Chiều krull của vành và môđun

Bộ giáo dục đào tạo TRNG I HC VINH THÁI QUỐC BẢO CHIỀU KRULL CỦA VÀNH VÀ MÔĐUN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.05 Ngƣời hƣớng dẫn khoa học TS NGUYỄN THỊ HỒNG LOAN Nghệ An – 12.2011 MỤC LỤC Trang Mở đầu…………………………………………………….…………… Chƣơng Kiến thức chuẩn bị………………………………………… 1.1 Vành môđun địa phương hoá…………………………………… 1.2 Phổ, giá, độ cao 1.3 Tập iđêan nguyên tố liên kết môđun……………………… 1.4 Sự phân tích nguyên sơ môđun ………………………………… 1.5 Vành địa phương đầy đủ theo tôpô m .adic……………………… 1.6 Mở rộng nguyên…………………………………………………… Chƣơng .2 Chiều Krull vành môđun………………………… 12 2.1 Chiều Krull Định lí Lý thuyết chiều 12 2.2 Chiều Krull mở rộng nguyên 2.3 Chiều Krull vành đa thức 20 2.4 vành đa thức .Chiều Krull vành thương Kết .luận … 27 Tài liệu tham khảo … 34 23 33 MỞ ĐẦU Chiều khái niệm quan trọng Đại số giao hốn Hình học đại số Mọi tốn khảo sát cấu trúc vành hay mơđun Đại số giao hoán việc xem xét chiều chúng Một dãy giảm iđêan nguyên tố vành R : p0  p1   pn gọi xích nguyên tố có độ dài n Cận tất độ dài xích nguyên tố R gọi chiều Krull vành R , ký hiệu dim R Cho M R  mơđun Khi dim  R / Ann R M  , AnnRM linh hóa tử mô đun M, gọi chiều Krull môđun M, ký hiệu dimR M (hoặc dim M không tập trung ý vào vành sở R) Khái niệm chiều Krull có nguồn gốc từ Hình học dạng đại số khái niệm chiều đa tạp đại số Chiều Krull vành Noether R thông số quan trọng, chi phối hầu hết thơng số khác vành R Chiều, bội, hệ tham số ba đối tượng mật thiết, định đến cấu trúc mơđun Đó ba khái niệm nói đến Đại số giao hốn Chính vậy, chọn đề tài nghiên cứu nhằm hiểu rõ Lý thuyết chiều Krull vành mơđun Mục đích Luận văn dựa vào tài liệu tham khảo để tìm hiểu, tổng hợp, từ trình bày cách có hệ thống số vấn đề lí thuyết chiều Krull vành mơđun Ngồi phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, Luận văn chia thành hai chương Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày số khái niệm sở vành mơđun có liên quan đến kiến thức chương nhằm làm sở cho việc trình bày nội dung Luận văn Chương 2: Chiều Krull vành môđun Chương nội dung Luận văn Trong chương chúng tơi trình bày nội dung sau: 2.1 Chiều Krull Định lí Lý thuyết chiều 2.2 Chiều Krull mở rộng nguyên 2.3 Chiều Krull vành đa thức 2.4 Chiều Krull vành thương vành đa thức Luận văn hoàn thành vào tháng 12 năm 2011 trường Đại học Đồng Tháp hướng dẫn TS Nguyễn Thị Hồng Loan Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Nguyễn Thị Hồng Loan, người hướng dẫn tận tình, chu đáo nghiêm khắc suốt trình học tập nghiên cứu Tác giả xin trân trọng cảm ơn thầy giáo, cô giáo khoa Toán, khoa Sau đại học Trường Đại học Vinh trường Đại học Đồng Tháp giúp đỡ tác giả suốt q trình học tập hồn thành Luận văn Luận văn chắn không tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong nhận ý kiến đóng góp thầy giáo, giáo bạn đọc để luận văn hoàn thiện CHƢƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tơi trình bày số khái niệm sở vành mơđun có liên quan đến kiến thức chương nhằm làm sở cho việc trình bày nội dung Luận văn Trong tồn Luận văn, vành nhắc đến vành giao hốn có đơn vị ¹ 1.1 Vành mơđun địa phƣơng hố 1.1.1 Vành thƣơng Cho S tập nhân đóng vành R Đề Trên tích  r, s   r , s   t  S : t rs , R , x , S ta xét quan hệ hai ngôi:  sr ,   Khi  quan hệ tương đương R x S Với (r, s)  R x S, ký hiệu r/s lớp tương đương chứa (r, s) S-1R tập thương R x S theo quan hệ tương đương : S-1R = {r/s | r R, s S} Trên S-1R trang bị hai phép toán phép cộng phép nhân, S-1R trở thành vành gọi vành thương R theo tập nhân đóng S Mỗi iđêan vành R có dạng S-1I = {a/s | a I, s S}, I iđêan R Ta có S-1I = S-1R  I  S   Do S-1I iđêan thực S-1R I  S   Cho p iđêan nguyên tố vành R Khi S  R \ p tập nhân đóng vành R Vành S-1R trường hợp vành địa phương, 1 ký hiệu Rp , với iđêan cực đại pRp  S p  a / s a  p, s R \ p nên gọi vành địa phương hoá vành R iđêan nguyên tố p 1.1.2 Môđun thƣơng Cho S tập nhân đóng vành R Khi ta có vành thương S-1R Trên tích Đề M x S ta xét quan hệ hai ngôi:  m, s   m , s   t  S : t  ms  sm   , , , , Khi  quan hệ tương đương M x S Do M x S chia thành lớp tương đương, ta ký hiệu tập thương M x S theo quan hệ tương đương  S-1M ký hiệu lớp tương đương chứa (m, s) m / s Như S-1 M = { m / s | m M, s S} Trên S-1M trang bị phép cộng phép nhân với vô hướng: m / s  m '/ s '   s ' m  sm '  / ss ', m / s; m '/ s '  S 1 M r/t.m/s = rm / ts, r / t  S 1 R, m / s  S 1M Khi S 1 M có cấu trúc S 1 R –môđun gọi môđun thương M theo tập nhân đóng S S 1 M xem R–môđun với phép nhân vô hướng sau: r.x / s  rx / s , với r  R, x / s  S 1 M Cho p iđêan nguyên tố vành R S  R \ p Khi môđun S 1 M gọi môđun địa phương hoá M iđêan nguyên tố p , ký hiệu Mp Như Mp xem Rp –môđun R–môđun 1.1.3 Mệnh đề Cho S tập nhân đóng vành giao hốn R Khi S-1 (*) hàm tử khớp từ phạm trù R–môđun vào phạm trù R–môđun Nghĩa là: Nếu  M '  M  M ''  dãy khớp ngắn R–mơđun  S 1 M '  S 1 M  S 1 M ''  dãy khớp ngắn R–môđun 1.1.4 Hệ Giả sử M P môđun R–môđun M Khi đó: (i) S 1 ( N  P)  S 1 N  S 1 P ; (ii) S 1 ( N  P)  S 1 N  S 1 P ; (iii) S 1 (M / P)  S 1 M / S 1 N 1.1.5 Định lý Cho S tập nhân đóng R M R–mơđun Khi đó: S-1M  S-1R  M 1.2 Phổ, giá, độ cao 1.2.1 Phổ vành Ký hiệu SpecR tập tất iđêan nguyên tố vành R Khi SpecR gọi phổ vành R Với iđêan I R ta ký hiệu V (I )  p SpecR p  I  1.2.2 Độ cao iđêan Một dãy giảm iđêan nguyên tố vành R : p0  p1   pn gọi xích ngun tố có độ dài n Cho p Spec R , cận tất độ dài xích nguyên tố với p0  p gọi độ cao p , ký hiệu ht  p Nghĩa là: ht  p = sup {độ dài xích nguyên tố với p0  p } Cho I iđêan R, độ cao iđêan I định nghĩa: ht  I   inf ht  p p Spec R, p  I    1.2.3 Giá môđun Tập Supp M  p SpecR Mp  SpecR gọi giá môđun M Với x  M ta ký hiệu   AnnR (x )  a  R ax  ; AnnR M  a  R aM  0  a  R ax  0, x  M Ta có AnnR x AnnR M (hoặc Ann x Ann M không để ý đến vành R) iđêan M Ann M gọi linh hoá tử môđun M Hơn M R-môđun hữu hạn sinh Supp M  V (Ann R M )  p SpecR p  Ann R M 1.3 Tập iđêan nguyên tố liên kết môđun 1.3.1 Định nghĩa Cho M R–môđun ta gọi iđêan nguyên tố p R iđêan nguyên tố liên kết M hai điều kiện tương đương sau thoả mãn: (i) Tồn phần tử x  M cho Ann  x  = p (ii) M chứa môđun đẳng cấu với R / p Tập iđêan nguyên tố liên kết M ký hiệu Ass R M Ass M không để ý đến vành R Như AssM  p SpecR p= Ann x, víi x  M 1.3.2 Mệnh đề Ass M  Supp M phần tử tối tiểu Supp M thuộc Ass M 1.3.3 Mệnh đề Nếu M R–mơđun Noether Ass M tập hợp hữu hạn 1.4 Sự phân tích ngun sơ mơđun 1.4.1 Định nghĩa Cho R vành giao hốn M R–mơđun (i) Môđun N  M M gọi nguyên sơ tồn iđêan nguyên tố p R cho Ass(M/N) = { p } Khi ta nói N p –nguyên sơ (ii) Cho N mơđun M Một phân tích nguyên sơ N biểu diễn N  M1  M2   Mn Mi môđun p i –nguyên sơ M Phân tích gọi thu gọn p i đơi phân biệt khơng có Mi thừa 1.4.2 Chú ý (i) Nếu Q mơđun p –ngun sơ M p = Ann( M / Q) (ii) Nếu M1 M2 môđun p – nguyên sơ M M1  M2 mơđun p –ngun sơ M Vì phân tích ngun sơ mơđun N quy phân tích thu gọn (iii) Khi M  R R vành Noether khái niệm iđêan nguyên sơ trùng với khái niệm môđun nguyên sơ Định lý sau khẳng định tồn phân tích nguyên sơ môđun môđun Noether tập iđêan nguyên tố liên kết xác định thơng qua phân tích ngun sơ thu gọn 1.4.3 Định lý Cho M R–môđun Noether N mơđun M Khi đó: (i) N có phân tích ngun sơ thu gọn; (ii) Nếu N  N1  N2   Nn N  N1  N2   Nn hai phân tích nguyên sơ thu gọn N Ni p i–nguyên sơ, i  1, 2, , n Ni p i’–nguyên sơ, i  1, 2, , m n = m {p1, , pn} = {p1’, , pn’} Vì {p1, , pn} khơng phụ thuộc vào phân tích ngun sơ thu gọn N Hơn ta có {p1, , pn}  Ass ( M / N ); (iii) Cho N  N1  N2   Nn đó, Ni p i–nguyên sơ, i  1, 2, , n phân tích nguyên sơ thu gọn N Nếu pi phần tử tối tiểu tập Ass ( M / N ) mơđun Ni tương ứng khơng phụ thuộc vào phân tích ngun sơ thu gọn N 1.5 Vành địa phƣơng đầy đủ theo tôpô m- adic Cho  R, m vành địa phương Ta xét R vành tôpô với sở lân cận phần tử iđêan mt , với t = 0, 1, Chú ý sở lân cận phần tử tuỳ ý r  R gồm lớp ghép r  mt với t = 0, ,2 Khi vành đầy đủ theo tơpơ m- adic R ký hiệu R định nghĩa cách thông thường theo ngôn ngữ dãy Cauchy sau: Một dãy Cauchy R dãy  rn  phần tử R cho với t > 0, tồn số tự t nhiên n0 để rn  rm  m với n, m  n0 Dãy  rn  gọi hội tụ dãy không với t > tồn số tự t nhiên n0 để rn   rn  m với n  n0 Hai dãy Cauchy  rn   sn  gọi hai dãy tương đương, ký hiệu  rn   sn  dãy  rn  sn  dãy khơng Khi quan hệ  tập dãy Cauchy quan hệ tương đương Ta ký hiệu R tập lớp tương đương dãy Cauchy Chú ý  rn   sn  dãy Cauchy dãy  rn  sn  ,  rn sn  dãy Cauchy lớp tương đương dãy  rn  sn  ,  rn sn  không phụ thuộc vào việc chọn đại diện lớp tương đương dãy  rn   sn  , tức  rn   rn  sn  r , n  sn,   rn sn   r s  Vì , , n n r  , n  sn  s  , n R trang bị hai phép tốn hai ngơi + đồng thời với hai phép toàn này, R lập thành vành Mỗi phần tử r  R đồng với lớp tương đương dãy Cauchy mà tất phần tử dãy r Vì ta có đơn cấu tự nhiên vành R  R r  r ,  r  dãy mà tất phần tử r Định nghĩa tương tự cho môđun M với sở lân cận phần tử m M  Khi M t R –mơđun với phép nhân vô hướng sau: cho a   a1 , a2 ,   R , x   x1 , x2 ,   M Ta có ax   a1 x1 , a2 x2 ,   M 1.6 Mở rộng nguyên 1.6.1 Định nghĩa Cho R vành vành giao hốn S s  S Ta nói s nguyên R tồn h s h  rh1s h1  r0 , r1, , rh1  R cho  r1s  r0  Điều có nghĩa s nghiệm đa thức đơn hệ với hệ tử vành R Như phần tử R nguyên R 1.6.2 Mệnh đề Định nghĩa Cho R vành vành giao hoán S Đặt R :  s  S | s nguyên R R vành S chứa R 20 hợp tất iđêan nguyên tố cực tiểu Do tồn phần tử a1 p a1 khơng thuộc iđêan nguyên tố cực tiểu Khi rõ ràng ht  a1   ht  a1   Với r > 1, ta giả sử kết đến r – Gọi q  p iđêan nguyên tố có chiều cao r –1, theo giả thiết quy nạp, tồn a , a ,…, a r 1  q  p cho ht (a , a ,…, a i ) = i với i = 1, 2,…, r – Vì chiều cao ht(a , a ,…, a r 1 ) = r – 1, nên tất iđêan nguyên tố cực tiểu iđêan (a , a ,…, a r 1 ) có chiều cao r – Như p nằm hợp tất iđêan nguyên tố cực tiểu (a , a ,…, a r 1 ) Do tồn ar p cho ar không thuộc iđêan nguyên tố cực tiểu (a , a ,…, a r 1 ) Ta thấy ht(a , a ,…, a r ) = r 2.2 CHIỀU KRULL CỦA CÁC MỞ RỘNG NGUYÊN Trong mục chúng tơi trình bày kết chiều Krull mở rộng nguyên Cho R vành giao hốn có đơn vị S mở rộng R với đơn vị R S 2.2.1 Định lí Cho S mở rộng nguyên R, J iđêan S I  J  R Khi ta có: (i) dimR = dimS Coht I = Coht J (ii) ht J  ht I dấu đẳng thức xảy R S miền nguyên R đóng nguyên Chứng minh (i) Theo Định lí lên (Going - up theorem), xích iđêan ngun tố R, thác triển thành xích iđêan nguyên tố S Do dimR  dimS Ngược lại xích iđêan nguyên tố S cho giao với R, ta xích iđêan nguyên tố R Điều dẫn đến dimR  dimS Vậy dimR = dimS Nhắc lại S/J mở rộng nguyên R/I, nên theo kết vừa chứng minh ta có 21 Coht I = dimR/I = dimS/J = Coht J (ii) Giả sử J iđêan nguyên tố S, I iđêan ngun tố R Vì xích iđêan nguyên tố S chứa J cho giao với R, cho ta xích iđêan nguyên tố R chứa I Do ht J  ht I Trường hợp J iđêan tùy ý S Gọi p iđêan nguyên tố R chứa I cho ht p = htI Vì S/J mở rộng nguyên R/I, nên tồn iđêan nguyên tố Q S, để Q chứa J giao với R p Áp dụng kết vừa chứng minh trường hợp iđêan nguyên tố, ta rút bất đẳng thức ht J  ht Q  ht p = ht I Tiếp theo xét trường hợp R S miền nguyên với R đóng nguyên Giả sử J iđêan nguyên tố S, I iđêan nguyên tố R Theo Định lí xuống (Going-down theorem), xích iđêan nguyên tố R chứa I, thác triển thành xích iđêan ngun tố S chứa J Do ht I  ht J Trường hợp J iđêan tùy ý S, Q iđêan nguyên tố S chứa J Gọi p giao J R, p iđêan nguyên tố R chứa I Từ chứng minh vừa ta rút ht I  ht p  ht Q với Q iđêan nguyên tố S chứa J Điều dẫn đến ht I  ht J Vậy ht I = ht J 2.2.2 Mệnh đề Cho S mở rộng phẳng R Khi Định lí xuống (Going-down theorem) ln mở rộng Chứng minh Giả sử p'  p iđêan nguyên tố R Q iđêan nguyên tố S cho p = Q  R Khi S Q hồn tồn phẳng Rp Do tồn iđêan nguyên tố Q* S Q , cho Q* giao với Rp p' Rp Lấy Q  = Q *  S , Q  iđêan nguyên tố S, có giao với R p' Q   Q Từ kết này, ta nhận Định lí xuống 22 2.2.3 Hệ Cho S mở rộng hoàn toàn phẳng R Khi ta có dimS  dimR Chứng minh Giả sử p0  p1  p2   pn xích iđêan nguyên tố R Vì S hồn tồn phẳng R, nên tồn iđêan nguyên tố Q S, để Q  R  pn Áp dụng Mệnh đề 2.2.2, xích iđêan ngun tố thác triển thành xích iđêan nguyên tố S Vậy dim S  dim R 2.2.4 Định lí Cho R miền nguyên Noether Khi R đóng nguyên thỏa mãn hai điều kiện sau đây: (i) Mỗi iđêan nguyên tố p chiều cao 1, Rp vành chuẩn rời rạc (ii) Các iđêan nguyên tố liên kết iđêan khác khơng có chiều cao Chứng minh (  ): Giả sử R miền đóng nguyên Noether p iđêan nguyên tố R với chiều cao Khi Rp miền đóng nguyên Noether, thêm dim Rp = Như Rp vành chuẩn rời rạc Ta nhận (i) Bây giả sử p iđêan nguyên tố liên kết iđêan (a) với a  Khi pRp = m iđêan cực đại vành địa phương Rp , m iđêan nguyên tố liên kết iđêan (b) R  Rp Vì m iđêan nguyên tố liên kết (b) nên tồn x  (b) cho x m  (b) Lúc x m b 1  R xb 1 R Nếu x m b 1  m , xb 1 nguyên R  Nhưng R  đóng nguyên, nên xb 1  R (mâu thuẫn) Điều dẫn đến x m b 1  m , hay x m b 1  R Do tồn t  m để xtb 1  Lại a = 1.a = xtb 1 a với a  m , nên m =(t) Từ ta rút dim R  ht p = Ta nhận (ii) 23 (  ): Giả sử R miền nguyên Noether thỏa mãn hai điều kiện (i) (ii) Rp Thật vậy,   Trước hết, ta cần R  ht p1 a  RP với b p có ht p = 1, a  bp với p có ht p = 1, hay với p  Ass(b) , (ii) Điều rút a  (b) , hay   a Rp  R Do R  b ht p1 Bởi (i), Rp đóng nguyên với p có ht p = 1, nên R đóng nguyên Khi R miền đóng ngun Noether R thỏa mãn điều kiện (ii) Do từ chứng minh Định lí 2.2.4, ta nhận hệ sau 2.2.5 Hệ Cho R miền đóng nguyên Noether Khi ta có R Rp ht p1 2.3 CHIỀU KRULL CỦA VÀNH ĐA THỨC 2.3.1 Mệnh đề Cho R vành S = R[X] vành đa thức với biến X R Khi Q iđêan nguyên tố khác iđêan cực đại S cho p  Q  R , Q = p S Chứng minh Bằng cách xét vành thương S/ p S, ta coi p = R miền nguyên Rồi cách địa phương hóa p , ta coi R trường Khi S vành Lại Q iđêan nguyên tố không cực đại S, nên Q = 0, hay Q = p S Từ Mệnh đề chứng minh 2.3.2 Mệnh đề Cho R vành Noether S = R[X] vành đa thức với biến X R, I iđêan R J = IS Khi p iđêan nguyên tố cực tiểu I, Q = p S iđêan nguyên tố cực tiểu J Chứng minh Bằng cách xét vành thương R/I, ta coi I = J = Nếu Q iđêan nguyên tố cực tiểu S, tồn iđêan 24 nguyên tố Q  cho Q   Q Q  Q Khi dễ thấy Q  R  Q  R  p Vì p cực tiểu, nên Q  R  p Lại theo Mệnh đề 2.2.6, Q  pS , tức Q   Q (mâu thuẫn!) 2.3.3 Mệnh đề Cho R vành Noether S = R[X] vành đa thức với biến X R, p iđêan nguyên tố R Q = p S Khi ta có ht p = ht Q Chứng minh Giả sử ht p = n, theo [4, Hệ 1.9, chương 4] tồn iđêan I sinh n phần tử p iđêan nguyên tố cực tiểu I Bởi Mệnh đề 2.3.2, Q iđêan nguyên tố cực tiểu J = IS Vì J sinh S n phần tử, nên ht Q  n Mặt khác, giả sử p0  p1  p2   pn  p xích iđêan ngun tố R, p0 S  p1S  p2 S   pn S  pS  Q xích iđêan nguyên tố S Do htQ  n Vậy htQ = n, hay htQ = ht p 2.3.4 Định lí Cho R vành Noether S = R[X] vành đa thức với biến X R Khi ta có dimS = dimR+1 Chứng minh Giả sử p0  p1  p2   pn xích iđêan nguyên tố R Khi ta nhận p0 S  p1S  p2 S   pn S  pn  ( X ) xích iđêan nguyên tố S Từ suy dimS  dimR + Ngược lại giả sử Q0  Q1  Q2    Qm xích iđêan nguyên tố S Đặt pi  Qi  R với  i  m Khi pi đơi phân biệt, ta có dimR  dimS – Nếu trái lại, chẳng hạn pj  pj1 với j lớn nhất, theo Mệnh đề 2.3.1, ta có Q j  pj S Do Mệnh đề 2.3.3, ht p j  ht Q j Dễ thấy ht Q j  j , nên ht pj  j Từ giả thiết j, nên ta có xích iđêan ngun tố pj  pj 1  pj 2   pm Như 25 htpj  m  j   dim R , hay m  dim R  Từ điều ta rút dimS  dimR + Vậy ta có đẳng thức dimS = dimR + Từ Định lí 2.3.4, ta nhận hệ sau: 2.3.5 Hệ Cho R vành Noether S = R[ X1 , X , , X n ] vành đa thức với n biến R Khi ta có dimS = dimR + n 2.3.6 Hệ Nếu K trường K[ X1 , X , , X n ] vành đa thức với n biến K dimK[ X1 , X , , X n ] = n 2.3.7 Hệ Cho K trường R vành mở rộng K Giả sử y1 , y2 , , yn  R Khi y1 , y2 , , yn độc lập đại số K thỏa mãn hai điều kiện sau đây: (i) dimK [ y1 , y2 , , yn ]  n (ii) Vành đa thức K[ X1 , X , , X n ] nguyên K[ y1 , y2 , , yn ] Chứng minh (i) Xét đồng cấu F : A = K[ X1 , X , , X n ]  K[ y1 , y2 , , yn ] cho f ( X1 , X , , X n )  f ( y1 , y2 , , yn ) Dễ thấy F tồn cấu, ta có dimK [ y1 , y2 , , yn ] = n = dimA/KerF Do A miền nguyên, nên theo [4, Hệ 1.11, chương 4] dimA/KerF = n = dimA KerF = 0, hay F đẳng cấu Vì X1 , X , , X n độc lập đại số K, nên y1 , y2 , , yn độc lập đại số K (ii) Do K[ X1 , X , , X n ] nguyên K[ y1 , y2 , , yn ], nên Định lí 2.2.1, ta có n = dimK[ X1 , X , , X n ] = dimK[ y1 , y2 , , yn ] Vì theo (i), ta suy điều phải chứng minh 26 2.3.8 Hệ Nếu K trường K[ X1 , X , , X n ] vành đa thức với n biến K, ht( X1 , X , , X i )  i với  i  n Chứng minh Vì dimK[ X1 , X , , X n ] = n, nên ht( X1 , X , , X n ) = n Dễ thấy với  i  n , X i phần tử không ước không vành K[ X i , , X n ], nên theo [4, Hệ 1.12, Chương 4] ta dễ dàng sử dụng quy nạp cách hình thức để suy ht( X1 , X , , X i )  i với  i  n 2.3.9 Định lí Cho K trường R = K[ X1 , X , , X n ] vành đa thức với n biến K Giả sử I iđêan R với ht I = h Khi tồn y1 , y2 , , yn  R độc lập đại số K, đồng thời thỏa mãn hai điều kiện sau đây: (i) R mở rộng nguyên K[ y1 , y2 , , yn ] (ii) I  K[ y1 , y2 , , yn ] = ( y1 , y2 , , yh ) Chứng minh Ta chứng minh Định lí quy nạp theo chiều cao iđêan I Nếu ht I = h = 0, R miền nguyên, nên I = Trong trường hợp ta chọn y1 , y2 , , yn tương ứng X1 , X , , X n Khi ta thấy điều kiện Định lí thỏa mãn Như với h = 0, định lí Nếu h  1, lúc tồn iđêan J  I cho ht J = h – Bởi giả thiết quy nạp, nên tồn z1, z2 , , zn thỏa mãn điều kiện định lí iđêan J Để ý S = K[ z1 , z2 , , zn ]  K[ X1 , X , , X n ] miền đóng nguyên, nên áp dụng Định lí 2.2.1, ta có ht( J  S ) = ht J = h – ht ( J  S ) = ht I = h Do tồn f  ( I  S ) \ ( J  S ) , nhớ J  S  ( z1 , z2 , , zh1 ) , nên ta coi f  K[ zh , zh1 , , zn ] Khi theo kết phiên Định lí Chuẩn hóa Noether, tồn f  ( yh , yh1, , yn ) cho K[ zh , zh1 , , zn ] nguyên K[ yh , yh1, , yn ] Lấy yi  z i với i < h, ta y1 , y2 , , yn thỏa 27 mãn điều kiện định lí iđêan I Vì R ngun S S nguyên K[ y1 , y2 , , yn ], nên R nguyên K[ y1 , y2 , , yn ] Áp dụng Hệ 2.3.7, ta suy y1 , y2 , , yn độc lập đại số K Do ( y1 , y2 , , yh ) iđêan nguyên tố có chiều cao h vành K[ y1 , y2 , , yn ] Mặt khác ta lại có ht I = h  ht ( I  K[ y1 , y2 , , yn ]) ( y1 , y2 , , yh )  I  K[ y1 , y2 , , yn ] , nên: I  K[ y1 , y2 , , yn ]  ( y1 , y2 , , yh ) 2.4 CHIỀU KRULL CỦA VÀNH THƢƠNG CỦA VÀNH ĐA THỨC Cho S vành vành R Khi người ta gọi R S - đại số Nếu a1, , an  R, kí hiệu S[a1, , an] tập tất tổ hợp tuyến tính S phần tử a1p1 anpn ( p1, , pn  ) Tập rõ ràng vành R Có thể xem vành đa thức a1, , an biến độc lập Nếu tồn a1, , an  R để R = S[a1, , an] R gọi S - đại số hữu hạn sinh Cho K trường, miền nguyên R đồng thời K - đại số hữu hạn sinh, R gọi K - đại số afin R K - đại số hữu hạn sinh vành thương vành đa thức hữu hạn biến trường K Dễ thấy K - đại số afin ảnh đồng cấu vành đa thức K, với hạch đồng cấu iđêan nguyên tố Và thực chất K - đại số afin vành tọa độ đa tạp đại số afin bất khả quy Đối với đại số afin, ta có kết sau: 2.4.1 Mệnh đề Cho K trường R K - đại số afin Khi p iđêan nguyên tố R, ht p + Coht p = dimR Chứng minh Theo Định lí Chuẩn hóa Noether, R ngun vành đa thức A K Vì A R miền nguyên A đóng nguyên, 28 nên áp dụng Định lí 2.2.1, ta hồn tồn chuyển chứng minh mệnh đề chứng minh vành đa thức A = K[ X1 , X , , X n ] Bây giả sử p iđêan nguyên tố A có ht p = h Theo Định lí 2.3.9, tồn y1 , y2 , , yn  A độc lập đại số K, cho A mở rộng nguyên S = K[ y1 , y2 , , yn ] Q = p  K[ y1 , y2 , , yn ] = ( y1 , y2 , , yh ) Đương nhiên ht Q = h Để ý S/Q  K[ yh1 , , yn ], nên Coht Q = dimK[ yh1 , , yn ] = n – h Do Coht p = Coht Q = n – h Vậy ht p +Coht p = n = dimA Chú ý trường E mở rộng trường K, số phần tử hệ tối đại phần tử E độc lập đại số K, gọi bậc siêu việt E K kí hiệu tr.degKE Cho R K - đại số afin với trường thương F Khi bậc siêu việt R K, kí hiệu tr.degKR, hiểu bậc siêu việt F K Mệnh đề sau cho ta mối liên hệ bậc siêu việt chiều Krull đại số afin 2.4.2 Mệnh đề Cho K trường R K - đại số afin Khi ta có tr.degKR = dimR Chứng minh Giả sử dimR = n Bởi Định lí Chuẩn hóa Noether, R nguyên vành đa thức A = K[ X1 , X , , X n ] Gọi E F tương ứng trường thương A R Vì R mở rộng nguyên A, nên ta thấy F mở rộng đại số E Do tr.degKF = tr.degKE Vậy ta có tr.degKR = tr.degKF = tr.degKE = n = dimR 2.4.3 Định nghĩa Cho I iđêan thực vành đa thức n biến K[x] = K[ x1 , , xn ] y = {y1, , yr} tập tập biến {x1, , xn} Tập y gọi tập độc lập modulo I I không chứa biến y Tập y gọi tập độc lập cực đại modulo I tập độc lập modulo I 29 không chứa thực tập độc lập modulo I khác Đặt A = K[x]/I Khi chiều A kí hiệu m-dim(A) định nghĩa sau: m-dim(A) = max{#y | y  {x1, , xn} độc lập modulo I} 2.4.4 Bổ đề Nếu A = K[x]/I miền nguyên m-dim(A) = tr.degKA Chứng minh Đặt d = m-dim(A) r = tr.degKA Khơng tính tổng qt, giả sử x1,…, xd  K[x] biến độc lập modulo I Nhận xét đa thức f  I ảnh f A Do x1 , , xd độc lập đại số K Hơn nữa, viết trường L phân thức A sau: L = K( x1 , , xn ) = K( x1 , , xd )( xd 1 , , xn ) Từ tính chất x1,…, xd tập độc lập cực đại modulo I suy ra, phần tử xd 1 , , xn phụ thuộc đại số K( x1 , , xd ) Do r = tr.degKL = tr.degKK( x1 , , xd ) = d Mệnh đề sau cho thấy chiều chiều Krull vành thương vành đa thức trường hợp vành thương miền nguyên 2.4.5 Mệnh đề Nếu A = K[x]/I miền nguyên, dimA = m-dim(A) Chứng minh Đặt d = m-dim(A) Để chứng minh d  dimA cần chứng tỏ rằng, p  q  R hai iđêan nguyên tố thực chứa dim q< dim p Rõ ràng dim q< dim p Giả sử dim q= dimp= : s Khơng tính tổng qt, giả thiết x1 , , xs độc lập modulo q Lấy S = K[ x1 , , xs ]\{0} Rõ ràng S tập nhân R với p S   q S   Đặt L = K( x1 , , xs ) Khi RS =L [ xs 1 , , xn ], suy hai iđêan pRS q RS điều iđêan nguyên tố chiều Do pRS iđêan cực đại RS Điều vơ lí, pRS thực chứa iđêan nguyên tố q RS RS 30 Bây ta chứng minh d  dim A Khơng tính tổng qt, giả thiết x1,…, xd tập biến độc lập cực đại modulo I Ta cần chứng tỏ xây dựng dãy iđêan nguyên tố I = p0  p1   pd  K[ x] Qui nạp theo d (như độ dài dãy biến x1,…, xd độc lập cực đại modulo I) Trường hợp d = 0: hiển nhiên Cho d  Đặt S=[x1,…, xd-1]\{0} Ta có RS = K ( x1,…, xd-1)[xd ,…, xn] Nếu IRS K ( x1 , , xd 1 )[ xd ]  , sau thử mẫu số hệ số K ( x1 , , xd 1 ) , suy I K ( x1 , , xd )  Trái với tính chất độc lập x1,…, xd Vậy dim IRS > Khi IRS khơng cực đại, tồn iđêan nguyên tố J  K[x] cho I  J , IRS  JRS JRS iđêan cực đại RS Suy m–dim JRS = Do {x1,…, xd-1} độc lập cực đại modulo J Theo giả thiết qui nạp tồn dãy iđêan nguyên tố lồng thực J  p1   pd  K[ x] Vì I  J , nên từ có dãy I = p0  p1   pd  K[ x] Bổ đề sau cho ta cách tính chiều vành thương K[x]/I thơng qua phân tích nguyên sơ I 2.4.6 Bổ đề Cho I, J hai iđêan vành đa thức R = K[x] Khi m-dimR/(I  J ) = max{m-dimR/I, m-dimR/J} Chứng minh Theo định nghĩa rõ ràng cần chứng tỏ chiều bất đẳng thức  Không tính tổng quát, giả sử x1,…, xd độc lập modulo I  J , d = m-dim R / ( I  J ) Nếu tập biến không độc lập modulo I không độc lập modulo J, tồn hai đa thức f, g  K[ x1 , , xd ] khác cho f  I g J fg  ( I  J )  K[ x1 , , xd ] , trái với tính độc lập x1,…, xd modulo I  J Vậy tập biến độc lập modulo I, độc lập modulo J Tương ứng có m-dimR/I  d , m-dimR/J  d 31 Bây chứng minh chiều Krull chiều vành R/I tùy ý Nói riêng chiều R/I không phụ thuộc vào việc chọn biểu diễn vành Vì dùng khái niệm chiều chiều Krull mà không sợ bị nhầm lẫn 2.4.7 Định lí Cho I iđêan vành đa thức R = K[x] Khi dimR/I = m-dimR/I Chứng minh Kiểm tra trực định nghĩa, ta thấy m-dimR/I = m-dim(R/ I ) Từ định lí phân tích nguyên sơ suy I  p1   pr giao iđêan nguyên tố Áp dụng Bổ đề 2.4.6 ta có m-dimR/I = m-dim(R/ I ) = max m-dimR/ pi i 1, ,r Mặt khác, chiều Krull có tính chất tương tự Do ta có dimR/I = dim(R/ I ) = max dim(R/ pi ) i 1, ,r Từ hai đẳng thức Mệnh đề 2.4.5 suy điều khẳng định định lí 2.4.8 Ví dụ Cho I = ( x2 , xy3 , xu, y3v , uv ) Ta có I = ( x , y3 , u)  ( x, v ) Vì v độc lập modulo ( x , y , u) y, u độc lập modulo (x, v2), suy m-dimR/I = dimR/I = Từ kết trình bày ta có kết sau 2.4.9 Định lí Cho I iđêan vành đa thức R = K[x] Khi đại lượng sau nhau: (i) dim(R/I) = sup{r|   1    r ;  , ,  r  Spec( R / I ) } (ii) m-dim(R/I) = max{#y| y  {x1 , , xn } độc lập modulo I} Hơn nữa, I iđêan nguyên tố đại lượng tr.degK(R/I) 2.4.10 Định lí Cho K trường, A R K - đại số afin Giả sử p iđêan nguyên tố cực tiểu A  R Khi ta có Coht p = dimA + dimR 32 Chứng minh Theo Định lí Chuẩn hóa Noether, tồn vành đa thức A* R* K, để A R tương ứng mở rộng nguyên A* R* Gọi E; E*; F; F* trường thương A; A*; R; R* Xét biểu đồ giao hoán dãy khớp sau : 0    A*  R*  A  R    E*  F*  E  F Vì p iđêan nguyên tố cực tiểu A  R, nên Q = p  (A*  R*) = K Thật giả sử trái lại Q  0, tồn  x  Q Vì x p, nên x ước khơng A  R Nhưng E tự E* F tự F*, nên E  F K tự E*  F* Do x khơng thể ước khơng A  R K (mâu thuẫn) Vậy Q = Từ suy dãy đẳng thức sau Coht p = CohtQ = dim(A*  R*) = dim A* + dimR* = dimA + dimR KẾT LUẬN 33 Dựa vào tài liệu tham khảo Luận văn trình bày số vấn đề Lý thuyết chiều Krull vành môđun Cụ thể luận văn chúng tơi trình bày vấn đề sau Định nghĩa khái niệm chiều Krull Chứng minh đinh lý Lý thuyết chiều Krull (Định lý 2.1.9) Chiều Krull mở rộng nguyên (Định lý 2.2.1) Chiều Krull vành đa thức (Định lý 2.3.4) Chiều Krull vành thương vành đa thức (Định lý 2.4.7) TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt 34 [1] Lê Tuấn Hoa (2003), Đại số máy tính sở Grobner, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Dương Quốc Việt (2008), Cơ sở lý thuyết module, Nhà xuất Đại học sư phạm [3] Dương Quốc Việt (Chủ biên) (2009), Bài tập sở lý thuyết module, Nhà xuất Đại học sư phạm [4] Dương Quốc Việt (2008), Lí thuyết chiều, Nhà xuất Đại học sư phạm Tiếng Anh [5] M.F Atiyah and I.G Macdonald (1969), Introduction to commutative algebra, Addison – Wesley, Reading, Mass [6] H Matsumura (1970), Commutative algebra, Benjamin [7] R.Y Sharp (1990), Steps in commutative algebra, Cambridge Univ Press ... nội dung sau: 2.1 Chiều Krull Định lí Lý thuyết chiều 2.2 Chiều Krull mở rộng nguyên 2.3 Chiều Krull vành đa thức 2.4 Chiều Krull vành thương vành đa thức Luận văn hoàn thành vào tháng 12 năm... SuppM; AssM; V(AnnM) 2.1.6 Định lí Một vành R vành Artin R vành Noether có chiều Krull dimR = 14 Chứng minh Theo [4, Hệ 2.13, Chương 3] vành R vành Artin R vành Noether iđêan nguyên tố R iđêan... minh chiều Krull chiều vành R/I tùy ý Nói riêng chiều R/I khơng phụ thuộc vào việc chọn biểu diễn vành Vì dùng khái niệm chiều chiều Krull mà không sợ bị nhầm lẫn 2.4.7 Định lí Cho I iđêan vành