Vành tự đồng cấu của một số lớp môđun

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LÊ VĂN LINH VÀNH TỰ ĐỒNG CẤU CỦA MỘT SỐ LỚP MƠĐUN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC NGHỆAN - 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LÊ VĂN LINH VÀNH TỰ ĐỒNG CẤU CỦA MỘT SỐ LỚP MÔĐUN CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ MÃ SỐ: 60.46.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS NGÔ SỸ TÙNG NGHỆ AN - 2012 BẢNG KÝ HIỆU , , , , : Tương ứng tập hợp số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỉ, số thực, số phức MN : Tổng trực tiếp hai môđun M N Mi : Tổng trực tiếp môđun : N môđun M I N M ( M i )iI HomR ( N , M ) : Tập hợp đồng cấu từ N vào M End ( M ) : Vành tự đồng cấu môđun M l(M) : Độ dài môđun M MỤC LỤC Trang ng hiệu………………………………………………………………… M c l c……………………………………………………………………… Mở đầu……………………………………………………………………… Chương 1: Kiến thức sở……… 1.1 Môđun Noether, môđun Artin……………………………………………5 1.2 Môđun nội xạ……………………………………………………………13 1.3 ao nội xạ……………………………………………………………….16 1.4 Phần tử lũy linh, lũy đẳng, phần tử h nghịch…………………………18 Chương 2: Vành tự đồng cấu số lớp môđun……………………… 20 2.1 Vành tự đồng cấu môđun Noether, môđun Artin………………… 20 2.2 Vành tự đồng cấu địa phương………………………………………… 26 Kết luận…………………………………………………………………… 37 Tài liệu tham h o………………………………………………………… 38 LỜI N I ĐẦU Cùng với phát triển toán học đại nói chung, l thuyết mơđun góp phần hơng nhỏ đến phát triển chuyên ngành Đại số L thuyết số Trong l thuyết môđun, hai lớp môđun nhà hoa học quan tâm nghiên cứu lớp môđun nội xạ lớp môđun xạ nh Trên sở tương tự dựa yếu tố nội xạ, người ta mở rộng nhiều lớp môđun Các lớp môđun như: môđun nội xạ, môđun gi nội xạ nghiên cứu S K Jain and S.Singh (1967), M L Teply (1975), H Q Dinh [3],…; Các lớp CS- môđun, môđun liên t c Đinh Văn Huỳnh, Nguyễn Việt Dũng, M Okado, S H Mohamed and B J Muller,… phát triển, xây dựng mối liên hệ lớp môđun mở rộng với đưa nhiều ết qu việc phát triển l thuyết môđun Dựa vào tài liệu ch nh [6] [7], chúng tơi tìm hiểu tự đồng cấu môđun Noether, tự đồng cấu môđun Artin, vành tự đồng cấu hông phân t ch được, vành tự đồng cấu địa phương,… M c đ ch luận văn hệ thống lại số t nh chất vành tự đồng cấu, vành địa phương Đặc biệt tìm hiểu số ết qu t nh chất vành tự đồng cấu số lớp mơđun Ngồi phần mở đầu, ết luận tài liệu tham h o, luận văn chia làm hai chương Chương Kiến thức sở 1.1 Môđun Noether, môđun Artin 1.2 Môđun nội xạ, bao nội xạ 1.3 Một số phần tử đặc biệt vành Chương Vành tự đồng cấu số lớp môđun 2.1 Vành tự đồng cấu môđun Noether, môđun Artin 2.2 Vành tự đồng cấu địa phương Luận văn hoàn thành trường Đại học Vinh, hướng dẫn PGS.TS Ngô Sỹ Tùng Tác gi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới PGS.TS Ngô Sỹ Tùng định hướng nghiên cứu, thường xuyên quan tâm, tạo điều iện thuận lợi, với lời động viên, h ch lệ tác gi suốt trình học tập, nghiên cứu Tác gi xin chân thành c m ơn an giám hiệu, an chủ nhiệm hoa Toán trường Đại học Vinh tạo điều iện thuận lợi cho tác gi suốt trình học tập nghiên cứu Tác gi xin chân thành c m ơn Phòng Đào tạo sau đại học trường Đại học Vinh Phòng QLKH&SĐH trường Đại học Đồng Tháp động viên giúp đở tác gi trình học tập q trình hồn thành luận văn Tác gi xin trân trọng c m ơn Trường Đại học Đồng Tháp giúp đở, tạo điều iện thuận lợi cho học viên học tập nghiên cứu chương trình đào tạo sau đại học Xin c m ơn GH trường THPT Thanh ình 1, gia đình, bạn hữu cộng tác, giúp đở động viên tác gi suốt trình học tập nghiên cứu Mặc dù có nhiều cố gắng, luận văn hơng tránh hỏi hạn chế, thiếu sót Tác gi mong nhận iến đóng góp chân thành qu Thầy Cô đồng nghiệp Nghệ An, tháng 10 năm 2012 Tác gi CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ Trong suốt luận văn, vành hiểu vành có đơn vị môđun môđun ph i unita hiệu 1, 1.1 Môđun Noether, môđun Artin 1.1.1 Định nghĩa Cho môđun M=MR Ai  M (  i  ) ( a ) A1  A2   An  (b) A1  A2   An  (a) gọi dãy tăng dừng k : Ak  Ak t (t  0) (b) gọi dãy gi m dừng k : Ak  Ak t (t  0) 1.1.2 Môđun đối sinh hữu hạn 1.1.2.1 Định nghĩa Môđun M gọi đối sinh hữu hạn (hay hữu hạn đối sinh) với họ môđun Ai M ( i  I ) mà tập hữu hạn I I để I I Ai  tồn Ai  1.1.2.2 Ví dụ i) Khơng gian vectơ hữu hạn chiều V (trên trường K) V K-mơđun V đối sinh hữu hạn ii) môđun Thật vậy, ta lấy  p Ta có pP khơng đối sinh hữu hạn  pP ( P tập số nguyên tố) môđun p  với tập hữu hạn bất p1 , p2 , p3 , pn có pP p ỳ số nguyên tố  p1 p2 p3 pn  1.1.3 Môđun tối đại Định nghĩa Môđun A M gọi tối đại A  M hơng chứa mơđun thực M 1.1.4 Môđun hữu hạn sinh Định nghĩa Gi sử X tập R-môđun M Môđun A bé chứa X gọi môđun sinh bời tập X X gọi tập sinh hay hệ sinh A Trong trường hợp A=M X hệ sinh M M sinh X Nếu M có hệ sinh hữu hạn ta nói M Rmơđun hữu hạn sinh 1.1.5.Mệnh đề Mỗi môđun hữu hạn sinh khác chứa môđun tối đại 1.1.6 Môđun Noether, mơđun Artin 1.1.6.1 Định lí Cho M M R mơđun Khi khẳng định sau tương đương: (i) Mọi tập hợp không rỗng mơđun M có phần tử cực đại (ii) Mọi dãy tăng môđun M: M1  M   M n  dừng (iii) Mọi môđun M hưu hạn sinh Chứng minh (i) => (ii): lấy tùy dãy tăng R-môđun môđun M M1  M   M n  Gọi F tập tất c phần tử dãy ởi (i), tập có phần tử cực đại M m với m Khi ta có M k  M m với k  m (ii) => (iii) Gi sử trái lại, tồn môđun N M hông hữu hạn sinh Khi N tồn dãy vô hạn phần tử x1, x2 , xn , cho m đặt M m   Axi M j  M j 1j  i 1 Ta nhận dãy tăng vô hạn mà hông dừng M1  M   M n  môđun M, mâu thuẩn với (ii) (iii) => (i) Gi sử S tập hác rỗng mơđun M Vì S tập hác rỗng nên ta chon mơđun M i  S Khi M i hông ph i phần tử cực đại S tồn M2 thực chứa M1 Lặp lại lập luận ta suy S hơng có phần tử cực đại, tồn dãy tăng vô hạn M1  M   M n  hông dừng môđun M, nên N môdun hữu hạn sinh Gi sử  x1 , xm  hệ sinh N Vì dãy mơđun nhận dãy tăng nên tồn k để x1, , xm  M k m N   Axi  M k Mk = N, dãy bị dừng vị i 1 tr thứ k (mâu thuẫn) 1.1.6.2 Định nghĩa Môđun M R gọi môđun Noether thỏa mãn điều iện tương đương sau i) Mọi dãy tăng môđun M dừng ii) Mọi môđun M hữu hạn sinh iii) Mọi tập hác rỗng mơđun M có phần tử cực đại 1.1.6.3 Định lí Cho M M R mơđun Khi khẳng định sau tương đương: (i) Mọi tập hợp khác rỗng môđun M có phần tử cực tiểu (ii) Mọi dãy giảm môđun M: M1  M   M n  dừng Chứng minh (i) => (ii): Gi sử M1  M   M n  dãy Rmôđun môđun M Theo điều iện (i), tập M i \ i  1 có phần tử cực tiểu, chẳng hạn M t hi M k  M t k  t (ii) => (i) Gi sử S tập hác rỗng mơđun M Vì S tập hác rỗng nên ta chọn môđun M i  S Khi M i hơng ph i phần tử cực tiểu S tồn M2 thực chứa M1 Như S hơng có phần tử cực tiểu, tồn dãy gi m vơ hạn M1  M   M n  hông dừng môđun M, mâu thuẫn với (ii) 1.1.6.4 Định nghĩa Môđun M R gọi mơđun Artin thỏa mãn điều iện tương đương sau i) Mọi dãy gi m môđun M dừng ii) Mọi tập hác rỗng mơđun M có phần tử cực tiểu 1.1.7.1 Định lí Cho mơđun phải M R A mơđun M Khi phát biểu sau tương đương: i) M Artin ii) A M / A Artin 10 Chứng minh (i) => (ii) Vì tập hác rỗng môđun A tập môđun M Do M Artin nên có phần tử cực tiểu Vì A mơđun Artin Xét toàn cấu ch nh tắc v : M  M / A Vì dãy gi m M/A nh dãy gi m M qua toàn cấu ch nh tắc v, M Artin nên dãy gi m bị dừng suy M/A Artin (ii) => (i) Gi sử A M/A Artin cho M1  M   M n  dãy gi m M Khi ta nhận dãy gi m M1  A  M  A   M n  A  M1  A / A  M  A / A   M n  A / A  môđun tương ứng A M/A Từ gi thiết A M/A Artin, ta suy tồn số tự nhiên t để M k  A  M k 1  A M k  A  M k 1  A k  t hi ta được: M k   M k  A   M k   M k 1  A   M k  M k 1  M k  A  M k 1  M k 1  A  M k 1 k  t Vậy M Artin 1.1.7.2 Định lí Cho môđun phải M R A môđun M Khi phát biểu sau tương đương: i) M Noether ii) A M/A Noether 23 Vậy x = hay Im(f )  Ker( f )  n n iv) Do f toàn cấu nên f n toàn cấu suy Im(f n)=M Mà theo iii) ta có Im(f n )  Ker( f n )  nên Ker(f n)=0 suy Ker(f)=0 Suy f đơn cấu Vậy f đẳng cấu 2.1.3 Định lý Cho M mơđun có chiều dài hữu hạn cho  tự đồng cấu môđun M Khi ta có: (1) no  ,n  no :  M  Im  n   Ker  n  (2)  đẳng cấu   toàn cấu   đơn cấu Chứng minh (1) có hi chọn no số lớn số no (i) (iii) Định l (2.1.2) (2) có từ ết qu (ii) (iv) Định l (2.1.2) 2.1.4 Định lý đặc trưng v nh Noether qua ôđun n i Cho R vành, điều kiện sau tương đương: i) R Noether phải ii) Mọi tổng trực tiếp R- môđun phải nội xạ nội xạ iii) Mọi tổng trực tiếp đếm bao nội xạ R- môđun phải đơn nội xạ Chứng minh (i)  (ii): Gi sử Q   Qi , với I tập bất ỳ, Qi nội xạ i  I I Ta cần chứng minh Q nội xạ Dùng tiêu chuẩn aer ta cần chứng minh: i : U   RR ,  :U  Q đồng cấu, ta có đồng cấu  : RR   Q cho  i   , hay biểu đồ sau giao hoán i U Thật vậy, R Noether ph i  U hữu hạn sinh   n  U  u1, u2 , , un hay U   ui R RR Q   Qi I 24 Tồn I  I hữu hạn để  (ui )  Qi , i  I Khi  Qi nội xạ (do I hữu hạn tổng trực tiếp hữu hạn nội xạ nội I0 i U RR xạ) Gọi i0 :  Qi   Qi phép nhúng đồng I0 0 0 I Q0   Qi  I0 i0 Q   Qi I Đặt Q0   Qi : I0 +) Do U  u1, u2 , , un  (ui )  Q0 , i  1, n   (U )  Q0   thực chất đồng cấu từ U đến Q0 Do ta lấy 0    i0 0   với 0 :U   Q0 +) Do Q0 nội xạ   : RR  Q0 để  0i  0 +) Lấy   i0  cần tìm  i  i0 0i  i0 0   Vậy:  i   (ii)  (iii) : (iii) trường hợp đặc biệt (ii) (iii)  (i): Ta chứng minh ph n chứng Thật vậy: Gi sử RR hơng Noether, hi có dãy tăng thực iđêan ph i R hông dừng A  A  A3  , Ai  Aj với i  j Khi A :  i 1 Ai , A iđêan ph i R (do ideal lồng nhau) a  A , na  để a  Ai , i  na ây với i  1,2,3, , lấy ci  A \ Ai Trong môđun xyclic Ei   ci R  Ai  / Ai , theo mệnh đề 1.4 suy 25 tồn môđun tối đại N i Khi mơđun thương Ei / Ni R môđun ph i đơn K hiệu pi : Ei  Ei / Ni  Ei phép chiếu tự nhiên Gọi I  Ei  bao nội xạ môđun Ei chứa Ei   i : I Ei  Ei phép nhúng ch nh tắc Khi biểu đồ sau giao hốn: Ei Ei i pi ei I  Ei  i A / Ai ei phép nhúng ch nh tắc, cịn  i đồng cấ có t nh nội xạ   I Ei Từ suy     Ta có i ci  i p ci  0, i  1,2,3, i ci  ci  Ai ây xét ánh xạ     : A   I Ei i 1 a   a  A   i i Như vậy, i  a  Ai  thành phần thứ i   a  Do từ a  Ai , i  n nên thành phần   a  thực nằm tổng trực tiếp nêu Theo gi thiết tổng trực tiếp      I Ei i 1 nội xạ, nên tồn đồng cấu   A  : RR   I Ei cho biểu đồ sau giao hoán i 1   RR    phép nhúng ch nh tắc  I ( Ei ) i 1  Gi sử bi thành phần thứ i  (1)  I ( Ei ) , hi tồn n i 1 cho bi  0, i  n Ta có  (a)   (a)   (1)a, a  A 26  i (a  Ai )  bi a i  a  Ai   với i  n a  A Nhưng theo lập l ân phần đầu chứng minh  n (cn  An )  Điều mâu thuẫn! Vậy RR Noether 2.2 V nh tự đồng cấu địa phư ng 2.2.1 V nh địa phư ng 2.2.1.1 Định lý (đặc trưng v nh địa phư ng) Cho A tập hợp gồm tất phần tử không khả nghịch R Khi phát biểu sau tương đương: (i) A khép kín với phép cộng a1 , a2  A  a1  a2  A (ii) A ideal trái ideal phải (iii) A ideal phải thật lớn (Tương tự A ideal trái thật lớn nhất) (iv) Trong R, tồn ideal phải thật lớn (Tương tự R, tồn ideal trái thật lớn nhất) (v) Với phần tử r  R r – r khả nghịch phải (Tương tự với phần tử r  R r – r khả nghịch trái) (vi) Với phần tử r  R r – r khả nghịch Chứng minh: (i)  (ii): Gi sử A đóng n phép cộng Ta chứng minh: A iđêan R Thật vậy: Bước 1: Mọi phần tử h nghịch ph i (trái) h nghịch Cho b.b'   b h nghịch ph i ' ' Nếu b'b  A b' b h nghịch, nghĩa là: s  R cho sbb   bbs ' ' ' '  sb' (vì bb'  ) đó:  sbb  bb Khi đó: b'  1.b'  sbbb Suy ra: b h nghịch trái Vậy: b h nghịch 27 Nếu b b  A 1 A nên  bb  A (do A đóng ' ' n phép cộng) ' Vì vậy: s  R: s 1  bb   1  bb'  s  ' ' ' Khi đó: b'  1.b'  s 1  bb  sb'  sb' (vì bb'  )   b'  sb'  sbbb Do đó:  bb'  b.0  (mâu thuẫn  ) Điều vô l chứng tỏ b'b  A Bước 2: Ta chứng minh A iđêan Ta cần chứng minh A   thỏa mãn điều iện a  A, r  R : , ar  A Vì hơng h nghịch nên  A , nghĩa A   Cho a  A , r  R Gi sử ar  A , tức tồn s  R cho ars   sar Khi đó: a h nghịch ph i, theo bước a h nghịch, a  A (mâu thuẫn với a  A ) Suy ra: ar  A Tương tự: ta chứng minh  A Vậy: A iđêan (ii)  (iii): Vì A iđêan nên A iđêan ph i R Vì 1 A nên A Ø R , cho B iđêan ph i thực R Ta chứng minh: B  A Lấy b  B Ta có: bR  B Ø R Do đó: bR  R Điều suy b hơng h nghịch Vì thế: b  A nghĩa B  A (iii)  (iv): hiển nhiên (iv)  (v): Gọi C iđêan ph i thực lớn R Cho r  R Ta chứng minh r  r h nghịch ph i 28 Thật vậy, C  R nên 1C Do r  1  r   C iđêan ph i nên r  C  r  C Suy ra: rR Ø C 1  r  R Ø C * Vì rR , 1  r  R hai iđêan ph i R nên theo  * gi thiết C, ta có: rR  R 1  r  R  R Do đó: r  r kh nghịch ph i (v)  (vi): Ta cần chứng minh: phần tử h nghịch ph i h nghịch Cho bb'  Ta chứng minh: b h nghịch Trường hợp 1: b' b h nghịch ph i tức tồn s  R cho b'bs  Khi đó:  b'bs  b'b Vì thế: b h nghịch Trường hợp 2: b' b hông h nghịch ph i theo gi thiết ta có:  b' b h nghịch ph i Tồn s  R cho 1  b' b  s  Khi đó: b  b.1  b 1  b'b  s  bs  bb'bs  bs  bs  Do đó:  bb'  0.b'  (vô l ) Điều vô l cho biết trường hợp hông thể x y (vi)  (i): Cho a1 , a2  A Ta chứng minh a1  a2  A Gi sử a1  a2 h nghịch Khi tồn s  R cho  a  a    s  a  a  Do đó: a s   a s 2 Ta chứng minh: s  A  i  ,  29 Thật vậy, gi sử s  A Tồn r  R cho sr  Ta suy ra: h nghịch ph i Tương tự phép chứng minh  iii    iv  , ta có phần tử h nghịch ph i h nghịch Do đó,  i  1,2  h nghịch nghĩa  A (mâu thuẫn với  A ) Vì thế: s  A , i  1,2 * Mặt hác a1s   a2s gi thiết   nên ta suy rằng: a1s a2 s ph i h nghịch, nghĩa a1s  A a2 s  A mâu thuẫn với  * 2.2.1.2 Định nghĩa Vành R gọi vành địa phương thỏa mãn điều iện tương đương Định l 2.2.1.1 2.2.1.3 Ví dụ v nh địa phư ng hóa Cho R vành giao hốn P  R idean nguyên tố R Cho   (r, a) r  / R  a  R \ P với quan hệ tương đương sau: (r1 , a1 ) ~ (r2 , a2 ) : a  R \ P[r1a2 a  r2 a1a] Lớp tương đương với đại diện (r,a) hiệu r\a Gọi RP tập hợp lớp tương đương, nghĩa RP   | r  R  a  R \ P r a  Xác định phép toán sau: rr r1 r2 r a r r  : 2 ; : a1 a a1 a a1 a a1 a Khi đó, RP trở thành vành với phần tử hông (0,1), phần tử đơn vị (1,1), đó, phần tử hông đơn vị R Xét ánh xạ 30  : R  RP r r Khi đó,  đồng cấu vành Im(  ) xác định với R Trong RP phần tử r/a với r  P hông h nghịch Tuy nhiên, tập hợp phần tử đóng Thật n phép cộng RP địa phương vậy, từ r1 r2 r a  : 2 a1 a a1 a = r3 ,trong a3 a3  a1a2  R \ P , với r1 , r2  P  R, a1 , a2  R \ P Suy r3  r1a2  r2 a  R r1 r2   RP hay RP cộng a1 a t nh theo định l đặc trưng ta có RP địa phương 2.2.2 Bổ đề (Định lí phân tích vành tổng quát ) Cho R vành thỏa mãn R R   Ai iI tổng trực tiếp iđêan trái Ai , i  I vành R ta có: i) Tập I0 = i, i  I  Ai  0 hữu hạn, R  i Ai I  ii) Tồn ei  Ai với i  IO , Ai  Rei , ei  ei  R , ( ei luỹ đẳng) iii) Họ ei  họ luỹ đẳng nguyên thuỷ n (a)   e i iI (b) eie j  i  j (i, j  I o ) Ngược lại, vành R có họ lũy đẳng e1, , en  R tho mãn ee   ei R R   Re i ei R iđêan ph a i j  0, i  j 1, , n i 1 n n i 1 thực R, trường hợp ei chứa tâm R Chứng minh Từ (i) Có  R (1- đơn vị) Suy  e1  e2   en , ei  Ai (*) 31 r  R, r  re1  re2   ren  Re1  Re2   Ren  R  Re1  Re2   Ren Chiều ngược lại hiển nhiên  R=Re1  Re2   Ren Do ei  Ai  R ei  Ai Từ (*) có ei  ee i  ee i   ee i n, Do R ei  Ai , ee i  A1, ee i  A2 , , ee i n  An R   Ai Là tổng trực tiếp nên ee i  ee i   ee i n  o  ee i i  ei iI Suy ei luỹ đẳng Từ(*) ai  Ai ,  ae i  ae i   ae i n , ae i  A1 , ae i  A2 , ae i n  An Do  Ai Là tổng trực tiếp nên ae i  ae i   ae i n   ae i i  iI  Ai  Rei Vậy Rei  Ai   1, , n Do I  Io  n n R R   Rei , i 1 ( IO  i | i  I  Ai  0 ) Suy có i) ii) iii) hiển nhiên n n i 1 i 1 Chiều ngược lại, ta có R   Rei   ei n n Cho r  ei R   ei R hi r ei r r   ei ri i 1,i i i 1 n n i 1, i i i 1 Do r  ei r   ei ei r = 0, ta có : R R   Rei Nếu trường hợp ei hông chứa tâm R từ Rrei  Rei r  Rei , Rei iđêan ph a ổ đề chứng minh 2.2.3 Định lý Các điều kiện sau tương đương vành R (1) RR khơng phân tích trực tiếp (2) RR khơng phân tích trực tiếp (3) Chỉ có luỹ đẳng R 32 Chứng minh (1)=>(3) Cho e luỹ đẳng e  e luỹ đẳng trực giao với  e   e từ ổ đề 2.2.2 ( định l phân t ch vành tổng quát) Ta có R  eR  (1 e) R Từ (1) ta hiểu eR=0, e = eR=R Trong trường hợp cuối ta có (1 e) R  (1 e)eR   (1 e)1  1 e  (3)=>(1) Gi sử RR  A  B Từ ổ đề 2.2.2 ta có e luỹ đẳng với A  eR Từ (3) suy e  1 e  A=R A=0, nghĩa RR hông phân t ch trực tiếp Tương tự, ta dễ dàng thấy (2)  (3) 2.2.4 Định lý (v nh tự đồng cấu hơng phân tích được) Cho S= End(MR) Khi mệnh đề sau tương đương: (i) MR khơng phân tích trực tiếp (ii) SS khơng phân tích trực tiếp (iii) SS khơng phân tích trực tiếp (iv) Chỉ có luỹ đẳng S Chứng minh Theo Định l 2.2.3 ta có (ii), (iii), (iv) tương đương Bây ta chứng minh i   iv  (i) =>(iv) : Cho e  S luỹ đẳng, ta có : M  e(M )  (1  e)(M ) Khi đó, cho m  M  m  e( m )  (1  e )( m ) Gi sử e(m1 )  (1  e)(m2 ) , nhân e vào vế ta : e2 (m1 )  e(m1)  e(1  e)(m2 )  Theo (1) ta có e(M )  e  (1  e)(M )   e (iv) => (i) Gi sử M R  A  B   : M  a  b a  M tự đồng cấu với    luỹ đẳng S Khơng t nh tổng qt ta gi sử  =0,  =1 Nếu  =0 A=0,  =1 ghĩa M tổng trực tiếp hông phân t ch  33 2.2.5 Hệ Cho S:= End(MR) địa phương, MR khơng phân tích trực tiếp Chứng minh Dùng Định l 2.2.4 điều iện đủ để ết luận luỹ đẳng S Cho e  S luỹ đẳng  e luỹ đẳng Gi sử e  0, e  ta có  e  0,1  e  Khi e,1  e hông h nghịch, trường hợp vành địa phương  e   e hông h nghịch 2.2.6 Định lý Cho  M R mơđun khơng phân tích có chiều dài hữu hạn Khi đó, End M R  địa phương phần tử không khả nghịch End M R  phần tử lũy linh Chứng minh Cho   End M R  Theo Định l 2.1.3 ta có: n   : M  Im(  n  Ker  n      Do M không phân t ch suy Ker  n = Im  n =     =   đơn cấu Vì suy  đẳng TH1 Ker  n =  Ker  cấu ( theo Định l 2.1.3)  kh nghịch   TH2 Im  n =   n   1-  kh nghịch (theo Định nghĩa 1.4.4) Như vậy, theo TH1, TH2    kh nghịch, theo Định l 2.2.1.2 ta có End M R  địa phương Nếu  không kh nghịch (trong TH2)  lũy linh Ngược lại,  lũy linh theo Định nghĩa 1.4.4  không kh nghịch 2.2.7 Định lý Cho QR nội xạ, QR  Khi đó, phát biểu sau tương đương: (i) Q khơng phân tích (ii) Q bao nội xạ môđun khác (iii) Mọi môđun khác Q bất khả quy (iv) Q bao nội xạ môđun bất khả quy 34 Q, U  gọi E(U) Chứng minh.(i)  (ii) Cho U Q bao nội xạ U Vì U  nên E(U)  Vì E(U) mơđun nội xạ hạng tử trực tiếp Q suy E(U)=Q (ii)  (iii) M Q A, B M, A  , B  Vì Q bao nội xạ A, A cực đại Q suy A  B  (iii)  (iv) hiển nhiên Q mơđun Q Q nội xạ suy bao nội xạ Q ch nh (iv)  (i) Cho Q bao nội xạ môđun bất h quy M  Q Gi sử Q  A  B , A  , B  Vì M cực đại Q suy M  A  ,M  B  Vì M bất h quy suy M  A  M  B   A  B  Vì vậy, Q hông phân t ch 2.2.8.Định lý Cho QR  mơ đun nội xạ khơng phân tích End(Q) địa phương Chứng minh Cho  : Q  Q đơn cấu, hi Im(  ) nội xạ, Do Im(  ) hạng tử trực tiếp Q Do Q hơng phân t ch được, từ suy Im(  ) = Q, nghĩa  toàn cấu  tự đẳng cấu, h nghịch End(Q) Vậy, tự đồng cấu hơng h nghịch Q có Ker(  )  Gi sử 1 , hai tự đồng cấu hông h nghịch Q, ta có Ker 1   , Ker    Do Q bất h quy nên theo Định l 2.2.7 Suy  Ker 1   Ker   Ker 1    , nghĩa là, 1    hông h nghịch Theo Định l 2.2.1.2 suy End(Q) địa phương 35 KẾT LUẬN Luận văn trình bày số t nh chất vành tự đồng cấu, vành địa phương Đặc biệt tìm hiểu số ết qu t nh chất vành tự đồng cấu số lớp mơđun C thể chúng tơi hồn thành vấn đề sau: Hệ thống lại hái niệm b n: Môđun Noether, môđun Artin, môđun nội xạ, bao nội xạ số phần tử đặc biệt vành 36 Trình bày định nghĩa vành tự đồng cấu môđun bất ỳ Chứng minh chi tiết số ết qu tự đồng cấu mơđun Noether, mơđun Artin Trình bày định nghĩa vành địa phương, số ết qu t nh chất vành tự đồng cấu địa phương Trong phần chứng minh chi tiết số t nh chất số nhận xét mà tài liệu hông chứng minh chứng minh vắn tắt TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT [1] Nguyễn Tiến Quang - Nguyễn Duy Thuận (2001), Cơ sở lý thuyết Vành Môđun, Nhà xuất b n Giáo d c [2] Dương Quốc Việt (2008), Lý thuyết môđun , NXB Đại học sư phạm TIẾNG ANH [3] Dung N V., Huynh D V., Smith P F and Wisbauter R (1994), Extending Modules, Pitman, London 37 [4] Kamal M A.(1995), On the decomposition and direct sums of modules,Osaka J Math 32 [5] Kamal M A and Elmnophy O A (2005), On P-extending modules, Acta Math Univ Comenianae, Vol LXXIV, 2, pp.279-286 [6] F Kasch (Tranlationand editing by D A R Wallace) (1982), Modules and Ringe, University of Stirling, Stirling, Scotland [7] Mohamed S H and Muller B J (1990), Continuous and Discrete Modules, London Math, Soc Lecture Notes Series 147, Cambridge Univ Press ... 1.1 Môđun Noether, môđun Artin 1.2 Môđun nội xạ, bao nội xạ 1.3 Một số phần tử đặc biệt vành Chương Vành tự đồng cấu số lớp môđun 2.1 Vành tự đồng cấu môđun Noether, môđun Artin 2.2 Vành tự đồng. .. phân t ch được, vành tự đồng cấu địa phương,… M c đ ch luận văn hệ thống lại số t nh chất vành tự đồng cấu, vành địa phương Đặc biệt tìm hiểu số ết qu t nh chất vành tự đồng cấu số lớp mơđun Ngồi... phần tử h nghịch…………………………18 Chương 2: Vành tự đồng cấu số lớp môđun? ??…………………… 20 2.1 Vành tự đồng cấu môđun Noether, môđun Artin………………… 20 2.2 Vành tự đồng cấu địa phương………………………………………… 26 Kết