Sự phân tích của môđun nội xạ trên vành artin và vành noether

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH HỒ ĐĂNG KIM LỘC SỰ PHÂN TÍCH CỦA MƠĐUN NỘI XẠ TRÊN VÀNH ARTIN VÀ VÀNH NOETHER LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An – 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH HỒ ĐĂNG KIM LỘC SỰ PHÂN TÍCH CỦA MƠĐUN NỘI XẠ TRÊN VÀNH ARTIN VÀ VÀNH NOETHER LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An – 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH HỒ ĐĂNG KIM LỘC SỰ PHÂN TÍCH CỦA MƠĐUN NỘI XẠ TRÊN VÀNH ARTIN VÀ VÀNH NOETHER Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS.TS NGƠ SỸ TÙNG Nghệ An – 2017 Mục lục DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU .4 MỞ ĐẦU CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ .7   1.1 Các điều kiện Ci môđun 1.2 Môđun A - nội xạ .10 1.3 Môđun, vành Artin 15 1.4 Môđun, vành Noether 21 CHƯƠNG 2: SỰ PHÂN TÍCH CỦA MƠĐUN NỘI XẠ TRÊN VÀNH ARTIN VÀ VÀNH NOETHER 24 2.1 Môđun nội xạ 24 2.2 Sự phân tích mơđun nội xạ vành Artin 27 2.3 Sự phân tích mơđun nội xạ vành Noether 29 KẾT LUẬN 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO .34 DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU Tập hợp số tự nhiên * Tập hợp số tự nhiên khác Tập hợp số nguyên Tập hợp số hữu tỉ Tập hợp số thực AM I I A môđun môđun M Ai Giao tất tập Ai với i  I Ai Hợp tất tập Ai với i  I Tổng trực tiếp môđun Ai với i  I  Ai I M I i Tích trực tiếp môđun Mi với i  I AB A đẳng cấu với B Kerf, Imf Hạt nhân, ảnh đồng cấu f I(M) Độ dài môđun M End  M  Vành tự đồng cấu môđun MỞ ĐẦU Việc nghiên cứu lý thuyết môđun phát triển mạnh mẽ có nhiều ứng dụng quan trọng việc nghiên cứu lý thuyết vành Nghiên cứu cấu trúc vành người ta nghiên cứu đặc trưng qua tính chất lớp xác định mơđun vành Có hai hướng để nghiên cứu lý thuyết vành Hướng thứ sử dụng nội tính chất thơng qua lớp iđêan hướng thứ hai đặc trưng vành qua tính chất lớp xác định mơđun chúng Về mặt lịch sử hướng thứ phát triển sớm đưa định nghĩa đặc trưng ban đầu lớp vành quen thuộc vành nửa đơn, vành tựa Frobenius, vành Artin, vành Noether, vành nửa nguyên tố, vành nửa nguyên sơ Hướng thứ hai xuất muộn tỏ hiệu Kết hoàn chỉnh đặc trưng vành Artin nửa đơn Xuất phát từ đây, người ta thu nhiều đặc trưng vành khác lớp vành thõa mãn điều kiện hữu hạn Trong lớp môđun, lớp môđun nội xạ xem hai trụ cột để nghiên cứu lý thuyết vành mơđun Luận văn chúng tơi tập trung tìm hiểu nghiên cứu phân tích thành tổng trực tiếp (gọi tắt phân tích) lớp mơđun nội xạ hai loại vành vành Artin vành Noether Dựa vào tài liệu [3] [4] chúng tơi nghiên cứu trình bày tường minh số kết tài liệu đó, chúng tơi chọn đề tài là: Sự phân tích môđun nội xạ vành Artin vành Noether Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn gồm chương Chương Kiến thức sở Trong chương chúng tơi trình bày số khái niệm tính chất điều kiện  Ci  môđun, môđun A - nội xạ, môđun, vành Artin vành Noether nhằm làm sở cho việc trình bày nội dung luận văn chương sau Chương Sự phân tích môđun nội xạ vành Artin vành Noether Trong chương chúng tơi trình bày số khái niệm đặc trưng mơđun nội xạ, phân tích môđun nội xạ vành Artin vành Noether Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình PGS.TS Ngơ Sỹ Tùng Nhân dịp tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới thầy hướng dẫn, người định hướng, dẫn dắt tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trình học tập nghiên cứu luận văn Xin chân thành cám ơn thầy cô Trường Đại học Vinh Nghệ An Trường Đại học Sài Gịn TP Hồ Chí Minh tận tình giúp đỡ tác giả suốt trình học tập Cuối xin chân thành cảm ơn đồng nghiệp, bạn bè động viên giúp đỡ tạo điều kiện cho tác giả q trình học tập hồn thành luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng, song luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp thầy giáo để luận văn hồn thiện TP Hồ Chí Minh, tháng 08 năm 2017 Tác giả CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ Trong tồn luận văn chúng tơi giả thiết vành vành có đơn mơđun mơđun phải unita Khi nói cho mơđun M hiểu M môđun phải vành R cố định Trong chương chúng tơi trình bày số khái niệm tính chất điều kiện  Ci  môđun, môđun A - nội xạ, mơđun, vành Artin Noether nhằm mục đích làm sở cho việc trình bày nội dung luận văn chương 1.1 Các điều kiện  Ci  môđun Định nghĩa 1.1.1 Cho môđun M vành R Ta xét điều kiện sau môđun M C  : Với môđun A M , tồn B hạng tử trực tiếp môđun M để A môđun cốt yếu môđun B C  : Cho A, B môđun M đẳng cấu với nhau, A hạng tử trực tiếp mơđun M B hạng tử trực tiếp môđun M C  : Cho A, B hạng tử trực tiếp môđun M , A  B  A  B hạng tử trực tiếp môđun M 1  C  : Mọi môđun U M , tồn B hàng tử trực tiếp môđun M để U môđun cốt yếu môđun B Chú ý 1.1.2 Mọi mơđun M khơng thỏa mãn điều kiện thỏa mãn số điều kiện Ví dụ 1.1.3 Xét Khẳng định - mơđun Ta có khẳng định sau: thỏa mãn điều kiện  C1  Chứng minh Với mơđun A thì: +) Nếu A  A mơđun cốt yếu 0, hạng tử trực tiếp +) Nếu A  A  k , k môđun cốt yếu , hạng tử trực tiếp , k  Khẳng định không thỏa mãn  C2  Chứng minh Vì ta có n  , n  n không hạng tử trực tiếp Khẳng định Chứng minh Vì mà hạng tử trực tiếp    thỏa mãn điều kiện  C3  có hạng tử trực tiếp Khẳng định * hạng tử trực tiếp, mà thỏa mãnđiều kiện 1  C1  Chứng minh Hiển nhiên C1   1  C1  Mệnh đề 1.1.4 Nếu môđun M thỏa mãn điều kiện  C2  thỏa mãn điều kiện  C3  Chứng minh Cho A, B hạng tử trực tiếp môđun M A  B  Do A hạng tử trực tiếp môđun M nên M  A  A1 với A1  M Xét phép chiếu  : A  A1  A1 a  a1 a1 Trước hết ta chứng minh A  B  A    B  Lấy a  b  A  B Ta có b  B  M  A  A1 , nên b  a ' a1 với a '  A, a1  A1 , suy   b   a1 Khi a  b   a  a '  a1  A  B  A    B  1 Lấy a    b   A    B  với a  A,   b     B  , b  B nên b  a " a1 ' với a "  A, a1 '  A1    b   a1 ' Như ta có a    b   a  a1 '   a  a "   a " a1'   A  B Suy A    B   A  B 2 Từ 1   suy A  B  A    B  Lại Ker  A, Ker  \ B   A  B  suy  / B : B    B  đằng cấu Do tính chất  C2  mà B hạng tử trực tiếp môđun M nên   B  hạng tử trực tiếp môđun M Ta có M  A  A1  a  M    B   N , N mơđun M  b  Lại   B   A1 , giao hai vế  b  với A1 ta +) Ta chứng minh Artin B p|  n  : B   pn Suy dãy giảm từ B dừng 2) Cho V không gian vectơ, dim K V   Giả sử e1 , e2 , , en ,  hệ độc lập tuyến tính V Ta có dãy vô hạn  Ke1  Ke1  Ke2  …  Ke1  Ke2   Ken  … Suy  N    Do V 3) Vành khơng Artin Noether, khơng Artin Định lí 1.3.5 Cho M mơđun Artin, f  End  M  Khi  i  Tồn n   ii  Nếu cho n  n0 Im  f n   Ker  f n  f đơn cấu f đẳng cấu Chứng minh  i  Nếu M mơđun Artin dãy sau dừng: Im f  Im f   Im f n  , n  Vì vậy, n0  n cho n  n0 ta có Im f n  Im f , với n  n0 ta có Im f n  Im f n Đặt   f n,  a M với ta có:   a   Im  Im   a     b  ,  b  M  a   b    k  Ker : a   b   k 20 Vậy a    b   k  Im  Ker ta có điều phải chứng minh  ii  Nếu f đơn cấu f n đơn cấu Do M  Im f n  M  Im f Im f n  Im f Điều chứng tỏ f toàn cấu f đẳng cấu 1.4 Mơđun, vành Noether Định nghĩa 1.4.1 Cho R vành giao hoán có đơn vị:  i  Mơđun M R gọi môđun Noether tập khác  mơđun mơđun M có phần tử tối đại theo quan hệ bao hàm  ii  Vành R gọi vành Noether phải (trái) R - môđun phải RR (trái R R ) Noether  iii  Một chuỗi tăng môđun môđun M A1  A2  An  gọi dừng (hay thỏa mãn điều kiện ACC ) tồn k  * để Ak  Ak i , i  Ví dụ 1.4.2 - mơđun Noether Thật vậy, ý môđun mơđun có dạng m , m Xét họ , kí hiệu A  m i i , i  I , mi  * Ta chứng minh họ  * có phần tử tối đại Thật vậy, ta có a  b  b \ a ( b ước a ) Giả sử có chuỗi tăng mơđun m1  m2  21 Khi ta có mi | mk , k  i Do mi có hữu hạn ước m1 m2 m3 mi  mi ước m1 tồn i cho mi  mik , k  Suy phần tử tối đại mi Vậy mơđun Noether Định lí 1.4.3 Cho môđun M A môđun M Khi điều kiện sau tương đương: i  M môđun Noether;  ii  A M / A Noether;  iii  Mọi chuỗi tăng môđun M  iv  Mọi môđun M v hữu hạn sinh; Trong họ  Ai I môđun M tồn họ hữu hạn A  i dừng; I0 , I  I cho A  A iI i iI i Định lí 1.4.4 (Định lí sở Hilbert) Cho R vành Noether phải (trái) Khi R  x  vành Noether phải (trái) Hệ 1.4.5 Nếu R vành Noether phải (trái) vành R  x1 , x2 , , xn  vành Noether phải (trái) Định lí 1.4.6 Cho M môđun Noether, f  End  M  Khi  i  Tồn n   ii  Nếu cho n  n0 Im  f n   Ker  f n   f tồn cấu f đơn cấu 22 Chứng minh Với M mơđun Noether dãy tăng: Kerf  Kerf   Kerf k  dừng với f  End  M  Do n0 , n  n0 Kerf n  Kerf n  Kerf n  Kerf n , n  n0 Lấy x  Im f n  Kerf n * Thì x  Im f n  x  f n  a  , a  M x  Kerf n  f n  x   **   Khi đó, f n  x   f n f n  a   f n  a    f n  a   theo  *  x  0, nghĩa Im f n  Kerf n   ii  Nếu f tồn cấu f n tồn cấu Khi Im f n  M Kerf n   Kerf  Kerf  Kerf n 23 CHƯƠNG SỰ PHÂN TÍCH CỦA MƠĐUN NỘI XẠ TRÊN VÀNH ARTIN VÀ VÀNH NOETHER 2.1 Môđun nội xạ Định nghĩa 2.1.1 Môđun M gọi nội xạ môđun A , môđun X A , đồng cấu f : X   M tồn đồng cấu f * : A   M mở rộng f tức f *i  f Trong i đơn cấu nhúng đồng Tức biểu đồ sau giao hốn i f Ví dụ 2.1.2  - môđun  nội xạ Hệ 2.1.3 M môđun nội xạ M A - nội xạ với môđun A Định lí 2.1.4 (Đặc trưng mơđun nội xạ) Các mệnh đề sau tương đương: M môđun nội xạ M hạng tử trực tiếp môđun chứa M Với đơn cấu  : M   N chẻ ra, tức Im  hạng tử trực tiếp môđun N 24 Với đơn cấu  :     đồng cấu Hom  ,1M  : Hom  B, M    Hom  A, M  toàn cấu Hệ 2.1.5 Cho M nội xạ N  M N nội xạ Định lí 2.1.6 Tích trực tiếp môđun M I i nội xạ Mi nội xạ, với i  I Chứng minh Đặt M   Mi I  Cho M nội xạ Ta chứng minh i  I Mi nội xạ Thật vậy, xét biểu đồ A k X Mi M Với môđun A môđun môđun X bất kì, đồng cấu fi : A   Mi ta bổ sung phép nhúng ji : Mi   M xác định xi  ,0, x ,0,  i ta có đồng cấu   ji fi : A   M 25 Do M nội xạ nên tồn g : X   M mở rộng  , tức gk   k phép nhúng từ A vào X Gọi pi : M   Mi phép chiếu xác định x  i xi Khi đó, lấy f *i  gpi : X   Mi fi * cần chọn fi *k  pi gk  pi ji fi  fi Do Mi nội xạ   Cho Mi , i  I nội xạ Ta chứng minh M nội xạ Thật vậy, xét sơ đồ k A X Mi Với môđun X , A  X,  f : A   M đồng cấu Ta cần tìm  X phép nhúng từ A vào X f * : X   M để f *k  f , k : A  Bổ sung phép chiếu pi : M   Mi Do Mi nội xạ nên tồn fi * : X   Mi mở rộng pi f Tức là: fi *k  pi f Khi lấy f* : X    Mi  M I x  f  x  * i I 26 Kiểm tra ta f * thỏa mãn u cầu tốn,  f k   a  f k  a  f  a    f  a  * * * * i I  f  a   f *i  f Định lí 2.1.7 (Tiêu chuẩn Baer) Cho môđun M vành R Khi M nội xạ iđêan I hai phía R, với đồng cấu f : I   M , a  M để f  x   ax, x  I Hệ 2.1.8 Cho môđun M vành R Khi M nội xạ vài iđêan, đồng cấu f : I   M tồn f * : R   M đồng cấu mở rộng f , tức f *i  f Tức biểu đồ sau giao hoán i f 2.2 Sự phân tích mơđun nội xạ vành Artin 2.2.1 Định nghĩa a) Mơđun M gọi phân tích trực tiếp (tương ứng khơng phân tích trực tiếp được) M  tồn hạng tử trực tiếp khác M (tương ứng M  khơng có hạng tử trực tiếp M khác khác M ) ( môđun B  M gọi hạng tử trực tiếp M  C  M  M  B  C  ) b) Cho U môđun thực M , M gọi bất khả quy U môđun tùy ý A, B  M với U môđun thực A , U môđun thực B ta có U  A  B 27 c) M gọi bất khả quy  M bất khả quy Môđun bất khả quy cịn gọi mơđun unifom (đều) 2.2.2 Định lí Cho Q nội xạ, Q  Khi đó, điều kiện sau tương đương: 1 Q khơng phân tích trực tiếp 2 Q bao nội xạ môđun khác  3 Mọi môđun khác Q bất khả quy  4 Q bao nội xạ môđun bất khả quy Chứng minh 1   2 Cho U  Q , U  cho I U   Q bao nội xạ U Từ U  có I U   Từ I U  môđun nội xạ, hạng tử trực tiếp Q nên I U   Q     3 Cho M  Q cho A, B  M , A  , B  Từ Q bao nội xạ A , A mở rộng Q A  B  3   4 Như môđun bất khả quy, ta có Q bất khả quy Q bao nội xạ Q  4  1 Cho Q bao nội xạ môđun bất khả quy M  Q Giả sử Q  A  B , A  0, B  Khi M mở rộng Q , M  A  , M  B  Khi M bất khả quy,  M  A   M  B   mâu thuẫn với A  B  Như vậy, Q khơng phân tích trực tiếp 28 2.2.3 Định lí a Bao nội xạ mơđun đơn khơng phân tích trực tiếp b Một mơđun nội xạ khơng phân tích trực tiếp Q chứa nhiều môđun đơn c Nếu R vành Artin R - môđun nội xạ tổng trực tiếp bao nội xạ R - môđun đơn Chứng minh a Mọi môđun đơn bất khả quy b Cho E , E1 môđun đơn Q Từ E môđun cốt yếu Q , E  E1  suy E  E  E1  E1 c Cho  q  Q qR Artin Suy tồn môđun E qR  Q Theo Định lí 2.1.2 Q bao nội xạ E 2.3 Sự phân tích mơđun nội xạ vành Noether 2.3.1 Định lí Nếu R vành Noether, R - mơđun nội xạ tổng trực tiếp môđun nội xạ khơng phân tích trực tiếp Hơn nữa, R Artin hạng tử khơng phân tích trực tiếp bao nội xạ R - mơđun đơn Để chứng minh Định lí ta có Bổ đề sau 2.3.2 Bổ đề 29 Cho  tập môđun môđun M Khi tập   với U   U U  U  tồn tập cực đại  Chứng minh Từ bổ đề Zorn’s Lemma Ta có:   G :  |     * thõa mãn , Khi G tập thứ tự theo quan hệ bao hàm G    G   U   U  Cho H tập thứ tự toàn phần G cho   U   U  :   AH Khi    Thật vậy:  G ,…, (*) thỏa mãn  Ngược lại tổng môđun  khơng phân tích trực tiếp Suy tổng hữu hạn khơng phân tích trực tiếp Nhưng nhiều mơđun Q hữu hạn tồn phần  H (bởi H tập thứ tự tồn phần) tổng chúng phân tích trực tiếp Do ta có  G  cận H G Vậy theo Bổ để Zorn tồn phần tử cực đại  G 2.3.3 Hệ a Mọi mơđun M có tập cực đại mơđun connội xạ khơng phân tích trực tiếp mà tổng chúng phân tích trực tiếp b Mọi mơđun M có tập cực đại mơđun đơn mà tổng chúng phân tích trực tiếp 30 Chứng minh Từ Bổ đề 2.3.2  = tập môđun nội xạ không phân tích trực tiếp trường hợp  a   = tập môđun đơn trường hợp  b  2.3.4 Bổ đề Nếu RR Noether mơđun MR  chứa môđun khác không bất khả quy Chứng minh Ta có mơđun hữu hạn sinh B  M , B  Noether chứa môđun khác không bất khả quy Cho  X | X  B  X nằm B tập môđun B Tập khác rỗng nằm B Khi B Noether có phần tử cực đại X tập Cho X nằm U  B Khi U0  Ta có mơđun  C  U mở rộng U nên U bất khả quy Giả sử L  U ta có C  L  , C   X0  L   Từ cực đại X C  ( C '  B ) có X0  L  X0 , L  X v L  U0  X0  Vậy C  L  L  , C  U0 Chứng minh 2.3.1 Xét tập cực đại mơđun nội xạ khơng phân tích trực tiếp Q , tổng chúng phân tích trực tiếp Cho tổng phân tích trực tiếp Q0 :  Qi iI Khi đó, Qi nội xạ, Q0 nội xạ Vậy Q0 hạng tử trực tiếp Q : Q  Q0  Q1 31 Giả sử Q1  , Q1 chứa môđun bất khả quy M  Cho I  M  bao nội xạ M Q1 , I  M  hạng tử trực tiếp Q1 , I  M  khơng phân tích trực tiếp Nhưng Q0   Qi cực đại, Q0  I ( M ) iI tổng trực tiếp môđun bất khả quy không phân tích trực tiếp Q Điều mâu thuẫn với Q  Q0  Q1 iI Nếu R khơng Noether mà Artin Qi  bao nội xạ môđun đơn 32 KẾT LUẬN Dựa vào tài liệu 3   , luận văn hoàn thành nội dung sau: Trình bày khái niệm tính chất điều kiện  Ci  môđun, môđun A nội xạ, môđun, vành Noether vành Artin Trình bày khái niệm số đặc trưng mơđun nội xạ, khái niệm phân tích môđun nội xạ vành Artin, đặc trưng môđun nội xạ khơng phân tích vành bất kì, mơđun phân tích vành Artin cụ thể phân tích mơđun nội xạ vành Noether 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] F W Anderson and K R Fuller (1974), Rings and Categories of Modules, Springer – Vezlag, New York – Heidelberg – Berlin [2] H Q Dinh and D V Huynh (2003), Some results on self – injective rings and [3]  - CS rings, Comm Algebra, 31, 6063 – 6077 M A Kamal, (1995), On the decomposition and direct sums of modules, Osaka J Math, 32, 125 – 133 [4] F Kasch (1982), Modules and rings, N017, Academic Press, London – New York 34 ... Ci  môđun, môđun A nội xạ, môđun, vành Noether vành Artin Trình bày khái niệm số đặc trưng mơđun nội xạ, khái niệm phân tích môđun nội xạ vành Artin, đặc trưng môđun nội xạ khơng phân tích vành. .. Ci môđun 1.2 Môđun A - nội xạ .10 1.3 Môđun, vành Artin 15 1.4 Môđun, vành Noether 21 CHƯƠNG 2: SỰ PHÂN TÍCH CỦA MƠĐUN NỘI XẠ TRÊN VÀNH ARTIN VÀ VÀNH NOETHER. ..  Kerf  Kerf  Kerf n 23 CHƯƠNG SỰ PHÂN TÍCH CỦA MƠĐUN NỘI XẠ TRÊN VÀNH ARTIN VÀ VÀNH NOETHER 2.1 Môđun nội xạ Định nghĩa 2.1.1 Môđun M gọi nội xạ môđun A , môđun X A , đồng cấu f : X   M