Không gian tôpô là một cặp ( , )X , trong đó X là một tập hợp, là một họ các tập con của X thoả mãn: (i) , X ; (ii) ,U V U V ; (iii) , t t t T U t T U U . 1.3.2 Định nghĩa. Cho X và Y là các không gian tôpô. ánh xạ :f X Y đợc gọi là liên tục tại 0 x X , nếu với mọi lân cận V của 0 ( )f x Y , tồn tại lân cận U của 0 x sao cho ( )f U V . Nếu f liên tục tại mọi phần tử x X , thì f đợc gọi là liên tục trên X . 1.3.3 Định lý. Giả sử :f X Y và :g Y Z là các ánh xạ liên tục giữa các không gian tôpô. Khi đó ánh xạ hợp thành :h g f X Z= o 7 cũng liên tục. 1.3.4 Định nghĩa. Giả sử X là không gian tôpô, , ,A B X A , B là các bao đóng của ,A B trong X . ,A B gọi là tách đợc nếu A B A B = = . 1.3.5 Định nghĩa. Không gian tôpô ( , )X đợc gọi là 1 T - không gian, nếu với hai phần tử khác nhau ,x y X , tồn tại tập mở U chứa x nhng không chứa y . 1.3.6 Định nghĩa. Không gian tôpô X đợc gọi là 2 T - không gian hoặc không gian Hausdorff, nếu với mỗi cặp ,x y X , x y , thì tồn tại các lân cận U của x , V của y sao cho: U V = . 1.3.7 Định lý. Nếu X là 2 T - không gian thì X là 1 T - không gian. 1.3.8 Định nghĩa. Không gian tôpô X đợc gọi là 3 T - không gian hoặc không gian chính quy, nếu X là 1 T - không gian và với mọi phần tử x X , mọi tập F đóng, sao cho x F , tồn tại các tập mở ,U V sao cho mọi phần tử ,x U F V và U V = . 1.3.9 Định nghĩa. Không gian tôpô X đợc gọi là 4 T - không gian hoặc không gian chuẩn tắc, nếu X là 1 T - không gian và với hai tập đóng rời nhau bất kỳ ,A B luôn tồn tại các tập mở ,U V sao cho U A , V B , U V = . 1.3.10 Định nghĩa. Giả sử ( , )X là không gian tôpô, M là một tập con của X . Đặt: { } : M V M U U = = . Khi đó M là một tôpô trên M . Cặp ( , ) M X đợc gọi là không gian con của ( , )X ; M đợc gọi là tôpô cảm sinh bởi . 1.3.11 Định nghĩa. Giả sử là một quan hệ tơng đơng trong không gian tôpô X . Gọi X là tập các lớp tơng đơng, :i X X là ánh xạ thơng, tức là ánh xạ xác định bởi ( )i x x= % , trong đó x % là lớp tơng đơng chứa x . Tôpô xác định bởi ánh xạ i đợc gọi là tôpô thơng. Đó là tôpô mạnh nhất trên X sao cho i liên tục. 8 Tập X với tôpô thơng đợc gọi là không gian thơng. 1.3.12 Mệnh đề. Giả sử :f X Y là ánh xạ từ không gian thơng X vào không gian tôpô Y . Khi đó, f liên tục khi và chỉ khi :f i X Yo liên tục. 1.3.13 Tôpô tuyến tính. Cho A l m t v nh, v cho F l m t tp các iđêan ca A sao cho bt k 2 iđêan 1 2 ,I I F thì tn ti 3 I F1 c cha trong 1 2 I I . Khi ó chúng ta có th nh ngha mt tôpô trên A bi ly { } |x I I+ F nh mt h c bn ca lân cn im x vi mi x A . Chúng ta thy mt cách trc tip rng trong tôpô n y v i phép cng v phép nhân các ánh xạ liên t c. Nói cách khác A l m t v nh tôpô. Tôpô trên mt v nh xây dựng theo cách n y c gi l tôpô tuyến tính. Cho M l m t A - môđun, ta nh ngha mt tôpô tuyến tính trên M theo phng pháp này bằng cách thay các iđêan bi các môđun con. 1.4 Giới hạn ngợc Một tập sắp thứ tự I đợc gọi là một tập định hớng nếu với mọi ,i j I đều tồn tại k I để i k và j k . 1.4.1 Định nghĩa. Cho I là một tập định hớng. Giả sử ( ) i i I M là một họ các A - môđun và với mỗi cặp i j có đồng cấu A - môđun : ji j i M M . Khi đó họ ( ) i i I M cùng với họ ( ) ji i j đợc gọi là một hệ ngợc nếu các điều kiện sau đợc thoả mãn: (i) ii là ánh xạ đồng nhất trên M , với mọi i I ; (ii) ki ji kj = tức biểu đồ sau giao hoán kj k M j M kj ji 9 i M với mọi i j k . Ta kí hiệu hệ ngợc này là ( , ) i ji M . 1.4.2 Định nghĩa. Giới hạn ngợc (hay giới hạn nội xạ) của một hệ ngợc các A - môđun ( , ) i ji M là một A - môđun M cùng với họ các A - đồng cấu ( ) i i I f , trong đó : i i f M M sao cho các điều kiện sau đợc thoả mãn: (i) ji j i f f = , tức biểu đồ sau giao hoán j f M j M i f ji i M với mọi i j ; (ii) Nếu 'M là một A - môđun M cùng với họ các A - đồng cấu ( ) i i I g , trong đó : ' i i g M M thoả mãn ji j i g g = , tức biểu đồ sau giao hoán j g M j M i g ji i M với mọi i j , thì tồn tại duy nhất một A - đồng cấu : 'M M sao cho i i f g = với mọi i I . 1.4.3 Định lý. Giới hạn của một hệ ngợc các A - môđun ( , ) i ji M luôn tồn tại và duy nhất sai khác một đẳng cấu. Ngời ta kí hiệu giới hạn ngợc này là lim i M uuus . 10