BÀI BÁO CÁO-CHƯƠNG IV-VÀNH VÀ MÔĐUN NƠTE

44 Chương IV: VÀNH VÀ MÔĐUN NƠTE. MÔĐUN NƠTE. Định nghĩa 4.1: Một môđun M trên một vành A được gọi là thỏa điều kiện dây chuyền tăng nếu mọi dãy tăng các môđun con 12 MM của M đều dừng, nghĩa là tồn tại n sao cho 1nn MM    . Định nghĩa 4.2: Một môđun M trên một vành A được gọi là thoả điều kiện tối đại nếu mọi họ khác rổng những môđun con của M, xếp thứ tự theo quan hệ bao hàm, đều có phần tử tối đại. Định lý 4.3: Cho vành A và A-môđun M. Các mệnh đề sau tương đương: i. M thỏa điều kiện dây chuyền tăng. ii. M th ỏa điều kiện tối đại. iii. Mọi môđun con của M đều hữu hạn sinh. Chứng minh: ))iii : Gọi  là một họ khác rổng những môđun concủa M và giả sử  không có phần tử tối đại. Lấy 1 M   , khi đó tồn tại 2 M   sao cho 1 M  2 M . Vì  không có phần tử tối đại nên, lập luận tương tự, ta xây dựng được dãy vô hạn tăng nghiêm ngặt 1 M  2 M  3 M  , trái giả thiết i). ))ii iii Giả sử N là môđun con của M. Gọi  là tập tất cả các môđun con hữu hạn sinh của N. Theo i),  có phần tử tối đại là o N , nếu o N N thì với \ o x NN ta có o N  o Ax N , vô lý! Vậy o NN  hữu hạn sinh. ))iii i Xét dãy môđun con của M: 12 k MM M  (*) Khi đó 1 i i NM    là 1 môđun con của M nên hữu hạn sinh: 12 ,,, m Nxx x  , với 12 1 , , , mi i x xx M    . Do đó 12 , , , mn nxx x M và vì vậy 1nn MM   . Suy ra dãy (*) dừng. ĐPCM. 45 Định nghĩa 4.5:  Một môđun M trên một vành A được gọi là môđun nơte nếu M thoả một trong các điều kiện của định lý 4.4.  Một vành A được gọi là nơte nếu nó là một A-môđun nơte. Vì môđun con của A-môđun A là iđêan của A và ngược lại nên có hệ quả sau: Hệ qu ả 4.6: Vành A là vành nơte khi và chỉ khi A thoả một trong các điều kiện sau: a) Mọi dãy tăng những iđêan của A đều dừng. b) Mọi họ khác rổng những iđêan của A đều có phần tử tối đại. c) Mọi iđêan của A đều hữu hạn sinh. Thí dụ:  Vành chính là vành nơte. Nói riêng vành  và vành đa thức [] K x , với K là trường, là nơte.  Vành đa thức đếm được biến 12 [ , , ]Ax x không phải là vành nơte, vì dãy tăng các iđêan 1 x    12 , x x   không dừng. VÀI TÍNH CHẤT Định lý 4.7: Cho dãy khớp các A-môđun 00 uv MMM    . Khi đó, M là môđun nơte khi và chỉ khi M  và M   là môđun nơte. Chứng minh: () Giả sử M là môđun nơte.  Môđun con của M  cũng là môđun con của M nên hữu hạn sinh. Vậy M  nơte.  Xét môđun con bất kỳ N của M   . Khi đó 1 ()vN  là môđun con của M nên hữu hạn sinh, và vì v toàn ánh nên 1 (())Nvv N   cũng hữu hạn sinh. () Giả sử N là một môđun con của M. Khi đó ()vN là môđun con của M   nên hữu hạn sinh: 12 ( ) , , , m vN x x x M     . Vì đồng cấu v toàn ánh nên trong N ta có thể chọn 11 11 ( ), , ( ) mm bv x b v x  . Mặt khác, vì 1 ()uN  là môđun con của M  nên hữu hạn sinh: 46 1 1 () , , n uN a a    , với 1 1 ,, () n aauNM    . 1 (), ,( ) n ua ua N . Ta chứng minh 11 (), ,( ),, , nm N ua ua b b . Thật vậy, ta có 12 11 22 1 ( ) ( ) , , , ( ) ( ) m mmmii i x Nvx vN xx x vx tx tx tx v tb             11 Im ( ) mm ii ii ii x tb Kerv u x M x tb u x           và vì 1 m ii i x tb N    nên 1 () x uN    111 () nmn ii ii i i iii x sa x tb su a       Vậy 11 ( ), , ( ), , , nm Nua uab b .Đpcm. Hệ quả 4.8: Môđun con và môđun thương của môđun nơte là nơte. Chứng minh: Do dãy 00 M NM N   là khớp. Hệ quả 4.9: Nếu 1 , , n M M là các A-môđun nơte thì 1 n i i M   là A-môđun nơte. Chứng minh: Qui nạp theo n. Khi 2n  : Ta có dãy 112 2 00MMM M    là khớp, nên theo định lý 4.7 12 M M  là nơte. Giả sử 1 1 n i i M    là A-môđun nơte, khi đó dãy 1 11 00 nn ni i ii MMM       là khớp nên, một lần nữa, định lý 4.7 cho 1 n i i M   là A-môđun khớp. 47 Hệ quả 4.10: Nếu A là một vành nơte thì mọi A-môđun hữu hạn sinh đều nơte. Chứng minh: Giả sử A-môđun M sinh bởi 1 { , , } n Xx x  . Khiđó ()X A M N  với N là môđun con nào đó của ()X A . Nhưng vì ()X X AA   và A là nơte nên ()X A là A-môđun nơte. Do đó M nơte.   Hệ quả 4.11: Nếu A là một vành nơte và : f AB   là một toàn cấu vành thì B cũng là vành nơte. Chứng minh: Ta có A B K erf  nên B là một A-môđun nơte. Khi đó, mọi B-môđun con của B đều là A-môđun con của A-mođun B nên là A-hữu hạn sinh và do đó là B-hữu hạn sinh. Vậy B là B-nơte hay là vành nơte.  Hệ quả 4.12: Nếu A là một vành con của một vành B, A nơte và B là A-môđun hữu hạn sinh thì B là vành nơte. Chứng minh: Theo 4.10 thì B là A-môđun nơte. Do đó mọi iđêan của B đều là A-hữu hạn sinh, nhưng vì AB , nên cũng là B-hữu hạn sinh. Vậy B là B-nơte hay là vành nơte.  TÍNH NƠTE và ĐỊA PHƯƠNG HÓA. Định lý 4.13: Vành các thương của một vành nơte là một vành nơte. Chứng minh: Cho A là một vành nơte và S là một tập con nhân của A. Xét vành các thương 1 SA  . Giả sử J là một iđêan của 1 SA  . Đặt 1 ()If J   là iđêan của A (f là đồng cấu chính tắc từ A đến 1 SA  ). Vì A nơte nên I hữu hạn sinh : 12 n IAx Ax Ax   , với 1 ,, n x xI   . Ta có 11 11 ,( ) aasa nn i ss JJaIatxtxtA      48 11 11 111 11 1 1 nn nn tx tx tx tx aa ss s     . Vậy J là iđêan hữu hạn sinh của 1 SA  . Đpcm. Định lý 4.14 (Cohen): Vành A là nơte khi và chỉ khi mỗi iđêan nguyên tố ()PSpecA  là hữu hạn sinh. Chứng minh: Ta chỉ cần chứng minh “ nếu mọi iđêan nguyên tố của A đều hữu hạn sinh thì mọi iđêan của A cũng hữu hạn sinh” là đủ. Phản chứng, giả sử tập  gồm tất cả iđêan không hữu hạn sinh của A là khác rổng. Khi đó mọi dây chuyền () ii X I  của  đều bị chận trên bởi i iX I    , nên trong  có phần tử tối đại I. Ta sẽ chứng minh I là iđêan nguyên tố để đi đến mâu thuẩn. Thật vậy, nếu I không nguyên tố thì tồn tại x I  và yI  nhưng x yI  .  Khi đó iđêan I Ax I nên không thuộc  , và vì vậy là hữu hạn sinh: 11 2 2 ,,, nn IAx a txa tx a tx   , với , ii aItA   .  Đặt :JIAx , ta có JIAy   I nên J không thuộc , và vì vậy là hữu hạn sinh: 12 , , , m Jbb b , () i bJ  .  Khi đó ta có 11 ,,, ,., nm Ia abx bx . Thật vậy, nếu uI thì uIAx nên 11111 () nnnnn ii i ii ii ii ii iiiii uratx ra rtx rtxuraI          111 nnm ii ii k k iik rt J rt s b     , Cuối cùng, 11 11 () ,,,,. nm ii k k n m ik ura sbxaabxbx       . Suy ra I là hữu hạn sinh, vô lý vì I   ! Vậy I là iđêan nguyên tố. Nhưng điều này lại trái giả thiết “mọi iđêan nguyên tố không thuộc ”! 49 TÍNH NƠTE CỦA VÀNH ĐA THỨC. Định lý 4.15 (Định lý cơ sở - Hilbert): Nếu A là vành Nơte thì vành đa thức []Ax cũng là vành nơte. Chứng minh: Phản chứng, giả sử I là một iđêan không hữu hạn sinh của []Ax . Ta định nghĩa bằng qui nạp một dãy đa thức 12 , , [ ] f fAx  như sau:  1 f là đa thức khác 0, bậc nhỏ nhất trong I (vì 0 I  ).  Giả sử đã chọn được 12 ,,, k f ffI   . Vì I không hữu hạn sinh nên 1 \, k If f , do đó ta chọn được đa thức 1k f  1 \, k If f   là đa thức khác 0 với bậc nhỏ nhất trong 1 \, k If f   . Đặt deg( ) ii nf và i a là hệ tử của i n x trong đa thức i f với mọi i. Theo cách xây dựng dãy {} i f thì dễ thấy rằng 1ii nn   với mọi i. Để đi đến mâu thuẩn, ta sẽ chứng minh 1 ,, k aa    11 ,, , kk aaa    với mọi k. Thật vậy, nếu 1 1 k kii i ata     , với 1, 1 i tAi k    , thì đa thức 1 1 ki k nn ii i gtx f      I và có dạng 1 1 ,[] k n k ga x hhAx    . Suy ra đa thức 11 \, kk f gI f f     và 111 deg( ) deg( ) kkk fgn f     . Điều này mâu thuẩn với cách chọn 1k f  ở trên. Vậy ta có dãy tăng nghiêm ngặt các iđean của A: 1 a 12 ,aa…. 1 ,, k aa …. Điều này trái với tính nơte của A. Vậy mọi iđêan của []Ax đều hữu hạn sinh.  Hệ quả 4.16 : Nếu vành A nơte thì vành 1 [ , , ] n Ax x nơte. Chứng minh: Vì   111 [ , , ] [ , , ] [ ] nnn Ax x Ax x x   . Hệ quả 4.17: Vành đa thức 1 [ , , ] n Kx x trên một trường K là nơte. 50 IĐÊAN NGUYÊN SƠ. Trong vành  , lũy thừa của một số nguyên tố p có tính chất ,| | | s sn x ypxy xnpy    vaø s p (*). Điều ngược lại cũng đúng: Nếu một số k thoả ,|| | n x ykxy xnky    vaø k thì k là lũy thừa của một số nguyên tố nào đó (thật vậy, nếu k có 2 ước nguyên tố khác nhau p và q thì s t kpqm , trong đó (,) (, ) (, ) 1pq pm qm   . Coi , t x q s ypm , thì |kxy nhưng |kx  nên | nsnn ky pm , suy ra | s qpm, vô lý!). Tính chất này làm cho các iđêan s p  của  thoả điều kiện , s sns x yxyp xpnyp       vaø , và các iđêan như vậy được gọi là các iđêan nguyên sơ. Tổng quát, ta có định nghĩa sau: Định nghĩa 4.18: Một iđêan thực sự Q của một vành A được gọi là iđêan nguyên sơ nếu , n x yA xyQ xQ ny Q    vaø hay ,() x yA xyQ xQ yradQ   vaø . Một cách tương đương, ta có thể nói Iđêan Q của một vành A là nguyên sơ khi và chỉ khi 0 A Q  và mọi ước của 0 trong vành thương A Q đều là lũy linh. Mệnh đề 4.19: Q và I là 2 iđêan của một vành A, IQ . Khi đó; Q nguyên sơ khi và chỉ khi Q I nguyên sơ trong vành thương A I . Chứng minh: Dùng đẳng cấu A AI QQ I  .  Hiển nhiên mọi iđean nguyên tố đều là nguyên sơ.  Trong vành  , mọi lũy thừa của iđêan nguyên tố đều là nguyên sơ, ngược lại mỗi iđêan nguyên sơ của  đều là lũy thừa của một iđêan nguyên tố nào đó. 51  Tuy nhiên kết quả trên không đúng cho một vành tuỳ ý: Thí dụ 1: Xét vành [, ]AKxy , với K là một trường, và đặt 2 ,Qxy . Ta có 2 []Ky A Q y   , mà mọi phần tử ước của 0 trong 2 []Ky y đều là bội của đa thức 2 ()yfyy nên lũy linh, vậy Q là iđêan nguyên sơ. Khi đó với iđêan nguyên tố , P xy   ta có dãy nghiêm ngặt 2 P Q P. Vậy Q không phải là lũy thừa của P. Nếu Q là lũy thừa của một iđêan nguyên tố P nào đó, tức là n QP , thì 2 n P PP, suy ra P P  , điều này là không thể! Thí dụ 2: Xét vành 2 [, ,]Kxyz A x yz    , K là trường, và đặt ,, x yz là lớp của ,, x yz trong vành thương. Idêan ,Pxz   là nguyên tố ( vì [] A Ky P  ) nhưng lũy thừa 2 P của nó không phải là iđêan nguyên sơ. Thật vậy, ta có 22 x yz P và 2 x P nhưng không có lũy thừa nào của y thuộc 2 P , vì nếu 2s yP P   thì y P  , nhưng điều này trái với đẳng cấu [] A Ky P  ! Tóm lại, mặc dù iđêan nguyên sơ mang đậm tính chất đặc biệt (*) của lũy thừa của một số nguyên tố, nhưng iđêan nguyên sơ và lũy thừa của một iđêan nguyên tố lại là hai khái niệm khác nhau. Tuy nhiên, căn của một iđêan nguyên sơ lại là một iđêan nguyên tố. Mệnh đề 4.20: Nếu Q là một iđêan nguyên sơ của một vành A thì ()rad Q là một iđêan nguyên tố; đó là iđêan nguyên tố nhỏ nhất trong số tất cả iđêan nguyên tố của A mà chứa Q. Chứng minh: Nếu () x yradQ thì () nn n x yxyQ   với n nào đó. Vì Q nguyên sơ nên hoặc n x Q hoặc ns yQ , do đó () x rad Q  hay ()yradQ  . Vậy ()rad Q là iđêan nguyên tố. Nếu P là một iđêan nguyên tố của A và QP thì () ()rad Q rad P P.n 52 Định nghĩa 4.21: Nếu Q là idêan nguyên sơ và ()PradQ  thì ta gọi iđêan Q là P-nguyên sơ. Mệnh đề 4.22: Cho A là vành nơte, M và Q là 2 iđêan nào đó của A, trong đó M tối đại. Các điều kiện sau tương đương: i) Q là M-nguyên sơ. ii) ()rad Q M . iii) 0 n nMQM   . Chứng minh: i)  ii) . Hiển nhiên. ii)  iii) Ta có ()QradQ M. Vì A nơte nên M hữu hạn sinh. Giả sử 1 , , k M xx   và vì ()rad Q M nên () i n ii in x Q , ta đặt 1 k i i nn    thì 11 , , nn mmMmmQ  , do đó n M Q . iii)  i) Xét x yQ và x Q  . Ta chỉ cần chứng minh yM  là đủ. Phản chứng; giả sử yM  . Khi đó yMA    ,11ab A m M ay bm ay bm         (1 ) nnn n ay b m M Q    1 1 1() (1) n kk n k ay y ay Q             1 1 () n kk k Q x ay xyQ             x Q, vô lý! Vậy y M và nn yM Q . Mệnh đề 4.23: Nếu 1 , , n QQ là các iđêan P-nguyên sơ thì iđêan 1 n QQ   cũng là P- nguyên sơ. Chứng minh: Đặt 1 n QQ Q , ta có (Mđ 1.21, iii/) 11 () ( ) ( ) ( ) nn rad Q rad Q Q rad Q rad Q P P P  . Nếu x yQ và x Q thì {1, , } i inxQ  . Vì i Q là P-nguyên sơ nên điều này đưa đến () () i yradQ PradQ. Vậy Q là P-nguyên sơ. 53 Mệnh đề 4.24: Giả sử Q là iđêan P-nguyên sơ của vành A, x A  . Khi đó: i) Nếu x Q thì (: )Qx   cũng là iđêan P-nguyên sơ. ii) Nếu x Q thì (: )Qx A   . Chứng minh: (i) Nếu (: )aQx thì ax Q  và vì x Q  nên ()aradQ P   . Vậy (: )QQx P . Lấy căn ta có () ( : ) ()rad Q rad Q x rad P (: ) (: )P rad Q x P rad Q x P     . Nếu (: )ab Q x và (: )aQx  , suy ra abx Q và ax Q  ()bradQ P  (: )rad Q x   . Vậy (: )Qx là P-nguyên sơ. (ii) Hiển nhiên cho mọi iđêan Q (không cần nguyên sơ).  SỰ PHÂN TÍCH NGUYÊN SƠ. Định nghĩa 4.25: Một iđêan I của một vành A được gọi là có sự phân tích nguyên sơ nếu có hữu hạn iđêan 1 , , n QQ của A sao cho: i) 1 , , n QQ là các iđêan nguyên sơ. ii) 1 n IQ Q. Thí dụ: Trong vành  , iđêan d có sự phân tích nguyên sơ là 1 1 n n dp p     , nếu 1 1 n n dp p    với i p là các số nguyên tố. Định lý 4.26 (Lasker-Noether): Trong một vành nơte mọi iđêan đều có sự phân tích nguyên sơ. Để chứng minh định lý này, chúng ta cần hai bổ đề. Định nghĩa 4.27: Một iđêan thực sự của một vành A được gọi là bất khả qui nếu nó không phải là giao của 2 iđêan chứa nó thực sự. Nói cách khác iđêan I của A là bất khả qui khi và chỉ khi IA và với mọi iđêan , M N nếu I MN thì IM  hay I N  . [...]... làm bài: Năm học: 2004-2005 Lớp: Toán 3 120 phút Câu I: (3,5đ) 3 Định nghĩa vành nơte Cho ví dụ về một vành nơte và một vành không nơte 4 Vành con của vành nơte có nơte không? 5 Chứng minh vành đa thức A[x] là vành nơte nếu A là vành nơte Câu II:(2đ) Cho vành nơte A và f    ai xi  A[[ x]] Chứng minh f lũy linh khi và chỉ i 0 khi tất cả hệ tử ai là lũy linh Câu III:(2đ) Cho A là một vành nơte và. .. kỳ của vành nơte A Khi đó A I là vành nơte và iđêan 0  I I là bất khả qui trong A I , do đó theo (i), 0  I I là nguyên sơ và theo Mđ 4.19 thì I là nguyên sơ. Chứng minh Định lý 4.26: Hệ quả của hai bổ đề 4.28 và 4.29.  54 BÀI TẬP Chương IV 1 Cho vành A và hai iđêan I1, I 2 của A thỏa I1  I 2  0 Chứng minh A là vành nơte khi và chỉ khi các vành A I và A I là nơte 1 2 2 Cho A -môđun nơte M Chứng... A -môđun nơte M Chứng minh vành A AnnM là vành nơte 3 Chứng minh rằng nếu vành A thoả điều kiện dây chuyền tăng đối với các iđêan hữu hạn sinh thì A là vành nơte 4 Chứng minh rằng vành đa thức đếm được biến K [ x1 , x2 ,] trên một trường K thoả điều kiện dây chuyền tăng đối với các iđêan chính 5 Nếu vành đa thức A[ x] là vành nơte thì vành A có nơte không? 6 Cho vành A và vành đa thức A[ x] Với mỗi... Chứng minh  n ker f n  Im f n  0 11 Cho A -môđun nơte M và A -môđun hữu hạn sinh N Chứng minh Amôđun M  N là nơte A 12 Cho vành nơte A và f    ai xi  A[[ x]] Chứng minh f lũy linh khi và i 0 chỉ khi tất cả hệ tử ai là lũy linh 55 Một vài đề thi đã ra Trường ĐHSP Tp.HCM Khoa Toán-Tin học ĐỀ THI HỌC KỲ: Thi lần: Môn thi: Chuyên đề ĐẠI SỐ Thời gian làm bài: 120 phút I 1 Năm học: 2002-2003 Lớp: Toán... 1 Chứng minh T là tập con nhân của  6 Mô tả T 2 Chứng minh vành các thương T 1 ( 6) đẳng cấu với  2 Câu III:(3đ) Cho vành A và biểu đồ các A -môđun u v 0  M   M  M   0     f M 0 trong đó dòng và cột là khớp Giả sử M , M  là A -môđun nơte 1 Chứng minh M nơte 2 Chứng minh f là đẳng cấu Câu IV:(2đ) Cho vành A và A -môđun M Chứng minh A M  M A Hết 57 Trường ĐHSP Tp.HCM Khoa Toán-Tin... minh rằng nếu A -môđun I m  1 phần tử I2 sinh bởi m phần tử thì I sinh bởi Câu IV:(2,5đ) 1 Cho vành A với iđêan thực sự, không tầm thường I và tập con nhân S 1 1 Chứng minh: S ( rad ( I ))  rad ( S I ) 2 Cho vành A và A -môđun N Chứng minh rằng: Nếu N P  0 với mọi iđêan tối đại P  Max ( A) thì N  0 3 Cho vành nơte A và A -môđun M  0 Chứng minh x  M Ann( x) là iđêan nguyên tố của vành A Hết 58... x s  f ( x) s là các đơn cấu thì f cũng là đơn cấu Câu III:(2đ) Cho vành A và dãy khớp ngắn các A -môđun 0  N  M  M  0     Biết M là A -môđun nơte Chứng minh N  0 Câu IV:(2,5đ) 4 Cho vành A, tập con nhân S  A và A -môđun M Chứng minh : S 1 A  M  S 1M A A 5 Cho vành A và 2 phần tử a, b  A Chứng minh đẳng cấu các A -môđun ( Aa : Ab)  ( Ab : Aa) Ann(b) Ann(a ) Hết 59 Trường ĐHSP Tp.HCM...   , đpcm. Bổ đề 4.29: (i) Nếu iđêan 0 trong vành nơte là bất khả qui thì nó là iđêan nguyên sơ (ii) Mỗi iđêan bất khả qui trong vành nơte là nguyên sơ Chứng minh: (i) Giả sử iđêan 0 của vành nơte A là bất khả qui Nếu xy  0 và x  0 ta cần chứng minh y lũy linh Ta xét dãy các iđêan trong A (0 : y )  (0 : y 2 )    (0 : y k )   Vì A là vành nơte nên dãy trên dừng, nghĩa là tồn tại n sao cho... Trong một vành Nơte A cho iđêan tối đại M và một iđêan Q Chứng minh rằng : Q là Mn nguyên sơ khi và chỉ khi n  0 M  Q  M Câu II:(2đ) Phát biểu và chứng minh định lý Lasker-Noether Câu III:(2đ) Cho A là một vành A Chứng minh: 1 trong vành A tổng của 1 phần tử khả nghịch và một phần tử lũy linh là khả nghịch n 2 Nếu f ( x )  ai xi  A[ x] khả nghịch trong A[ x] thì a khả nghịch trong A và i 0 a1,,... thì trong vành đa thức K [ x1 , , xn ] mỗi iđêan Pi   x1 , , xi , i  1, n là nguyên tố, mỗi lũy thừa của chúng là Pi nguyên sơ 8 Giả sử S là tập con nhân của vành A và Q là một iđêan P-nguyên sơ Chứng minh rằng: a Nếu S  P   thì S 1Q  S 1 A b Nếu S  P   thì S 1Q là S 1P -nguyên sơ  9 Cho A -môđun nơte M và toàn cấu f : M  M Chứng minh f là một đẳng cấu 10 Cho A -môđun nơte M và đồng . Vậy B là B -nơte hay là vành nơte.  TÍNH NƠTE và ĐỊA PHƯƠNG HÓA. Định lý 4.13: Vành các thương của một vành nơte là một vành nơte. Chứng minh: Cho A là một vành nơte và S là một. làm bài: 120 phút Người ra đề: Câu I: (3,5đ) 3. Định nghĩa vành nơte. Cho ví dụ về một vành nơte và một vành không nơte. 4. Vành con của vành nơte có nơte không? 5. Chứng minh vành. 4.4.  Một vành A được gọi là nơte nếu nó là một A -môđun nơte. Vì môđun con của A -môđun A là iđêan của A và ngược lại nên có hệ quả sau: Hệ qu ả 4.6: Vành A là vành nơte khi và chỉ khi