Về vành và môđun tựa cấu xạ

1 MỤC LỤC Mục lục Lời nói đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Linh hóa tử iđêan suy biến 1.2 Vành qui qui khả nghịch 1.3 Vành môđun cấu xạ 1.4 Vành môđun P − nội xạ 1.5 Môđun cốt yếu 1.6 Môđun xạ ảnh 1.7 Môđun đơn môđun nửa đơn 1.8 Các điều kiện Ci môđun 10 1.9 Một số khái niệm tính chất khác 10 Vành môđun tựa cấu xạ 12 2.1 Vành tựa cấu xạ 12 2.2 Mở rộng tầm thường vành tựa cấu xạ 16 2.3 Môđun tựa cấu xạ 20 Kết luận Tài liệu tham khảo 28 30 LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết vành lý thuyết phát triển mạnh mẽ giai đoạn Trong lý thuyết vành, vấn đề đặc trưng lớp vành toán nhiều nhà toán học quan tâm đạt nhiều kết sâu sắc Có hai hướng để đặc trưng cho lớp vành Hướng thứ đặc trưng vành thơng qua tính chất nội tính chất phần tử iđêan Hướng thứ hai đặc trưng vành thơng qua tính chất mơđun vành Đối với vành R bất kì, theo định lí đồng cấu R/l(a) ∼ = Ra với a thuộc R, l(a) linh hóa tử trái phần tử a Tuy nhiên, tính chất R/Ra ∼ = l(a) Năm 1976, G Erlich đưa lớp vành cấu xạ lớp vành thỏa mãn điều kiện R/Ra ∼ = l(a) Năm 2004, Nicholson Campos đưa điều kiện tương đương vành cấu xạ với tính chất linh hóa tử phần tử ([11]) Việc mở rộng tính cấu xạ lên lớp mơđun lớp vành tựa cấu xạ Nicholson Campos ([10]), Camillo Nicholson ([5]) nghiên cứu Năm 2009, N S Tung, T G Nam N.H.C.Loan mở rộng lớp môđun cấu xạ thành lớp môđun tựa cấu xạ ([15]) thu số kết Tiếp đến, mở rộng tầm thường vành cấu xạ nghiên cứu J Chen Y.Zhou ([6]), Alexander J Diesl Warren WM Mcgovern ([4]) Tiếp theo hướng này, luận văn nghiên cứu tính tựa cấu xạ mở rộng tầm thường R ∝ M R ∝ R, R vành M song môđun R Cuối cùng, giới thiệu lớp môđun tựa cấu xạ, xem xét mối liên hệ môđun tựa cấu xạ M với vành tự đồng cấu End(M ) Nội dung luận văn trình bày chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, giới thiệu số khái niệm liên quan đến nội dung luận văn Cụ thể, chúng tơi tóm tắt khái niệm, ký hiệu tính chất vành môđun Chương 2: Vành môđun tựa cấu xạ Trong chương này, chúng tơi trình bày tính chất đặc trưng vành môđun tựa cấu xạ, mối liên hệ vành tựa cấu xạ với số lớp vành khác như: vành qui, vành P −nội xạ, vành C2 phải, vành cấu xạ Tiếp đến, chúng tơi nghiên cứu mối quan hệ tính tựa cấu xạ trái vành R với phần tử dạng (0, a) (a, 0) mở rộng tầm thường R ∝ R Cuối cùng, giới thiệu lớp mơđun tựa cấu xạ, ví dụ, đặc trưng chứng minh được: mơđun M tựa cấu xạ trái ảnh-xạ ảnh End(M ) vành tựa cấu xạ trái M sinh hạt nhân Luận văn hồn thành trường Đại học Vinh hướng dẫn thầy giáo PGS TS Ngô Sỹ Tùng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn giúp đỡ nhiệt tình, chu đáo, góp ý thiết thực suốt q trình nghiên cứu Chúng tơi bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới Ban chủ nhiệm khoa Toán, Ban chủ nhiệm khoa Sau đại học thầy cô giáo tổ Đại số, khoa Toán quan tâm giảng dạy, tạo điều kiện thuận lợi trình học cao học Nhân dịp này, xin gửi lời cảm ơn tới nhóm Xemina Lý thuyết vành mơđun, anh chị học viên cao học khóa 17 cộng tác, giúp đỡ học tập Cuối cùng, tác giả xin cảm ơn gia đình bạn bè ln bên cạnh động viên, khích lệ tinh thần học tập Do trình độ thời gian có hạn nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong nhận ý kiến đóng góp thầy bạn đọc để luận văn hồn thiện Nghệ An, tháng 11 năm 2011 Tác giả CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tơi giới thiệu định nghĩa, định lí, tính chất có liên quan đến phần nội dung luận văn Các khái niệm, định lí, tính chất ký hiệu chủ yếu dựa theo F.W Anderson K.R Fuller [3], Camillo W.K Nicholson [5], N.V Dung, D.V Huynh, P.F Smith R Wishbauer [7], W.K Nicholson E.Sánchez Campos [10] Trong suốt luận văn này, tất vành kết hợp, có đơn vị mơđun mơđun trái, unita vành R (ký hiệu R M ) (nếu khơng nói thêm) Vành tự đồng cấu môđun M ký hiệu End(M ) 1.1 Linh hóa tử iđêan suy biến 1.1.1 Linh hóa tử Cho vành R ∅ = A ⊆ R Khi đó: (i) l(A) = {r ∈ R|ra = 0, ∀a ∈ A} gọi linh hóa tử trái (left annihilator) A vành R (ii) r(A) = {r ∈ R|ar = 0, ∀a ∈ A} gọi linh hóa tử phải (right annihilator) A vành R (iii) Nếu A = {a} ta viết linh hóa tử trái (tương ứng, phải) l(a) (tương ứng, r(a)) 1.1.2 Mệnh đề Cho vành R ∅ = A, B ⊆ R Khi đó: (i) l(A)∆R R; r(A)∆RR (ii) Nếu A∆R R l(a)∆R; A∆RR r(A)∆R (iii) A ⊆ l(l(A) A ⊆ r(r(A) (iv) Nếu A ⊆ B l(B) ⊆ l(A) r(B) ⊆ r(A) 1.1.3 Iđêan suy biến Cho vành R (a) Ta gọi iđêan suy biến phải R Zr (R) = {x ∈ R| r(x) ⊆e R} hay tương đương Zr (R) = {x ∈ R/∃K ⊆e RR , xK = 0} (b) Ta gọi iđêan suy biến trái R Z l (R) = {x ∈ R| l(x) ⊆e R} hay tương đương Zl (R) = {x ∈ R/∃K ⊆e R R, Kx = 0} 1.2 Vành qui qui khả nghịch 1.2.1 Vành qui Cho vành R (i) Phần tử a ∈ R gọi qui (regular element) tồn b ∈ R cho a = aba (ii) Vành R gọi qui (regular ring) phần tử R phần tử qui 1.2.2 Vành qui khả nghịch Cho vành R (i) Phần tử a ∈ R gọi qui khả nghịch (unit regular element) tồn phần tử khả nghịch b ∈ R cho a = aba (ii) Vành R gọi qui khả nghịch (unit regular ring) phần tử R qui khả nghịch 1.2.3 Định lý Cho vành R Các khẳng định sau tương đương: (i) R vành qui; (ii) Mọi iđêan phải sinh phần tử lũy đẳng; (iii) Mọi iđêan phải hạng tử trực tiếp R; (iv) Mọi iđêan phải hữu hạn sinh hạng tử trực tiếp R 1.3 Vành môđun cấu xạ 1.3.1 Vành cấu xạ Cho vành R a phần tử R (a) Phần tử a gọi cấu xạ trái (phải) (left (right) morphic) R/Ra ∼ = l(a) (tương ứng R/aR ∼ = r(a)) (b) Vành R gọi cấu xạ trái (phải) (left (right) morphic ring) phần tử phần tử cấu xạ trái (tương ứng phải) (c) Vành R gọi cấu xạ (morphic ring) vành cấu xạ trái phải 1.3.2 Môđun cấu xạ (a) Một tự đồng cấu α môđun M gọi tự đồng cấu cấu xạ (morphic endomorphism) M/Im(α) ∼ = Ker(α) (b)R–môđun M gọi môđun cấu xạ (morphic module) tự đồng cấu cấu xạ 1.3.3 Bổ đề Cho α tự đồng cấu môđun M Các điều kiện sau tương đương: (i) α cấu xạ: M/Im(α) ∼ = Ker(α); (ii) Tồn β ∈ End(M ) cho Im(β) = Ker(α) Ker(β) = Im(α); (iii) Tồn β ∈ End(M ) cho Im(β) ∼ = Ker(α) Ker(β) = Im(α) 1.3.4 Định lý Các điều kiện sau tương đương môđun M: (i) M cấu xạ; (ii) Nếu M/K ∼ = N , với K, N mơđun M M/N ∼ = K 1.3.5 Ví dụ Zn , mơđun đơn, mơđun có độ dài môđun cấu xạ 1.4 Vành môđun P −nội xạ 1.4.1 Môđun nội xạ Cho M R−môđun M gọi môđun nội xạ (injective module) với đơn cấu f : A → B R−đồng cấu α : A → M , tồn R đồng cấu g : B → M cho α = g ◦ f (g thường gọi mở rộng α) 1.4.2 Môđun P −nội xạ Cho vành R M R−môđun phải Môđun M gọi nội xạ phải (principally injective module) (hay P −nội xạ phải) R−đồng cấu ϕ : aR → M với a ∈ R mở rộng thành đồng cấu ψ : R → M Điều tương đương với: R−đồng cấu ϕ : aR → M phép nhân với phần tử m M (ϕ = m., m ∈ M ) 1.4.3 Nhận xét Mọi môđun nội xạ P −nội xạ 1.4.4 Vành P −nội xạ Vành R gọi nội xạ phải (right principally injective ring( hay P −nội xạ phải ) RR môđun P −nội xạ, nghĩa iđêan phải aR mở rộng 1.4.5 Định lý (Đặc trưng vành P −nội xạ) Cho vành R Các điều kiện sau tương đương: (i) R vành P −nội xạ phải; (ii) lr(a) = Ra, với a ∈ R; (iii) Nếu r(a) ⊆ r(b) với a, b ∈ R Rb ⊆ Ra; (iv) l(bR ∩ r(a)) = l(b) + Ra, với a, b ∈ R; (v) Nếu ϕ : aR → R a ∈ R R−đồng cấu ϕ(a) ∈ Ra Chứng minh (i) ⇒ (ii) : Giả sử R vành P −nội xạ Với y ∈ r(a), ta có ay = Với x ∈ Ra biểu diễn x = ra, r ∈ R Khi xy = ray = 0, suy x ∈ lr(a), tức Ra ⊆ lr(a) Ngược lại, giả sử b ∈ lr(a) Với x ∈ r(a) bx = 0, suy x ∈ r(b) Khi đó, ánh xạ ϕ : aR → R xác định ϕ(ar) = br đồng cấu Do R vành P −nội xạ nên tồn c ∈ R để ϕ = c Từ có b = ϕ(a) = c.a ∈ Ra, tức lr(a) ⊆ Ra Vậy, lr(a) = Ra (ii) ⇒ (iii) : Giả sử lr(a) = Ra Khi đó, r(a) ⊆ r(b) br(a) = 0, suy b ∈ lr(a) = Ra Vậy, Rb ⊆ Ra (iii) ⇒ (iv) : Giả sử có (iii) Với r ∈ r(ab) abr = 0, suy br ∈ r(a), br ∈ bR∩r(a) Với x ∈ l(bR∩r(a)) xbr = 0, suy r ∈ r(xb) Từ suy r(ab) ⊆ r(xb) Từ (iii) suy Rxb ⊆ Rab Từ có xb = tab, t ∈ R Suy (x − ta)b = 0, kéo theo y := x − ta ∈ l(b) Vậy ta có x == ta + y ∈ Ra + l(b), hay l(br ∩ r(a)) ⊆ Ra + l(b) Ngược lại, với x ∈ Ra + l(b) x = x1 + x2 a, x1 ∈ l(b), x2 ∈ R Với c ∈ bR ∩ r(a) c = bc1 ac = Ta có xc = (x1 + x2 a)c = x1 bc1 + x2 ac = 0, x ∈ l(bR ∩ r(a)), hay Ra + l(b) ⊆ l(bR ∩ r(a)) Vậy Ra + l(b) = l(bR ∩ r(a)) (iv) ⇒ (v) : Giả sử có (iv) ϕ : aR → R ánh xạ R− tuyến tính Đặt ϕ(a) = d Với x ∈ r(a) ax = ϕ(ax) = xϕ(a) = xd = Suy r(a) ⊆ r(d) Điều kéo theo lr(d) ⊆ lr(a), d ∈ lr(a) Mặt khác, với b = 1, từ (iv) ta có Ra = lr(a) nên d ∈ Ra Vậy, ϕ(a) ∈ Ra (v) ⇒ (i) : Giả sử có (v) Khi đó, tồn c ∈ R để ϕ(a) = ca, ∀a ∈ R Vậy, ϕ = c., suy R vành P −nội xạ 1.5 Môđun cốt yếu 1.5.1 Định nghĩa Cho M R−môđun, A môđun M A gọi môđun cốt yếu (essential module) M = X ⊆ M X ∩ A = Kí hiệu: A ⊆e M Nhận xét: Nếu ⊆e M M = 1.5.2 Mệnh đề Cho M R−môđun (i) Cho A ⊆ M Khi đó, A ⊆e M = x ∈ M A ∩ Rx = 0; (ii) Cho A ⊆ B ⊆ C ⊆ M Khi A ⊆e C A ⊆e B B ⊆e C; n n i=1 i=1 (iii) Cho Ai ⊆e Bi ⊆ M, i = 1, n Khi ∩ Ai ⊆e ∩ Bi ; (iv) Cho f : M → N đồng cấu R−môđun B ⊆e N Khi f −1 (B) ⊆e M; (v) Cho K/A ⊆e M/A Khi K ⊆e M ; (vi) Cho Ai ⊆ Mi ⊆ M, i ∈ I Khi đó, tồn ⊕ Ai tồn i∈I e ⊕ Mi ⊕ Ai ⊆ ⊕ Mi ; i∈I i∈I i∈I (vii) Cho A ⊆ M Khi đó, tồn B ⊆ M cho tồn A ⊕ B A ⊕ B ⊆e M 1.6 Môđun xạ ảnh 1.6.1 Môđun A−xạ ảnh Cho A, N R−môđun N gọi môđun A−xạ ảnh (A−projective module) với môđun thương A/X đồng cấu f : N → A/X, tồn đồng cấu h : N → A cho f = ϕ ◦ h, ϕ tồn cấu thỏa mãn ϕ(a) = a + X, ∀a ∈ R 1.6.2 Định nghĩa Đơn cấu f : N → A gọi chẻ Im(f ) ⊆⊕ A Toàn cấu ϕ : B → M gọi chẻ Ker(ϕ) ⊆⊕ B 1.6.3 Mệnh đề Đơn cấu f : N → A chẻ tồn đồng cấu g : A → N cho g ◦ f = 1N Toàn cấu ϕ : B → M chẻ tồn đồng cấu α : B → M cho ϕ ◦ α = 1M 1.6.4 Bổ đề Cho N môđun A−xạ ảnh Khi đó, tồn cấu f : A → N chẻ 1.6.5 Môđun xạ ảnh Cho P, M R−môđun (i) P gọi môđun xạ ảnh (projective module) P A−xạ ảnh với môđun A vành R; (ii) M gọi môđun tựa xạ ảnh (quasi-projective module) M M −xạ ảnh 1.6.6 Định lý Mọi môđun tự xạ ảnh 1.6.7 Định lý R−môđun M môđun xạ ảnh M hạng tử trực tiếp mơđun tự 1.6.8 Mệnh đề Cho A = ⊕ Ai , với Ai R−mơđun tập I tùy ý Khi i∈I đó, A môđun xạ ảnh Ai xạ ảnh với i ∈ I 1.6.9 Vành P P −phải Một vành gọi vành PP– phải iđêan phải xạ ảnh 1.7 Môđun đơn môđun nửa đơn 1.7.1 Môđun đơn Cho M R–môđun khác không M gọi mơđun đơn có hai mơđun 1.7.2 Mơđun nửa đơn (a) Định nghĩa R−môđun M gọi môđun nửa đơn M tổng môđun đơn (b) Định lí Đối với R–mơđun M, mệnh đề sau tương đương: (i) M môđun nửa đơn; (ii) M tổng trực tiếp môđun con; (iii) Mỗi môđun M hạng tử trực tiếp M 10 (c) Hệ (i) Mọi môđun môđun nửa đơn môđun nửa đơn; (ii) Môđun đẳng cấu với môđun nửa đơn môđun nửa đơn; (iii) Tổng môđun nửa đơn môđun nửa đơn 1.8 Các điều kiện Ci mơđun Cho M R−mơđun.Ta nói: (1) M thỏa mãn điều kiện C1 môđun M cốt yếu hạng tử trực tiếp M ; (2) M thỏa mãn điều kiện C2 môđun đẳng cấu với hạng tử trực tiếp M hạng tử trực tiếp M ; (3) M thỏa mãn điều kiện C3 với N, K hạng tử trực tiếp M N ∩ K = N ⊕ K ⊆⊕ M Một vành R gọi vành C1 phải (tương ứng, vành C2 phải, C3 phải) R−môđun phải RR thỏa điều kiện C1 (tương ứng, C2 , C3 ) Khi xem vành R mơđun nó, khái niệm vành C2 phải cịn hiểu sau: vành R gọi vành C2 phải iđêan phải R đẳng cấu với hạng tử trực tiếp R hạng tử trực tiếp R 1.9 Một số khái niệm tính chất khác 1.9.1 Phần tử lũy đẳng Cho vành R phần tử e, f R Phần tử e gọi lũy đẳng (idempotent) R e2 = e Hai phần tử e, f gọi lũy đẳng trực giao (orthogonal idempotents) e2 = e, f = f, ef = f e = 1.9.2 Định lý phân tích vành tổng quát Cho R vành có đơn vị a) Nếu có phân tích bên trái R R = ⊕ Ai , với Ai ∆R R, ∀i ∈ I thì: I (i) |I| hữu hạn I = I0 = {1, 2, , n}; (ii) Mỗi i ∈ I0 , Ai = Rei , (ei ), i ∈ {1, 2, , n} họ lũy đẳng trực giao = e1 + e2 + + en 16 Ngược lại, với x ∈ l(1 − ba) x(1 − ba) = xba = Do vậy, x = xba ∈ Ra, hay l(1 − ba) ⊆ Ra Vậy, l(1 − ba) = Ra Tương tự, ta chứng minh R(1 − ab) ⊆ l(a) Ngược lại, với x ∈ l(a) xa = 0, suy x = x − xab = x(1 − ab) ∈ R(1 − ab) Vậy, l(a) ⊆ R(1 − ab), suy l(a) = R(1 − ab) Từ chứng minh ta suy a tựa cấu xạ trái Chứng minh tương tự, ta a tựa cấu xạ phải Vậy, a phần tử tựa cấu xạ Từ suy R vành tựa cấu xạ (⇐) Giả sử R vành tựa cấu xạ P P −phải Do R vành tựa cấu xạ nên theo Bổ đề 2.1.4, R vành P −nội xạ phải Do R vành P P −phải nên với a ∈ R, aR xạ ảnh Chứng minh tương tự Hệ 2.1.6, tồn lũy đẳng e ∈ R cho r(a) = eR, suy Ra = lr(a) = R(1 − e) Khi đó, tồn s, s ∈ R để a = s(1 − e) − e = s a Lại − e lũy đẳng nên có a(1 − e) = s(1 − e)(1 − e) = s(1 − e) Do vậy, a = s(1 − e) = s(1 − e)(1 − e) = a((1 − e)s )a, suy a qui Vậy, R vành qui 2.2 Mở rộng tầm thường vành tựa cấu xạ Cho R vành, M song môđun R Đặt R ∝ M = {(a, x) : a ∈ R, x ∈ M } Ta gọi S = R ∝ M mở rộng tầm thường R M 2.2.1 Mệnh đề R ∝ M với phép cộng phép nhân xác định (a, x) + (b, y) = (a + b, x + y) (a, x)(b, y) = (ab, ay + xb) lập thành vành có đơn vị (1, 0) Chứng minh Ta dễ dàng chứng minh R ∝ M nhóm aben với phép cộng Với (a, x), (b, y), (c, z) thuộc R ∝ M , ta có • [(a, x)(b, y)](c, z) = (ab, ay + xb)(c, z) = (abc, abz + ayc + xbc) = (a, x)(bc, bz + yc) = (a, x)[(b, y)(c, z)] 17 • (a, x)[(b, y) + (c, z)] = (a, x)(b + c, y + z) = (ab + ac, ay + az + xb + xc) • (a, x)(b, y) + (a, x)(c, z) = (ab, ay + xb) + (ac, az + xc) = (ab + ac, ay + az + xb + xc) Từ suy (a, x)[(b, y) + (c, z)] = (a, x)(b, y) + (a, x)(c, z) • [(a, x) + (b, y)](c, z) = (a + b, x + y)(c, z) = (ac + bc, az + bz + xc + yc) (a, x)(c, z)+(b, y)(c, z) = (ac, az+xc)+(bc, bz+yc) = (ac+bc, az+bz+xc+yc) Suy [(a, x) + (b, y)](c, z) = (a, x)(c, z) + (b, y)(c, z) • (a, x)(1, 0) = (1, 0)(a, x) = (a, x) Vậy, R ∝ M vành với đơn vị (1, 0) Trong [4] [6], tác giả nghiên cứu tính chất song mơđun M vành R mà mở rộng tầm thường R ∝ M vành cấu xạ Tiếp tục theo hướng này, chúng tơi nghiên cứu tính tựa cấu xạ trái lớp phần tử có dạng (a, 0) (0, a) mở rộng tầm thường R ∝ M R ∝ R 2.2.2 Định lý Cho R vành, M song môđun R, S = R ∝ M Khi đó, (0, a) phần tử tựa cấu xạ trái S tồn phần tử b, c ∈ R cho Ra = l(b) l(a) = Rc Chứng minh Giả sử (0, a) tựa cấu xạ trái S Khi đó, tồn (b, x) (c, y) thuộc S để S(0, a) = l(b, x) l(0, a) = S(c, y) Ta chứng minh Ra = l(b) (1) l(a) = Rc (2) • Với t = ∈ Ra, ta có (r, 0)(0, a) = (0, ra) ∈ S(0, a) = l(b, x), suy (0, ra)(b, x) = (0, rab) = (0, 0) Do rab = 0, nên t = ∈ l(b) Vậy, Ra ⊆ l(b) Ngược lại, với t ∈ l(b), từ (0, t)(b, x) = (0, 0) suy (0, t) ∈ l(b, x) = S(0, a) Do vậy, tồn (p, q) ∈ S để (0, t) = (p, q)(0, a) = (0, pa), suy t = pa ∈ Ra Từ có, l(b) ∈ Ra, suy Ra = l(b) (1) • Ta có: (c, y) = (1, 0)(c, y) ∈ S(c, y) = l(0, a) nên c ∈ l(a) Vậy, Rc ⊆ l(a) Ngược lại, với t ∈ l(a) ta = Lại có (t, 0)(0, a) = (0, ta) = (0, 0) nên (t, 0) ∈ l(0, a) = S(c, y) Do vậy, tồn (p, q) ∈ S để (0, t) = (p, q)(c, y), suy t = pc ∈ Rc Từ có, l(a) ∈ Rc, hay Rc = l(a) (2) 18 2.2.3 Hệ Cho R vành Nếu R ∝ R vành tựa cấu xạ trái R vành tựa cấu xạ trái Đặc biệt, vành R giao hốn R vành cấu xạ trái Chứng minh Với a phần tử thuộc R (0, a) ∈ R ∝ R nên (0, a) phần tử tựa cấu xạ trái Từ Định lí 2.2.2 suy a phần tử tựa cấu xạ trái Vậy, R vành tựa cấu xạ trái Đặc biệt, vành R giao hốn theo Hệ 2.1.5, R vành cấu xạ trái 2.2.4 Nhận xét ([6], Proposition 20) Chiều ngược lại Hệ 2.2.3 không Chứng minh Đặt S = Z4 ∝ Z4 Ta có ∈ Z4 phần tử tựa cấu xạ trái, (0, 2) không tựa cấu xạ trái S Thật vậy, giả sử (0, 2) tựa cấu xạ trái S, tồn (a, b) ∈ S để l(0, 2) = S(a, b) Lại có, với (x, y) ∈ l(0, 2) (x, y)(0, 2) = (0, 2x) = (0, 0), suy x ∈ 2Z4 , y ∈ Z4 Do đó, l(0, 2) = 2Z4 ∝ Z4 , suy a = Từ (0, 1) ∈ l(0, 2) = S(a, b) suy tồn (c, d) ∈ S cho (0, 1) = (c, d)(2, b) = (2c, cb + 2d) Do đó, 2c = = cb + 2d, suy = 2(cb + 2d) = Điều vơ lí, (0, 2) không tựa cấu xạ trái S, tựa cấu xạ trái Z4 Ví dụ tồn vành tựa cấu xạ mà mở rộng tầm thường không tựa cấu xạ Bổ sung thêm số điều kiện, ta nhận kết tính tựa cấu xạ trái phần tử mở rộng S = R ∝ M 2.2.5 Mệnh đề Cho R vành, M song môđun R, a ∈ M Đặt S = R ∝ M Giả sử tồn b, c ∈ R x, y ∈ M cho: • l(a) = Rb l(b)x + M b = M • l(c) = Ra l(c)y ∩ M c = 0, l(c) ∩ l(y) = Khi (0, a) ∈ S phần tử tựa cấu xạ trái Chứng minh • Do b ∈ l(a) nên (b, x)(0, a) = (0, 0) Suy ra, S(b, x) ⊆ l(0, a) Ngược lại, với (p, q) ∈ l(0, a) (p, q)(0, a) = (0, pa) = (0, 0) Suy ra, p ∈ l(a) = Rb, tồn r ∈ R để p = rb Từ M = l(b)x + M b, với 19 q − rx ∈ M suy tồn t ∈ l(b), z ∈ M cho q − rx = tx + zb Từ (t + r, z)(b, x) = (tb + rb, tx + rx + zb) = (rb, q) = (p, q) suy (p, q) ∈ S(b, x) Vậy, l(0, a) = S(b, x) (1) • Dễ thấy, S(0, a) ⊆ l(c, y) Ngược lại, với (p, q) thuộc l(c, y) (p, q)(c, y) = (pc, py + qc) = (0, 0) Do đó, pc = py + qc = Suy ra, p ∈ l(c) py = −qc ∈ l(c)y ∩ M c = Từ có py = −qc = p ∈ l(c) ∩ l(y) = q ∈ l(c) = Ra nên tồn r ∈ R để q = Suy ra, (p, q) = (0, ra) = (r, 0)(0, a) ∈ S(0, a) Vậy, S(0, a) = l(c, y) (2) Từ (1) (2) suy (0, a) phần tử tựa cấu xạ trái 2.2.6 Nhận xét Xét vành R = Z2 M = Z2 song mơđun vành R Khi S = R ∝ M mở rộng tầm thường thỏa mãn điều kiện Mệnh đề 2.2.5 Thật vậy: • Với a = 0, chọn b = c = 1, x = y = Khi b, c, x, y thỏa mãn điều kiện Mệnh đề 2.2.5 nên (0, 0) phần tử tựa cấu xạ trái S • Với a = 1, chọn b = c = 0, x = y = Khi b, c, x, y thỏa mãn điều kiện Mệnh đề 2.2.5 nên (0, 1) phần tử tựa cấu xạ trái S Tiếp theo, ta nghiên cứu tính tựa cấu xạ phần tử có dạng (a, 0) R ∝ R 2.2.7 Định lý Cho R vành, S = R ∝ R Khi đó: (i) Nếu a phần tử tựa cấu xạ trái R (a, 0) phần tử tựa cấu xạ trái R ∝ R; (ii) Với (a, 0) ∈ S, tồn b, c, r ∈ R để l(a, 0) = S(b, c) S(a, 0) = l(rb, r2 b) a phần tử tựa cấu xạ trái R (iii)Với a ∈ R, (a, 0) ∈ S phần tử tựa cấu xạ trái (a, a) ∈ S phần tử tựa cấu xạ trái Chứng minh (i) Do a ∈ R phần tử tựa cấu xạ trái nên tồn b, c ∈ R để Ra = l(b) l(a) = Rc Ta chứng minh S(a, 0) = l(c, 0) l(a, 0) = S(c, 0) Thật vậy, Ra = l(b) nên ab = 0, từ có: S(a, 0)(b, 0) = S(ab, 0) = (0, 0), suy S(a, 0) ⊆ l(b, 0) 20 Ngược lại, với (x, y) ∈ l(b, 0) (x, y)(b, 0) = (xb, yb) = (0, 0) Từ suy x ∈ l(b) = Ra, y ∈ l(b) = Ra Vậy, ta biểu diễn (x, y) = (ka, ta), k, t ∈ R Do ta (x, y) = (ka, ta) = (k, t)(0, a) ∈ S(a, 0), hay l(b, 0) ⊆ S(a, 0) Tiếp theo, ta chứng minh cho l(a, 0) = S(c, 0) Từ l(a) = Rc suy ca = 0, có (c, 0)(a, 0) = (0, 0) Do vậy, S(c, 0) ⊆ l(a, 0) Ngược lại, với (x, y) ∈ l(a, 0) (x, y)(a, 0) = (xa, ya) = (0, 0) Từ suy x, y ∈ l(a) = Rc Tương tự chứng minh trên, ta (x, y) ∈ S(c, 0) Suy ra, l(a, 0) = S(c, 0) Vậy, (a, 0) phần tử tựa cấu xạ trái (ii) Từ l(a, 0) = S(b, c) suy (b, c)(a, 0) = (ba, ca) = (0, 0), suy ba = 0, hay Rb ⊆ l(a) Mặt khác, với t ∈ l(a) ta = nên (t, 0)(a, 0) = (0, 0), (t, 0) ∈ l(a, 0) = R(b, c) Điều dẫn đến t ∈ Rb Vậy, Rb = l(a) (1) Tương tự, từ S(a, 0) = l(rb, r2 b) suy arb = 0, kéo theo Ra ⊆ l(rb) Ta có: (rb, r2 b) = (1, r)(rb, 0) Từ (1, r) phần tử khả nghịch S với nghịch đảo (1, −r) nên theo Mệnh đề 2.1.3, (a, 0)(1, r) tựa cấu xạ trái với l((1, −r)(rb, r2 b)) = l(rb, 0) = S(a, 0)(1, r) = S(a, ar) Do vậy, y ∈ l(rb) yrb = 0, suy (y, 0)(rb, 0) = (0, 0) Từ có (y, 0) ∈ l(rb, 0) = S(a, ar) Vậy, y ∈ Ra, suy Ra = l(rb) (2) Từ (1) (2) suy a phần tử tựa cấu xạ trái (iii) Ta có: (1, −1)(a, a) = (a, 0) (1, −1) phần tử khả nghịch S với nghịch đảo (1, 1) Theo Mệnh đề 2.1.3, ta điều phải chứng minh 2.3 Môđun tựa cấu xạ Trong [10], W.K Nicholson, E.Sánchez Campos gọi môđun M cấu xạ (morphic module) M/Im(α) ∼ = Ker(α) với tự đồng cấu α ∈ End(M ), điều tương đương với tồn β ∈ End(M ) cho Im(β) = Ker(α) Im(α) = Ker(β) Trong tiết này, yêu cầu tồn β γ cho Im(β) = Ker(α) Im(α) = Ker(γ) thỏa mãn với α ∈ End(M ) gọi môđun tựa 21 cấu xạ Sử dụng điều này, nghiên cứu đặc trưng môđun tựa cấu xạ chứng minh được: môđun M tựa cấu xạ ảnh-xạ ảnh vành End(M ) tựa cấu xạ trái M sinh hạt nhân 2.3.1 Định nghĩa (a) Một tự đồng cấu α môđun trái M gọi tựa cấu xạ (quasi–morphic endomorphism) tồn β, γ ∈ End(M ) cho: Im(α) = Ker(β) Im(γ) = Ker(α) (b) Một môđun M gọi tựa cấu xạ (quasi–morphic module) tự đồng cấu M tựa cấu xạ 2.3.2 Mệnh đề Cho α ∈ End(M ) tự đồng cấu tựa cấu xạ Nếu σ : M −→ M tự đẳng cấu σα ασ tựa cấu xạ Chứng minh Do α tựa cấu xạ nên tồn β, γ ∈ End(M ) cho: Im(α) = Ker(β) Im(γ) = Ker(α) Ta chứng minh cho ασ tựa cấu xạ Do σ tự đẳng cấu nên ασ(M ) = α(M ) = Ker(β) Dễ dàng chứng minh Ker(β) = Ker(σ −1 β) Suy ra, Im(ασ) = Ker(σ −1 β) (1) Lại có, m ∈ Ker(ασ) ασ(m) = 0, hay σ(m) ∈ Ker(α) = γ(M ) Suy m ∈ σ −1 γ(M ) Từ dẫn đến Ker(ασ) ⊆ σ −1 γ(M ) Với n ∈ σ −1 γ(M ) σ(n) ∈ γ(M ) = Ker(α), hay ασ(n) = Suy n ∈ Ker(ασ) Từ dẫn đến σ −1 γ(M ) ⊆ Ker(ασ) Suy Ker(ασ) = Im(σ −1 γ) (2) Từ (1) (2) ta suy ασ tựa cấu xạ Tương tự, ta chứng minh σα tựa cấu xạ 2.3.3 Nhận xét Cho R vành Khi đó, R–mơđun trái R tựa cấu xạ R vành tựa cấu xạ trái Chứng minh Với phần tử a ∈ R, ta kí hiệu ϕa tự đồng cấu xác định sau: ϕa : R −→ R thỏa mãn ϕa (x) = xa Ta chứng minh Im(ϕa ) = Ra Ker(ϕa ) = l(a) Xét ánh xạ ϕ : R −→ End(R) xác định bởi: ϕ(a) = ϕa Dễ dàng chứng minh ϕ đẳng cấu Vậy, phần tử R tương ứng với tự đồng cấu End(R) 22 (=⇒) Giả sử R R–môđun tựa cấu xạ vành R Khi đó, với a ∈ R, xét tự đồng cấu ϕa xác định Do R R tựa cấu xạ nên tồn tự đồng cấu β, γ ∈ End(R) để Im(ϕa ) = Ker(β) Im(γ) = Ker(ϕa ) (*) Do R ∼ = End(R) nên tồn phần tử b, c ∈ R cho β = ϕb , γ = ϕc Với ϕb , ϕc xác định tương tự ϕa trên, ta tìm được: Ker(ϕb ) = l(b) Im(ϕc ) = Rc Thay vào (*) ta có Ra = l(b) Rc = l(a) Vậy, R vành tựa cấu xạ trái (⇐=) Giả sử R vành tựa cấu xạ trái Xét tự đồng cấu α thuộc End(R) Do End(R) ∼ = R nên tồn phần tử a ∈ R để ϕ(a) = ϕa Do R vành tựa cấu xạ trái nên tồn b, c ∈ R để Ra = l(b) Rc = l(a) (**) Lại End(R) ∼ = R nên tồn tự đồng cấu β, γ ∈ (M ) để β = ϕb , γ = ϕc Ta tìm Ker(ϕb ) = l(b) Im(ϕc ) = Rc Thay vào (**) ta có Im(α) = Ker(β) Im(γ) = Ker(α), α tựa cấu xạ Vậy, R R–môđun trái tựa cấu xạ Từ định nghĩa, ta thấy môđun cấu xạ tựa cấu xạ Tuy nhiên, điều ngược lại không Để chứng minh điều này, cần sử dụng đặc trưng môđun tựa cấu xạ dàn mơđun thể định lí sau: 2.3.4 Định lý Cho M môđun trái Các điều kiện sau tương đương: (i) M tựa cấu xạ; (ii) Nếu M/K ∼ = N , với K, N mơđun M tồn β, γ thuộc End(M ) cho Im(β) = K, Ker(γ) = N Chứng minh (i) =⇒ (ii) Giả sử M môđun tựa cấu xạ M/K ∼ = N , với K, N môđun M Khi đó, tồn đẳng cấu σ : M/K −→ N Gọi πK : M −→ M/K tồn cấu tắc i : N −→ M phép nhúng tự nhiên Xét ϕ = iπσ Dễ thấy, ϕ ∈ End(M ) nên ϕ tựa cấu xạ Do đó, tồn β, γ ∈ End(M ) cho Ker(ϕ) = Im(β) Ker(γ) = Im(ϕ) Ta có: Im(ϕ) = iσπ(M ) = iσ(M/K) = i(N ) = N, 23 Ker(ϕ) = {x ∈ M |iσπ(x) = 0} = {x ∈ M |σπ(x) = 0} = {x ∈ M |π(x) = 0}, suy Ker(π) = K Vậy, Im(β) = K, Ker(γ) = N (ii) =⇒ (i) Gọi α tự đồng cấu M Ta có, M/Ker(α) ∼ = Im(α) áp dụng (ii), suy tồn β, γ ∈ End(M ) để Im(β) = Ker(α), Ker(γ) = Im(α) Do đó, α tựa cấu xạ Vậy, M tựa cấu xạ 2.3.5 Ví dụ Sử dụng định lí này, ta M = Z2 ⊕ Z4 môđun tựa cấu xạ Z–môđun Chứng minh áp dụng định lí nhóm Abel hữu hạn sinh, ta có mơđun M là: 0, M, Z2 ⊕ 0, ⊕ 2Z4 , ⊕ Z4 , Z2 ⊕ 2Z4 Kiểm tra điều kiện định lí, ta có: • Đồng cấu đồng cấu đồng thỏa mãn thỏa mãn điều kiện (2) định lí M/0 ∼ = M, M/M ∼ = • M/Z2 ⊕ ∼ = ⊕ Z4 Xét α : M −→ M xác định α(x, y) = (x, 0) Ta có: Im(α) = Z2 ⊕ 0, Ker(α) = ⊕ Z4 Do đó, điều kiện (2) Định lí 2.3.4 thỏa mãn • M/0 ⊕ 2Z4 ∼ = Z2 ⊕ 2Z4 Xét α : M −→ M xác định α(x, y) = (0, 2y) Ta có: Im(α) = ⊕ 2Z4 , Ker(α) = Z2 ⊕ 2Z4 Do đó, điều kiện (2) Định lí 2.3.4 thỏa mãn • M/0 ⊕ Z4 ∼ = Z2 ⊕ Xét α : M −→ M xác định α(x, y) = (0, y) Ta có: Im(α) = ⊕ Z4 , Ker(α) = Z2 ⊕ Vậy, điều kiện (2) Định lí 2.3.4 thỏa mãn • M/Z2 ⊕ 2Z4 ∼ = ⊕ 2Z4 Xét α : M −→ M xác định α(x, y) = (x, 2y) Ta có: Im(α) = Z2 ⊕ 2Z4 , Ker(α) = Z2 ⊕ Vậy, điều kiện (2) Định lí 2.3.4 thỏa mãn Từ suy M môđun tựa cấu xạ Tuy nhiên, [10], W.K Nicholson, E.Sánchez Campos M = Z2 ⊕ Z4 không môđun cấu xạ Như vậy, môđun tựa cấu xạ mở rộng thực khái niệm môđun cấu xạ 2.3.6 Hệ Mọi môđun trái, nửa đơn tựa cấu xạ 24 Chứng minh Giả sử M môđun trái, nửa đơn Khi đó, với mơđun N M N hạng tử trực tiếp M Do đó, tồn K mơđun M cho M = N ⊕ K, suy tồn α, β ∈ End(M ) cho: K = Im(α) N = Ker(β) Kết hợp điều Định lí 2.3.4, ta suy mơđun M tựa cấu xạ Cho M R−môđun trái Tập hợp tất tự đồng cấu M kí hiệu End(M ) Ta trang bị hai phép toán: (f + g)(x) = f (x) + g(x) (f.g)(x) = g(f (x)) với x ∈ M f, g ∈ End(M ) Khi đó, End(M ) có cấu trúc vành Theo [10], môđun M gọi ảnh-xạ ảnh với α, γ thuộc E = End(M ) mà Im(γ) ⊆ Im(α) γ ∈ E.α, nghĩa tồn δ ∈ E để γ = δ.α Nếu ta thay Im(α) môđun tuỳ ý (tương đương với thương M ) mơđun M gọi tựa xạ ảnh Do đó, mơđun tựa xạ ảnh ảnh-xạ ảnh Mơđun M gọi sinh môđun K K= {Im(λ)|λ ∈ End(M ), λ(M ) ⊆ K} Một R−môđun M gọi sinh hạt nhân M sinh Ker(β) với β ∈ E 2.3.7 Ví dụ Cho R vành F R−mơđun trái tự Khi đó, F sinh tất mơđun Đặc biệt, F sinh hạt nhân Chứng minh Giả sử K ⊆ F Do F môđun tự nên F ∼ = R(I) , với tập hợp I Với x ∈ K, tồn đồng cấu fx : F → F xác định bởi: fx (ri )i∈I ) = {Im(λ)|λ ∈ End(F ), Im(λ) ⊆ K} Do đó, M sinh K Tiếp theo, chúng tơi nghiên cứu mối quan hệ tính tựa cấu xạ môđun vành tự đồng cấu 2.3.8 Bổ đề Cho M R−mơđun Đặt E = End(M ) Ta có khẳng định sau: 25 (i) Nếu E vành tựa cấu xạ trái M mơđun ảnh-xạ ảnh; (ii) Nếu M mơđun tựa cấu xạ ảnh-xạ ảnh E vành tựa cấu xạ trái; (iii) Nếu M môđun tựa cấu xạ M sinh hạt nhân nó; (iv) Nếu E vành tựa cấu xạ trái M sinh hạt nhân M tựa cấu xạ Chứng minh (i) Do E vành tựa cấu xạ trái nên vành P −nội xạ phải Với α, γ ∈ E = End(M ) cho Im(γ) ⊆ Im(α), ta cần chứng minh rE (α) ⊆ rE (γ) Thật vậy, với λ ∈ rE (α) α.λ = 0, suy ra, với x ∈ M : α.λ(x) = λ(α(x)) = Do đó, α(x) ∈ Ker(λ), hay Im(α) ⊆ Ker(λ) Từ dẫn đến Im(γ) ⊆ Ker(λ) Từ có λ(γ(x)) = 0, ∀x ∈ M Vậy, γ.λ = 0, hay λ ∈ rE (γ) Suy rE (α) ⊆ rE (γ) Do E vành P −nội xạ nên suy E.γ ⊆ E.α, hay γ ∈ E.α Vậy, M môđun ảnh-xạ ảnh (ii) Giả sử M môđun tựa cấu xạ ảnh-xạ ảnh Ta chứng minh E vành tựa cấu xạ trái Thật vậy, lấy α thuộc E, M mơđun tựa cấu xạ nên tồn β, γ ∈ E cho Im(α) = Ker(β) Ker(α) = Im(γ) Từ có (α.β)(M ) = β(α(M )) = 0, suy α ∈ l(β) Điều dẫn đến E.α ⊆ l(β) Ngược lại, lấy ϕ thuộc l(β) ϕ.β = 0, suy Im(ϕ) ⊆ Ker(β) = Im(α) Do vậy, ϕ ∈ E.α, hay l(β ⊆ E.α) Từ có E.α = l(β) Tương tự, ta có E.γ = l(α) Vậy, E vành tựa cấu xạ trái (iii) Giả sử M môđun tựa cấu xạ α ∈ E Ta chứng minh M sinh hạt nhân Thật vậy, α tựa cấu xạ nên tồn β, γ ∈ E để Im(α) = Ker(β) Im(γ) = Ker(α) Dễ thấy {Im(λ)|λ ∈ E, Im(λ) ⊆ Ker(α)} ⊆ Ker(α) từ Ker(α) = Im(γ) suy Ker(α) ⊆ Vậy, Ker(α) = {Im(λ)|λ ∈ E, Im(λ) ⊆ Ker(α)} {Im(λ)|λ ∈ E, Im(λ) ⊆ Ker(α)}, hay M sinh hạt nhân (iv) Giả sử E vành tựa cấu xạ trái M sinh hạt nhân Ta chứng minh M môđun tựa cấu xạ Thật vậy, α phần tử tựa cấu 26 xạ trái vành End(M ) nên tồn β, γ ∈ E để Eα = l(β), Eγ = l(α) Ta cần chứng minh Im(α) ⊆ Ker(β) Thật vậy, từ giả thiết M sinh hạt nhân nên Ker(β) = {Im(λ)|λ ∈ E, Im(λ) ⊆ Ker(β)} Từ Im(λ) ⊆ Ker(β) suy λβ = 0, λ ∈ lE (β) = Eα Do vậy, Im(λ) = (γ.α)(M ) = α(γ(M )) ⊆ Im(α) Từ suy Ker(β) ⊆ Im(α) Vậy, Ker(β) = Im(α) Tương tự, ta chứng minh Im(γ) = Ker(α) Vậy, M môđun tựa cấu xạ Sử dụng kết trên, có số đặc trưng môđun tựa cấu xạ, ảnh-xạ ảnh: 2.3.9 Định lý Cho M R−môđun Các điều kiện sau tương đương: (i) M môđun tựa cấu xạ ảnh-xạ ảnh; (ii) End(M ) vành tựa cấu xạ trái M sinh hạt nhân 2.3.10 Hệ R Rn môđun tựa cấu xạ Mn (R) vành tựa cấu xạ trái Chứng minh Giả sử R Rn môđun tựa cấu xạ Do Rn mơđun tự nên xạ ảnh, ảnh-xạ ảnh Từ định lý suy End(Rn ) vành tựa cấu xạ trái Từ có Mn (R) ∼ = Mn (End(Rn )) ∼ = End(Rn ) tựa cấu xạ trái Ngược lại, giả sử Mn (R) vành tựa cấu xạ trái Khi End(Rn ) ∼ = Mn (R) tựa cấu xạ trái Kết hợp với Rn sinh hạt nhân nó, ta suy R Rn môđun tựa cấu xạ 2.3.11 Bổ đề Nếu mơđun mơđun M hạng tử trực tiếp M sinh tất mơđun Chứng minh Giả sử K ⊆ M Đặt H = {Im(λ)|λ ∈ E, Im(λ) ⊆ K} Hiển nhiên, H ⊆ K Với x ∈ K Rx ⊆⊕ M nên tồn môđun N ⊆ M để M = Rx ⊕ N Xét λ : M → M cho λ(rx + n) = rx Ta chứng minh λ đồng cấu R-môđun x = λ(x + N ) ∈ H Suy ra, K ⊆ H, K = H Vậy, M sinh tất mơđun 27 2.3.12 Mệnh đề Giả sử Rm hạng tử trực tiếp môđun M với m ∈ M Khi đó, M môđun tựa cấu xạ ảnh-xạ ảnh End(M ) vành tựa cấu xạ trái Chứng minh (⇒) Đúng theo Định lí 2.3.9 (⇐) Do Rm hạng tử trực tiếp môđun M với m ∈ M nên theo Bổ đề 2.3.11, M sinh tất mơđun con, M sinh hạt nhân Kết hợp với End(M ) vành tựa cấu xạ trái, ta suy M môđun tựa cấu xạ ảnh–xạ ảnh 28 KẾT LUẬN Sau thời gian làm việc nghiêm túc, hướng dẫn tận tình thầy giáo PGS.TS Ngô Sỹ Tùng, luận văn thu số kết sau: Hệ thống số khái niệm tính chất lý thuyết vành mơđun : vành qui, vành P −nội xạ, vành cấu xạ; môđun nửa đơn, môđun cấu xạ, môđun xạ ảnh, Trình bày tường minh số tính chất vành tựa cấu xạ, mối liên hệ vành tựa cấu xạ với số vành khác như: vành P − nội xạ (Bổ đề 2.1.4), vành cấu xạ (Hệ 2.1.5), vành C2 phải (Hệ 2.1.6), điều kiện để vành tựa cấu xạ qui (Mệnh đề 2.1.7) Nghiên cứu mối quan hệ tính tựa cấu xạ trái vành R với phần tử dạng (0, a) (a, 0) mở rộng tầm thường R ∝ R thu số kết Hệ 2.2.2, Mệnh đề 2.2.5, Định lý 2.2.7 Tổng quát khái niệm môđun cấu xạ, giới thiệu lớp mơđun tựa cấu xạ, đặc trưng dàn môđun (Định lý 2.3.4) chứng minh được: môđun M tựa cấu xạ ảnh-xạ ảnh End(M ) vành tựa cấu xạ trái M sinh hạt nhân (Định lý 2.3.9, Hệ 2.3.10, Mệnh đề 2.3.12) Kết luận văn cơng bố báo [15] nhận đăng báo [1] 29 TÀI LIỆU THAM KHẢO tiếng việt [1] Ngô Hà Châu Loan, Ngô Sỹ Tùng (2011), Một số kết vành tựa cấu xạ trái, Tạp chí khoa học, 40, Trường Đại học Vinh (nhận đăng) [2] Nguyễn Tiến Quang, Nguyễn Duy Thuận (2001), Cơ sở lí thuyết môđun vành, NXB Giáo dục Hà Nội tiếng anh [3] F.W Anderson, K.R Fuller (1992), Rings and Categories of Modules, Graduate Text in Math, vol 13, 2nd Edition, Springer-Verlag, NewYork, Heidelberg, Berlin [4] Alexander J.Diesl, Warren WM Mcgovern (2011), A characterization of certain morphic trivial extensions, J Algebra and Appl, Vol 11, 4: 623 – 642 [5] V Camillo and W K Nicholson (2007), Quasi-morphic rings, J Algebra and Appl, Vol 6, 5: 789 – 799 [6] J Chen anh Y.Zhou (2005), Morphic rings as trivial extentions, Glassg Math J, 47: 139-148 [7] N V Dung, D V Huynh, P.F Smith and R Wishbauer (1994), Extending modules, Pitman, London [8] G.Erlich (1976), Units and one-sided units in regular rings, Trans Amer Math Soc,216: 81 – 90 [9] T.Y Lam (2004), A crash course on stable range, cancellation, substitution and exchange, J Algebra and Appl, Vol 3, 3: 301 - 343 30 [10] W.K Nicholson, E.Sánchez Campos (2005), Morphic Modules, Comm In Algebra, 33: 2629 - 2647 [11] W.K Nicholson, E.Sánchez Campos (2004), Rings with the dual of the isomorphism theorem, J Algebra, 271: 391- 406 [12] W.K Nicholson, E.Sánchez Campos (2004), Principal rings with the dual of the isomorphism theorem, Glasg Math J, 46: 181 - 191 [13] W K Nicholson and M F Yousif (1995), Principally injective rings, J Algebra, 174: 77–93 [14] W K Nicholson and M F Yousif (2003), Quasi-Frobenius rings, Cambridge Tracts No 158, Cambridge Uni Press, London, New York [15] Ngo Sy Tung, Tran Giang Nam and Ngo Ha Chau Loan (2009), Quasimorphic modules, Journal of science Vinh University, XXXVIII, 2A [16] R Wisbauer (1991), Foundations of Modules and Rings theory, Gordan and Breach, Reading ... phần tử cấu xạ phần tử tựa cấu xạ, vành cấu xạ vành tựa cấu xạ Do vậy, vành Bun, thể, vành nửa đơn, vành qui khả nghịch vành Zn (n ≥ 2) vành tựa cấu xạ 2.1.3 Mệnh đề ([5], Lemma 1) Cho vành R... thuyết vành mơđun : vành qui, vành P −nội xạ, vành cấu xạ; môđun nửa đơn, mơđun cấu xạ, mơđun xạ ảnh, Trình bày tường minh số tính chất vành tựa cấu xạ, mối liên hệ vành tựa cấu xạ với số vành. .. chất vành môđun Chương 2: Vành môđun tựa cấu xạ Trong chương này, chúng tơi trình bày tính chất đặc trưng vành môđun tựa cấu xạ, mối liên hệ vành tựa cấu xạ với số lớp vành khác như: vành qui, vành