Môđun và vành tựa nội xạ

Mục lục Trang Bảng ký hiệu Lời nói đầu . Chơng 1: Các kiến thức cơ sở . 1. Các khái niệm cơ bản 2. Một số tính chất . Chơng 2: Môđun nội xạ . 1. Môđun M- nội xạ . 2. Môđun nội xạ Chơng 3 : Vành tựa nội xạ 1. Môđun tựa nội xạ . 2. Vành tựa nội xạ Kết luận . Tài liệu tham khảo 3 4 6 6 9 16 16 23 ơ 34 34 36 40 41 2 B¶ng ký hiÖu C¸c kÝ hiÖu chóng t«i chñ yÕu dùa theo F.W. Anderson- K.R. Fuller[1] , N.V.Dung, D.V.Huynh, P.F. Smith- R. Wisbauer [3]. N ⊆ M : N lµ tËp hîp con cña M. N ↪ M : N lµ m«®un con cña M. N M : N lµ m«®un con cèt yÕu trong M. N M : N lµ m«®un con ®èi cèt yÕu trong M. N M : N lµ h¹ng tö trùc tiÕp (httt) cña M. i I A ⊕ : Tæng trùc tiÕp c¸c m«®un M i , i ∈ I. 3 ↪ 0 ↪ * ↪ ⊕ Lời nói đầu Cùng với sự phát triển chung của toán học hiện đại. Lý thuyết mô đun đã có bớc phát triển mạnh mẽ và có rất nhiều ứng dụng quan trọng, đặc biệt là trong việc nghiên cứu Lý thuyết vành. Ta biết rằng bản thân vành R có thể đợc xem là một R-môđun (phải) trên chính nó, một cách tự nhiên là một số kết quả trên môđun có thể chuyển sang vành. Xuất phát từ ý tởng đó hớng nghiên cứu luận văn chủ yếu dựa vào môđun nội xạ để nghiên cứu các mở rộng của nó với đề tài Mô đun và vành tựa nội xạ . Luận văn đợc chia làm ba chơng: Chơng I : Các kiến thức cơ sở. Chúng tôi tìm hiểu, chọn lọc trình bày một cách hệ thống một số khái niệm và tính chất có liên quan đến luận văn. Chơng II : Môđun nội xạ. Ngiên cứu và trình bày các khái niệm và một số tính chất cơ bản về môđun A- nội xạ và môđun nội xạ. Chơng III : Vành tựa nội xạ. Nghiên cứu một số tính chất của môđun tựa nội xạ và một số kết quả của vành tựa nội xạ. Luận văn đợc thực hiện và hoàn thành tại Trờng Đại học Vinh, dới sự h- ớng dẫn của thầy giáo PGS.TS. Ngô Sỹ Tùng. Nhân dịp này, tác giả xin đợc bày tỏ lòng biết ơn và kính trọng sâu sắc tới thầy, ngời đã dìu dắt tận tình, nghiêm khắc, kịp thời hớng dẫn động viên trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu hoàn thành luận văn. 4 Tác giả xin trân trọng cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán, khoa Đào tạo sau đại học cùng các bạn học viên trong lớp cao học khoá 12 chuyên ngành Đại số - lý thuyết số đã động viên giúp đỡ để luận văn đợc hoàn thành đúng kế hoạch. Tác giả chân thành cảm ơn NCS. Lê Văn An và nhóm seminar đã có nhiều ý kiến trao đổi trong quá trình hoàn thành luận văn. Tác giả bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Ban giám hiệu và đồng nghiệp Trờng THPT Dân lập Nguyễn Trãi ngời thân đã động viên, tạo mọi điều kiện giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập. Cuối cùng, do nghiều nguyên nhân luận văn không thể tránh khỏi những hạn chế, tác giả mong nhận đợc những góp ý chân tình của quý thầy, cô giáo cùng các bạn học viên. Tác giả. 5 chơng i. các kiến thức cơ sở Trong chơng này, chúng tôi trình bày những định nghĩa và kết quả cơ bản liên quan đến luận văn. Các khái niệm, tính chất cơ bản và ký hiệu chúng tôi chủ yếu dựa theo Anderson Fuller, N.V.Dung, D.V.Huynh, P.F.Smith- R.Wisbauer và Mohamed - Muller. Tất cả các vành đợc giả thiết là vành kết hợp, có đơn vị và mọi môđun là môđun phải unita ( Nếu không nói gì thêm). 1.1. CáC khái niệm cơ bản 1.1.1. Định nghĩa. a). Môđun con A của môđun M đợc gọi là môđun con thực sự nếu A không phải là môđun con tầm thờng của M, nghĩa là 0 và . b). Một R- môđun M đợc gọi là môđun đơn nếu M không chứa môđun con thực sự nào, nghĩa là M chỉ có hai môđun con là 0 và M. c). Một R- môđun M đợc gọi là môđun nửa đơn nếu mọi môđun con của M là hạng tử trực tiếp . 1.1.2.Định nghĩa. a). Môđun con N của R- môđun M đợc gọi là môđun con cốt yếu (essential) của M và ký hiệu là N M nếu với mọi môđun con khác không K của M ta đều có 0 . Khi đó ta nói M là mở rộng cốt yếu (essential extension) của N. b). Nếu mọi môđun con khác 0 của môđun M là cốt yếu thì M đợc gọi là môđun đều ( uniform). 1.1.3.Hệ quả . Nếu M là môđun nửa đơn, K là môđun con của M thì khi đó K là môđun con cốt yếu của M khi và chỉ khi K= M. Ví dụ: 1. Môđun M M và nZ Z. 2. Q là Z môđun đều. 6 * * * 3. Môđun con của môđun đều là cốt yếu. 4. Các môđun nội xạ không phân tích đợc là môđun đều. 5. Mọi môđun đơn là môđun đều. 1.1.4. Định nghĩa. a). Môđun con N đợc gọi là đóng (closed) trong M nếu N không có một mở rộng cốt yếu thực sự. Nói khác đi N gọi là đóng trong M nếu với mọi môđun con K của M mà N K thì K = N. b). Môđun con K của M đợc gọi là bao đóng (closure) của môđun con N trong M nếu K là môđun con tối đại trong M sao cho N là cốt yếu trong K. 1.1.5. Hệ quả. a). Nếu A là môđun con đóng trong M thì hạng tử trực tiếp của A cũng đóng trong M. b). Nếu A là môđun con đóng trong hạng tử trực tiếp của M thì A cũng đóng trong M. c). Nếu A là môđun con đóng trong X và X đóng trong M thì A là môđun con đóng trong M. 1.1.6. Định nghĩa. a). Cho M là R- môđun. Môđun con của đợc gọi là đối cốt yếu (hay môđun con bé) trong M nếu với mỗi môđun con X của M mà thì + . Nói cách khác, môđun con K đợc gọi là môđun con bé trong M nếu với mọi môđun con X của M mà K+ X= M thì X= M. Khi đó ta ký hiệu : K M. b) Nếu mọi môđun con trong môđun M đều là bé thì M đợc gọi là môđun trống( hollow). Ví dụ: 1). Với mọi môđun M ta luôn có 0 M. 2). Mỗi môđun hữu hạn sinh trong Q Z là đối cốt yếu trong Q Z * Thật vậy, giả sử X là môđun con của Q sinh bởi tập { } 1 2 n q ,q , .,q Q và E là mô đun con của Q sao cho X+ E = Q.Khi đó { } 1 2 n q ,q , .,q E là một hệ sinh 7 0 0 * của Q Z . Từ đó suy ra E là một hệ sinh của Q và do đó E = Q. Điều này chứng tỏ rằng M là môđun con bé của Q. 1.1.7. Định nghĩa. Cho M là một R- môđun. Ta xét các điều kiện sau : (C 1 ). Mọi môđun con của M là cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M, hay nói cách khác mọi môđun con đóng trong M là hạng tử trực tiếp của M. (C 2 ). Nếu A và B là các môđun con của M đẳng cấu với nhau và A là hạng tử trực tiếp của M thì B cũng là hạng tử trực tiếp của M . (C 3 ). Nếu A và B là các hạng tử trực tiếp của M và 0 = thì cũng là hạng tử trực tiếp của M. 1.1.8. Định nghĩa. a). Một môđun M đợc gọi là CS - môđun ( Extending), nếu M thoả mãn (C 1 ) b). Một môđun M đợc gọi là liên tục (continuous) nếu M thoả mãn các điều kiện (C 1 ) và (C 2 ). c). Một môđun M đợc gọi là tựa liên tục (quasi-continuous) nếu M thoả mãn các điều kiện (C 1 ) và (C 3 ). d). Môđun M đợc gọi là (1- C 1 ) - môđun nếu mỗi môđun con đều của M cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M, hay mỗi môđun con đóng đều của M là hạng tử trực tiếp. 8 1.2. một số tính chất 1.2.1.Bổ đề. Nếu M là một R-môđun, K M, 0 N M thì : K N N. Chứng minh: Lấy 0 N thì A M. Vì K M nên: 0 . Khi đó : ( ) ( ) 0 = = , suy ra N. 1.2.2.Bổ đề. Cho A là môđun con của môđun M trên R. Khi đó A M khi và chỉ khi với mỗi phần tử 0 m M tồn tại r R sao cho 0 mr A . Chứng minh: Giả sử A M, với 0m và m thì khi đó 0mR và mR . Từ đó suy ra sự tồn tại của r R mà 0 mr . Ngợc lại, nếu B là môđun con khác không của M, lấy 0 m và tìm đợc r R sao cho 0 mr thì do mr B nên B A 0 . Vậy A M. W 1.2.3.Hệ quả. Cho A là môđun con của môđun M trên R. Khi đó : A 0 M R x A , với x M . Chứng minh: Trớc tiên ta có nếu , với 0 x Rx 0 . Theo định nghĩa ta có Rx A 0 . Ngợc lại, nếu Rx A 0, x ,x 0 , ta giả sử 0 M mà 0 = . Do 0 nên tồn tại x mà x 0 suy ra 0 Rx 0= . Vô lý. Vậy 0 hay . W 1.2.4.Mệnh đề. Cho : f M N là đồng cấu môđun và nếu A N thì ( ) 1 f A M. 9 * * * * * * * * * * * * Chứng minh: Giả sử X là một môđun con khác không của M .Ta phải chứng minh rằng ( ) 1 f 0 . Nếu ( ) f 0 = thì X ( ) 1 f 0 ( ) 1 f khi đó ( ) 1 f 0 = suy ra ( ) 1 f 0 . Nếu ( ) f 0 , khi đó do A N nên ta có ( ) f x 0 , nghĩa là tồn tại x , x 0 để sao cho f(x)= a với a ,a 0 ( ) 1 x f . Tức là ta có ( ) 1 x f . Suy ra ( ) 1 f 0 .Vậy ( ) 1 f M. W 1.2.5.Mệnh đề. Cho A B M . Nếu ( ) B A ( ) M A thì B M. Chứng minh: Chọn X là môđun con khác không của M. Để chứng minh B M ta cần chứng minh 0 . Thật vây, giả sử ngợc lại 0 = thì dĩ nhiên ta có 0 = . Khi đó tồn tại một tổng trực tiếp . Vì ( ) ( ) và ( ) ( ) nên ( ) ( ) 0 ữ . Suy ra c mà ( ) ( ) c + ữ c b x a + = + = + + , (với a , b , x ) x = b- a + a', a' . Ta có : a a' B nên ( ) b a a' + x x 0 = b c + = c , điều này mâu thuẫn với giả thiết c . Vậy 0 , tức là ta có B M . W 1.2.6.Bổ đề. a). Nếu trong môđun M có dãy các môđun con A B C và A M thì B C. b). Nếu A i M , i = 1, 2,, n thì 1 = I n i i A M. 10 * * * * * * * * * * * Chứng minh: a). Giả sử X là môđun con khác không của C. Khi đó X cũng là môđun con của M. Vì A M nên 0 0 B C. b). Ta chứng minh bổ đề bằng quy nạp : Với i =1, mệnh đề đúng theo giả thiết. Giả sử mệnh đề đúng với n - 1, tức là ta có : n 1 i i 1 A = I M. Ta cần chứng minh mệnh đề đúng với n, nghĩa là n i i 1 A = I M. Thật vậy, cho X là một môđun con khác không của M. Do A n là cốt yếu trong M nên n 0 . Lại do giả thiết quy nạp, ta có: n 1 i i 1 A = I M. ( ) n 1 i n i 1 ( A ) 0 = I n 1 i n i 1 {( A ) } 0 = I n 1 i n i 1 ( A ) = I M. Vậy n i i 1 A = I M. W 1.2.7.Mệnh đề. Nếu A i B i ( 1,2, ., =i n ), A i , B i M thì n i i 1 = I A n i i 1 = I B . Đặc biệt nếu A i M thì n i i 1 = I A M. Chứng minh: Lấy 0 n i i 1 = I X B i , mà A i B i i X A 0 . Lúc đó n i i 1 ( A ) 0 = I . Hay là n i i 1 A = I n i i 1 B = I W 11 * * * * * * * * * * * * * . A- nội xạ và môđun nội xạ. Chơng III : Vành tựa nội xạ. Nghiên cứu một số tính chất của môđun tựa nội xạ và một số kết quả của vành tựa nội xạ. Luận văn. - môđun nội xạ. Nếu B A thì N là B- nội xạ và N là A B - nội xạ. Chứng minh : Chứng minh N là B- nội xạ. Với mọi môđun X B ta có X A. Mà N là A- nội